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1、第一章行列式 1 行列式的概念1.填空(1)排列6 4 2 7 5 3 1 的 逆 序 数 为,该排列为 排列。(2)i =,j=_时，排 列 1 2 7 4 1 5 6/9 为偶排列。(3)n阶行列式由一项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为_号；若为偶排列,该项的符号为 号。(4)在6 阶 行 列 式 中，含 a a a a a a的 项 的 符 号 为 ，含15 23 32 44 51 66a a a a a a的项的符号为。32 43 14 51 66 252
2、 .用行列式的定义计算下列行列式的值a 0 011（1）0 a a22 230 a a32 33解：该行列式的3!项展开式中，有_ _ _ _项不为零，它们分别为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，所以行列式的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.解：该行列式展开式中唯一不可能为0 的项是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，而它的逆序数是，故行列式值为，3 .证明：在全部元排列中，奇排列数与偶排列数相等。证明：元排列共有!个，设其中奇排列数有个，偶排列数为4 个。对于任意奇排列，交换其
3、任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有同理得所以4.若一个阶行列式中等于0 的元素个数比2-多，则此行列式为0,为什么？5.阶行列式中，若负项的个数为偶数，则至少为多少？(提示：利用3 题的结果)6.利用对角线法则计算下列三阶行列式2 0 1(1)1 -4-1-1 8 31 1 1(2)a b c枚 C 22 2 行列式的性质1.利用行列式的性质计算系列行列式。2 1 4 13-1 2 11 2 3 25 0 6 2a 1 0 0-1 6 1 00-1 c 10 0-1 J-ab ac ae（3）bd-cd debf cf-ef32.证明下列恒等式ax+byay+
4、bzaz+bx-Ca3+加)Xyz(1)D=ay+bzaz+bxax+byyzXaz+bxax-byay+bzzXy（提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和,再利用性质证明）ci2(a+l(a+2 Q+3b2 G+l G+2(+3c2(c+1)2(c+2 (c+3d2 Q+l Q+2(d+3x-1 00%-10 0 0a a an“一】n-20 00 0=X+a x，i +a x+a1 n iX-il.a x+a2 1（提示：从最后一列起，后列的工倍加到前一列）43.已知四阶行列式。的第三行元素分别为：-1,0,2,4 ；第四行元素的对应的余子式依次是2,1 0,0,4,求Q 的值。1 1
5、 3 6 52 2 7 4 34.已知 1 3 6 5,2 7 4 3,4 0 5 6,6 6 9 5,5 3 5 6 能被 1 3 整除，证明：3 4 0 5 6能4 6 6 9 55 5 3 5 6被 1 3 整除。（提示：注意观察行列式中第2,3,4,5列元素的特点）5.已知。5=314122 3 4 52 21 11 2 4 5=2 71 1 2 231 5 0求：(1)3 A2+2 A +2 A +4+A22 32 42 52 A +A+A 和 A +A。41 42 43 44 45（提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算）5x a b ca x b c6.设/（）=,求/(x)=
6、0 的根。a b x ca b c x解 1：首先，行列式展开式中含x4项，所以/(x)=0 有四个根。而通过观察，将x=a,x=6,x=c 代入行列式，行列式中均有两行元素相同，此时行列式值为0,即x=a,x=6,x=c 为根。然后，把所有列加到第一列上，可发现第四个根，计算如下：解 2：(注意各行元素之和相等，可计算/(x)的值后，求根。)6 3行列式的计算1.利用三角行列式的结果计算下列”阶行列式3 1 1 11 3 1 1（1）D3 1 1 3 11 1 1 3（提示：注意各行（列）元素之和相等）x y 0 0 0Ox y 0 09 9 0 3 1y 0 0 0 x（提示：可考虑按第一
7、行（列）展开）7l+a 11 l+a。=2n11,(a wO,i=1,2,n)Il+：a n（提示：可考虑第一行的-1 倍加到各行，再化为三角行列式）2.用迭代法计算下列行列式21D=n001 0 02 1 00 0 00 0 00 0 00 0 01 2 I0 1 2解：按第 一 行(列)展开,得递推公式：D =_D +_D。于是n n-2D D =D D =D D =on n-一1 n-2 2 1由此得：D =_D +_n zi-1=D+n-28解：按第一行展开，有递推公式D =_D+_D,得递推公式:n n-1 n-2a+bab00001a+bab000(2)4 =01a+b000000
8、 .1 a+bab0001,01a+bD-a D =(D-a D )=.nM-1 n-1 n-2=(D-a D)=2 1同理可得：D-b D =n/j-1联立与，解方程组得：D=n3.利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式an(一1 an-3 -(1)D=M +1a tz-rl1 1(a-n)na-rn13。0,1,2,M（提示：利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算行列式）9an1a n-bi ia n-2 b 21 1a bn-i iD向an2a n-b2 2a n-2 b 22 2a hn-2 2,(a，0)iann+1a n-ih+l n+12
9、 b2n+l +1a f e w-in+n+b；t解：在，行 中 提 出 因 子,4.构造辅助行列式法计算下列行列式1(1)D=a。2Q 41bb2Z?411d 2d 4（缺行的范德蒙行列式）解：构造辅助范德蒙行列式。=11111abcdXa2b2C2d 2X2Q 3加C 3d3X 3Q 4b4C 4d 4X 4，D为 口中元素尸的余子式，而。11h11XC12Q 4b2加b4X2X 3X410(2)D =1 +ai212+Q212a a1 2a w 0nnnn+.a解：构造辅助行列式。1001+ai2112+Q21120nnn则。=D,而。n5.用数学归纳法证明:COS0100012cos0
10、100D =n012cos000=cos00012cas0证明：（1）=1时，等式显然成立；（2）假定等式对于小于阶的行列式成立;11（3）（下证”阶行列式成立）由于，D =_ D +_ D（注：按最后一行（列）展开）n n-1 n-2所以,(-1)Q+X w 0,求 A+A +“1 n2+AnnX（提示：将所有行加到最后一行）12 3 克来姆（Cramer）法则1.用克来姆法则解下列方程组2x-x -x =4（1）3x+4x-2x=11I2 33x-2x+4x=11k 1 2 3x+3x+x=0I2 3 i2x+5x=012x-x =0kx+x+x=02 32.当&取何值时，方程组依-X=0
11、有非零解？12 32x-x +x=013第 二 章 矩 阵1矩阵的概念及运算1.判断正误（1）设A为m x 矩阵，8为s x p矩阵，若A 8 =8 A,则A8与氏4必为同阶方阵。（）（2）A与8为阶方阵，九为实数,有4 4）叫=怛（儿4）|=|叶 附 怛|。（）(3)A与8 为阶方阵，(A B)*=A B*(k e N)。()(4)A与8为阶方阵，(A 8)2=A 22A B +82。()(5)A为”阶方阵，(A E)2=A 2 2A +()(6)A与 8 为阶方阵，(A +8)(A-8)=A?-82。()(7)A为阶方阵，(A +E)(A-E)=A2-E。()(8)A与3 为阶方阵，|力+
12、6“=|4+5。()(9)A与5为阶方阵，也 由 卜|46|。()2.选择题(1)设A,8,。均为阶方阵，AB =B A,4 C =C 4,则A8 C=()(A)A C B(B)CB A(C)B CA(D)CAB(2)若A为实对称矩阵，则向 川 的 值()(A)0(C)=0(D)不能确定(3)设 A 为方阵，f(x)=x 2-x-2,则/(4)为()(A)A 2-A-2(B)A 2-A-2 E(C)(A+2EXA-E)(D)不能确定143.设4=-1,22 r-20,B=1V 1-1-1,计算:(1)1A-3B;(2)AB r.(3)ATB(14.计算A =大oV-（提示：先计算出A,A ,以
13、此归纳出4,然后用数学归纳法证明结论）2 3 n5.设A为阶方阵，若对任意的维列向量z,均有A z =0,证明：A =0。（提示：由于维列向量z的任意性，考察”维列向量e,e,e,证A中各元素1 2 n为0）156.设A为实对称矩阵，若A2=0,证明A=0。（提示：证4中各元素为0）7.若A为，阶方阵，且满足=若 网 0,求 庐+川。（提示：先 证 明 归+川=_ 怛+川）8.试 证：若A为奇数阶方阵，且满足4 4 r=E,|川=1,则 怛 一 川=（）。（提示：先证明七一4|=_,_冏）9.若A为奇数阶反对称方阵，证明：|川=0。（提示：由反对称阵的定义证明）1610.设 A,5 都是对称矩
14、阵，证明：A B 为对称矩阵的充要条件是4 8 =8 4。11.设阶方阵A=(a),8=S ),且A 与 8 的各行元素之和为1,a 是“X1矩阵,V V且每个元素都为1,求证：(1)Aa=a .(2)A 8 的各行元素之和都等于i；(3)若 A 8 各 行 元 素 之 和 分 别 为，则A B的各行元素之和都等于什么？17 2 逆矩阵I.判断正误（A,B,C均为 阶方阵）(1)A 6 =0 nA=0或5 =0。()(2)A B -A C n B =C。()(3)A 为 阶方阵。则 A 2=An 4 =或 4 =0。()氏1卜 百。()(5),(AB =BTAT O()(6)A*(A*)*=|
15、A*|E。()2.填空(1 1 3、设 A=0 1 2,则|A|=_ _ _ _ _ _ _ _,A*=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _,J 0 1JA =o(2)设A为 3 阶方阵，且 同=4,贝通=,|(4A)-i|=LA*-4/4-1=3-1 0 0、已知A*3A =2 A B 12E,A=0-20,则8=、0 0 1,1设42,r3、0X贝 ij x=183.设A*=0,证明：（E-A）-i =E +A +A 2+4*-I。（提示：证明（E-A）（E +A +A 2+AI）=E）4.设方阵A满足A 2-A 2E =0,证明：A及4+2 E都可逆，并求其逆矩阵。（提示：利用可逆的定
16、义证明）5.设A是”阶 方 阵，证 明：若|川=0,则卜*|=0；|A*|=|A卜；（4）*=同-2 A,（同 =0）。（提示：凡是与伴随矩阵有关的结论，可先考虑等式44*=|A|E）196.设”阶非零方阵A的伴随矩阵为A*,且 A*=AT,求证：同。0。（提示：可考虑用反证法证明）7.设A是“阶方阵，如有非零矩阵8使AB=O,则I A 1=0。8.设 A,8,A+6,A-i+8-1 均为阶可逆方阵，求(AT+6-I)T。20 3分块矩阵-1 2 0 0 0、0 0 0 2、4 1 0 1 00 0 0 31.设 A=0 5 0 0 1,B=2 1-3 0，利用分块矩阵计算A 8。3 0 0
17、0 01-210、0 3 0 0 0,、1 4 0,-22.设4=0,00、02 0 0、P=0 1 2,(1)利用分块矩阵求AT,PT10 0 1J(2)计算010(P-IA P)。213.设A,8均为“阶方阵，令。=0 B 0(1)证明。可逆的充要条件是A,8均可逆;（U（E O 设 尸=U,V，使 尸 =八 k，求出u,v,w,x；I W X）C J 七；(3)当。可逆时，求出Q T。04.设 A =0a 00 a20 00 00 0、0 0a。0,利用矩阵分块求A T。1 n0。：.n-l225.设A为”阶可逆方阵，勺为x l矩阵，b为常数,(E 0 (A A)(-A*刈 AT b)(
18、1)计算P Q；(2)证明：。可 逆 的 充 要 条 件 是 产 以6.设A为4阶 矩 阵，且|川=2,把A按 列 分 块 为A =C4,A,A,A ),其中1 1 1 2 3 4A =1,2,3,4)是 A 的第/列，求-2 4,3 4，-A ,-A LJ1 3 1241,(提示：根据行列式的性质计算)23 4矩阵的初等变换3-2 o-r0 2 2 11.把矩阵A=1 -2 -3 -2化为阶梯形和简单阶梯形。1 2 1,12.利用初等变换求逆矩阵，A=2 0 0、0 1 21 0 -10 0 0,3.利用初等变换求解下列矩阵方程，4 1 -2、1 -3、(1)2 2 1 X=2 21 -1,
19、3 f24 0 2(2)X 2-1、一 3 31、312 3、-4J2-32 2 20 1 14.已知 A=0 0 1,0 0 0之和W L A(.7=12、11 ,用初等变换求AT,并计算A的所有代数余子式b（提示：利用A4*=|A|E,可求 勺）仃=125 5矩阵的秩1.判断正误(1)若 A 为 矩阵，R(A)=r,贝 W m i n m,。()(2)若 R(A)=r,则4的所有的r阶子式都不为0,而所有的r +1阶子式都为0。()(3)若矩阵A存在一个 阶子式都不为0,则R(A)N r。()(4)任何一个可逆矩阵都可分解为初等方阵的乘积，且分解唯一。()(5)设A为ax”矩阵，8为x机矩
20、阵，且加，则|A B|=0。(),0 1 1 -1 2、0 2-2-202.设 A=求 A(A)。V 1 1 1 1J 1 0 1 -1,x3.设矩阵A=1 1 4、4 1 0 1 ,7 *3，(1)九为何值时，R A)最大？(2)九为何值时,2 4 3,R(A)最小?(提示：利用初等变换求秩)26 al l r1 a 1 14.讨论阶方阵人=的秩。J巴a.-a/A5.零为al42全不阵矩求零为全不a ：b a a，b)nl I nf 2 .m n(提示：利用秩的定义，考虑行列式的一阶及二阶子式)6.设A B均为阶方阵，证明：(1)若 R(A)=，则 R(AB)=R(8)；若 R(B)=,则
21、R(AB)=R(A)。(提示：利用可逆矩阵可分解为初等方阵的乘积，以及初等变换不改变矩阵的秩证明)27第三章向量组的线性相关性1 维向量口P 11.设a=,a=,a =,且3(a-a)+2(a+a)=5(a+a),求向量3 2 2 2 向量组的线性相关与线性无关用定义判断下列向量组的线性相关性-x+2x=01 2 3解：设xa+xa+xa=0即有齐次线性方程组12尤+0 x+2尤=0。11 2 2 3 3 1 2 3x+x+2%=0i 1 2 3-1 2 1线性方程组的系数行列式为2 0 2=0,故由克拉姆法则方程组有非零解，即存1 1 228解：设手尸出+空3=。即有齐次线性方程组x-x+x
22、=01 2 3x+2x-x=0 o1 2 33x+0 x=01 2 31 -1线性方程组的系数行列式为1 23 11-1=-1#0,故由克拉姆法则方程组只有零解,0即只存在全为零的数使得XR+X优+斗13=成立，故a 1,a弋线性无关。292.设。，把B表示成aa,a，的线性组合,问线性表示是否唯一？x+Ox+2x=1解：设XOL+x a+x ai I 2 2 3 3I 2 3P即有非齐次线性方程组（Ox+2x=3。1 2 3x+0 x+lx=0i 1 2 31 0线性方程组的系数行列式为o 11 022=-1*0,故由克拉姆法则方程组有唯一解,1即P能表示成aa,*的线性组合，且表示唯一。（
23、1）当f为何值时，a,a,a线性无关？当。为何值时，a,a,a线性相I 2 3 1 2 3关？（2）当a,a,a相关时，将a表示为a,a的线性组合。I 2 3 3 1 21 1 1解：（1）a,a,a 线性相关o 1 2 3=f-5 =0=f=5,从而I 2 31 3 ta,a,a线性无关=1 2 3（2）当，=5时a=2a-a3 2 1304.证明：若向量组a ,a ,a中含有零向量，则此向量组一定线性相关。1 2 s（提示：用定义证明）证明:不妨设a =01法一：显然l a +0 a +0 a =0,即存在不全为零的数使得a ,a ,a线性组合12s 12s为零，故向量组一定线性相关。法二
24、：由a =0可知向富，且a线性相关，又 a q a,a,a ,故质量组一定线性1 I 112s相关。注意：因 为 向 量 组a,a中含有零向量，故行 列 式a,a J =0,故向量组一定线性相关。（这样证明是错误的，因为（a ,a ,a ）不一定是方阵。）1 2 s5 .已 知 向 量 组a ,a ,a ,a 线 性 无 关，。=a+a =a +a ,P =a +a ,p =a -a ,用定义证明：向量组B ,P ,P，P线性无关。3 3 4 4 4 1 12 3 4解：设 p +z B +z B +z p =0,由题条件可得I I 2 2 3 3 4 4(k-k)a +Q +k)a +Q +
25、k)a +(k +k)a =01 4 1 1 2 2 2 3 3 3 4 400k k=0I 4k+k=0-10又%,叱 巴 线 性 无 关 故 有+=。方程组系数行列式为。1 1。k+k=03 4由克拉姆法则方程组有只有零解，故只有k,%,k,k全为零上B +z B +4 p +4 B =o1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4才成立，故向量组B ,P ,P ,P线性无关。12 3 4316.若 向 量B可 由a,a,a线 性 表 出，则 表 示 法 唯 一 的 充 要 条 件 为1 2 sa ,a ,a线性无关。I 2 s(提示：可考虑用反证法证明)证明：充 分 性(&：a ,a
26、线性无关n 表示法唯一)：若表示不唯一，设有两个不同I 2 s的表示为k a +k a+k a =3 (1)1 I 2 2 s s/a +/a +/a =p (2)1 1 2 2 s s由(1)(2)得Q I)a +Q I)a +Q /)a =0 ,1 I 1 2 2 2 s s s由两个表示不一样有k-1 ,k-1 ,k-l不全为零，这与a ,a ,a 线性无关矛1 1 2 2ss 1 2 s盾。故当a,a ,a 线性无关时表示法唯一1 2 s必要性：(表示法唯一=a ,a ,a 线性无关)若a ,a ,a 线性相关，则1 2 s 1 2 s存在不全为零的数设 为 加，加，加有I 2 sma
27、+ma+m a =0 (3)1 I 2 2$S又0可由a,a ,a线性表出记为I 2 s a+a+4-H a =p (4)I 1 2 2 s s由(3)(4)可得(n )a +(+m)o i +(+机)a =p (5)111 2 2 2 s s s由？，小，m不全为零知道(4)(5)是P两个不同的表示，这与表示唯一矛盾。1 2 s故表示法唯一=a ,a ,a 线性无关1 2 s327.若 向 量 组a,a,a线 性 无 关，问 常 数/,？需 满 足 什 么 条 件 时，向量组1 2 3/a+a,a+a,ma+a 线性无关？12 2 3 3 1(提示：用定义判定)解：设x(/a+a)+x(a+
28、a)+x(ma.+a)=01 1 2 2 2 3 3 3 1即有(a+x)a+(x+x)a+(x+mx)a=01 3 1 1 2 2 2 3 3由向量组a,a,a线性无关得1 2 3lx+X=0I 3 P =01 1 2 2 mm 1r 1 2r 2 m成立，则a ,a ,a线性相关，P ,P ,P亦线性相关。(乂 )I 2 m I 2 m(5)对于三维向量，若两向量线性相关，则这两向量平行；若三向量线性相关，则这三向量共面。(/)9.选择题(1)维向量组。，。，a (3 4 s)线性无关的充分必要条件是(D)1 2 s(A)存 在 不 全 为 零 的 数，1,使九a +入a +Xa工0；I
29、S II 2 2 s s正确应为：维向量组a,a,a (3 4 s)线性无关的充分必要条件是1 2 s对任意的不全为零的数d，九2,，入，使九。+九a +X a *01 L 3 1 1 2 2 s s(B)a ,a ,a中任意两个向量线性无关；I 2 s34(C)a ,a ,a中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出；1 2 s(D)a ,a ,a中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.1 2 s(2)设a,a ,;a均为维向量，那么下列结论正确的是(B )I 2 m(A)若九a平为a +九a =0,则a ,a ,a线性相关；11 2 2 m m 1 2 m注 意：无 论,a,a,q是 否 无
30、 关，当 九=九=九=。时 均 有I 2 m 1 2 m九a +九a +X a =0 1 1 2 2 m m(B)对任意一组亦叁为零的数九，九，九，有为a +4 4 +X a *0,I 2 m 11 2 2 m n t则向量组a ,a ,a线性无关；I 2 m注意：(B)意 味 着 九a +九a +X a =。只有九=X =X =0 oII 2 2 m t n 1 2 m(C)若a ,a ,a线性相关，则对任意一组不全为零的数九，九，九，I 2 t nI 2 m有九a +X a +a =0；1 1 2 2 m m注意：a,a,a线性相关只是至少存在不全为零的数 九，九，入，有1 2 m I 2
31、 mX a +X a +X a =0未 必 是 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 有1 I 2 2 n t t nX a +X a +入 a =01 I 2 2 m t n(D)因为0 a +0 a +0 a =0 ,所以a ,a ,a线性无关。1 2 m 1 2 m(3)设有任意两个量向量组a ,a ,。和|3邛，B ,若存在两组不1 2 m 1 2 m全为零的.数九，九，入 和“，左，,k,使I 2 m 1 2 t n(入 +Z )a +(九 +k )a +(A/左)a +1 I I 2 2 2 m i n m(X )P +(X -k)P +(入二k)B =。，则(D.A o1
32、1 1 2 2 2 m n t m(A)a ,a ,a 和B.,.0 ,p都线性相关；1 2 m 1 2 m(B)a ,a ,a和,邛 都线性无关；1 2 m 1 2 t n(C)a +B,+p ,a -B,a -P 线性无关；1？i n 1 1 m m(D)a +p ,-;a +B ,a -0,，a -p 线性相关。I 1 i n m I m m注意：(九 +k)a +(入+女)a +(九 +L )a +(X k)p +(九 k)0 +(X k)p =01 1 I 2 2 2 m m m 1 1 1 2 2 2 m m m=X (a +p )+X (a +p )+X (a +0 )+k(a
33、-p )+k (a 郊)+k(a -p )=0111 2 2 2 m m m 111 2 2 2 m i n i n35向量组，a,a,线性无关，则下列向量组线性相关的是(B)o(A)a +a ,a +a ,a +a ；(B)a ,a +a ,a +a +a ；1 2 2 3 3 1 1 1 2 1 2 3(C)a -a ,a -a ,a -a ；(D)a +a ,2 a +a ,a +3 a oI 2 2 3 3 1 1 2 2 3 1 3注意：向 量 组a，(X 3与向量组a严+%,+。2+。3等价。(C)(I I)无关n(I)无关;(D)(I)无关=(I I)无关。(6)若向量组a,线性
34、无关，a,0,6线性相关，贝i j (c)(A)a必可由P,Y,b线性表示；(B)P必不可由a,Y,b线性表示;(C)3必可由a,线性表示；(B)3必不可由a,线性表示。注意：向量组a,|3,Y线性无关，n a,(3线性无关，又a,0,3线性相关=8必可由a,B线性表示；=8必可由a,B,y线性表示；363向量组的秩.求下列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示。123（提示：首先将向量作为列向量构成矩阵，然后对矩阵进行初等行变换化为最简阶梯形）解：作矩阵ar1ar2ar3ar 4、f11111230-2-1-202120-6-3-61 1r+r,r-3r o-23 2
35、4 20 0、0 021352A-11-210-12-1-12-2277r+r,r+r2 14 13 2-10001 00-1-2 21 -1-P1-2371 o1 0-nA000110000r3 400 001(07-1是其一个极大无关组。解：法一，作矩阵的秩为2,求a,b。1-101o ja23bn31 22 b31 2 1I3a3 123 1 J(2r 2/-a%rr2 1 3 1 4 11000321、12、b-41r1 2132 42o-i如a 2 =0即：5b=0a=2法二:、0000a-25-比山向量组秩为2可得a312311 22 3 0na=21 1=0 n b=5383.设
36、向量组a,a,。能由向量组0,0,B线性表出，证明：1 2 s 1 2 tR（a,a,a）/?（p ,p ,p）1 2 s 1 2 t（注：该结论是线性代数重要结论之一。凡是与秩有关的命题，大多需用该结论证明，如第4题等）证明：令 R（a,a,a）=p,不妨设 A =a ,a ,a 为a ,a ,a12s 12 p 2 s的极大无关组；令R（P ,P ,B）=q,B 为1 2 t 1 2 qB,B,，底的极大无关组。1 2 t考虑向量组”=a,a,a ,B ,邛，邛 ,1 2 p 1 2 qB,B,，干 为B,B,B的极大无关组，则B ,B ,B线性无关且1 2 q 1 2 I I 2 qB，
37、0，B能被B，B线性表茁。又a ,a ,a能由向量组I 2/1 2 q 1 2 sP,P7,B线性表出；故B,B ,B也能表示a,a,a ,）2 t 1 2 t 1 2 p从 而 邛 线 性 无 关,目 表 示=口，a ,a，P;P ,P ,1 2 q 1 2 pl2q即B ,B7 邛 是“=a ,a ,；a ,p ,p ,邛 的俄大无关组,1 2 q 1 2 p I 2 q故R（）=。由a,a,a线性无关及秩的定义有H（M）W p。I 2 i，故 R（a,a,a）/?（p ,p ,邛）1 2 s I 2 I4.设a,a,a是个维向量，若标准基向量e,e,e能由它们线性表1 2 n I 2 n
38、出，证明：a ,a ,a线性无关。I 2 n（提示：用秩法判定向量组的线性相关性）证明：已 知&e,e,e =n,.由e,e,e能由a ,a ,a线性表出有1 2 n 1 2 n 1 2 nRa ,a ,a R e,e,e =n,又 Ra ,a ,a W 可得1 2 n I 2 n I 2 n Ra,a,a-=n=a ,a ,；a 线性无关 1 2 n 1 2 ”395.证明：任意+1个维向量a,a,a 必定线性相关。1 2+1(提示：考虑它们与单位向量组e,e ,e的表示关系，再 利 用 第3题给出I 2 na,a,a 的秩的范围，最后用秩法判定)1 2+1证明：作矩阵A=(a,a,a)则由
39、R(A三/?a,a,a)1 2+1 1 2 w+1又R(A)n/?a,a a,a,a 必定线性相关。1 2 M+l 1 2 M+l6.设 向 量 组a,a;,a与 向 量 组0,0,p的秩相等，且向量组1 2 s 1 2/a,a,。能由向量组6,0,，。线性表出，证明：a,a,a与12s I 2 t 12sp,p,，等价:1 1 I 2 t证 明：设 它 们的秩为r,a,a,力 为&,。，a的极大无关组；1 2 r 1 2 sB,B；,B为B,p,p的极大无关组。1 2 r I 2 i考虑向量组M=a,a,a,p,p,：0 。I 2 r 1 2 r容易证明B,P,邛 也是向量组M,a,a,p,
40、P,B 的极大无关1 2 r 1 2 r 1 2 r组，故R(M)=r。若a,a,a不能线性表示0,B,邛，则 氏 邛，邛 必 存 在一个向量不妨设1 2 r 2 r I 2 r。满足。，01,a,B线性无关，若a,a,a 不能线性表示0,0,0,1 I 2 r 1 I 2 r 1 1 2 r则B,B,，B必存在一个向量不妨设伊.满足a,a,;-cc，P，P线性无关，如此继1 2 r 2 1 2 r 1 2续 下 去 必 能 找.到 向 量 组a,a,a,0，在，p Q4r)线 性 无 关 且 能 表 示1 2 r I 2 Ap,p,”,I 2 r故 a,a,a,p,p,0 Q W 力.是向量
41、组 M =a,a,a,p,p,p)I 2 r 1 2 k I 2 r I 2 r的极大无关组，故氏(加)=厂+火 广，矛盾。故&,0 1,。能线性表示0,0,p,1 2 r 1 2 r从而a,a，&能 线 性 表 示 3,0,0。故。，。，与B,0,二0等1 2 s 1 2 I 1 2 5 1 2/价。407.设 p =a +a +1 2 3p =a +a +2 1 3+a+a,证明：a ,a/,a“与 W，,B等价。p =a +a +n 1 2+an-（提示：可利用克来姆法则反解出,a,a)证明：由条件可得，a,f能线性表示匕 邛2,邛，且a ,a ,a，故a ,a ,B等价。1 21 2,
42、a 与B ,B ,n 1 28.设有向量组a.=4/2；.性无关,其中/J,?）（/=1,2,，孙加），试证：向 量 组a ,a线i 1 2 m:t为团个互不柏等且不为0的常数。m（提示：用定义证明，.其间涉及范德蒙行列式的计算）a证明：作矩阵4a2，故R A)=R a ,a LJ7M计算矩阵4的秩，显然R（A）K m。且矩阵A有一个机阶子式4 1t t2 t,11 1 1t tn M 12 2 2=1 1 t i=lf:t?.t单 1fn h i.ill*故R(A)=m n RG,a,1 2t ttn-1 12 2 1=F It C-/)0,故R(A)Nm。i j i./=1 i j 向量组
43、a,a,a线性无关in1 2 m9.设 向 量 组 巴，a,.,a j的 秩 为：，向 量 组.许邛2,，B j的 秩 为 ；向量组a,a,a,B,0,B 的秩为r,证明：I 2 s 1 2 1 3maxr,r r Ra,a,a,p,p,p I 2 5 12 r2 1 2 sl 2 t又Ra,a,a,P,P,B Kr+r,所以尸+r。I 2 1 2 r2 1 2 3 I 2显然a,a,，a,0,0 ,二p 能线性表示a,a ,a 和邛，与，B j。故I 2.v 1 2 t I 2.t 1 z 1r r,且 r 7=maxr,r V r o3 1 3 2 I 2 310.设A,3同 为 矩 阵，
44、证 明(1)R(A+B)R(A)+R(B),(2)R(A B)4R(A)+R(8)。证明：记 4=(a,a,a),B=(0,p ,P),则1 2 n 1 2 nA+8=(a+P,a+p,a+p),A B=(a-p,a-3,a-0)112 2 n n 112 2 n n记向量组=。，a,，a,N=p邛，p 1 2 n 1 2 nK a+P,ct+P,*cc+p,L=a-p,a -P,a p 112 2 n n 112 2 n n则/?(A)=R(M),R(B)=R(N),R(A+B)=R(K),R(A-B)=R(L)作向量组”=。，a,，a,B,P,P),I 2 n 1 2 n由向量组秩的关系得
45、R(H)R(M)+R(N)=R(A)+R(B)显然向量组”能表示向量组K,故R(H)WR(H)42即有 R(A+5)R(A)+R,R(A-B)R(A)+R(B)4311.设 4为7 X S 矩阵，B为sx p矩阵，证明R(A 8)Wm i n R(A),R(8)。(提示：令。=45,证 证 明 方 法 也 是 考 虑 它 们 的 列 向 量 组 之 间 的关系；再由 C7=BrAr,证 R(A 8)WR(8)12.向量 a 2,，叱线性无关的充分必要条件是a r a a r a1 1 1 2a r a amD =2 I 2 2a r a1 na 7aw Oa a a 加 卜 0 o|A|A|0
46、 O|A|HOo，方，%线 性 无 关4413.选择题(1)设A是阶矩阵，且 国=0,则A中(c)(A)必有一列元素全为零；(B)必有两列元素对应成比例；(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量都是其余向量的线性组合。(2)已知线性方程组的系数矩阵A是4 x 5矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列结论正确的是(C)。(A)A的列向量组线性无关；注：A的行向量组线性无关n R(A)=4=A的列向量组线性相关(B)A的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；(C)A的增广矩阵的行向量组线性无关；注：A的行向量组线性无关nR(A)=4 n R(1)2 4,又/?(不一)2 4 n R(X
47、)=44 x 6(D)A的增广矩阵的列向量组线性无关。(3)设向量a=a +a+a(s l),而1 2 sP=a-a,p=a-a ,p=a-aI1 2 2 s s则下列结论中正确的是(A)o(A)A a,a,a=R p,p,0；1 2 s 1 2 5(B)R a,a ,a/?p,0,p)；1 2 s 1 2 s(C)R a,a,a R(B)；(C)R(A)R(A)R(A)NR(B)(5)矩阵A在 下 列(D)变换时改变秩。(A)转置；(B)初等变换：(C)乘以非奇异阵(D)乘以奇异阵。45464 维向量空间1.证明：V=(x,y,z)|x+2y+3z=0是R3的子空间。证明：Va V,不妨记
48、a=(x,y,z),P=(x,y,z),I 1 1 2 2 2则x+2y+3z=0,x+2y+3z=0 o1 1 I 2 2 2a+B =(x+x,y+y,z+z )1 2 1 2 1 2(x+x)+2(y+y)+3(z+z)=(x+2y+3z)+G+2y+3z)=0I 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2故a+peV 0V攵 w H,ka=(kx,ky,kz)i i ikx+2ky+3kz=%(x+2y+3z)=0i i i i i故Aa GVo 故丫=(x,y,z)|x+2y+3z=0是A的子空间。2.设=(x,x,)|x G7?,x+x+x=0 1 1 2 n 1 i 1 2 n7
49、=(x,X,X)x R,X+X+x w021 2 n 1 i 1 2 n问）匕是不是向量空间？为什么？解;匕 是向量空间仿照上题证明对匕线性运算封闭）V 不是向量空间，因为(0,0,0),0+0+0=0,则(0,0,0)g V o223.证明：由a=21a2=2 ci（5、=0构成R3的 一 个 基，并 求P.F 9在这个基下的坐标。1 1证明：|A|=|a a a|=2 23 010=6=0,故/?a,a,a =3,故a,a,a 线性无1 2 3 1 2 30关且7?a,a,a=R3 n a,a,a 构成R3的 一 个 基。1 2 3 1 2 3474.V =spa na,a ,V =spa
50、 n,p ,证明：V=V o11 2 2 1 2 1 2(提不：只需证明a,a与P ,P等价)I 2 1 2证明：由题的条件可知：B=3a-a,J 3 =a-a；a=+3p ),a1 2 12 12 1 2 1 2 2即 a,a 与 出，0 等价=V =V1 2 1 2 1 2设x =(x,x)T,说明X元平面上/(x)=/5 =A 的几何意义。1 2 12 f-1A=00、0 0)f0 n；(2)A=-.；A=.48 5内积与正交向量组1.试用施密特法把下列向量组正交化3=a _(巴 咏 _ 储叫3 3伊-”佬可2r n492 .设a,B是维向量，且a_L B，证：肛+用|2=间|2+|削2