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1、2023届高考数学一轮知识点训练：轨迹与轨迹方程一、选 择 题(共 18小题)1.在平面直角坐标系内，到点力(1,1)和直线1:%+2丫 3=0 距离相等的点的轨迹是()A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线2.设力为圆(X 1尸+*=1 上动点，PA是圆的切线，且|P 4|=1,则 P 点的轨迹方程为()A.(%I)2+y2=4 B.(%I)2+y2=2C.y2 2x D.y2 2x3.方程/+xy=x 的曲线是()A.一个点 B.一条直线C.两条直线 D.一个点和一条直线4.方程(x2+y2-2x)Jx+y-3=0 表示的曲线是()A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线C.一个圆
2、D.一条直线5.已知点A,B 分别是互不垂直的两条异面直线a,b 上的点，且直线4 B 与 a,b 均垂直，P e a,Q e b,若直线P Q与A B所成锐角6为定值，则P Q的中点M的轨迹是()A.椭圆 B.抛物线 C.圆 D.线段6.设4(5,0),B(5,0),M 为平面上的动点，若当|M4|-|MB|=10时，M 的轨迹为()A.双曲线的一支 B.一条线段 C.一条射线 D.两条射线7.在正方体A B C D-A C 中，点 E 在面A B C D上运动，且满足EB=EDr,则点E的轨迹是()A.抛物线 B.直线 C.椭圆 D.双曲线8.若4 A B e的两个顶点坐标力(一 4,0)
3、,B(4,0),A B C的周长为1 8,则顶点C的轨迹方程为()A,江+式=1 B.+二=1 H O)C.5 +?=l(y H 0)D.fJ+?=l(y H 0)9.平 面 直 角 坐 标 系 上 动 点 满 足-3尸+y2+收+3尸+*=6,则动点M的轨迹是()A.直线 B.线段 C.圆 D.椭圆1().下列说法正确的是()A.平面中两个定点A,B,k 为非零常数，若|PA|-|PB|=k,则动点P 的轨迹是双曲线B.定圆。上有一定点4 和一动点B(不与4 重 合)，。为坐标原点，若 9=3 +而)，则动点P的轨迹是椭圆C.斜率为定值的动直线与抛物线y 2 =2 p工(p o)相交于A,8
4、两点，。为坐标原点，0P=(OA+O B),则动点P的轨迹是直线D.以上说法都不对1 1 .已知 4 B C 的面积为右且两个顶点是4(3,0),B(0,4),则点C的轨迹方程是()A.4 x+3 y -1 3 =0B.4 x+3 y -1 1 =0C.4 x+3 y =0 或 4 x+3 y -1 1 =0D.4 x+3 y -1 3 =0 或 4 x+3 y -1 1 =01 2 .已知圆(x+2)2+y 2 =3 6 的圆心为M,设 4为圆上任一点，N(2,0),线段4V的垂直平分线交M4于点P,则动点P的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线1 3 .已知相异两定点A,B,
5、动 点 P满 足|P A|2 8|2 =m(m e R是 常 数)，则 点 P的轨迹是()A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线1 4 .点P(4,-2)与圆/+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()A.(X -2 尸 +(y +I)2=1 B.(x-2)2+(y +I)2=4C.(%+4)2+(y -2)2=4 D.(x+2)2+(y I)2=11 5 .已知圆6：0+2)2 +丫2 =3 6,定点尸 2(2,0),4是圆&上的一动点，线段 2 人的垂直平分线交半径于P点，则 P点的轨迹C的 方 程 是()xA.-2 +v2-=1 B.+x匕2 =v12 C.+x匕2 =v12 D.x2
6、 +匕v2=14 3 9 5 3 4 5 91 6 .已知定圆相(%一3)2+丁 2 =1 6,点4是圆加所在平面内一定点，点。是圆时上的动点，若线段 P4的中垂线交直线PM于点Q,则点Q的轨迹可能是：椭圆；双曲线；抛物线；圆：直线；一 个 点.其 中 所 有 可 能 的 结 果 有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个1 7.在 A B C 中，已知 4(一 1,0),C(l,0).若 abc,且满足 2 si n B =si n A +si n C,则顶点 B 的轨迹的方程是()A.=+?=l(x 0)B.?+?=l(x 0)D.y +=l(x 0)1 8 .在 四 棱 锥P-A B
7、C D中，侧 面P A D为正三角形，底 面A B C D为正方形，侧 面PAD 1底面4 B C D,M 为底面A B C。内的一个动点，且满足M P =M C,则点M在正方形A B C D内的轨迹为()二、填空题(共7小题)19.在平面直角坐标系中，动点P Q,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W.(1)给出下列三个结论：曲线IV关于原点对称；曲线“关于直线y=x对称：曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于-其中，所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.(2)曲线W上 的 点 到 原 点 距 离 的 最 小 值 是.2().在相距1
8、000 m的A,B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距2 s,已知声速340 m/s.以4B的中点。为原点，A B所在直线为x轴，建立平面直角坐标系x O y,则炮弹爆炸点所在曲线的方程为.21.已知。为坐标原点，点P是曲线0:2/+x y-3y2=5上一动点，则线段。P中点M的轨迹方程为.22.平面直角坐标系中，。为坐标原点，己知两点4(6,0),8(-2,6).若点C满 足 而=a+0砺,其中2a+夕=1.则点C的 轨 迹 方 程 为.23.动点M(x,y)到点(2,0)的距离比到y轴的距离大2,则动点M的 轨 迹 方 程 为.24.打开“几何画板”进行如下操作：用画图工具在工作区画一个圆C
9、(圆C为圆心)；用取点工具分别在圆C上和圆外各取一点4 B；用构造菜单下对应命令作出线段4 8的垂直平分线;做直线4C；设直线AC与I相交于点P,当A在圆C上运动时，点P的轨迹是.25.线段A B和C D互相垂直平分于点0,|4例=21m =4,动点P满足PA PB=PC PD,若以。为原点，CD所在的直线为x轴，则动点P的 轨 迹 方 程 为.三、解答题(共8小题)26.已知4(-3,2),B(3,-2)两点，求证：与这两点距离相等的点M的轨迹方程是3x-2y=0.27.已知动点M与定点F(c,0)的距离和M到定直线八x=贮的距离的比是定值 (其中a 0,c aC 0).(1)求动点M的轨迹
10、方程；(2)当 a,c 变化时，指 出(1)中轨迹方程表示的曲线形状.2 8.已知等腰三角形底边的两个端点的坐标分别是B(4,2),C(-2,0),求第三个顶点4的轨迹方程.2 9 .已知AABC中的两个顶点是8(0,6),C(0,-6),边与AC边所在直线的斜率之积是看 求顶点A的轨迹方程.23 0 .已知倾斜角为：的直线交椭圆：+y2 =i 于 4 B两点，求线段48 的中点P 的轨迹方程.4 43 1 .己知定点4(3,1),动点B在圆2+*=4上，p在线段4B上，且 B P:P4 =1:2,求点P 的轨迹方程.3 2 .设。为坐标原点，动圆P 过定点M(4,0),且被y 轴截得的弦长是
11、8.(1)求圆心P的轨迹C的方程；(2)设 4,B是轨迹C上的动点，直线。4 O B的倾斜角之和为三 求证：直线AB过定点.43 3 .已知椭圆C：4+=l(/0)的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于V 5i r,直线I与椭圆C交于4(右,乃)，B(x2,y2)两点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点。作直线 的垂线，垂足为0.若 0 4 10B,求动点。的轨迹方程.答案1.A2.B【解析】提示：由勾股定理可得P到圆心(1,0)的距离为V 2.3.C4.D 解析】由题意，(/+y2-2x)y/x+y-3=0 可化为 x+y-3 =0(,x2+y2-2x
12、=0(x+y-3 0),因为x+y-3 =0在 x2+y2 -2 尤=0的上方，所以/+y2 -2 x=0(x+y-3 0)不成立，所以 x+y-3 =0,所以方程(%2+y2-2 x x +y-3=0表示的曲线是一条直线.5.A【解析】如图，直线48 与两条异面直线a,b垂直，将 b从 8所移动到44,与 a相交于4点，故直线A B与底面APA1垂直，且 4B与 P Q 所成的锐角0为定值，故以AB为轴，夹角为。，P Q 为母线画圆锥，由P,Q 分别在a,b上移动，故相当于圆锥在移动，画出中点M 随椭圆的变化位置，因为48 长度为定值，故可投影为平面问题，如图，以直线a,b交点为原点，角平分
13、线为x 轴建立如图直角坐标系，为了方便计算不妨设a，b的夹角。=6 0。，宜线x 轴与a,b夹角为3 0。，令定值I P Q 1=1 A B|t a n。=6,则设动点 0(百a,a),设 M 为 P Q 中点，故 F(2 x-H a,2 y a)可得 t a n(3 0)=得 3a=V 3 x+3 y,由 I PQ|=(2 x-2 V 3 a)+(2y-2 a)2=3 6,联立解得5 +Lp6.C【解析】根据题意，4(一5,0),8(5,0),则|A B|=1 0,动点 M 满足 MA-MB=1 0,即 MA-MB=AB,则M的轨迹为一条射线，顶点为B点，B点右侧x轴上的部分.7.B8.D9
14、.B【解析】设点&(3,0),尸2(-3,0),因为动点 M(x,y)满足-3尸 +y2 +3)2+y2=6,所以 IMF i l+MF2 =6,又|F F zl=6,所以|MFX|+MF2=FXF2,所以动点M的轨迹是线段.故选：B.1().C【解析】设4 B是两个定点，k为非零常数，若IIP4 I-|PB|=k 依例，则轨迹不存在，故A错误；过定圆C上一定点4作圆的动弦4B,。为坐标原点.若万5=久 次+而)，则P为48的中点，CP 1 AB,则动点P的轨迹为以A C为直径的圆，故B错误：斜率为定值t的动直线与抛物线y2=2 Px(p 0)相交于A,8两点,设”(荼y)B偿,丫2)，OP=
15、(OA+OB)，可得P为48的中点,=咨=3.=上，即有y p=日,2p 2pyi+y2 yp t则动点P 的轨迹是直线，故 c 正确.11.D12.B【解析】.，I PA|=|PN I，.I PM I +|PN|=|PM|+|PA|=|MA|=6|MN|.故动点P 的轨迹是椭圆.13.A【解析】提示：记 P(%,y),A(-c,0),8(c,0).则由|PA一|P8=m 得，(x+c)2+y2(%-c)2+y2=m.因为4 B 为相异的两点，所以c W 0.化简原式得x=*故轨迹为直线.14.A【解析】设圆上任一点Q(xo，yo),PQ中点为(x,y).则 代 入 圆 方 程 即 可.lyo
16、 zy+z，15.B【解析】连接尸 22，则 F2P=P 4因为 F2P+&P=PA+RP=FrA=6 FrF2=4,由椭圆的定义可得点P 的轨迹为以点Fi，F2为焦点，长轴为6 的椭圆，所以2a=6,即 a=3,又因为焦点为(2,0),即 c=2,所以=&2-c2=9 4=5,故点P 的轨迹C 的方程为：?+?=L16.C【解析】因为Q 是线段PA的中垂线上的点，所以QA=PQ,(1)若 4 在圆 M 内部，则 MA 4,所以Q 点轨迹是以A，M 为焦点的双曲线.(3)若 A 在圆M 上，则 P 4 的中垂线恒过圆心M,即 Q 的轨迹为点M.(4)若 4 为圆M 的圆心，即4 与 M 重合时
17、，Q 为半径PM 的中点，所以Q 点轨迹是以M 为圆心，以2 为半径的圆.综上，Q 点轨迹可能是四种情况.17.A18.A【解析】以。为原点，DA.DC所在直线分别为x、y 轴建系，如图所示.设 M(x,y,O),设正方形的边长为a,则 p g o，D，C(0,a,0),则|MC|=y/x2+(y-a)2,I MP 1=(x _)+*+俘 a),由 I MP|=|M C|,得 x=2 y,所以点M 在正方形HBCD内的轨迹为直线y=：x 的一部分.19.，2-戈【解析】（1）由己知得P（x,y）点轨迹方程为I x I +1 y 1=-1尸+（y-1/,化简得|町|=1 一x-y.由于点（y,x
18、）也满足方程，所以曲线关于直线y=x 对称，正确；而点（-丫）不满足方程,所以不正确；可画出曲线IV如图所示：（2）由图象及曲线的对称性可知，曲线W 和直线y=x 的交点4 到原点的距离最小，求得最小值为2-V 2.42 y220.-=1250000 134400【解析】由题意可得双曲线的焦点在工轴上，中心在原点，且 2c=1000,2a=2 x 340,即 c=500,a=340,所以 b2=c2-a2=5002-3402=134400,a2=250000,2 2所 以 双 曲 线 的 方 程 沏 嬴-品=】y2-.2故答案为.=1.以口 木.250000 134400 121.8x2+4x
19、y-12y2=5【解析】设 M（%y）,P（%o，yo），因为M 是线段O P的中点，则有x0=2x,?o =2 y,因为点P是曲线D:2/+盯 _ 3 y2 =5上一动点，所以 2(2 x)2+4xy 3(2y)2=5,即 8 x2+4xy 12y2=5.2 2.6%+5 y 1 8 =0【解析】设点C的坐标为(x,y),由题意可得(%,y)=(6 a -2 0,6 夕),所以fx=6a 2 0,y=6 3，又 2 a+/?=1,所以 2 X (1 +,)+?=1,即 6 x +5 y-1 8 =0.2 3.y2=8 x(x 2 0)或 y=0(x 0)【解析】因为动点M(x,y)到点(2,
20、0)的距离比它到y 轴的距离大2,所以-2)2 +y2 =|x I+2,所以 y2 =4 x+|4 x I，当 x 2 0 时，y2 =8 x,当 x 0 时，y=0.所以动点M的轨迹方程为y2=8 x(%2 0)或 y=0(x 0).2 4.双曲线【解析】由题意画出图形，如图，C JA因为线段A B的垂直平分线为I,所以 PA=PB.所以 PC-PB=PC-PA=。(定值)0,c 0,所以当 a =c0时，(1)中轨迹方程化为y=0,它表示的曲线是直线入轴；当 ac0时，(1)中轨迹方程化为马+4=1,它表示中心在原点，焦点在x轴上，长半轴长a2 a2-c2为 a,短半轴长为后 二 的椭圆；
21、当ca0时，(1)中轨迹方程化为马-Tj=l,它表示中心在原点，焦点在x轴上，实半轴长为 a,虚半轴长为7c2 M 的双曲线.2 8.3%+y-4 =0(%H 1).2 夕?一?=1(无 力 )3。C =一 能 第 一 由题意得x-i x2(否则a +0 =I T,且 与 H 0,*2 片0).所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=k x +b,则 与=或，x2=o 且 +%=-优 先，%1%2=?：?，l+4k，l+4k,因为04 1 O B,所以 OA OB=0,即 x1x2+yty2=0,将 yi=kxi+y2=kx2+m 代入，化得+x2)+(1+k2y)xrx2+m2=0,把/+%2=X 1%2=4 4卷代入整理 得:5 m2=4(f c2+1),因为OD 1 I,所以1。1=悬=层=7 k 2+1 7 k2+1 yj 5 5当直线/的斜率不存在时，设，:x=t,由 g +y2=得8-1 1-丹，因为C M 1 OB,所以 I。4+|OB|2=|AB I2,解得 I 1 1=学,所以|OD|=|t|=等，所以动点。的轨迹是以原点。为圆心，半径为学的圆，方程为/+*=：