《2022届北京市石景山区市级名校高三3月份模拟考试数学试题含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届北京市石景山区市级名校高三3月份模拟考试数学试题含解析.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2 B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.用 1,2,3,4,5 组成不含重复数字的五位数，要求数字4 不出现在首位和末位，数 字 1,3,5 中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是()A.48 B.60 C.72 D.120TT TT2 .已知函数f
2、(x)=s i n2x +a c o s 2x的图象的一条对称轴为=一,将函数.f(x)的图象向右平行移动2个单位长度12 4后得到函数g(x)图象，则函数g(x)的解析式为()JIA.(x)=2s i n(2x-)B.g(x)=2s i n(2x +)式JIC.g(x)=2s i n(2x-)D.g(x)=2s i n(2x +)6 63.已 知4是空间中两个不同的平面，加，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是()A.若m u a,n u 0,且则B.若m u a,u a,且加/7,“/,则a/C.老m 工a,nl i(3 ,且 c _ L/7,则D.若加_ La,/，且。/，则Y4.
3、已知定义在R 上的奇函数f(x),其导函数为/(x),当x 2 0时，恒 有 r(x)+/(x)0.则不等式只以外一(1 +2幻3/(1+2%)0的解集为().A.x-3x 1 B.x|l x C.x|无 1 D.x|尤 工 x 05.已知a,b,c e R,abc,a+h +c=0.若实数x,，满足不等式组1 x+y K 4 ,则目标函数z =2x+ybx+ay+c 0()A.有最大值，无最小值 B.有最大值，有最小值C.无最大值，有最小值 D.无最大值，无最小值6 .已知命题p:直线a瓦 且b u平 面a,则a a；命题q:直线/J L平 面a,任意直线/nu a,贝（I LL，.下列命题
4、为真命题 的 是（）A.p/q B.p V （非 q）C.（非 p）Ag D.p/（非 q）7 .正四棱锥尸-A B C。的五个顶点在同一个球面上，它 的 底 面 边 长 为，侧棱长为2 6，则它的外接球的表面积为（）A.4%B.8%C.16%D.20）8 .阿基米德（公元前28 7年一公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，
5、四周碰边，表面积为5 4的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）9 .如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，&A B/C D,若正方体的六个面所在的平面与直线C E,所相交的平面个数分别记为?，则下列结论正确的是（）D.m+n 0且a w l,若有且仅有一个不动点，则。的取值范围是（）A.0。1 或B.1 a yfeC.0 Q l 或D.0 a 0.若X的方差o(x)g对所有a e(O,l-3都成立，贝!|(),1,2 ,1 ,2A.b -B.b -D.b -3 3 3 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3 .已知函数/(x)=2 s i n(3
6、 x+e)(o 0),曲线y =/(x)与直线y =l相交，若存在相邻两个交点间的距离为g,则(0可 取 到 的 最 大 值 为.1 4 .设函数 f(x)(x w R)满 足/(一 为=/。),/*)=/(2-1),且当了0,1 时/(%)=/,又函数,式幻斗 匕 0）的左、右焦点分别是K，F,离 心 率 为 正，左、右顶点分别为A，a b 2B.过片且垂直于x轴的直线被椭圆W截得的线段长为1.（1）求椭圆W的标准方程；（2）经过点P（l,o）的直线与椭圆W相交于不同的两点C、D（不与点A、8重合），直线C B与直线x =4相交于点求证：A、。、M三点共线.1 8.（1 2分）已知尸是抛物线
7、。：9=22 0）的焦点，点尸在x轴上，。为坐标原点，且 满 足 而=；诟，经过点P且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A、B 两 点,且|A=8.（1）求抛物线C的方程；（2）直线/与抛物线。交于、N两点，若 丽 丽=-6 4,求点F到直线/的最大距离.3乃11 9.（1 2分）已知在平面四边形A 3 C。中，N A B C =,A 8 J.AO,AB=1,AABC的面积为一.4 2（1）求AC的长；而（2）已知/AO C为锐角，求“N A DC.22 0.（1 2分）已知数列%的前 项和S“和通项为满足2 s.+a“=l（e N*）.（1）求数列%的通项公式；（2）已知数列也 中，4=36，=
8、d+l（e N*）,求数列%+的前项和2 1.（1 2分）设首项为1的正项数列%的前项和为S,”数列。j的前项和为7,且=4（*0 ,其中P为常数.0得 到 原 函 数g(X)=土 炉 为 增 函 数 且 为 偶 函 数，再 利 用 到)轴距离求解不等式即可.【详 解】构 造 函 数g(x)=，,则 屋(x)=f x)+?=+由 题 可 知:/(x)+/(x)0,所 以g(x)=%3在x 2 0时为增函数；3 3由d为奇函数，X)为 奇 函 数，所 以g(x)=Z区 为 偶 函 数；又 x3/(x)-(1+2 x)3 /(I+2 x)0 ,即 x3/(x)(1+2 x)3 /(I+2x)即 g
9、(x)g(l+2 x)又g(x)为开口向上的偶函数所以|幻|1+2幻，解 得x ；故选：D【点 睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.5.B【解 析】判 断 直 线 区+纱+。=0与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况.【详 解】由 a+/?+c=O,a b c,所以可得”0,c b n a-a-c=-2,h c n-a-c c=一 -2 0,则g(x)在(0,e)内单调递增；当x e(e,+o o)时，g x)0,则g(x)在(e,+co)内单调递减；所 以g (力 在x =e处取得极大值，即最大值为g(e)=小=,e en x则g (
10、力 的 图 象 如 下 图 所 示：yO x由/(X)有且仅有一个不动点，可 得 得In a ()或In。=2，e解 得()a l 或故 选:c【点 睛】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.11.D【解 析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数 以 及i的关系，最终得出选项.【详 解】经判断此循环为“直到型”结 构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：S=0 +-=-,z =l +l =2；1x 2 21 1 2第二次循环：S=+一 =,i=2+l=3；2 2x
11、3 32 1 3第三次循环：S=+j=3+l=4,3 3x4 4此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，.4?,故选D.【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序，(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.12.D【解析】根据X的分布列列式求出期望，方差，再利用a+c=l将方差变形为)(
12、X)=-41a-+1-4从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为1-3取值范围，再由s i n(s+e)=；解出x的两类不同的值，然后列方程求出口=|6(&-幻+2 ,再结合”的取值范围可得力的最大值.【详解】2 1 71 1 式 5万T-,可得 0口 6,由 s i n(G x +。)=一，则0X+9=2Z%H 或3 +-(k,h e Z),即co 3 2 6 6-C 7 1 C 7 5 7 ro 7 7i c7 57r 2k7T T-(p 2 k/(pX=2 k/+4(p 或r =2.乃+7一夕,由题意得-6-6 =5,所 以/=|6(&仁)+2|,C O C D 则。=2或。=4,所以”
13、可取到的最大值为4.故答案为：4【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解，熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.14.1【解析】判断函数/W为偶函数，周期为2,判断g(x)为偶函数，计算/(O)=o,/(l)=1,g(O)=g(g)=g(g)=g g)=o ,画出函数图像，根据图像到答案.【详解】/(x)=/(x)知，函数f(x)为偶函数，/(x)=/(2-x),函数关于x =l对称。f(x)=f(2-x)=f(x-2),故函数/(x)为周期为2的周期函数，且/(0)=0J=1。g(x)=|x co s(x)|为偶函数，g(O)0,g
14、 =1，当x e 0,；时，g(x)=x co s(x),gx)=co s(x)-%s i n(x),函数先增后减。(1 3 z当弓 时，g(x)=-x co s(；r x),g (x)=%x s i n(左x)-co s(x),函数先增后减。在同一坐标系下作出两函数在-；,自 上的图像，发现在-石 内图像共有1个公共点,则函数力。)在-2，/上的零点个数为1.故答案为：6.本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键.15.2-20【解析】由已知可得A、M的坐标，求得AM的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得MN的垂直平分线方程，两 垂 直
15、平 分 线 方 程 联 立 求 得 外 心 的 横 坐 标，再由导数求最值.【详解】由已知条件可知A（0,-2）,不妨设M（4,0）,则AAMN外心在AM的垂直平分线上,即在直线y+1 =-2（x 2）,也就是在直线y=-2工+3上，联立x=（y+4X2 V2，得y=o或y=_工 0）,+-=1 厂+4116 4的中点坐标为16 4f产+4 产+44r（则MN的垂直平分线方程为y+-=t x-r +4 116尸+4把y=-2x+3代入上式，得1=r+4人 /、-3,+6 3（f2 4z 4令g（）=V T T，则g f=I 八2f+4（厂 +4）-由g ）=0,得r=2+2 0 （舍）或t=2
16、-2近.当f 0,当2-2 0 /0时，g（：可 得。2 =Q+Z?2，b1=a-bcrm i b2/ci+b-a2 a-bb,b.a.b a.贝!J M=-1-=-1-=1H-Q+l-i-b=I-a b+2a b a b a b a b由 几 何 意 义 得 收-L1+&,则，w 夜-L1+&,为求最大值则当过点A或 点3时a+h取最小值，可得M=7 2-1 +1 +72-+2 =+12 2 2 2所 以 加=2+三 的 最 大 值 是 迷+1a b 2【点 睛】本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难
17、度。三、解答 题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 7.(1)+/=1 ；(2)见解析4【解 析】(1)根 据 已 知 可 得 工 =1,结 合 离 心 率 和 关 系，即可求出椭圆W的标准方程;a(2)CO斜率不为零，设 的 方 程 为x=?y +l,与椭圆方程联立，消 去X,得 到C,。纵坐标关系，求 出8 C方程，令x=4求 出 坐 标，要 证A、D、加 三 点 共 线，只 需 证 心 -心,“=0,将 心 一 心M分 子 用C,。纵坐标表示,即可证明结论.【详 解】2 2(1)由于2=4 2-6 2,将=一。代 入 椭 圆 方 程 三+春 _=,得=工，由 题
18、意 知 尘=1,即a =2.a a又6 =走，所 以a =2,b=l.a 22所 以 椭 圆W的 方 程 为 工+y 2=i.4 (2)解法一:依题意直线c o斜率不为o,设c o的方程为=加丁+1,联立方程x=m y+X2 2 .一+y =1 4 -消去 x 得(/+4)y 2+2/n y-3 =0,由题意，得/0恒成立，设C(M，X),D(x2,y2),bis 2m 3所以 x+%=，y%=7iv+4 m+4直 线 的 方 程 为y =-A;(x-2).令x=4,得(4,-).Xj-2 x,-2又因为 A(-2,0),P(x2,y2),则直线A D,AM的斜率分别为阳 三七脑=五七所以心。
19、一心”二 春 一 反 含53 y 2(%2)%(+2)3(玉 一 2)(X2+2)上式中的分子 3%(斗 -2)-y (x2+2)=3 y 2 (，孙 T)-X (fy2+3)c 、-6/+6m 八=2g%-3(y +%)=o =0，m+4心。一 砥,”=0所以4，D,三点共线.解法二：当直线CO的斜率攵不存在时，由题意，得C Z)的方程为x=l,代入椭圆W的方程，得C(l,走)，D(l-A,2 2直线C 8的方程为旷=-孝。-2).则 M(4,-Q),A M =(6,-7 3),A D =(3,-),2所以与7 =2而，即A,D,M三点共线.当 直 线c o的 斜 率Z存在时,设CD的 方
20、程 为y =Mx 1)(AHO),C(X 1,y),D(x2,y2),y=k(x-1),联立方程0恒 成 立，故 为+=8公4/4花+1 西-4/+1直 线C3的 方 程 为,=已。一2).令x=4,得 用 已).又因为 A(-2,0),D(x2,y2),则 直 线AO,AM的斜率分别为心=？，kAM=y,%+2 3(百一2)即以 R-k=%)1 =3-2)-)(+2)所 以 心 AM X2+2 3(X,-2)3(%-2)(+2),上式中的分子 3%(玉 一 2)%(/+2)=3&2 -1)(由 一 2)-1)(+2)4 2 _4 8/=2依次2 5 2(%+冗2)+8%=2kx -5kx-+
21、8&=04 r +1 4 F+1所以心。一心w=o.所 以A,D,M三点共线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.1 8.(1)y 2=6 x；(2)4.【解 析】(D求 得 点P的坐标，可 得 出 直 线AB的方程，与抛物线的方程联立，结 合|AB|=8求 出 正 实 数。的值，进而可得出抛物线的方程；(2)设 点 用(玉,y),N&M，设/的 方 程 为x=9+，将直线/的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结 合 丽丽=-64求得的值，可得出直线/所过定点的坐标，由此可得出点E到直线/的
22、最大距离.【详 解】(1)易知点尸1,0，又。P=N户所以点P p_8,0则直线A8的方程为=k.8联立X丫 P8 ,解得,y2=2 pxX J8或x=8,所以|AB|=4p 2=p =8.故抛物线C的方程为/=1 6 x(2)设/的方程为x 政+,联立y=1 6 x 有 y -1 6 m）一1 6 =0,x=my+n设点 N(x2,y2),则 乂%=一1 6，所以=(，)=2.-2 5 6所 以 丽 乙0%=玉&+乂=2-1 6 =-6 4,解得=8.所以直线/的方程为=冲+8,恒过点(8,0).又点尸(4,0),故当直线/与x轴垂直时，点F到直线/的最大距离为4.【点睛】本题考查抛物线方程
23、的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.1 9.(1)7 5 ;(2)4.【解析】(1)利用三角形的面积公式求得忸q,利用余弦定理求得a q.(2)利用余弦定理求得co s NC4B,由此求得s N D A C,进而求得sz T i/A D C,利用同角三角函数的基本关系式求得 tanZADC.【详解】(1)在 ABC中，由面积公式：A 8 c=/xI x|B C|xsin ZABC=-x|B C|=-:.BC=y/2在 ABC中，由余弦定理可得：|A C=|A B+怛C2|A8|忸q“s N A6 C =5:.AC=y/5 在“
24、BC中 由余弦定理可得：c-W设 产考sinADAC=si(NDAB-NCAB)=sinsinZDAC=cos/CAB=-5在AAOC中，由正弦定理可得:|AC|C0|sin ZADC sin ZD ACsin NADC=17 NA0C为锐角cos ZADC=V1-sin2 Z/1D C=17tan ZADC=4【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.20 m(eN*)；7；=1(n2+l)-1.J(n e N*)【解析】(1)当2 2时，利用4=S“-S,i可得上=：(之2),故可利用等比数列的通项公式求出%的通项.an
25、-(2)利用分组求和法可求数列an+bn的前n项和T.【详解】(1)当=1 时，2 S 1+q=l,所以当2 2时，2s +a“=1,2S,_+a,i=1,所以 2(S-S.T)+%=0,即3a“=a,T，又因为=:7 0,故见/0,所 以/匚=；(22),3an-$所以 4 是首项4=；,公比为;的等比数列,故=Q(GN)(2)由%=2 +1得：数列 4 为等差数列，公差d =l,4=3 x；=l,bn=l +(/i-l)x l =n,北=(4+4)+3+a)+(凡+2)=(4+a2 H-h an)+(l +b2+d)=S“+(1 +2H-F )_ 1-U (+l)-I2 2=g(/+l)-
26、；，g)(e N)【点睛】本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.21.(1)p=2；(2)见 解 析(3)见解析【解析】(1)取=1时，由 =4 (1 “)得=0或2,计算排除p=o的情况得到答案.3(2)(=4 ；1 (2 S“),2,则方+1=4-；1 (2-52)2,相减得到 3a“+i=4-S“+S ,再 化 简 得 到=14+i，得到证明.(3)分别证明充分性和必
27、要性，假设，2%,”2%+2成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2*-2厂2=1,设J l=x-(j-2),计算得到A=l,得到答案.【详解】时，由=4一(1-)得=0 或 2,若p=o 时，Tn=,3 3当”=2 时，1+/2=4 (1+4),解得“2 =0 或 出=一；，而。0,所以=0 不符合题意，故 p=2；4 1 4 I(2)当p=2 时，(2 S)2，则 心=(2-5 用 ，-并化简得 3+1=4-Sn+l-Sn,则 3。+2 =4-Sn+2-S+l，-得 a“+2=g 4+i(“G)，又因为=3 4,所以数列 “是等比数列，且见=击；1 1 2 4(3)充分性：若 x=L
28、j=2,由=777 知，2xa,i+i,2，。+2依次为i了，山，2 14满足2 x =2 工+27T 9即a,n 21%+1,2%+2成等差数列；必要性：假设a,”2力,”“2%“+2成等差数列，其中x、y 均为整数，又%=9，所以22,=击+2 击，化简得2，-2 厂2=1,显然 x y-2,设 4=x-(j-2),因为X、y 均为整数，所以当行2 时，2，-2厂21或 2，-2厂21,故当A=L 且当x=l,且 y-2=0 时上式成立，即证.【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.22.(1)证 明 见 解 析(2)昱(3)迎3 10【解析】
29、(1)根据题意以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出炉，反，由空间向量数量积运算即可证明BE _L DC.(2)先 求 得 平 面 的 法 向 量，即可求得直线况与平面法向量夹角的余弦值，即 为 直 线 鸵 与 平 面 所 成 角 的 正弦值；(3)由尸点在棱PC 上，设#=%而，再由8月=8 3+而，结合B/L A C,由空间向量垂直的坐标关系求得X的值.即可表示出丽.求得平面产助和平面4 5 P 的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角E-A B-P 的余弦值.【详解】(1)证明：2 4,底面 ABC。，A
30、 D A B,以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，V AD=DC=AP=2,45=1,点 E为棱 PC的中点.A 1,0,0),C(2,2,0),0(0 2 0),P(0,0,2),E(l,l,l),BE=(0,1,1),Z)C=(2,0,0),/BE-DC=0:.BEL DC.(2)丽=(-1,2,0),丽=(1,0,-2),设平面P%)的法向量为机=(x,y,z).BD 比=0则 一 一 八，代入可得P屏丽=0-x+2y=0 x2z=0令y=l解得X =2,z=l,即而=(2,1,1),设直线3E与平面/曲/)所成角为a,由直线与平面夹角可知sin a=cos=J _L =I
31、ni.BE_=7|V6xV2-32所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 昱.3(3)BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),由 F 点在棱 PC上，设。升=/1方=(-2/1,-22,22),(02l),故 丽=阮+齐=(1-2九2-2九2几)(0 Z 1),由 所_LAC,BF-AC=2(1-22)4-2(2-22)=0,3解 得 人“即BF=_ L _ L 32,2,2设平面EBA的法向量为 =(a,b,c),n-AB=O,得n-BF=0由，a=01 1 ,3 c，a+b+c-(.)I 2 2 2令 c=l,则 3 =(0,-3,1)取平面ABP的法向量；=(0,1,0),A、.r|z-n|3 3 1 0则二面角E 4 3 P的平面角a满足cosa=上 一=产一一三二,|z|-hl V io io由图可知，二面角F一/归一/5为锐二面角，故二面角E 4 3 P的 余 弦 值 为 亚.10【点睛】本题考查了空间向量的综合应用，由空间向量证明线线垂直，求直线与平面夹角及平面与平面形成的二面角大小，计算量较大，属于中档题.