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1、冀教版数学九年级上册2 8章专训1圆中常见的计算题型名师点金：1.与圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等.2.求解与圆有关的面积时，有时候可以直接运用公式求出，但大多数都要通过转化后求其面积，常用的方法有：作差法、等积变形法、割补法等.:邈 想 有关角度的计算1.如图，有一圆通过4A B C 的三个顶点，且弦B C 的中垂线与弧AC相交于D 点.若NB=74。，Z C=4 6 ,则弧AD所对圆心角的度数为（）（第 1题）A
2、.23 B.28 C.30 D.37;嘎饕Z：半径的计算2.【中考南京】如图，在。O 中，C D 是直径，弦 A B L C D,垂足为E,连接B C,若AB=2y2 cm,N B CD=2230,则。O 的半径为 cm.B（第 2 题）魄密3面积的计算技巧1 利 用“作差法”求面积3.如图，在。O 中，半径OA=6cm,C 是 O B的中点，Z A O B=120,求阴影部分的面积.（第 3 题）技巧2 利用 等积变形法”求面积4.如图所示，E 是半径为2 c 的。0 的直径CD延长线上的一点，ABCD且 AB=；C D,求阴影部分的面积.（第 4 题）技巧3 利 用“割补法”求面积5.如图
3、所示，扇 形 O A B 与扇形OCD的圆心角都是9 0,连 接 AC,B D.【导学号:83182113)求证：AC=BD；（2）若 OA=2cm OC=1 c m,求图中阴影部分的面积.（第 5 题）2答案1.B2.2 点拨：如图，连接 OB,VZBCD=2230 二 N B O D=2/BC D=45。.VABCD,.,.BE=AE=1AB=|x2V2=V2(cffl),ABOE 为等腰直角三角形，.OB=p B E=2 c m,故答案为2.（第 2 题）3.解：如图，过点C 作 CD_LAO,交 A O 的延长线于点D.（第 3 题）VOB=6 cm,C 为 OB 的中点，OC=3 c
4、m.：Z AOB=120,ZCOD=60.:.ZOCD=30.,.在 放4 0 中，OD=；O C=,0 机ACD.S_ AAOC=21 AA _ _ 1 、,八,3V 9V5,、O CD=g X 6 X=(卅)*S 阳 彬=S 扇 形 OAB-SAOC=129V 24L9V5(cm2).4.解：如图，连接OA,OB.（第 4 题）,*AB/CD,SAABE=SAAOB3IS w as-S SKOAB.；AB=#ZD=AO=OB=2 cm,AO AB是等边三角形，.*.ZAOB=60.0 60m 2?2,.d WOAB-360 3万(C7).即阴影部分的面积为m2r cm?.5.(1)证明：/
5、人08=/：0 口=90,即 NAOC+NAOD=NBOD+NAOD,.,.ZAOC=ZBOD.又.AO=BO,CO=DO,A AAOCABOD.AAC-BD.(2)解：由(1)知AOC丝BOD,.阴影部分的面积=扇形OAB的面积一扇形OCD的面积.n i l。90-0A2 9(kQC2 907r(OAZ-OC?)90(22、)3 八人 J S Hi=_ 360-360=360=360=4 C/M)点拨：本题通过判挑选将不规则图形的面积转化为两个规则图形的面积的差的形式.专训2圆中常用的作辅助线的方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重
6、要.圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角.方 法 作半径，巧用同圆的半径相等1.如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A,D 在半圆O 上，顶点B,C 在半圆O 的直径上；小正方形BEFG的顶点F 在半圆O 上，E 点在半圆O 的直径上,点 G 在大正方形的边AB上.若小正方形的边长为4 c m,求该半圆的半径.4亥法Z连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2.如图，圆内接三角形ABC的外角NACM 的平分线与圆交于D 点，D P 1 A C,垂足是 P,D H 1 B M,垂足为H.求证：
7、AP=BH.(第2 题)金 磁3作直径，巧用直径所对的圆周角是直角3.如 图，。的半径为R,弦 AB,CD 互相垂直，连接AD,BC.求证：AD2+BC2=4R2；(2)若弦AD,B C的长是方程X2-6X+5=0 的两个根(ADBC),求。0 的半径及点。到A D 的距离.(第3 题):注 潇 军 遇弦加弦心距或半径4.如图所示，在半径为5 的。O 中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且 AB=C D=8,则 OP的长为（）A.3 B.4 C.32 D.425.【中考贵港】如图所示，A B 是。O 的弦，O H LA B于 点 H,点 P 是优弧上一点,若 AB=2小，OH=1,则N
8、APB的度数是.方 法 鼻 遇直径巧加直径所对的圆周角6.如图，在aA B C 中，AB=B C=2,以A B 为直径的。0 分别交BC,AC于点D,E,且点D 是 BC的中点.(1)求证：4A B C 为等边三角形.(2)求 DE的 长.【导学号：83182114答案D._.AC O B E（第 1题）1.解：如图，连接 OA,OF.设 OA=OF=rcro,AB=a cm.在/?/AOAB 中，F=+a 2,在肋ZOEF 中，r2=42+4+1）,a2a2.W+a2=16+16+4a+1.解得 ai=8,a2=4（舍去）.+82=80.A r=4V 5,寰=44（舍去）.即该半圆的半径为4
9、4cm.点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题.2.证明：如图，连接AD,BD.TNDAC、NDBC是6 d 所对的圆周角.NDAC=NDBC.7CD 平分NACM,DPAC,DHCM,；.DP=DH.itA ADP 和aRDH 中，ZDAP=ZDBH,ZDPA=ZDHB=90,DP=DH.,.ADPABDH.,.AP=BH.点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到NDAC=Z D B C,为证两三角形全等创造了条件.iMJHcB（第 2 题）D（第 3 题）3.(1)证明：如图，过点D 作。
10、O 的直径D E,连接AE,EC,AC.：DE 是。0 的直径，.ZECD=ZEAD=90.又；CDJ_AB,A EC/AB.A ZB AC ACE.BC=AE./.BC=AE.在AED 中，AD2+AE2=DE2,.*.AD2+BC2=4R2.(2)解：如图，过点O 作 OFLAD于点F.:弦 AD,BC的长是方程x26 x+5=0 的两个根(ADBC),.AD=5,BC=1.由(1)知，AD2+BC2=4R2,.,.52+l2=4R2.,.R=.VZEAD=90,OFAD,；.OFEA.又为D E的中点，.OFVAEKBCK.即点O 到 AD 的距离为今点拨：本题作出直径D E,利 用“直
11、径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形,给解题带来了方便.4.C 5.60(第6 题)6.(1)证明：如图，连接AD,：AB是。的直径，.*.ZADB=90o.点D 是 BC的中点，AD是线段B C的垂直平分线.AAB=AC.VAB=B C,，AB=BC=AC,AAABC为等边三角形.解：如图，连接BE.VAB 是直径，NAEB=90。，ABEAC.ABC是等边三角形，AE=E C,即 E 为 A C的中点.是 B C的中点，故 D E为aA B C 的中位线.DE=AB=；X2=1.专训3圆的实际应用及圆有关的动态问题名师点金：1.与圆有关的知识在实际生活中有着广泛的应用，从实际生活中抽
12、象出数学问题，并运用圆的相关知识解决这些问题，可以达到学以致用的目的.2.对于与圆有关的运动情形下的几何问题，在探究求值问题时，通常应对运动过程中所有可能出现的不同情形进行分析，如果符合某些条件的点、线等几何图形不唯一，要注意分类讨论，在探究确定结论成立情况下的已知条件时，可以把确定结论当作已知用.冽 里 逾 度 1利用垂径定理解决台风问题1.如图，台风中心位于点P,并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为受影响区域的半径为200%?,B 市位于点P 北偏东75。的方向上，距离P 点 320 k加 处.【导学号：83182115（1）试说明台风是否会影响B市；（2）若B市受台风的影响，求台
13、风影响B市的时间.（第1题）沙 微 速 度2利用圆周角知识解决足球射门问题（转化思想）2.如图所示，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门.从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？（第2题）迪I卷逸度3利用圆探究运动中形成的特殊几何图形问题3.如图，A B 是半圆O 的直径，BC是弦，点 P 从点A 开始，沿 A B 向点B 以 1 cm/s的速度移动，若 AB长 为 10 c m,点 O 到 BC的距离为4 c九(1)求弦BC的长；(2
14、)经过几秒4BPC是等腰三角形(PB不能为底边)？(第1题)浏族责度4利用圆探究运动中的面积问题4 .如图，在。O 中，A B 为。的直径，AC 是弦，OC=4,ZOAC=60.求NAOC的度数；【导学号：83182116(2)如图，一动点M 从 A 点出发，在。O 上按逆时针方向运动，当SAMAO=SM A O时,求动点M 所经过的弧长.(第4 题)答案1.解：（1）如图，过 B作 B H _ L P Q 于 H,在用 B H P 中，由条件易知：B P=3 2 0 km,/B P Q=3 0.，B H=j B P=1 6 0 h /A.又：N PCQ=/B,.NBNA.在B 点射门比在A
15、点射门好.选择射门方式二较好.点拨：本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关结论来解决实际问题.A P,O(P,)B（第 3 题）3.解：（1）过点O 作 ODLBC于点D.由垂径定理知，点 D 是 BC的中点，即 BD=4BC.：O B=JAB=5OD=4 c m,由勾股定理得，BD=YOB2-OD2=3 cm,：.BC=2BD=6 cm.（2）设经过ts,ZBPC是等腰三角形.当PC为底边时，有 B P=B C,即 1 0-t=6,解得t=4；当 BC为底边时，有 P C=P B,此时P 点与。点重合，t=5.,经过4 s 或 5 5-ABPC是等腰三角形.
16、（第 4 题）4.解：（1）；在ACO 中，NOAC=60。，OC=OA,13AACO是等边二角形.，ZAOC=60.(2)如图，作点C 关于直径A B的对称点Mi，连接AM”OM|.易得 S 4 M|A O=SACAO，Z A O MI=60,47r 4，A M i=X 60=铲.，当点M 运动到M i时,SA MAO=SACAO.4此时点M 经过的弧长为和.过点M i作 M|M2AB交。O 于点M2，连接AM?,OM2，易得 SZM2Ao=SACAO，.,.Z O MIM2=Z AOM I=60.又：O MI=O M 2，.,.Z M|O M2=6 0O./.Z A O M2=120O.c
17、 4 8 AM?=QC X 120=可 乃.1 oU 3Q当点M 运动到M2时，SAMAO=SACAO，此时点M 经过的弧长为17 T.过点C 作 CM3A B交。O 于点M3，连接AM3,OM3,易得S4M 3Ao=SacAO,c 47r 16AM2M3 =Toci 义 240=w?r.1 oU J当点M 运动到M3时，SAMAO=SACAO，此时点M 经过的弧长为生.当点M 运动到C 时，M 与 C 重合，SAMAO=SACAO,此时点M 经过的弧长为盖X300=多 r.1 oU J综上所述，当SAMAO=S/、CAO时，动点M 所经过的弧长为%或争r 或 争 或 箓.专训圆的基本性质名师
18、点金：圆的基本性质里面主要涉及弦、弧之间的关系，圆周角、圆心角之间的关系,弧、圆周角之间的关系，弦、圆心角之间的关系，弦、弧、圆心角之间的关系等，在解此类题目时，需要根据已知条件和所求问题去探求它们之间的内在联系，从而达到解决问题的目的.14:浏隆源度1弦、弧之间的关系1.下列说法：(1)直径是弦，但弦不一定是直径；(2)在同一圆中，优弧长度大于劣弧长度；(3)在圆中，一条弦对应两条弧，但一条弧却只对应一条弦;弧包括两类：优弧、劣弧.其中正确的有()4.1 个B.2 个C.3 个 Z).4 个2.如图，在。O 中，AB=2 C D,则下列结论正确的是()(第2 题)A.AB2CDB.AB=2C
19、DC.AB2CDD.以上都不正确3.如图，在。O 中，弦 A B与弦CD相等，求证：AD=BC.(第3 题):研糠逸度2圆周角、圆心角之间的关系4.如图所示，AB,AC,BC 都是。0 的弦，且NCAB=N C BA,求证：ZCOB=ZCOA.【导学号：83182108（第 4 题）号座通度3弧、圆周角之间的关系5.如图，AB是。0 的直径，点 C,D 在。O 上，Z B A C=50,求NADC的度数.（第 5 题）冽 催 漉 逸&弦、圆心角之间的关系6.如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作。0 交 A B于 D,交 AC于 E,连接DE.试判断BD,DE,EC之间的大小关系，并说明理由
20、.16A（第 6 题）测 遴 漉 度5：弦 弧、圆心角之间的关系7.【探究题】等边三角形ABC的顶点A,B,C 在。0 上，D 为。O 上一点，且 BD=C D,如图所示，判断四边形OBDC是哪种特殊四边形，并说明理由.AD（第 7 题）答案171.2.C3.证明：VAB=CD,A AB=CD.,.A B-D B=C D-D B,即G =4.证明：在。O 中，ZCAB,Z C O B 分别是8所对的圆周角和圆心角，.NCOBM2NCAB.同理：ZC0A=2ZCBA.又：ZCAB=ZCBA,.ZCOB=ZCOA.5.解：如图，连接BC,：A B是。O 的直径,（第 5 题）.ZA C B=90o
21、.在/?/AABC 中，ZABC=90o-Z B A C=9 0-5 0o=40.XV Z ADC,NABC是G 所对的圆周角,.,.ZADC=ZABC=40.A（第 6 题）6.解：BD=DE=EC.理由如下：如图，连接OD,OE.VOB=OD=OE=OC,ZB=ZC=60,J ABOD与ACOE都是等边三角形./.ZBO D=ZCO E=60.Z D O E=180-Z B O D-ZCOE=60.ZBOD=ZDOE=ZCOE.BD=DE=EC.点拨：本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等 去证明三条线段相等，因此,连接OD,O E,构造弦所对的圆心角是解此题的关键.A(第7 题)7
22、.解：四边形OBDC是菱形，理由如下:如图，连接A D,设 AD与 BC交于点P,VAB=AC,.AB=AC.同理阮)=(S,.,.AB+B D=A C+C b,即A旨 D和A 0）都是半圆.；.A D 为。的直径，即 A D 过圆心O/A B=BC=CA,ZA OB=ZBOC=ZCOA=120.ZBOD=ZCOD=60。.OB=OD=BD,OC=CD=DO.；.OB=BD=CD=OC.四边形OBDC是菱形.专训垂径定理的四种应用技巧名师点金：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等.解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股
23、定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个.铢 芍 工 巧用垂径定理求点的坐标1.如图所示，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(10,0),点 B 的坐标是(8,0),点C,D 在以OA为直径的半圆M 上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C 的坐标.【导学号：83182110(第1题)19:也芍Z巧用垂径定理解决最值问题（转化思想）2.如图，AB,CD 是半径为5 的。0 的两条弦，AB=8,CD=6,M N是直径，AB1MN于点E,CDLM N于点F,P 为直线E F上的任意一点，求 PA+PC的最小值.（第2题）终巧3巧用垂径定理证明3.如图，在AAOB中，O A=O B,以点0 为
24、圆心的圆交AB于 C,D 两点.求证：AC=BD.20推 芍 4巧用垂径定理解决实际问题（转化思想）4.某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3 米，船舱顶部为长方形并高出水面2 米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？答案1.解：如图，连接C M,作 M NLCD于 N,CH_LOA于 H.四边形OCDB为平行四边形，B 点的坐标是(8,0),CD=OB=8,CN=MH,CH=MN.又：M N_LCD,，CN=DN=gcD=4.易知 OA=10,；.M O=M C=5.在 7?rAMNC 中，MN=-/CM2-C N2=52-42
25、=3.，C H=3,又 OH=OMM H=54=1.点C 的坐标为(1,3).2.解：如图，易知点C 关于M N的对称点为点D,连接A D,交 M N于点P,连接PC,易知此时PA+PC最小且PA+PC=AD.过点D 作 DH_LAB于点H,连接OA,OC.易知AE=4,C F=3,由勾股定理易得 OE=3,OF=4,.*.D H=E F=7,又 A H=A E+EH=4+3=7.AD=7陋.即PA+PC的最小值为7巾.点拨：本题运用了转化置祗,将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度.3.证明：如图，过点。作 OEJ_CD于点E,则 CE=DE.VOA=OB,A
26、E=BE.AE-CE=BE-DE,AAC=BD.广氐至第3 题）o（第 4 题）4.解：如图，设圆弧形桥拱AB所在圆的圆心为0,连接OA,O B,作 ODLAB于点D,交。O 于点C,交 M N于点H,由垂径定理可知，D 为 A B的中点.设 OA=i米，则 O D=O C-D C=（r-2.4）米，AD=AB=3.6 米.在 RrZXAOD 中，OA2=AD2+OD2,B P r=3.62+(r-2.4)2,解得 r=3.9.在 RfaOHN 中，OH=yON2-NH2=d3.92 1$2=3.6(米).所以 FN=D H=O H-O D=3.6(3.92.4)=2.1(米).因为2.1米2米，所以此货船能顺利通过这座拱桥.22