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1、自动控制原理课后答案1请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成；受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值参考输入即为给定值。反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。2请说明自动控制系统的基本组成部分。解：作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成：被 控 对 象：所谓被控对象
2、就是整个控制系统的控制对象；执 行 部 件：根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。给 定 元 件：给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）；比 较 元 件：把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较，求出它们之间的偏差。常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般需要将其转换成为电量。常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等;放 大 元 件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象
3、。如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。校 正 元 件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。3请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点？解：反馈控制系统即闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；闭环控制系统优
4、点：控制精度高，缺点：结构复杂、设计分析麻烦，制造成本高。4请说明自动控制系统的基本性能要求。解：(1)稳定性：对恒值系统而言，要求当系统受到扰动后，经过一定时间的调整能够回到原来的期望值。而对随动系统而言，被控制量始终跟踪参考量的变化。稳定性通常由系统的结构决定的,与外界因素无关，系统的稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。(2)准确性：控制系统的准确性一般用稳态误差来表示。即系统在参考输入信号作用下，系统的输出达到稳态后的输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小,表示系统的输出跟随参考输入的精度越高。(3)快速性：对过渡过程的形式和快慢的要求
5、，一般称为控制系统的动态性能。系统的快速性主要反映系统对输入信号的变化而作出相应的快慢程度，如稳定高射炮射角随动系统，虽然炮身最终能跟踪目标，但如果目标变动迅速，而炮身行动迟缓，仍然抓不住目标。2-1设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示，途中/为黏性摩擦系数，左为弹簧系数，系统的输入量为力，系统的输出量为质量，的位移 。试列出系统的输入输出微分方程。图2 7习 题2-1质量一弹簧一摩擦系统示意图解：显 然 系 统 的 摩 擦 力 为/等,弹 簧 力 为 入根据牛顿第二运动定律有移 项 整 理，得系统的微分方程为2-2试 列 写 图2-2所示机械系统的运动微分解：由 牛 顿 第 二 运 动 定
6、律，不 计 重 力 时，得图2-2习 题2-2机 械 系 统方 程。示意图整理得2-3求 下 列 函 数 的 拉 氏 变 换。(1)/Q)=3(l-s i n r)(2)/3TT(3)/(0 =c o s(3 z-)4解:(1)L /(r)=L 3(l-s i n r)(2)/3拒(3)f(t)=c o s(3 f-)=s i n(3 z)+c o s(3 r)J4 22-4求下列函数的拉氏反变换(1)_、s -1F(s)-(5+2)(5+5)(2).x s 6F(5)=-/G+3)(3)厂/、2 s 5s+1F(s)=-：-5(52+l)解：、5 1 1 2F(s)=-=-1-(5+2)(5
7、+5)5 +2 5 +5(2)5 6 2 1 _ 1F(5)=-5-=-+-+-s-(s +3)s s +3(3)、2 s 2-5S+1 1 5-5尸(s)=,=+,5(5-+1)S V+l2-5 试分别列写图2-3 中各无源网络的微分方程（设电容。上的电压为，电容G 上的电压为“，以此类推）。图2-3 习题2-5 无源网络示意图解：（a）设电容。上电压为，由基尔霍夫定律可写出回路方程为整理得输入输出关系的微分方程为（b）设电容G、G 上 电 压 为 由 基 尔 霍 夫 定 律 可 写 出 回 路 方 程 为整理得输入输出关系的微分方程为（c）设电阻宠2上电压为即2，两 电 容 上 电 压 为
8、 由 基 尔 霍 夫 定 律 可 写 出 回 路 方 程为知（。=%-0 2 ）（1）%（，）=“（，）-幺2。）（2）c d%（t）c du2（t）_ MR2 0）dt dt R2 _cduc2（t）R-dt（2）代 入（4）并整理得=du0（t）_ qC）dt-dt RC（1）、（2）代 入（3）并整理得两端取微分，并 将（5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为2-6 求图2-4 中各无源网络的传递函数。图2-4 习题2-6示意图解：(a)由图得CsUc(s)+气 =喑(1)U c(s)=a(s)U,G)(2)(2)代 入(1),整理得传递函数为(b)由图得U a(s)=q(s)-U 0
9、(s)(1)a(s)一 2(s)+S(s)-2(s)=cs2 (2)R R 2 C2整理得传递函数为(c)由图得Uc d i GAS)(1)UC2G)=U.G)UR2(S)(2)C s U a(s)+Cs U c2(s)=(3)U,(s)产(s)=Cs U.(s)(4)整理得传递函数为图 2-5 习 题 2-7 无源网络示意图2-7求图2-5中无源网络的传递函数。解：由图得整理得2-8试简化图2-6中所示系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。解：(a)求传递函数C(s)/R(s),按下列步骤简化结构图：图2-6习题2-8系统结构图示意图 令N(s)=O,利用反馈运算简
10、化如图2-8a所示图 2-8a串联等效如图2-8b所示图 2-8b根据反馈运算可得传递函数求传递函数C(s)/N(s),按下列步骤简化结构图:令H(s)=O,重画系统结构图如图2-8c所示图 2-8c将也输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d所示图 2-9 d 和-4 串联合并，并将单位比较点前移如图2-8e所示图 2-8e串并联合并如图2-8f所示图 2-8f根据反馈和串联运算，得传递函数(b)求传递函数C(s)/R(s),按下列步骤简化结构图:将心 的引出端前移如图2-8g所示图 2-8g合并反馈、串联如图2-8h所示图 2-8h将出的引出端前移如图2-8i所示图 2-8i合并反馈
11、及串联如图2-8j所示图 2-8j根据反馈运算得传递函数2-9试简化图2-7中所示系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)。图2-7习题2-9系统结构图示意图习题2-4无源网络示意图解：求传递函数C(s)/R(s),按下列步骤简化结构图:将M的引出端前移如图2-9a所示图 2-9a合并反馈及串联如图2-9b所示图 2-9b合并反馈、串联如图2-9c所示图 2-9 c根据反馈运算，得传递函数2-1 0根据图2-6给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数C(s)/R(s；U C(s)/N(s)。解：(a)根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信
12、号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-1 0 a所示。图 2-1 0 a(1)令N(s)=0,求系统传递函数C(s)/R(s)由信号流图2-1 0 a可见，从源节点R G)到阱节点C(s)之间，有一条前向通路，其增益为有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L=-G&,G=G2H2,4=L与J互不接触流图特征式由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为(2)令R(s)=0,求系统传递函数C(s)/N(s)?由信号流图2-10a可见，从源节点N(s)到阱节点C(s)之间，有两条前向通路，其增益为Pi=G2,PZ
13、=-G G2Hl有两个相互接触的单独回路，其回路增益分别为,=G2H2,J =GG”3没有互不接触的回路，所以流图特征式为由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式A1=1,A2=1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为(b)根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10b所示。图 2-10b求系统传递函数C(s)/R(s)由信号流图2-10b可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通路，其增益为有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L、=GM,L2=-G2H2,k =
14、G3H3右与A 互不接触流图特征式为由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为2-11根 据 图2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数C(s)/R(s)。解：根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如 图2-l l a所示图 2Tla由信号流图2-l l a可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通路，其增益为有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L =-G2G3H,L2=-G 3G 4H2,L,=-G。
15、2G 3G 4H3没有互不接触回路。因此，流图特征式由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为3-2已知各系统得脉冲响应，试求系统的闭环传递函数:A(f)=0.0 1 2 5 L 2”；-f)=5 r+1 0 s in(4，+4 5 );(Z)=0.1(l-,/3)o解:(1)“、0.0 1 2 5(s)=(/)=-s +1.2 5(s)=L k(t)=L 5t+4(s in 4 f +cos 4/)W味 吁；=品行33-3已知二阶系统的单位阶跃响应为力=10-12.5/2 sin(16+53.1),试求系统的超调量47%,峰值时间。和调节时间4。解:
16、=10(1-1.25eT2sin(L6f+53.1)由上式可知，此二阶系统的放大系数是1 0,但放大系数并不影响系统的动态性能指标。由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为=sin(,7i二昌+广)所以有g=L 2 l/J l-r =1 2解上述方程组，得=0.6“=2所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下超调量=x 100%10 0 9峰 值 时 间t=7T 1.9652x0.83 5 3 5调 节 时 间 嬴=颉=2.92045+13-4设单位负反馈系统的开环传递函数为G(S)=E,试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。解题过程:由题意可得系统得闭环传递函数为其中。=2,0=1,1=
17、:+鲁=0.5,z=2.5。这是一个比例一微分控制二阶系统。2z比例一微分控制二阶系统的单位阶跃响应为故显然有此系统得动态性能指标为峰值时间 t p=0=3.1 5超调量 b%=r正石产值=16.23+1 l n U2-2 ,+E)调节时间、=2-2-=5.134晨8“3-5已知控制系统的单位阶跃响应为=1+0.213-1.26年,试确定系统的阻尼比4和自然频率%。解:系统的单位脉冲响应为 k(t)=h(t)=-U e-60+ne-=1 2(e-0-e )11系统的闭环传递函数为(s)=女=12(5+10 5+60600-s 2+i 0s +6O O自 然 频 率n=V 6 0 b=24阻尼比
18、=1.4292x V 6003-6已知系统特征方程为3s4+1OS3+5S2+S+2=O,试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。解:先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下显然，由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以该系统在5右半平面有两个闭环极点。因此，该系统不稳定。再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则显然，此系统不稳定。3-7设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)K(s +2)(s +4)(s +6s +25)，试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。解:由题得，特征方程是 s4+12S3+69s?
19、+198s+200+K=0列劳斯表由题意，令 所在行为零得K=666.25由$2 行得 52.5?+200+666.25=0解 之 得5=4.06/：,所以振荡角频率为。=4.06爪d L3-8已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=试确定系统稳定时的K值s(s+l)(0.5s-+s+l)范围。解：由题可知系统的特征方程为列劳斯表如下由劳斯稳定判据可得解上述方程组可得 0K 1.7CK3-9系统结构如图3-1所示，6(5)=,定义误差e=厂-也)，5(75+1)(1)若希望图a中，系统所有的特征根位于s平面上s=-2的左侧，且阻尼比为0.5,求满足条件的K,T的取值范围。(2)求 图a系统
20、的单位斜坡输入下的稳态误差。(3)为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如 图b所示，试求出合适的K。值。(a)图37 习题3-9示意图K解：(1)闭环传递函数为。(s)=KI T加+S+K S 2+L +4T T即以=糕,2 m=p V y=T，K=0(s)=2 +S+K,令父=s+2,代入上式得,列出劳斯表，R=t,系统为I 型 系 统.-.es s=l/KK。并没有改变系统的稳定性。3-1 0 已知单位反馈系统的开环传递函数：、100(1)G(s)=-;(0.1-5)(2)G(s)=-5(0.15+1)(5 4-5)试求输入分别为r=2/和中)=2+2/+/时，系统的稳态
21、误差。解：八、100 20(1)G(s)=-=-(0.15+1)(5+5)(0.15+1)(025+1)由上式可知，该系统是。型系统，且K=20。型系统在1(f),/信号作用下的稳态误差分别为：叫8。根据线性叠加原理有该系统在输入为O =2r时的稳态误差为%2 =28 =8 ,该系统在输入为/=2+2f+产时的稳态误差为e、=2!F28+8 =8“2 +K/c、50 10(2)G(s)=-=-5(0.15+1)(5+5)5(0.15+1)(0.25+1)由上式可知，该系统是I型系统，且 K=10。I 型系统在1(。/，!/信号作用下的稳态误差分别为：根据线性叠加原理有该系统在2K输入为“/)=
22、2/时的稳态误差为4 2=2 4=0.2,该系统在输入为)=2+2，+一时的稳态误差为K3-1 1 已知闭环传递函数的一般形式为误差定义为e=r(0-c(t)。试证，(1)系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为(2)系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为(3)推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件(4)求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系满足终值定理的条件,即证:姓)=二、+一S+an-S+.+aS+ao满足终值定理的条件,即证(3)对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为同理可证(4)系统型别比闭环函数分子最高次塞大1 次。3-1 2 已知单位反馈系统的开环传递函
23、数为:(1)G(s)=50(0.15+1)(25+1)G(s)=5(52+45+200)G(s)=10(2s+l)(4s+l)s(5+2s+10)试求位置误差系数K0，速度误差系数K.,加速度误差系数K“。解：(1)此系统是一个0 型系统，且K=20。故查表可得K,=K=10,K,=0,Ka=0(2)根据误差系数的定义式可得(3)根据误差系数的定义式可得3-13设单位反馈系统的开环传递函数输入信号为)=3 +初)1。)其中K。，Km,Kf,i,Tf,7；均为正数，a 和 b 为已知正常数。如果要求闭环系统的稳态误差其中%0,试求系统各参数满足的条件。解：首先系统必须是稳定的，系统的闭环特征方程
24、为式中，K=KK/K,“/i,为系统的开环增益，各参数满足：K 0,(Tf+Tlt,)-K TltlTf0即稳定条件为0 K 需乙TfTm由于本例是I 型系统，其K.=8,K=K,故在)=(a+初)1Q)作用下，其稳态误差b bess=一K 。于是，即能保证系统稳定，又满足对系统稳态误差要求的各参数之间的条件为b,y y y ,.,Tf+T%TfTm3-1 4 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=l/。试用动态误差系数法求出当输入信号分别为%)=产/2 时，系统的稳态误差。解：系统的误差传递函数为所以有 E(s)=0,(5).R(s)=Ts R(s)一(TS)2 R(s)+(Ts)3 R(
25、s)一(Ts)4 R(s)+对上式进行拉氏反变换可得 e(t)=T T2 r(/)+T3 r(t)T4r 0 03-1 5 假设可用传送函数震=工描述温度计的特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温，需要一分钟时间才能指出实际水温的98%的数值。如果给容器加热，使水温依10/m in的速度线性变化，问温度计的稳态误差有多大？解：由题意，该一阶系统得调整时间4=1 min,但仆=4 7,所以T=0.25min。系统输入为十)=1 0 f,可推得R(s)=?S因 此 可 得 C(s)=4 R sF.Ts+1 6(1,c 的稳态分量为曝=10 1 or稳态误差为0即0Kl/7；时闭环系统稳定。(2)由
26、于7；=0.01,因此只有当0K100闭环系统才稳定，显然，对于K=500,闭环不稳定。此时若略去I,闭环特征方程为上式中各项系数为正，从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。如果K10(。如果K 1/1,时，不 能 忽 略 对 稳 定 性 的 影 响，否则可以忽略。3-18设计题飞机的自动控制，是一个需要多变量反馈方式的例子。在该系统中，飞机的飞行姿态由三组翼面决定，分别是：升降舵，方向舵和副翼，如 附 图3-3(a)所示。飞行员通过操纵这三组翼面，可以使飞机按照既定的路线飞行。这里所要讨论的自动驾驶仪是一个自动控制系统，它通过调节副翼表面来控制倾角放，只要使图 3-3(a)飞机副翼模型图副翼表
27、面产生一个。的变形，气压在这些表面上会产生一个扭矩，使飞机产生侧滚。飞机副翼是由液压操纵杆来控制的，后者的传递函数为S测量实际的倾角。，并与输入设定值进行比较，其差值被用来驱动液压操纵杆，而液压操纵杆则反过来又会引起副翼表面产生变形。图 3-3(b)飞机控制倾角结构图为简单化起见，这里假定飞机的侧滚运动与其他运动无关，其结构图如图3-3(b)所示，又假定 K|=l,且角速率。由速率陀螺将其值进行反馈，期望的阶跃响应的超调量b%W 10%,调节时间(以2%的标准)6 4 9 s,试选择合适的K”和 a 值。解：由于过阻尼响应缓慢，故通常不希望采用过阻尼系统，在本题中目0,1 欠阻尼因此，计算可得
28、又因，(T%=/10007,r=A 1=9地由题计算可得&=0.59,8,=0.659故(=0.4,&=-0.634图4-1 习题4-1 系统零极点分布图4-1 已知系统开环零极点分布如图4-1 所示，试绘制相应的根轨迹图。解：图 4-l a 根轨迹图(a)根轨迹的渐近线条数为加=0(b)根轨迹的渐近线条数为-加=0(c)根轨迹的渐近线条数为-加=3,渐近线的倾斜角为玖=60。，%=180,a=24O(d)根轨迹的渐近线条数为“-加=0(e)根轨迹的渐近线条数为-加=0(f)根轨迹的渐近线条数为=1,渐近线的倾斜角为”=180。4-2已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数为：(1)G(S)=-
29、K(S+1)(2)G(s)=-52(5+2)(5+4)5(5+1)(5+2)(5+5)(3)G(s)=-f-(4)G(s)=-5(5 +4)(52+4 5 +2 0)5(5-l)(.V2+4.V+1 6)K 0,画出各系统的根轨迹图。解：(1)按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为4 =-1 ;开环有限极点为2 =0，P 3 =-2,2 4 =-4 实 轴 上 的 根 轨 迹 区 间 为 -2,-1 根轨迹的渐近线条数为-加=3,渐近线的倾角为族=6 0。，%=1 8 0 ,a=-6 0 渐近线与实轴的交点为闭环系统根轨迹如下图4-2 a所示图4-2 a闭环系统根轨迹图(2)按下列步骤绘制根
30、轨迹：系统没有开环有限零点；开环有限极点为P l =o,P 2 =-1,P 3 =-2,P 4 =-5实轴上的根轨迹区间为-5-2 ,-1,0 根轨迹的渐近线条数为-加=4,渐近线的倾角为必=4 5。，%=1 3 5 ,。3=-1 3 5 ,内=4 5 渐近线与实轴的交点为分离点方程为解得分离点 4 =-4.0 6,=-0.4 0闭环系统根轨迹如下图4-2 b所示图 4-2 b(3)按下列步骤绘制根轨迹：系统没有开环有限零点；开环有限极点为乃=0,2 =-4,加,=-2 *实轴上根轨迹区间为-4,0 根轨迹的渐近线条数为-加=4,?=-2,圾=4 5 1 3 5,2 2 5。,3 1 5。根轨
31、迹的起始角：复数开环有限极点外“=-2 /4处，,3=-9 0，4 4=9 0分离点方程为解得分离点4 =-2 4.3 =-2土人后检查4=-2 时，K=6 44.3=-2/时，K =1 0 04 ,4 2，出皆为闭环系统根轨迹的分离点。确定根轨迹与虚轴的交点：系统闭环特征方程为列写劳斯表当K*=2 6 0时，劳斯表出现全零行，辅助方程为解得根轨迹与虚轴交点为0=+V 1 0 o根轨迹如下图4-2c所示:图 4-2c(4)按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为马=-1;开环有限极点为月=0,2 =1,A.4=-2J2V3实轴上根轨迹区间为(,-1,0,12根轨迹的渐近线条数为-加=3,由=6
32、0。,180。，-60分离点方程为解得分离点4 =-2.26,4=045根轨迹如下图4-2d所示：图 4-2d4-3 给定系统如图4-2所示，K 0,试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻尼特性的影响。图4-2 习题4-3 系统零极点分布图解：(1)作系统的根轨迹。开环传递函数为开环极点为0和-1,开环零点为-2和-3。所以实轴上的根轨迹区间为-3,-2 和-1,0。分离点方程得分离点 4=一2.3 6 6,4=-0.6 3 4检查=-2.3 6 6 时，Ks(s +1)(s +2)(s +3)s=-2.3660.0 7 1 84=0 6 3 4 时，Ks(s +l)(5+2)(5+3).v=
33、-0.6341 3.9 3可得到根轨迹如下图4-3 a所示图 4-3 a(2)分析增益对阻尼特性的影响。从根轨迹图可以看出，对于任意K0,闭环系统都是稳定的，但阻尼状况不同。增益较小时(0 K 1 3.9 3),系统过阻尼；增益中等时(0.0 7 1 8 K 0,试用系统的根轨迹图确定，速度反馈增益K为何值时图43习题44系统结构图能使闭环系统极点阻尼比等于0.7。解：(1)求系统的闭环特征方程并划成标准形式。通过方块图变换或代数运算可以求得单位反馈系统的开环传递函数因为可变参数K不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程改写为即，上述闭环特征方程也相当于开环传递函数为的系统的闭环特
34、征方程。(2)根据G作出根轨迹图。G(s)有两个极点T).5 l/31 2 2 5,一个零点0,所以负实轴是根轨迹，而且其上有分离点。将闭环特征方程改写为由dK/ds=0可以求得$=V 1 0，其中s =-V 1 0在根轨迹上，对应增益为K=5.32 4 6 0,故s =-V 1 0是实轴上的分离点。根轨迹如图4-4 a所示。图 4 4 a(3)求反馈增益。首先要确定闭环极点。设途中虚线代表，=0.7,则闭环极点为根轨迹和该虚线的交点，由4 =。-7可得。=a r c c os，=4 5.5 7。设列出该点对应的辐角条件经整理得两边同取正切，整理得解得，0=3.1 6 2 3。所以该闭环极点为
35、y=-2.2 1 36 +/2.2 5 8 3。再由得速度反馈增益为左=K/1 0=0.34 2 7 o4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(5)=-亮-o要求系统的闭环极点有一对s(s +l)(0.5 s +1)共辗复数极点，其阻尼比为4 =85。试确定开环增益K,并近似分析系统的时域性能。解：根据绘制常规根轨迹的基本法则，作系统的概略根轨迹如图4-5 a所示。图 4-5 a欲确定K,需先确定共轨复极点。设复极点为电,2=白根据阻尼比的要求，应保证在图上作4 =0.5的阻尼线，并得到初始试探点的横坐标x =T).3,由此求得纵坐标y =0.5 2。在s=4 3 J 0.5 2处检查相角
36、条件不满足相角条件；修正x =-0.32,则y =0.5 5 4,点s =-0.32 l/0.5 5,处的相角为-1 7 7.4 ;再取x =Y).33,则y =0.5 ,点s =-0.3场 0 处 的 相 角 为-1 8 0。因 此 共 趣 复 极 点,f-0.3 3；0.o由模值条件求得运用综合除法求得另一闭环极点为邑=-2.34。共轨复极点的实部与实极点的实部之比为0.1 4,因此可视共朝复极点为系统的主导极点，系统的闭环传递函数可近似表示为并可近似地用典型二阶系统估算系统的时域性能4-6已知单位反馈系统的开环传递函数为:试画出系统的根轨迹图，并分析系统的稳定时K的取值范围。解：由题得开
37、环极点：0,-4,-6和-0.7土川.7 1 4开环零点：-1 +J1.7 32 1分离、会合点：从s平面的零点、极点分布可知在区间内(T,0)可能有分离、会合点。记由 4(s)B(s)=A(s)夕(s),可得经整理后得到用试探法或程序算得区间(T,0)内的一个根为-2.35 5 7,它就是实轴上的分离点。根轨迹自复数极点的出射角：5 4.8 8根轨迹趋向复数零点的入射角：1 02.5 2根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程为Af 1 1 Aco4-(4 3.6 +K)co2+4 A T=0令$=心，可得.3 y 4-3 9(y3+(2 4 +2 )=0由第二式得K =0.5/+1 9.5苏一1
38、2,代入第一式，得解得助=1.2 1 1 5,牡=2.1 5 4 5,%=3.7 5 3 7根据以上数据画根轨迹图，如图4-6 a所示。图4-6 a根轨迹图再分析系统得稳定情况：根轨迹与虚轴第一个交点的频率为3=1.2 1 1 5,利用幅值条件可以计算出对应的增益同样可以算得与牡=2.1 5 4 5和q=3.7 5 3 7对应的增益(=6 4.7 4,(=1 6 3.4 3参看根轨迹图可知：系统稳定时K的取值范围为：K 1 5.5 4或6 4.7 4 K -K (352+2 5 +)(4)根轨迹的分离点：由分离点方程 a(s)=-：一 z=ods?(s +l)4解得 4 =-J2 6(5)根轨
39、迹与虚轴的交点：根据闭环特征方程列写劳斯表如下：当。=1 时，劳斯表的/行元素全为零，辅助方程为A(S)=S2+!=0解 得 配=吗绘制系统参数根轨迹如图4-9 a所示图 4 一 9 a4-1 0 已知反馈控制系统中，其开环传递函数为:v +4(1)绘制(s)=一 时的闭环根轨迹概略图；S 绘 制 H G)=匕小时的闭环根轨迹概略图；S比较开环零点变化对根轨迹形状的影响。解：(1)开环传递函数按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为4,2 =-1 六7 3 2 ;开 环 有 限 极 点 为=0，P 3 =-6 ,p4,5=-0.7；0.7 1 4实轴上的根轨迹区间为(-8,-6 根轨迹的渐近线
40、条数为-加=3,渐近线的倾角为族=6 0。，%=1 8 0,弧=-6 0渐近线与实轴的交点为闭环系统根轨迹如下图4-1 0a所示图4-1 0a根轨迹图(2)开环传递函数按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为4 =7.05,z23=-l j l.7 3 2 ;开环有限极点为人=，凸=-4,4=一6,P5,6=-0.7+J0.714实轴上的根轨迹区间为(-,-6 和 V,-1.05 根轨迹的渐近线条数为-加=3,渐近线的倾角为必=6 0 ,%=1 8 0,%-6 0渐近线与实轴的交点为闭环系统根轨迹如下图4-1 0b所示图 4-10b根轨迹图4-1 1 给定控制系统的开环传递函数为：试作出以。为
41、参变量的根轨迹，并利用根轨迹分。取何值时闭环系统稳定。解：(1)求系统的闭环特征方程并化成标准的形式。因为可变参数。不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程可改写为则开环传递函数为(2)根据G(s)作系统的根轨迹。G(s)中的增益为负值，所以要作系统的补根轨迹。开环极点为-0.5和0,开环零点为1。按照补根轨迹的作图规则，实轴上的根轨迹区间为 T).5,0 和 1,”。在-0.5,0区间有会合点，在 1,一 有分离点。为求分离、会合点，将闭环特征方程改写为由dK/必=0,得.I 4s 1 =0,解得再=2.2247,s2=0.2247,分别对应的增益为 K=-9.8990和K=4.
42、1010,所以是分离、会合点。可以证明，不在实轴上的根轨迹是一个圆，圆心在(1,0),半径为1.2227。以K=-a 为参变量的根轨迹如图4-lla 所示，图中箭头表示。从0 到”的方向，也即K从0 到-oo的方向。(3)求。使闭环系统稳定的取值范围。首先求根轨迹与虚轴的交点。由闭环特征方程可知，K=-l 时系统处于临界稳定状态，这相当于a=l,所以使闭环系统稳定的范围为4-1 2 实系参数多项式函数为：欲使A(s)=0的根均为实数，试确定参数。的范围。解：对4 s)=0作等效变换得等效开环函数为当。0 时，需绘制常规根轨迹：系统开环有限零点为4=-1;开环有限极点为0=0,。2=-2,。3=
43、-3实轴上的根轨迹区间为-3,-2 和根轨迹有2 条渐近线，且 7=-2;(pa=90,-90由分离点方程在实轴区间 T-2 内用试探法求得d=-2.47。绘制根轨迹图，如图4-12a所示。当。0时，需绘制零度根轨迹。实轴上，零度根轨迹区间为(-8,-3 ,卜2,-1 和 0,+8。作零度根轨迹图，如图4-1 2 b所示。当多项式有根-2.4 7时，根据模值条件得根据常规根轨迹图，知当0 a W 0.4 1 9时，多项式的根皆为实数；根据零度根轨迹图，知当a 0时，多项式的根亦全为实数。因此所求参数 的范围为“W 0.4 1 9。图4-1 2 a常规根轨迹 图4-1 2 b零度根轨迹4-1 3
44、设系统开环传递函数为:(1)大致画出系统的根轨迹图；用文字说明当K0时，如何求系统单位阶跃响应的超调量。%,峰 值 时 间，及调节时间6。解：(1)绘根轨迹图-1-1 0渐近线：=-3.6 7;(pa=6 0,1 8 0分离点：由!+上+广 二=0,得d =T1 4 8 7相应的根轨迹增益反产2.3 7 7根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程$3+1 1/+IOS+K=O列劳斯表当K=1 1 0时，劳斯表出现全零行，由辅助方程1卜2 +1 1 0 =0得根轨迹与虚轴交点处为K=1 1 0,。=3.1 6根轨迹图如下图4-1 3 a所示:图 4-13a(2)求动态性能指标当0K2.377时，系统b%=
45、0 6 =0,闭 环 有 两 个 实 主 导 极 点 力 和 ,且 因 此 求 得调节时间如下：当2.377K 100时，闭环系统有一对共轲复极点，则/-A 1由于 o =例 _;2，4=例,b|=M 3n()=ln(,-)D yK-e因此=LA，71cr=。/痛3 5=菽，0.8P4-1 4 设单位负反馈系统的开环传递函数为:试画出系统根轨迹图，并求出系统具有最小阻尼比时的闭环极点和对应的增益K。解：系统在实轴上的根轨迹区域为 0,-2 和 T,f)在这两段区域内，均存在分离点。为了求出分离点，令求出4=-4+2夜=-1.1724 =-4-2&=-6.828因而复数根轨迹是以(-4,川)为圆
46、心，2夜为半径的一个圆，如图4-14a所示？=0.7 0 7图 4-1 4 a在图上，过原点作圆得切线，得最小阻尼比线。由根轨迹图知，对于等腰直角三角形，必有0 =4 5 ,故最小阻尼比，=c o s 0=0.70 7响应的闭环极点si 2=-2j2由根轨迹模值条件，可求出相应的增益为4-1 5已知单位负反馈系统的开环传递函数为：试按照步骤作出Kd 0时的根轨迹图。解：开环极点：P l =O，P 2 =-4也,4 =-2 土 j根轨迹在实轴上的区间根 轨 迹 的 渐 近 线=4,3 =-2,仁=4 5 ,1 3 5即-+-+/1I?)的d d+4 d+4 d+5整理得/+6/+io.5 d+5
47、 =0为了求取分离点方程的根，将上式表示为1 +1 雪：竺)=0d 3+6)令等效开环传递函数为G,(d)=d 3+6)其中K：=1 0.5。若令K；从。变到+8,其根轨迹如图4-1 5 a所示。图中，渐近线图 4-1 5 ac r =-2.78,(p=9 0 ;分离点 J,=-1.0 88,d2=-2.6 2 7。在图上，试探d=-2,检验模值条件&*=o彳 v o箸 x 4=1 0.5故符合要求，故=-2为分离点方程的一个根。利用综合除法，有求得分离点 4 =-0.775,(；2 =-2,4 =-3.2 2 5分离角为9 0根轨迹的起始角根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程为?+8?+2 1?
48、+2 0 s +K*=0列劳斯表显然，当K*=4 6.2 5时，根轨迹和虚轴相交，由辅助方程求得交点处K*=4 6.2 5。=1.5 8根据以上步骤，绘制系统根轨迹图4-1 5 b图4 T 5 b根轨迹图4-1 6 设某单位负反馈系统的开环传递函数为：绘 制 K从0-+8 时系统的根轨迹图；求系统阶跃响应中含有e cos（创+0 时的K值范围，其中。0,。0;求系统有一个闭环极点为-2时的闭环传递函数。解：绘制根轨迹图闭环特征方程为写成根轨迹方程形式为：令等效开环传递函数为实轴上根轨迹：T 0分离点：由:+一 二 二 六 求 得。=Td d+4 d-2与虚轴交点：列劳斯表显然，当时系统处于临界
49、稳定，由辅助方程并代入K=l,解出交点处分离点处根轨迹增益：由模值条件得：凡,=1衿x3=:I3x3 3绘出系统根轨迹如图4-16a所示图 4-1 6 a(2)求K值范围当系统阶跃响应含有e c o s(W +0分量时，系统处于欠阻尼状态，系统有一对具有负实部的共朝极点，K值范围为:K j,系统的稳态输出为解：由题目 可得(，)=A cos(ot+)=A c o s cot c o s e一 A s in H s in 0对等式两边同时进行拉氏变换可得由于系统闭环稳定，所以不存在正实部的极点。假设中可表示为如下表达式由以上分析可得，系统的闭环传递函数为对上述闭环传递函数作如下分解对上式等式两边
50、进行拉氏反变换可得由系统稳态输出的定义可得利用留数法确定待定的系数5,小所以可得5-2若系统阶跃响应为：试确定系统频率特性解：单位阶跃输入信号的拉氏变换为R G)=S系统单位阶跃响应的拉氏变换为系统的闭环传递函数为G )=翼=,、R(s)(5+4)(5+9)将s=/3代入传递函数G(s)可得5-3设系统结构图如图5-1所示，试确定输入信号r(f)=si n(f+3 0 )cos(2 f 4 5 )图5 7习题5-3控制系统结构图作用下，系统的稳态误差怎。解：如图5-1所示，系统的误差传递函数为1：备注：为什么稳态误差？其幅频特性和相频特性分别为当 r(r)=si n(Z+3 0)-cos(2