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1、华中师范大学网络教育学院 常微分方程练习测试题库参考答案一、判断说明题1、在线性齐次方程通解公式中C是任意常数而在常数变易法中C (x)是 x的可微函数。将任意常数C变成可微函数C (x),期望它解决线性非齐次方程求解问题，这 方法成功了，称为常数变易法。X X2、因 p(x)连续，y(x)=y()e x p(-J p(x)J x)在 p(x)连续的区间有意义，而 e x p(-J p(x)J x)0。X。X。如果y =0，推出y(x)=0,如果y(x)H 0,故零解y(x)=0 唯一。3、(1)它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g为已知函数，y为一元函数，所建立的等式是已知关系式。
2、(2)它是常微分方程，理由同上。(3)它不是常微分方程，因 y是未知函数，y(y(y(x)也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为(个)积分。5、把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示H I 来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。6、y,=f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中 个因式仅含有x,另一因式仅含y，而方程p(x,y)d x+
3、q(x,y)d y=0 是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y),样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。7、二元函数f(x,y)满 足 f(r x,r y)=r f(x,y),r 0,则 称 f(x,y)为 m 次齐次函数。m=0 则称它为0次齐次函数。8、如果f(x,y)是 0次齐次函数，则 y =f(x,y)称为齐次方程。如果p(x,y)和 q(x,y)同为m 次齐次函数，则 p d x+q d y=0 为齐次方程。如果qHO 则 立=一 四 山 三 f(x,y),山p,q 为 m 次齐次函数推知f(x,y)为 0次齐次函数故dx q(x,y)y =f(x,y)为齐次方程。9、求解
4、齐次方程经常用变换y=z x.用函数乘积导数的公式得dy dz.=x +zdx dx1 0(1)记/(x,y)=X2+y2,则 更=2 y 在平面上连续，从而/(x y)在平面上任何矩沙欧中关于V 满足L i p -条件，因此在(兀y)平面内任一点(的，儿)可以作一个含(而，孔)的矩移，使方程存在惟一积分曲线经过(几，为)。更更办(2)1y (x,y)=x +s i n y,cosy帔 有 界。满足其里条件。/(x j)=J-+/,二、计算题1、方程变形为 =2 +4v 6,它的分子，分母两条直线交点为(1,2)d x x+y 2作变换 =+1,于是得到7=2M+4V,它已经是齐次方程。2、令
5、 z=x+y+l,则包 =1 +虫，于是*=l+f(z),d x d x d x只要+f(z)7 0,可 分 离 变 量 得 x=f d Z+CJ l+/(z)3、p(x)=-co s x 用线性齐方程初值问题解公式即得y=ex p(s i n x)4、用线性方程通解公式：y=ex p(-j*2 x d x)(C+2xd x)d x)=ex p(-x2)(C+2 ex p (-x2)=2+C ex p(-x2)5、公式求得方程通解y(x)=ex p(2 x)(C+f x2ex p(2 x)ex p(-2 x)d x)=ex p(2 x)(c,+x3)J 31 ,利用初始条件代入上式y(0)=0
6、=C,故 y=-x3 ex p(2 x)6、x看作自变量，y 看成函数，则它是非线性方程，经变形为d x=x+yd y以 x为未知函数,y是自变量，它是线性方程，则通积分为x=ex p(jd y )(c+J y ex p(-=c ex p(y)-y-l7、解：将 方 程 变 形 为 x 2 y 2 d y=(y-l)d x 或 义:=当，当 x y H 0,y W 1时积分得y-1 x；+y+l n|y -1|+=c8、解：这是齐次方程。a y=z x原方程化为一“,d一 虫 两边积分得-l n l z l=l n l c x l%2 z用z=代入得X1 X2y=-ex p(-)c 2yy=0
7、也是原方程的解。9、解：.方程右边分子，分母两条直线交点为(x ,y()=(-2)作变换u=x+2,v=y-l,原方程化为半=三 工,此 为 齐 次 方 程，令v=uz,经 简 单 计 算 得 了 j=l n(l +x2)+l n|C|即通解为y=Cy/l+x21 1、解齐次方程的通解为y =Ce-3x令非齐次方程的特解为代入原方程，确 定 出C(x)=|e5v+C原方程的通解为y =C e-3x+-e2 A51 2、解 由于跑=2盯=辿，所以原方程是全微分方程.d y d x取(x 0,凡)=(0,0),原方程的通积分为f(Y +盯2 )d x +/y3d y=C,即 x4+lx2y2+-C
8、1 3、解 令y=，则原方程的参数形式为x=t +e(2分)由基本关系式d y =y d r=f(1 +e)d t积分有y =；产 +e，Q )+c得原方程参数形式通解x=t +e iy -t2+e t-l)+C1 4、解原方程为恰当导数方程，可改写为()=0即y y =ct分离变量得y d y =。由积分得通积分|y2=cix+c21 5、解 方程的特征根为4=0,4=5齐次方程的通解为y =G+C2e5因为ai/?=5,.不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y,(x)=A s i n 5x+B c o s 5x代入原方程，比较系数得J 2 5A +2 58 =1-2 54-2 53=0确
9、 定 出A=-,B=50 50原方程的通解为 y =G+G e +需(c o s 5x-s i n 5x)1 6、解特征方程为.1-2 11 A-AE1=4 1-7 1=0即 22-2 2-3 =0特 征 根 为4=3,22=-14 =3对应特征向量应满足1-341 9 3(x)=J ds22 2 0,F1d s=一 一+-2 2 0 1 6 0 4 4 0 02 0、任取的 (-C O,C O),y =伊(工)是初值问题,字=)a x,X o)=wg)的解，设G =(x j):|X-X n l 4 a y-p(x n)l 4 b)，由定理 2.1 知 y =M x)在|x-X n C)上有定
10、义，其中为 =m i n|%2 ，而=m ax|由题意，M有上界，而a,占可任意I M)(x j)eG大，故力可任意大，即丁=。(刀)在-8 x 8上有定义。2 1、y =c o s x-x s i n r,=-x c o s r-2 s i nx;7 2 =s i n r+rc o s,y 2=-rs i n r+2 c o sTj*=c i(-r c o s x -2 s i n x)+C 2(-xs i n r+2 c o s x),j+j=q (-2 s i n x)+。2 2 c o s x 成立.2 2、令、=ud u满足方程e 2”+2e 2 I-2rl+re 2 u=0,J 1
11、,2即打,-刈=0,解之，得一解，=。2，故有2 刍 _ 公，从而原方程的通解为y=e 2 q+C2le 2 dx.23、由 一d(_x+y)=-d-t-，得/ax+y-P-+cp(x+y)x+y 2又 由 包=E,得y2-x2=c2,以上两个首次积分是独立的,dt y _拦_坂而通解为+丁 一 万=”y2-x2=c2.24、取第0次近似解X。（）=（；）则第一次近似解为X。）第二次近似解为=(+；4)第三次近似解为 rXQ叱 +JV/0 和y =y(x).这与解的唯一性矛盾，因此不能是有限值.3、证明 如果y =0|(x)和y =%(x)是二阶线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的解，
12、那么由刘维尔公式有-r 也W(x)=W(%)e 儿现在，p(x)三0 故有-lodr卬(了)=卬(/把 3。=W(x0)=C4、证明由九 可0+4 7 1(x j n-l 冲，9 (x)=7 o+”9冲.用数学归纳法，显然L x o(x)-p(x)目 图，(x,g)於 4 M l X-XQI，即当”=0时(1 9.6)式成立，设当”=兀时(1 9.6)式成立，得证=兀+1亦成立。估计下式:即-贝力司忌)-/(5,p)网4曾|4，一始)网4葡4MNk A J rd sMN,g i(k+1)!1 U l如当月=k+l时(1 9.6)式也成立，(1 9.6)式得证。5、证 反证法，如果入，为线性相关
13、，解存在不全为。的使力为+。2为 三0,对应分量相等，推得f q c o s x+%s i n x =0 一q s i n x +j c o s x =0由干系数行列式c o s x s i n x=1 0.s i n x c o s x所以q =，2=。，矛盾，故乃。)，当在)在任何区间内线性无关。补充题库1 答案：1 8-1 99 .方 程 变 形 为?=-2 x +：6,它的分子、分母两条直线交点为(1,2)dx x+y-2x=u+1 dv-+4 v作变换 ，干 是 得 到 丁=-，它已经是齐次方程。y-v-l-2 du u+v1 0 .令2=工+犷+1，则 丝=1+,千 是 空=l+/
14、(z),dx dx dx只要l+_/(z)w 0,可分离变量得 x=f ;、+C.2 0-2 7答案:1.(1)分八离十变量R，得/B-s-i-n -6-dJ8n=s i n 0d(p7.cosff C O S 0两边积分，得一M c o s 6 =-ln c o s +c p ln c o s 6 =I n c o s 0 y l.所以 C0S6=C 8 S?.分离变量，得两边积分，得号却+驾-M=0s e c2 3 s e c2 9与的+J与MR.s e c 3 s e c 9变形积分得所以 s i n g c o s找p +s i n 9 c o s苗 9 =c.1 s i.n 2 8+
15、1s2i n c0=cy2 2 Ls i n 歹 +s i n 6=2 q =c.（3）变量分离方程，设x+y=u，对x求导数有1 +.=仪，所以y=/-i,把上面两式代入所给的方程，得 u-l=u2.所以分离变量，得两边积分，得Jd u 2 i=u+1.d xd u,-=a x.1+1身 依下面是通积分：a rctg u=x+c,或。=g(x+c),通解为 x+y =g(x+c)-x.（9两 边 同 除 以 得 2 l（产-7注意到蜴X3-y故设工=.经变换后,X得对它分离变量，得两边积分,所以得x21 +22 1=f4d xx)入d u 八 2 3&=(1+u)ctg x.,d x2u.,
16、1-y d u=ctg xd x1 +/，9ln(l+u)=ln s i n r +ln c 1+“2 =c s i n i,通积分为，+y?=ex2 s i n x.2.此方程为黎卡提方程，y=L是它的一解，令丫=2 +，得贝努里方程X Xz*+(x2+)z+z2=0X令 w =,得线性方程 u-(x2+=1/学1+|4屋苧公X2从而原方程的通积分为 北(-1)=1.I J /)l dz 2 x3 .此方程为贝努里方程，令z=6,得线性方程丁一一z=；从而原方程的解为Y ax x 2y=x(c +；ln|x|.4.此方程为黎卡提方程，y=一工为一解，令1y =z-x,得贝努里方程Z+2XZ=
17、Z2,再令 得线性方程Zdu 2xu=dx所以u=g c J e -2吗?二=c *卜-J 1d x 从而原方程的通积分为?=/d x 5 .由y=2 x，得 通 解旷=工+，由，y d x=2，即，(/+c)d x=2，得。=(2 5从而定解问题的解为 y =/+16 .此方程为线性方程，从而方程的通解为c +J J 公%=e一砥c +p(i)e奴 奴*)dx-&)+以 了)一1.-晔-心ax7 .证明：由丁=7飙+歹(；0,知将此代入上方程,0(x)得1y =c吠 为+材(x)所满足的微分方程dy _ y-叭x)dx(p(x)0(x)+/(x)它是线性方程；又由线性非齐次方程的表达式可见，
18、线性方程的通解形如1y =c w(x)+材(x)，证毕。8.证明：对 用 呢 方 程y+p(x)y +g(x)y 2 =/(z)作变换 =一1-得线性非齐次方程丁一力(x)孚-如 当 +p(x)=-g(x).ax而，、1 ，、是上面方程的一个解,由线性非齐次方程的通解等于其一特解与对应齐次主程通解内 -力(X)之和知，对黎卡提方程的通解，此时只须由一次求积得出线性齐次方程d葭丁-2 g(x)y i +0(初以=0ax的通解(或通积分)即可。证毕。2 8-3 7答案：1.(l)w =(7 c o s/,y=8s i n i.(2)=/,昨(3)p =t,u=2 f2+1.2 .令x =a c o
19、 s t,y=6 s i n/则 的=S s i n d x，但d x=-as i n/f，故d y =-a b s i n 2 t出，y=?(s i n t c ost-t ).导 方 程 通 够 魁 式x =a c osty -a b (z s.i n t c o s t -t)、b 23 .令，=ac o s t,y=b s i n t,加=1，而 的=一以s i n，b s m t._ a b下 d x=d t,x=t +C，b a得 方 能 嬲 港 解 a ry=ac o s 4.令 广P,i4,包=4,即 加=与，公=岁=4以f,r =2 t2+C,d y t2 t t为 卜=*+
20、cy =t 5 .令x=2 0+1,y =tf 即 力=d x,而d x=4 M ,得 的=4/成.4从而y =产+c ,原方程蟀形式通解x=2?+1,y=i3+C.36.由方程得y=y,这是两个线性齐次方程，邺=ce七.7.由方程得y=+Zy当y。1B寸，分离变邕积分得 土 斤5万=x+C,即7+(x+c)2=l.显然1y=1也是原方程的解。8.方 像 形 为x=+nyl.令I/=，则x=1 ,一+ln p.p两端对1y求导1 _ 1 dp+1 dpp p2 dy p dy即砂=(1 )dp.积分得y=p _ ln p +C.1 x=Fin p,Py-In 4-C.参数形式通解为9.方程变形
21、为伊_/)2=)2孙&Jj=X ley),通解为j =c/3=c exp(x 1 0.令 丁 =#，贝|=呵1+22)二坐或，1 +)对x求导P2 dx=dx.积分得参数形式通解为2arcigp=x+cJx=2arctgp-c,V =ln(l+2).38-44答案：1 .方程F（x,，_/）=0的一个特解上每一点处解的惟一性被破坏，该特解就是奇解。2 .如果y=（p（x）,X/是方程的奇解，它必须满足如下方程组；9（X,y,y）=0g（x,y,y）=0由该方程组决定的曲线，就是所谓尸产“别曲线。3 .单参数曲线族（%乂。）=0的包络是这样一条曲线，它本身不包含在这曲线族中，但过该曲线上每一点，
22、都有曲线族中一条曲线和它在此点处相切。4.方 程?（x j，V）=O的 通 积 分（x j,c）=O （即 积 分 曲 线 族 的 包 络 由,（x,y,c）=05.（1）从 4 2 8 3x y=-p P9 27Qp3)=o消去衣得两条一判别曲线y=x；y=我们有（y-c）2 =（X-C）3 将p 一判别曲y =X代入原方程:4x-27左=0,右=42-上8工0,所以y=x不是方程的解，更不是奇解；另一条 尸冽别曲线y=五-六代入原方程，知它是解。又y =X-不 上 每 一 点，均与通解0-匕）2 =（x-c）34的一支相切，即解的惟一性被破坏，故旷=工一一是奇解。276 .通解易求得：=(
23、)4v(尸从2(x-c)=0消去C得y =0就是所求C-判别曲线。它是通解的包络，即它是奇解。7 .解法一、2一判别曲线*9 冲 2 +4 =0Zy p=0此方程组无解，从而方程无奇解解法二、令1y=p为参数，有4y=W关千x求导，0 =工孳，从而方程的通解为9 P 3 d x消去参数。，得方程障式通解y，+(x+c)2 =0 ,方程的C-判别曲线为y3+(x+c)?=02(x+c)=Q得y=0,但y =0不是原方程的解，从而不是原方程的奇解。(2)7一判别曲线Za p3=27y24a p2=0得=0,从而有y =0。显见它是原方程的解，又由解8a y3=2 7 y,即得尸=。-7+d，即方程
24、的通解为。/=(x+c)通 解ay =(X +C)，与y =0的交点，由a y2=(x+c)3y =Q决定，为(r,O)，在(c,0)处，曲线勾d=(x+c 的切线斜率恰为0,所以 =。是微分方程的奇解。（3）p判别曲线y=5 x p-p2 2 时-x+1 当 x W 2 时，y=，-当;02 时，.一I 44 5-4 9答案：1 .（1）只要声（X）在-8 x +8 连续，则一阶线性齐次方程的积分曲线充满全平面；（2）由于1y =0 是一阶线性齐次方程的解，根据解的惟一性，其他积分曲线不能与它相交，所以x 轴（即丁=0）将上、下半平面内积分曲线隔开。2 .过原点作射线乙积分曲线与上相交千F,
25、过户作切线段,其余积分曲线与上相交，过交点作切线段均与坪行。于是只要求出一条积分曲线，可通过伸缩变换得到其余积分曲线。3 .（1）如果一条曲线与一族曲线中各条曲线交角为a，那么该曲线称所给曲线族的等角轨线。（2）在（1）中 如 果&=万，称该曲线为正交轨线。4 .=C中其在,丁）点切线的斜率为了+号=0 或 =子/-产 2=兀 在。,了），点切线的斜率为2 x-=0 或 虫=二因两组曲线在任意（xj）点的切线斜率乘积为一 1，d x y故此两组曲线相互正交。5.(l)y =的微分方程2+炉力=0或 虫=_型,d x x2 x故其正交曲线族的微分方程为字=:，其解为y 2=L x 2 +C。a
26、x 2y 2(2)y =wx+4的 微 分 方 程 式 为 =幽=匚，故其正交曲线族的微分方程为、“d x x=,解为L y，-4 y +1 x 2 =。圆系。d x y-4 2 2(3)y=2 x 4-i 1j=2故所求者的微分方程为/=-7y =-x +c C L 7 i m c 4(4)7 =e x2,-j-=2c x=,故 正 交 曲 线 字=一 上，解 为 尸+7=.d x x d x 2y 2(5)y2=c x2,2y yf=3 c x2=,故 孚=；,故 正 交 曲 线 孚=一 华 解 为x a x 2x a x 33y+x2=c.小+。=0,2 x +2+c =0故、=(炉+-
27、2 9/2、2,故正交曲线2 y ayf=-或 2 V 2 d x+(x-y)2力=0，令 y =(x-加1 t an-V L)I n r =ln u-2Ia n -T+C1 x2=e y e +)。1 +/得 它+支二*=0,解为X U(l+u2)5 0-5 6答案：1 .设微分方程解存在惟一。如果微分方程的解（或通解、通积分）已经求出，在第二单元里我们曾经指出，它在平面上的图形是一曲线（族），称为积分曲线（族）。此时积分曲线（族）也可以表示方程的几何特征；如果方程 的 解（或通解、通积分）不能求出来，直接从微分方程本身，如由y（X J）提供的信息，来给出解的几何特征，此时我们说由微分方程定
28、义的积分曲线，而不像过去那说，由微分方程解（族）确定的积分曲线（族）。2 .考虑方程y =_/（x,y），取（而2/6口，设方程存在解y =w（x）,即它满足方程，（而）三/（x,伊（x）=/（x0,y0）,这就是过点（曲,打）积分曲线切线的斜率。3 .己知积分曲线切线的斜率为/（而）=/（而,为），由解析几何知，点斜式方程为I =/（x0,y0）.即y =y o+/（x（）,y o）（x-x o）.x-x04 .D=-1,切 线 摊：y =-l-x.0/QO）=T，切 线 墀：y=-（x-Y）.（3）/（1,1）=2,切 线 彼：j/=l+2（x-l）./（1.1）=2,切 线 彼：y =1
29、 +2（x -1）.5 .由（”,）=化确定一条曲线，为 力 的 线 索 场 在 该 曲 线 上 各 点 的 斜 率 等 干 比，1y（x,y）=A 称为线索场的等倾线。6 .第一，作 出 等蝴线，即4：/（X,y）=k的轨迹；第 二 步，在 一 条 等 倾 线&上 取 一 点（而,为），过 该 点，据 直 线 方 程公：九+”0，口）（工一打）作出，懒段;第三步，在等候线上，取若干点（为）1），（小，y 2），（您,居），过每一点作平行干/的小线段，重复第二步；第三步，取另一条等倾线，在其上次另一组小线段，只要这些小线段取得足够密，就得近似线索场。7 .作等倾线上芯2+丁2 =化2,例取尢=
30、g;l,2.则3/=住）点（卷0），有/+）从而y =g（X -美），然后过4的若干个点平行功 的小线飓再作上2：X?+丁=1 取 点（1，0）有=1.从而G：V =X -1,然过之 上若干个点作争行2 2的小线索；作&：/+/=（0）2,取点（0,0）,有/诋0）=2.从而%：y =2（x-4,经 过Z 3上若干个点作平行千/的小线素，这样得出一个近似的线索场。5 7-6 2答案：1.用差商”代 替 徽 商 华，就是微积分中的“以直代曲”，即用直线段代替曲线段。Ax ax2.欧拉折线法开创了常微分方程的数值解，并在几何上提供了“近似积分曲线”的作法，这为后来进一步改进提供了基础。4.因为（几
31、月干域G 连续。则（15.1）在G 内各点的线索/）的斜率界千-M与 M之间，见下图。个 y5.欧拉格式是Vo=；JH1=K+%（1+仇一两）2），5=0,卜,凶-1洗=，这容易用计算机程序实现。/、16.y（玲=-o2-x63-68答案:冗x x1.（1）在火 1 上，y e 0,7T,当y -0 时，tgy 7+8,y 7 5+。时，/gy -co,故/（x j）=X.gy在 上 不 解，不满足定理的条件。（2）在&上，/（x J）=X.协 及 孚=均连续 故满足定理的条件。dy cos y2.（1）记/（x,y）=/+/,则 更=2 7 在平面上连续，从 而 在 平 面 上 任 何 矩勿
32、，形中关千V 满足Lip-条件，因此在（x j）平面内任一点（而，孔）可以作一个含（质，汽）的矩形，使方程存在惟一积分曲线经过5。，如）。/()=x+sm y,g=cosy帔 有 界。满足定理条件。,-d f 2y/（“）=历历不二历7,3.证因 为 岫 回 上 匕 型 也=1 1 m IA LTATO-h ATO-h1 1 n l阳-)=11nlAL iETO+卜 ETM 4左，右导数不相等，故 在（0,0）处不可导。4.更=在丁 x存 在,但_y-x时，78 所以/(x j)在包含1y=芯上点的任方 y-x何闭域内对y不满足Lip探 件。5|/)一(兀0)|=|尸 y=0 必卜 1 1=1
33、 y IIin y而*o|In M=m，故不存在常数上使(x j)-/Q,0)|W|川.即j)在0的任Y R域不满足Lip脩 件。6.联系自变量x，未知函数y以未知函数积分的已知关系式，例如y(x)=yo+，(s,y(s)ds,f(x,y)是已给函数，如果存在函数y =(p(x)使e(x)三而+，/(x,加s)ds成立，则 称w(x)为积分方程的解。69-71答案：001.证：函数项级数jo+Z(7式Q-Ji-l(r)的部分和n=lSH Q=o+Z 8 i(Q-力-KQ)=J o+Cn(x)-o)+0 2-Ji)+n-K：2=1=J-X).由此如，M(x)，附=0,1 2 的 一 致 收 敛
34、性 与 级 数 加+片 卜 -即_1(Q)一致收敛性等n=l价。2.(i)y(i)=i=y0；所 以 外=1+(1+13)成=1+2才-2=2*-1；乃=1+j(l +_1)3疑=2x4-4x3+3 Mr2f2 r2 5(2)J0=；Jl=)式=；72=6。-彳)就=22Qco/i 0=。；1=E1(0 -。2冲=可+不M/2/1、2、4 x7 x4 x3 r 112*=1i(r-(、一3+3一,),=-6-3-18-+-3-9+42(1)y0=1；乃=1+C由=1+元 y2=i+C(i+)成=1+彳 +2,y=+2!x3 x+,+;3!划(严格地说，以要用数学归纳法证明)户 MK 8 M71
35、.8 Jf月(2)d s，所以丁=飙是积分方程的解。故初值问题与积分方程等价。解 2作毕卡列序y o(x)=l；H(x)=1一(必=1-X,y2(x)=l-x+r.,、x2,、户y*(x)=i-+.+C-1)2!n用数学归纳法证明上式对一切自然数成立。解 3 /(x,y)=-y,|y(x,y)=|-y M =m ax|y|=2,，L i p 条件满足，常数=1。用数学归纳法证明八。；在卜区g上有定义，且ys(x)-l|(r)目/，(X,9 於 M I X-x o l，即当=0时(1 9.6)式成立，设当n=k时(1 9.6)式成立，得证=无+1亦成立。估计下式:.(x)-p 4年 用,7肉)-
36、S必4 平 曾4缥2 1 5 r o i Q sM7胜（上 +1）!|x-x产即当时(19,6)式也成立，(19.6)式得证。3.任取 的e (-8,co；,y=加力是初值问题,字=/(3)a xjOo)=W(Xo)的解，设G =(xj):|x-Xo|SaJ j-p(x()K b,由定理 2.1 知 1y=w(x)在 l x-勺 区h 上有(b、定义，其中以 =min a,，而A/=max|由题意，命侑上界，而以,8可任意1 M)大,故“可任意大，即=。(工)在-8 矛8上有定义。4.当丁。士1时，将方程分离变量积分的通积分为S=cey+i-ex过(0,0)的积分曲线为1y=:;_-,存在区间
37、为-g+8,1+e*1-&X过(l n2,-3)的积分曲线为1y=-存在区间为(0+oo)-5.易见y=0,1y=1是方程的解，记/(xj)=j +，+2，及7/连续，初值问题的解可无限延展且不能与V=0 j =l相交，故只能向左右无限延展，即W(x)在(-8,400)上存在。6.(1)更d y=|-XCOS(A|M=max|sin(|=1,方=min(2,；)=2,IK|W2.(2)a =c o,b =oo,M=max|f(x,y)=1,h =,故|小8.(3)a =b =l,M=m a xf(x,y)=3.h =3-3*88-92答案:1./(x)dx=-(x-s)n-i/(s)ds(20
38、.5)M J均 ht,(%一1)!为2.证 阀=2时(20.5)成立。设 次=无-1是成立，即J?xJ?x卜(x)ds=连4 J；(x-s产产(s)ds.持证间=无成立.两边再积分一次4阂:。心g 上 冲=心喘口7产2/出=提1/飞 冲 总 产大=占肌-5产 磔故当=尢(13.11)成立，由数学归纳法对一切自然数成立。3.因 F(ru,rv,rs,rt)=rF(u,v,s,t)以及y=e xp(J z dr)的第无阶导数，可表为z,z,z，卜”的函数与e xp(J z dx)之积,亦即：Hz e xp Oz加)，7=(z+z2)e xp(fz A),了0=p(z,z,z(-D)e xp(z()
39、.4.令2=了，则方程化为(z)2-2Z”=0已降阶。5.令 包=史=八则+。口+6=0,方程已降了阶。a x a x a x93-94答案：1.（1）sin冗1在（一8,8）内线性无关。事实上，若有q sinx+c2=0,将其关千无求导，得q cosx=0,解方程组cjsinr+；2=0C jC OSX=0（2）+5/-5在（-8,8）内线性无关。事实上，若勺（+5）此2（-5）=0，即处 收2）+5 -。）=0，因为31在（-8,内线性无关，故=0匕 1一%二 从而有。1=勺=1 1（3）一，小在不含坐标原点的任何区间内线性无关。X1 1事实上，若门上+。7=口，将其关千X求导，得Xc c
40、 L 1，即比2?7=,解方程组1 1八-h c72 K =0,x 1C+C 20 x=0得一1=匕2=0（4）冗I n X在（0,8）内线性无关。事实上，若qx M 21nx=0,对其关千x求导，得C i+C 21=0,解方程组XC jX+C jl n x=0 c =0.x得。1=。2=0（5）/，0在（-8,8）内线性相关。事实上，取 勺=OF?为不为零的任意实数，有q e*+c2 0=0.（6）sin?,cos?E 在（-8,8）内线性无关。事实上，若 q sin2E+c2C Os2 =0，即 C）sin，北2=0，将其关千彳求导，得2（Gr：2）sin E cosZ=0，有/一二尸0，
41、再利用（q-山2 改 产 ，得勺=，C=0o2.(1)J F sin x,l =sin xcosx10=-cos 冗(2)Wt+5,t-51=t+5x I nr(4)J F r,l nx=1 =l-l nr;x,、州0(5)We0=0g*0sin 2 cos,Msin 2,cos2 0=sin 2t.2 sin cos Z-2 sin/cos t95-97答案：1.(1)若+x+3)+02-=。，将其关千x求四阶导数，得。2。一 =0，解方程组 q(4+x+3)+为基本解组的二阶线性齐次方程是r3+x+3 ex y(户+工+y y=o(r3+r +3)(e-x)j即(，+3x2+r +4)7+
42、(，-5r +3)7-(3r2+6r+=0.a a(2)若门(了+0)+。2”=0，将其关千k 求导两次，得。2。*一1=0，故 2=0,从而0=0,所以x+a,设7在不含坐标原点的任何区间内线性无关。(2)以r+a,加名为基本解组的二阶线性齐次方程为xax+axex ya1e7(l-)yXa2=00F yX即 r27+(r+7)/-/=01.(3)若C 1X+C 2xe 2x=。，对其关千x求导两次，得4c2。+Q xe?，故。2=0，q=0，所以凡烬2在(_ 阻8)内线无关。(3)以x,xe 2x为基本解组的二阶线性齐次方程为：Orx r e y1 (1+2r)e2 x/=00 4(l +
43、r)e2 x y 即 X2J-2X(X+l)/+2(x+l)j=0.(4)若 c/r+c21 n灯一=0，l nJ x即q+C 2 与=0,将其关千X求导，可得q=。2=0-l nJ x从 而I nr,I n灯 卑-在(1,8)内线性无关。I n2T(4)以I nr,也才二一为基本解组的二阶线性齐次方程为I n2 xI n r I nr f/l n2x1 1 f d x 1一 一1+1r r I n2T 匕1 1 f d x一 一 J T 2-产 rz l nz xy7=0J 1l r2/+2 L =0.I n r(5)若。i(x-D +C 2”e*=0,将其关干，求导两次，得(式x-l)+4
44、x+2)e X=0,故?2=。1=。，所以x-L x2。*在(-e q 8)内线性无关。(5)以X-1,为基本解组的二阶齐次方程为r-1 x2ex j1 (r2+2x)ex y =00(x2+4x+2)ex j即 r(r2-2)j-(r3+3r2-2x-2)j+(r2+4r+2)j=0.2.(1)q(x)=，J l因为，J 2皆为解，故有J l+1 2+:2?c r-=-“一 71 7212而 力，2=1，即,2=，故72=-乌，J 2=3一；力 J I J 1把3 2及其一，二阶导致代入上式右端，得.1 .力+J 2M.；1整理后 J 1+/1 J 1=0,x 71直观可看出力=x为一解，则
45、 2=g，故所求之 1(2)而x与“性无关，故所求齐次线性方程的通解为Xj=C T+C -.2r3.方程变形为令=为 心 加，以满足方程产 X。.1 3+2力 一 节 1-=0 x11 -1即 刈*2-一 =0,解 此 可 分 离 变 量 方 程，得一解故有X X2，_ 1-y=r j g e Xd x=x&，从而原方程的通解为).98-100答案:1.（1）若x+2 e 3-r fxe 3=0,对其关于x求导两次，得。2加3=0,故X3 X3有。2=，所以x,e 3-灯 加3公 在（_ 8,oo）内线性无关。x3 X3苟e!T-xJ xe Tdx为基本解组的二阶线性齐次方程为e3-xj re
46、 d x j x e d xx10y/=0yn即 y -/y+科=o1+C 2菽（2）若c i+T=o即2=0必有 c1=c2=0,所以1 1忑，忑e万 在（0,8）内线性无关。以J _ _ 1_e-T为基本解组的二阶齐次方程为即 4 x2 y ,-4x3y2 x2-3）y=0（3）若 C +幺3无+瓦）3=0,即 C+:2（以x+8）3=0，易得 5=。2=0，所以(ax+5)3在不含坐标原点的任何区间内线性无关。X X以L L (ax+3)3为基本解组的二阶线性齐次方程为X Xr-1 x a x+b?y-x-2 x a x+b)3a(a x+b)-x (a s+b)J yf=0-x-3 f
47、1+b)2 r-2 fh r +(a x+b)+6 d r2/y”即(a x2+b x)yuV2b y-2a y=0.1 j_(4)若 Cxx+c2x e d x=0,即1门+。2|4/必 加=0，易 见 勺=q =0,1所以丫,灯当3站加在不含坐标原点的任何区是内线性无关。1 以 心 灯 右3 2加为基本解组的二阶线性齐次方程1f 1 3 7-r r j ejjr dr yX J _ J _1 f-4-e33 dr +2-e3j3 yx2 x10 二e 3 广 /r50即 y+-y=0.（5）若 门14 c osm+。214 sin 五=0，即 q cos f x+c2 sin J x=0,
48、故有，1=。2=0，从而r%cos6,14 sin正 在（。，）内线性无关。1 _ 1 _ x彳cos Vx,X4 sin V x为基本解组的二阶线性齐次方程为141-43-4c-coscC OS我 X2_ 7.cos/r -4%sin 正c J xx4 sin 石_ 3 _ r 4 sin+-x 2 cosVr4 2二-2-r 4si n _lx 4 sin7716 4=0r即 16x2y+0 x+3)=0.2.因丁=(p(x)-z,y=(p(x)z+(p(x)z,yu=w(x)z+20(x)z+w(x)z代入原方程整理得皿“+(2 d+?(x)w)z+(w”+产(x)+Q(x)o)z =0
49、.因w(x)是解，有火+尸(x)Y+Q(x)0=。.设z =u,上式变为(u+(2P于是原方程的通解为y=c2P+CIPJ 3 0刃汽 公公.中3.令y=8-尸 故江口满足方程-%”J 、e 2 y,+2e 2 I-2r l +xe 2 u=0,2即/-刈=0,解之，得一解，=。2，故有$从而原方程的通解为丁 =e 2 +句。2 d x.101105答案:y=COST-xsinr,j =-rcosx-2sinr;=sinx+rcos,夕=r sin r+2 cosxj=ci(-xcosr _ 2 sin r)+C2(-sinr+2cosr),j j =ci(-2 sin r)+Q 2 COST
50、 成立.x 12.y +y=sinx有特解 yi n-c o s x j+y=-cos2x有特解内=qcos2x，利用叠加原*X理，原方程有特解J=-c o s r+-c o s 2 r,原方程通解为：y(x)=CjCos x+c2 sin x-cos x+ycos 2xo3.必=6 x+l是特解，_/+y=0的 通 解 是 丁=。1。5芯+勺5垣x,故原方程的通解为y(x)=q cos x+c2 sin x+6x+l。4.乃=+3是特解，故原方程通解为y(x)uqcosx+Q sin x+ax+占。5.乃=一3、+与 是一个特解，1/-丁=0的通解为旷=与/+。2。-”,故原方程通解为y(x