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1、2022-2023学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4 分，共 48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1.下列各数中，最小的一个数是（）A.-3 B.-1 C.0 D.22.下列图形是中心对称图形的是（）CBQ CN DK3.下列问题中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A.调查一批灯泡的使用寿命B.调查一架“歼 20”飞机各零部件的质量C.调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况D.调查重庆市空气质量情况4.如图，ABC与位似，点。为位似
2、中心，位似比为2：3,若 的 周 长 为 6,则A8C的周长是（）5.下列计算中，正确的是（）A.2+73=273 B.娓+如=如 C.4 7 7-3 V 7=V 7 D.近 乂 圾=庭6.如图，曲线表示某同学身高的增长速度（厘米/年）随 年 龄（岁）的变化情况，则该同学身高增长速度最快的年龄约为（)7.老牛和小马各驮几个包裹一同赶路，老牛驮的包裹数比小马的多2 个，若从小马驮的包裹中拿下1 个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2 倍，问老牛和小马各驮了几个包裹？小南准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是x-y=2,则符合题意的另一个方程为()A.x+1=2y B.2
3、(x-1)=y+l C.2(x+1)=y-1 D.x+=2(_y-1)8.用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有3 个五角星，第个图案中有7 个五角星，第个图案中有12个五角星，第个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第个图案中五角星的个数为()A.42 B.52 C.569.如图，在中，点 C 是右上一点，且 踊=2踊,若 乙4=36 TD.63，则NBOC的度数是（）C.68 D.661（）.如图，在正方形ABC。中，点 E,G 分别在A。，BC边上，K AE=3DE,BG=CG,连接BE、CE,E F平分/B E C,过点C 作 C FLEF于点F,连接G F,若正方形的
4、边长为A 5-M B 5-V i c 5-V I7 口 V17-32,2 -2-T 但 z L x+l n R11.若关于X的一元一次不等式组2 k x L有解，且关于y 的分式方程型a _ 2 上 2 x-4 =分+（。#0）交于A（4,/n）,B（n,x-2）两点.（1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出关于x 的不等式名W o r+力的解集；x（3）若点A 关于x 轴的对称点为点。，求A8。的面积.2 1.（1 0 分）车厘子，其含铁量是水果之首，它营养丰富，深受消费者喜爱.某超市准备花2 0 0 0 0 元购进一批车厘子，实际购买时，由于在原
5、进价的基础上打了 8折，结果用同样的钱比预期多购进1 0 0 斤.(1)车厘子的实际进价为每斤多少元？(2)若该品种的车厘子市场售价为8 0 元/斤，可售出2 0 0 斤，根据销售经验，降低售价会促进销量的增加，即售价每斤降价1 元，销量相应增加1 0 斤，超市决定将部分车厘子降价促销，售价定为多少元时，可使促销部分的车厘子获利9 0 0 0 元？2 2.(1 0 分)如 图，小开家所在居民楼A C,楼底C点的左侧3 0 米处有一个山坡。E,坡角为 3 0 ,E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离D E为 4 0米，在图书馆E点处测得小开家的窗户8点的仰角为4 5 ,居民楼4c与山坡OE的
6、剖面在同一平面内.(1)求 B C 的高度；(结果精确到个位，参考数据：V 3 1.7 3)(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6/n/s,上坡速度为4 加s,电梯速度为1.2 5 m/s,等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3 分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？口口2 3.(1 0分)把一个四位数M 的各个数位上的数字相加的和记为把M 的千位数字与个位数字的乘积减去百位数字与十位数字的乘积所得的差记为 若k恰好是n的整数倍,则称M 是“k阶行列和倍效，|1为 M 的“行列商”.例 如:=2 1 4 3,.次=2+1+4+3=1 0,“=
7、2 X 3-1 X 4=2,k=5,；.2 1 4 3 是“1 0 阶行nl列和倍数”，“行列商”为 5.又如：M=1 7 3 8,=1+7+3+8=1 9,“=1X8-7X3=73,不是整数,1 7 3 8 不13是 隈 阶行列和倍数”.（1）判断7 3 2 8,9 2 4 1是否为“7阶行列和倍数”,并说明理由；（2）若M为“1 5阶行列和倍数”，M的“行列商”恰好是1,M的千位与百位数字之和能被9整除，求所有满足条件的2 4.（1 0分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=*-1 2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛 物 线 产|x2+x+c经过A,C两点，与x轴的另一个交点为点B.（1）
8、求抛物线的函数表达式；（2）点。为第四象限的抛物线上一动点，连B Q,与A C相交于点E,设点。的横坐标为t,=K,求K与f的函数关系，及K的最大值和此时点。的坐标；EB（3）在（2）中K取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移4个单位，点尸为点。的对应点，例为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N,使得以点E,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标.2 5.（1 0分）如 图1,等 腰R t Zi ABC中，N ACB=9 0,A C=B C,点O,E,尸分别为边A B,BC,A C上的点.（1）连接。E,B F相交于点G,连接。
9、尸并延长交2 C的延长线于点H.若BD=BF,DE=HE,求/O G尸的度数；（2）如图2,在（1）间的条件下，在平面内将线段0 8绕 点B顺时针旋转9 0 得线段P B,连接 G P.求证：P G+DG=M AB；(3)如图3,若。为 AB中点，DE L DF,连接E尸，点 M 为 尸中点，点 K 为线段CM上一点，将CFK沿着直线FK翻折至aC FK 所在平面内得到NFK,连 接C N,在点E、产运动的过程中，当线段CM取最小值且NKCE时，请直接写出旭：的值.NC2图3图22022-2023学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期中数学试卷（参考答案与详解）一、选择题：（本大题共12个小
10、题，每小题4 分，共 48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1.下列各数中，最小的一个数是（）A.-3 B.-1 C.0 D.2【分析】根据有理数大小比较法则判断即可.【解答】解：因为|-3|=3,|-1|=1,而 31,所 以-3 -102故 选:B.9.如图，在。0中，点C是标上一点，且 踊=2筱，若/4=3 6 ,则/B O C的度数是（）A.72 B.70 C.6 8 D.6 6【分析】根据2 4=3 6 ,即 可 求 出 以 及/A 0 8,再根据标=2众 可 得/8 O C=2 NAO
11、 C,即可求出N B O C的度数.【解答】解：=/A=3 6 ,.N A=N 8=3 6 ,ZAOB=108，V B C=2 A C.：.ZBOC=2ZAOC,：.ZBOC+AzBOC=108,2解得/8OC=72.故选：A.10.如图，在正方形ABC。中，点E,G分别在AQ,BC边上,且AE=3E,BG=CG,连接BE、CE,EF平分/B E C,过点C作C F L E F于点凡连接G F,若正方形的边长为4,则G F的长度是()【分析】延长C F交3K于”，利 用 已 知 条 件 证 明 四(ASA),然后利用全等三角形的性质证明G F B H,最后利用勾股定理即可求解.2【解答】解：延
12、长CF交BE于H,平分/BEC,ZHEF=NCEF,CCFLEF,：.ZHFE=4CFE,在HE尸和a c E尸中，Z HE F=Z C E F,E F=E F ZHFE=ZCFE:.HE乂XCEF(ASA),：.HF=CF,EH=EC,而 B G=CG,:.GF=LBH,2-：A E=3 D E,正方形的边长为4,：.AE=3,A B C D=4,O E=1,在 Rt A B E 中，=VAB2+A E2=5,在 Rt AC DE 中，C E=H E=7c D2+D E2=：.BH=BE-H E=5 -J T 7，GF=n二昱 L.2 23 x-l 、_1 1.若关于X的一元一次不等式组 2
13、 ，x+l有解，且关于），的分式方程型3 _ 2上2,2 x-4 a y-1 ”的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和是（）A.7 B.9 C.1 4 D.1 6【分析】根据一元一次不等式组有解可以得出。4,由分式方程的解为整数以及增根的意义可求出=3或“=-1或5,最后计算所有满足条件的整数a的和即可.【解答】解：解不等式 得x 2 3,2解不等式2x-4 3,2：.a2,又.关于y的分式方程的解是y=_8a-l为整数，.a-1 =1 或2 或3 或 6,1W 0,而当“=1时，方程无解，.,.a rl 且_ A_#1,a-l且“#7,又,:a2,/.3 或 a4,所以所有满足条件的整数a
14、的值之和为3+4=7,故选：A.12.有依次排列的两个整式a,b,第1次操作后得到整式串a,b,b-a-,第2次操作后得到整式串a,b,、b-a,-a；其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项-前一项），下列说法：第4次操作后的整式串为a,b,b-a,a,-b,a-b；第2 02 2次操作后的整式串各项之和为a+h；第36次操作增加的项与第63次操作增加的项一定互为相反数.其中正确的个数是（）A.0 B.I C.2 D.3【分析】首先具体地求出每一次操作后得到整式串以及整式串各项之和，从中发现规律,进而判断即可.【解答】解：由题意可得，第1次操作后得到整式串a,b,；各项之和为2；第
15、2次操作后得到整式串a,b,b-a-a；各项之和为2 b-a；第3次操作后得到整式串a,b,b-a,-a -b；各项之和为6-a：第4次操作后得到整式串a,b,b-a,-a,-b,a-b；各项之和为0；故说法错误;第5次操作后得到整式串a,b,b-a,-a,-b,a-b,a；各项之和为a；第6次操作后得到整式串a,b,b-a,-a,-b,a-b,a，b；各项之和为a+b；第7次操作后得到整式串a,h,h-a,-a,-b,a-h,a,h,b-a-,各项之和为2/?；所以，各项之和以6次操作为一个周期依次循环.；2 02 2+6=337,.第2 02 2 次操作后的整式串各项之和与第6 次操作后的
16、整式串各项之和相同，为a+b,故说法正确；36+6=6,.第36次操作后的整式串各项之和为a+b,而第35 次操作后的整式串各项之和为a,.,.第36次操作增加的项为b.V 63 4-6-10.3,.第63次操作后的整式串各项之和为b-a,而第62 次操作后的整式串各项之和为2 b-a,.,.第36次操作增加的项为-b,.第36次操作增加的项与第63次操作增加的项一定互为相反数，故说法正确.故选：C.二、填空题(本大愿共4 个小题，每小题4 分，共 16分)请将每小题的答案直接填在思卡中对应的惯线上。13.(-A)+0=3【分析】先计算负整数指数基和平方根，再计算加法.【解答】解：(-1)2+
17、4 13=9+2=11,故答案为：11.14.一个多边形的内角和为9 00 ,则这个多边形的边数为7.【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于9 00。，列出方程，解出即可.【解答】解：设这个多边形的边数为，则有(-2)X 180=9 00,解得：n1,这个多边形的边数为7.故答案为：7.15.有三张完全一样正面分别写着数字1,2,3 的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是 5.【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.【解答】解：列表如下：1231
18、23423453456由表知，共有9种等可能结果，其中数字之和为偶数的共有5种结果，所以抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是经，9故答案为：立.91 6.目前，新能源正处于快速发展阶段.某汽车厂6 月份生产A,B,C 三种型号的新能源电动汽车，其电池的充电时间之比为4：1：2,充电速度之比为1：3：2 （假设充电速度是匀速的），1 1 月该汽车厂研发团队对这三种型号的汽车电池性能做了优化，电池容量和充电速度均比6 月份有所提升.优化电池性能后，4型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的工，B、C 两种型号汽车增加的电池容量之比为4：3；同时，A 型汽8车充电速度增加了 3.1 2 5
19、%,且 8,C 两种型号的电池容量之比为3 3：3 7,则 A 型汽车电池优化前与优化后的充电时间之比为.-16 一【分析】设 A,B,C 型号的电动汽车的充电时间分别为：4 a,a,2 a,充电速度分别是从3 b,2 b,所以电池容量分别为：4 ab,3 ab,4 ab,设 8,C 两种型号汽车增加的电池容量分别为4,小3 m,根 据“B,C 两种型号的电池容量之比为3 3：3 7”得出方程，解得机=曳 b,设 A 型汽车增加的电池容量为x,所 以Sx=4 ab+3 ab+4 ab+x+4 m+3 m,解得尤=7l h b+m 2 a b,再根据“A 型汽车充电速度增加了 3.1 2 5%”
20、，可得出优化后的充电速度，7进而得出结论.【解答】解：设 A,8,C 型号的电动汽车的充电时间分别为：4 a,a,2 a,充电速度分别是 b,3 b,2 b,电池容量分别为：4 abf 3 ab,4 ab,设 3,C 两种型号汽车增加的电池容量分别为4?,3/7 1,3ab+4m=334ab+3m 37解得 m-ab,7设 A 型汽车增加的电池容量为x,/.Sx=4 ab+3 ab+4 ab+x+4 m+3 m,解得元=卫/?+m，7 工=2 出？,VA 型汽车充电速度增加了 3.1 2 5%,充电速度增加为：期,32.A型汽车电池优化前与优化后的充电时间之比为4 a：4a詈a b.=毁b 1
21、632故答案为：11.16三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括轴助线），请将解答过程书马在答题卡中对应的位置上。1 7.（8分）计算:（1）（x+2）（x -2）-x（x -3）；（2）（T）.a-4a+4 a 2【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可；（2）先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可.【解答】解：（1）原式=7-4-7+3X=3 x-4；(2)原式=-I -a-2+l(a-2)2 a-2=a-1,aT(
22、a-2)2 a-2=aT .a-2（a-2）2 aT=118.（8 分）如图，四边形ABC。中，A8C D,点 E 为 对 角 线 上 一 点.（1）请用尺规完成基本作图：在四边形内部作NQCF=NBAE,交 B D 于点F,连接AF,CE（保留作图疲迹，不写作法）；（2）根 据（1）中所作图形，小南发现：若 B F=D E,则四边形AECF是平行四边形.请补全如下的证明过程.证明：四边形ABCO是平行四边形，：.AB/CD,AB=CD,/A B E=/C D F ,；BF=DE,：.BF+EF=DE+EF,H P BE=DF,:A B=C D ,：.（AAS）,：.Z A E B=Z D F
23、 C（全等三角形的对应角相等）,AE=CF,：.N A E F=N C F E,：.AE/CF.：.四边形A E C F是平行四边形.【分析】（1）根据要求作出图形即可;（2）证明 AE=CF,AECF 即可.【解答】（1）解：如图，A（2）证明：四边形ABC。是平行四边形，J.A B/CD,A B=CD,：.N A B E=N C D F,:BF=D E,，BF+EF=D E+EF,H P BE=D F.；A8=CZ）,A A A B E A C D F （A4 S）.A Z A E B=Z D F C（全等三角形的对应角相等），A E=CF,：.N A E F=N C F E,：.A E/
24、CF,.四边形A E C F是平行四边形.故答案为：N A B E=N C D F,AB=C D,全等三角形的对应角相等，A E/CF.四、解答题：（本大题7 个小题，每小题10分，共 70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位凰上，1 9.（1 0分）某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力,开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了 20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为1 0分，9分及以上为优秀）统计、整理如下：七年级抽取的学生的初赛成绩：6,6,7,7,7,8,8,8,8
25、,8,9,9,9,9,9,9,9,1 0,1 0,1 0.七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：年级七年级八年级平均数8.38.3中位数a8众数9b方差1.481.69优秀率50%m%根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a=8.5,h=7 ,m=45；(2)根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，鄢个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；(写出一条理由即可)(3)若该校八年级有90 0 名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计八年级进入复赛的学生人数.八年级抽取的学生的初募成绩条形统计图【分析】(1)根据中位数定义、众数的定义即可求出、人的值;(2)根据优秀率进行评价即
26、可;(3)用 90 0 乘以满分的百分比即可求解.【解答】解：(1)七年级的成绩：6,6,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,1 0,1 0,1 0.，中位数”=空 9=8.5.2根据条形统计图可知八年级成绩的众数为b=7.八年级的优秀率是士至 X 1 0 0%=45%,20故答案为：8.5,7,45；(2)根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：50%、45%.故七年级的的学生初赛成绩更好.(3)90 0 X _ L=225(人)，20答：估计八年级进入复赛的学生为225人.20.(1 0分)如图，反比例函数丫=至与一次函数y=o v+6(”W 0)交于A(4,in),
27、B(M,x-2)两点*(1)求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；(2)根据函数图象，直接写出关于x的不等式且W o x+b的解集；x(3)若点4关于x轴的对称点为点。，求 A8 O的面积.一次函数的解析式；(2)通过观察图象即可求得；(3)求得。(4,-1),即可求得AZ)=2,然后根据三角形面积公式求得即可.【解答】解：(1):点A(4,?)，B(，-2)在反比例函数=匡的图象上，x.m,-2 4 n m=1,n=2(4,1),5(-2,-2).把4、8的坐标代入产办+b得!4a+b=l,I-2a+b=-2解得 至，b=-l一次函数表达式为y=L-1；2在网格中画出一次函数的图
28、象如图:（2）由图象可知，关于x的不等式匡 数+6 的解集为-2 x 0 或 x 2 4；X（3）V A （4,1）,：.D(4,-1),：.AD=2,-SAABD=X 2X（4+2）=6.221.（1 0 分）车厘子，其含铁量是水果之首，它营养丰富，深受消费者喜爱.某超市准备花20 0 0 0 元购进一批车厘子，实际购买时，由于在原进价的基础上打了 8 折，结果用同样的钱比预期多购进1 0 0 斤.（1）车厘子的实际进价为每斤多少元？（2）若该品种的车厘子市场售价为8 0 元/斤，可售出2 0 0 斤，根据销售经验，降低售价会促进销量的增加，即售价每斤降价1 元，销量相应增加1 0 斤，超市
29、决定将部分车厘子降价促销，售价定为多少元时，可使促销部分的车厘子获利9 0 0 0 元？【分析】（1）设原计划价格为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤0.8%元，可得20000=20000 _100）即可解得答案；x 0.8x（2）设售价定为，元 时，可使促销部分的车厘子获利9 0 0 0 元，可得-4 0）2 0 0+1 0（8 0-机）=9 0 0 0,即可解得答案.【解答】解：（1）设原计划价格为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤0.8 x 元，根据题意得：20000=2OOOQ-IOQ.x 0.8x解得x=5 0,经检验，x=5 0 是原方程的解，0.8 x=0.8 X 5 0=4 0
30、,答：车厘子的实际进价为每斤4 0 元；（2）设售价定为x元时，可使促销部分的车厘子获利9 0 0 0 元，根据题意得：（m-4 0）2 0 0+1 0 （8 0-m）=9 0 0 0,化简整理得：?2 -1 4 0/+4 9 0 0=0,解得m=7 0,答：售价定为7 0 元时，可使促销部分的车厘子获利9 0 0 0 元.2 2.（1 0 分）如图，小开家所在居民楼4C,楼 底 C点的左侧3 0 米处有一个山坡。E,坡角为 3 0 ,E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离QE为 4 0 米，在图书馆E点处测得小开家的窗户3点的仰角为4 5 ,居民楼AC与山坡OE的剖面在同一平面内.（1）
31、求 BC的高度；（结果精确到个位，参考数据：A/31.73）（2）某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6 m/s,上坡速度为4/n/s,电梯速度为1.2 5 m/s,等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？DC【分析】（1）作 E F L A C 于 F,作 E G L C。，交 CD 延长线于点G,根据题意可得C D=3 0 米，N B E F=45 ,O E=4 0 米，Z ED G=3 0 ,然后利用特殊角三角函数即可解决问题;（2）根据题意求出小开到图书馆所用时间，再与图书馆闭馆所剩5分钟进行比较，即可解
32、决问题.【解答】解：（1）如图，作 E F J _A C 于 F,作 E G _L C ）,交 C。延长线于点G,得矩形EFCG,:EF=CG,EG=FC,根据题意可知：。=3 0 米，NBEF=45,。=4 0 米，ZEDG=30 ,.EG=DE=20 米，2:.D G=MEG=2OM（:米），:.EF=GC=GD+CD=（20我+30）米，：.BF=EF=（2073+30）米，BC=BF+FC=BF+EG=204+30+20=20+50心8 5（:米）,答：BC的高度约为85米；（2）根据题意得：30+6+40+4+85+1.25+3X60=263（秒），V 263|K+法+c,3 9.g
33、x8,8 b+c=0 /71.8尸于 M 尸M_LA8于M,尸。_1 _尸8于。，连接DP.图2则 N4M=NFM8=NWB=N3QP=90,ZMFB+ZFBM=/NDB+/DBN=ZPBQ+ZBPQ=90 :NDBP=90,：NDBN+NPBQ=90,NPBQ=ZBDN=/BFM,:BP=BD=BF,:./XBDN空/XBFM妾/XPBQ(A4S),:BQ=DN=FM,PQ=BM=BN,VZMM=45,/AMF是等腰直角三角形，:AM=FM=DN=BQ,V ZDGN=45,:AD N G是等腰直角三角形，DG=DN=MAM,t：BD=BP S,ZDBP=90,/DPB=NPDB=45=NDGF,。、G、B、尸四点共圆，：.ZPGQ=ZPDB=45,:.PG=MPQ=MBM,:.近 AB=AM+MBM=DN+近 PQ=PG+DG.(3)如图3,连接M。、CD.则 CM2CD-MD,当且仅当C、M、。三点共线时，CM取得最小值.此时，若K N/C E,如图4,设 A C=B C=4,则 FC=FN=2,F M=C M=,MN=2-如,：.CN2CM2+MN2=S-4&,.延=16 4+2任CN2 8-42