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1、习题9.1解答1.设0是圆环域：1 x2+y2 4 ,证明3兀e 4 W 3兀D证 在。上，/(元。)=/+的最小值加=6,最大值M=e，而Z)的面积S(D)=4兀 一 兀=3兀.山性质5得3兀e j j e +v d c r 3兀/.D2.利用二重积分定义证明：(1)|j d(7=(7(其中O为。的面积)；D(2)j 7(x,y)d b=Jj/(x,y)d b+J 7(x,y)d b,其中。=。0。2，2、。?为两个无公共D D|D2内点的闭区域.证(1)由于被积函数x,y)三1 ,故由二重积分定义得心6 =如 这/力,)阻=处 这 阻=处y=5D 1=1 /=!(2)因为函数/(x,y)在
2、闭区域。上可积，故不论把。怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割。时，可以使R和2的公共边界永远是一条分割线。这样x,y)在R U D2上的积分和就等于R上的积分和加D2上的积分和，记为X.f G/M s=f G,如 血+工f,如 叱.D,U D2 D)D2令所有A b,的直径的最大值2 fO,上式两端同时取极限，即得JJ f(x,y)da=JJ/(x,y)d c r+JJ/(x,y)d c r.力 山 力2 4 力23 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)J J.+y d b与j j(x+y)2d b ,其中积分区域。是由/轴、y轴与直线x +y =l所围D D成；(2)。(
3、*+)，)=(x,y)|O x 5,1 y 5 是矩形闭区D D域.(4)JJl n(x +y)d b与JJ l n(x +y)d b ,其 中。三 角 形 闭 区 域，三 顶 点 分 别 为D D(3,0),(5,0),(3,3).解(1)在积分区域。上，0 x+y l,(x +y)4(x +y)5.从而 j j(x +y)4d c r j j(x +y)5d c r.DD(3)由 于 积 分 区 域。位 于 条 形 区 域(x,y)|14 x+y 4 10 内，故 知。上 的 点满足0 4 1g(x+y)4 1,从而有口g(x+y)f l g(x+y).因此 j j l g(x+y)2d
4、c r JJl g(x +y)d l n(x +y).因此 j j l n(x +y)2d c r j j l n(x+y)d(T.D4.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)/=JJx 2(x +y)d c r 其中 =(x,j)|0 x 2,0 y S2x s i n2 y d c r D=(x,y)|0 x ,0 y7r D(3)/=JJ(x +)，一l)d(r其中。=(x,y)|0 x l,l y 3；D(4)/=JJ(x 2+4 y 2+9)d c r 其中。=(x,y),+y 2 4 4.D解(D在积分区域。上，0 4 x 4 2,04y41,从而0 4，&+y)42 ,又。的
5、面积等于 2 1,因此 0 4 “x y(x +y)d b 4 24.D(2)在积分区域。匕0 c o s x l ,0 s i n y 1 ,从而0 (:0$2八由，41,又。的面积等于7 ,因此OK JJc o s N s i n 2y d b K/D(3)在积分区域。上，0 x +y-l 3,。的面积等于2,因此0 4 JJ(x +y +l)d(r 4 6.D(4)在积分区域。上，0 x2+y2 4 ,从而 9 4;?+4 y 2+9 4 4,+y 2)+9 4 25,又 D的面积等于4兀,因此3 6兀4|j(x2+4V +9)d c r W 10 0兀D5.设/产 Jj(x2+y2)3
6、d a 其中 D,=(x,y)|-l x l,-2 y 2 ；又 八=JJ，+/)3d jo,2其中&=(x,y)|0 4 x 4 1,0 4 y 4 2.试利用二重积分的几何意义说明乙与之间的关系.解 由二重积分的儿何意义知，4表示底为A、顶为曲面z =(/+V)3的曲顶柱体Q 1的体积；乙表示底为。2、顶为曲面Z=(1+y 2)3的曲顶柱体鼻 的体积.由于位于A上方的曲面Z =，+y 2 y关于y Oz面和z Ox面均对称，故y Oz面和z Ox面将5分成四个等积的部分,其中位于第一卦限的部分即为复?.由此可知乙=4/2.习题9.2解答1.计算下列二重积分：(1)j j-4 d.r d y
7、 ,其中。是正方形区域：1 4 x 4 2,0 4 y 4 1.(2)JJ(3 x +2 y)d b,其中。是由两坐标轴及直线2x +y =2所围成的闭区域；D(3)J(x +3 f)，)d b，其中 )=(R,y)|0 Kx Kl,0 y Kl；D(4)J卜s i n(x +y)(h d y其中)是顶点分别为(0,0),(兀,0)和(兀，兀)的三角形闭区域.0(5)s i n d r d y ,其中D是有y =0,x =l,y =x所围成的闭区域.D X解 J传 出dy=fdd*dy=；G dx=；.八人 -A L 人 I(2)。可用不等式表示为0 4 y 4 2(1-x),0 x =(x,
8、)，)|0 4x 41,0 4 41 是正方形区域，所以jj(jc+3x2y)d cr=f d y，(x +3Yy)d x=(g +加)；(y+y2)=(4)解C可用不等式表示为0 4 y 4 x,0 x 7t ,于是jjx s i n(x +y)dxdy=xdx s i n(x +y)dyD=x-co s(x +y)()d x=J x(-co s 2 x +co s x)dx-co s 2%；+co s x ；=-2.解j|x s i n d r 办，x s i n A/y=j x2t/x s i n -d()=j x2-co s dxX 0=(1-co s 1)f x2dx=；(1 -co
9、 s l).(6)j1(x2 4-y2)d =(x,y)|x|W l,|y|W l ；(1)。是山直线y=2,y=A1 及 y=3x 所围成的闭区域.图 9.2-1(3)(2)由x 轴及半圆周/+丁 2=/。之0)所围成的闭区域；(3)山双曲线y=(x 0)和直线y=3,y=x,所围成的闭区域;X解(1)画出积分区域D 如图9.2-2 (4),。可用不等式表示为0 4 y 4 2,于是，=f d y/(x,y)d r ,或3/=也f(x，y)d y+f&f f(x,y)d y.(2)将。用不等式表示为0 4 y 4 必下，-a x 0)和直线y=3,X所围成的闭区域D 的图形(如图9.2-3(
10、3)；1=f d r /(x,y)d y 或图 9.2-3(3)/=J d y f(x,y)dx+dy f f(x,y)dx.3 y(4)环形闭区域(x,y)|1 4x 2+V 44.解将。划分为4 块，得I=t力 幅/a，y)&+二力匿y)出+d y却/(x,y)d r +f 尊 f(x,y)d r.3.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)py db,其中。是由两条抛物线尸 五，y=d所围成的闭区域；D(2)JJx J7d b,其中。是由圆周/+y 2=4及 y 轴所围成的右半闭区域；D(3)e d b,其中。=(x,y)|x|+|y|41 ；D4)jj(.r2+y2)d cr,其中。是
11、山直线y=2,y=%及 y=3%所围成的闭区域.D(5)jjx e-dxdy,其中。是由 直 线y=x f x =3和 y=1 所围成的闭区域.D Jb，Jl +x 2-/da,其中。是由直线y=x,x =-l 和)，=1 所围成的闭区域.D(7)jp ye-v d r d y,其中D 是由直线=工，工=-1 和 y=l 所围成的闭区域.D(8)计算JJx yd o,其中。是由抛物线丁=%及直线y=x 2 所围成的闭区域.D解(1)画出积分区域D 如图9.2-2 (1),。可用不等式表示为x2 y4x,0 4 x 4 1,于是图 9.2-2(1)7 V Jo=56(2)画出积分区域D如图9.2
12、-2(2),。可用不等式表示为0 x 7 4-/,-2 y =U2 i 其中 A=(兀丫)1一 工 一 14二 Wx+L-14x40,。1 =(x,y)|x-i4 y r+L 0 x l,于是jjet+,d cr=JJevd cr+JJed bD D j D2=(e2+,-e-1)d r +_ (e-e2 x-)d r-1=e-e.(4)画出积分区域D如图9.2-2(4),。可用不 等 式 表 示 为 y,0 y (如图9-1 3),若把。看成 型 区 域，则利用公式(2 )得乐 即=卜 犯也=Dx25yy+2dyJy(y+2)2-ydy2 4 1_ 1一2y4 4 1 7 y64+3J+2j
13、-62454.改换下列二次积分的积分次序:1 k f/(x,y)d y.；f d y：/(x,y班；&/(匕加；(4)d y j(%,y)d x ；en in xf d r f.J(x,y)d y.JO J-sni-2(6)%yd x +d r.7-2孙d x解(1)所给二次积分等于二重积分JJ/(x,y)d b,其中DO =(x,y)|x W y M l,0 x l ,。可改写为。=(x,y)|y,0 y 1 ,于是原式=f d yf 1/(x,y2.(2)所给二次积分等于二重积分JJx,y)d b,其中DD =(x,y)y2 x2y,0 y 2 ,。可改写为(x,y)弓 4 y 4&,0
14、4 x 4 4 ,于是原式=(3)所给二次积分等于二重积分JJ/(x,y)d b,其中DD=(x,y)|2-x W y-Y,x 2 ,。可改写为原式=f d y1 N/(x,y)d x.(4)所给二次积分等于二重积分 jj/(x,y)d b ,其中。=(x,y)|e，W x W e,0 y =(x,y)|0 4y4l n x,l e ,于是原式=f d x f(x,yX v -(5)所给二次积分等于二重积分J，(x,y)d b,将。表示为U2,其中DA=(x,y)|a r cs i n y x n-a r cs i n y,0 y 1 ,=(-r,y)I-2 a r cs i n yxn,-1
15、 y Wdy=f 学心&=：学/*=1一。$1.5 .计算由四个平面x =-l,y=-l,x=l,丫 =1所围成柱体被平面2 =0及2 x +4 y+z =5截得的立体的体枳.解 此立体为一曲顶柱体，它的底是x O y面上的(正方形)闭区域O =(x,y)|T4 y4 1,-1 4 x 4 1 ,顶是曲面z =5-2 x-4 y,因此所求立体的体积为V=J|(5 -2x-4 y)d x d y=f d x (5 -2 x -4 y)d yD=2(5-2 x)d r =2 0.6 .求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.解 设这两个圆柱面的方程分别为V+/=R2及/+2 =f可利
16、用立体关于坐标平面的对称性，算出它在第一卦限部分(图9.2题6(a)的体积匕，再乘以8即可.所求立体在第卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为D=x,y)O yyjR2-X2,0XR如图9.2 题 6(b)所示，它的顶是柱面z =VF=？.于是V 1 =-x2da =J J V/?2-x2da =IR2-x2dyD D=f yy/R2-x2 d x=(R2-x2)d r =17?从而所求立体的体积为K=8匕=R3.39.2 题 6图习题9.2-2 解答7.画出积分区域，把积分J J/(x,y)d b 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域3D是：(1)(x,y)x2+y2 2a x；(2)
17、(x,y)a2 x2+y2 b2,其中 0 a b；(3)由三条直线x =0,y=0,x +y=1.围成.解(1)在极坐标中，积分区域D的图形(如图 9.2-7),D =(p,0)O p2cos0,-y6|,友J J 7(x,y)d b =f(p c o s 9,p s in 6)pApA dD DL f l.(l C G 3 0R d，/(p c o s 6,2 s in 0)pAp.2(2)在极坐标中，。=(夕,夕)|。4夕4 0 4 2兀,故j|/(x,y)d c r =j j/(p c o s 0,p s in 0)pdpd0=(夕 c o s/p s in。)/?”?.D D(3)在
18、极坐标中，积分区域D的图形(如图9.2-7 (4),直线x +y=1 的方程为p=-,故s in 6 +c o s。D =(p,)|0p s in。+c o s。0 ,psin6)/?d/?d6DDK 广 I=f d gjsin e+cose y,(p cos 0.p sin 0)pdp.8.化 下列二次积分为极坐标形式的二次积分：fd_rf/(x,y)dy;(2)jd x /(x,y)dy；ix f(x,y)dy.解(1)用直线y=x 将积分区域。分成鼻、。2两部分：7 T=(p,)|0psec9,0 6-,7T 7TD2=(p,0)Opcsc09-6 -.,于是F乃 C 夕 FSC 0原式
19、=d8/(pcos，,/?sin6)/xi/7+g d，/f(p cos0,p sin0)pdp.4(2)在极坐标中，直线x=2,丁 =1 和丁=退工的方程分别是夕=2$(:。，夕=?和40=-o 因此。=(p4)0p42sec&-0 -,又/(+y2)=/(夕),于是3 4 3,、J p2sec。原式=g d j f(p)pdp.4(3)在极坐标中，直线y=l-x 的方程为夕=!，圆)，=71二巨的方程为sin 夕 +cos。1irp=l,因此。=(p,6)|-p l,0 -,故sin 夕 +cos。2原式=，d e j f(pcos0,p sin O)pAp.sinO+cos。(4)在极坐
20、标中，直线x=l 的方程为夕=sec。，抛物线y=/的方程为psin0=p2cos20,即/tanesece；两者的交点与原点的连线的方程是0=(因此JTD=(p,0)tan0sec0psec0,0 0 ,故4n；ec8原式=，d 0 /(p cos p sin 0)pdp.Jo JtanGscc，9.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)(x2+y2)dy；(2)dx yjx2+y2dy；(3)*：(/+丁)2&,；(4)/dy/(x2+y2)d r .解(1)在极坐标中，D =(p,0)O p2a cos0,0 0 -,故原式=fdere p d p =na4.(2)在极坐标中，D
21、 =(p,0)O pa sec0,O 0 -,故4原式=j d e p-p d p =y V 2 +l n(V 2 +1).(3)在极坐标中，抛物线y=/的方程为0s in 6 =c o s?6 ,即0=t a n 6 s e c e；直线y=x 的方程是。=二，故。=(/7,9)|O W 0W t a n O s e c e,Q 0 ,故44原式=3 蓝丽=&-1.(4)在极坐标中，积分区域7 T。=(0,8)|04 夕4%0 -,于是原式=?姐 方 pdp=aA.1 0.利用极坐标计算下列各题：(1)张“八声db,其中。是由半圆周V+y2=9()，2 0)与X轴所围成的闭区域；D(2)j
22、j a r c t a n)d c r ,其中。是由圆周/+)3 =1 ,x?+丁=1 6 及直线 y=0,y=x J?f围成的在第一象限内的闭区域.解(1)在极坐标中，D =(p,6 )|0yO 3,0 K,故原式=：d 9 e3/r-pdp=弓(e -1).（2）在极坐标中，。=（2,。）|1 4夕4 4,0 =(x,y)|x2+y2 1 所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差:V =j j(3 -2x2-y2)d =，y=x +l,y=l,y=3所围成的闭区域;(4)庐 万db,其中O是由射线=-D和和圆/+)产=。2/2 +,2 =/，(白 )|1 y 2 ,故y好d*(2)选用极坐标
23、，取。=(夕,。)0 0(，故j j j l +f+y2 d b =+-pdpAOD Dn _ _ _ _ _=d 0 +p2-pip._ _ _ _ _ 1 3 T 3JT 177Pdp=g.1(1 +夕2户 二3(1 +/六 _1 2 2 3 A 6(3)选用直角坐标,J J，+y 2)d b=jd y f 2+/击=f 伽 产 一 小 +耳 DyJr 2|3=1 4.3 2 3 J,(4)选用极坐标，由函数和枳分区域的对称性，取枳分区域D.=(p)a pb,0 0)所 截 得 的(含在圆柱面内的部分)立体的体积(图9-3 0).zk 耳k(a)图 9.2-1 3解 由 对 称 性，_ _
24、 _ _ _ _ _ _ _ _ _V=4 4 a2-x2-y2cD其中。为半圆周y =J 2 a x-V及x 轴所围成的闭区域,。=1(0,6)0 p j：D=y3f(1-si n3 0)d0=ya3(|-p=2 uc os0a 2a x(b)I rd y,在极坐标系中，闭区域。可表示为COS1 -Q4a -p-pAp令14.证明|/(x)|g(x)|x 0,根据二重积分性质，有J J f|/(x)|T g(y)/d x d y 2 0 ,即D2 /。)版()/山4 jj/2(x)d x d y +J jg 2(x)dxdy,D D Df2M dxdy=f d y f f2(x)dx=(b-
25、a)j?(x)jx,DJ J g 2(y)dxdy=f%f g 2 (y)dy=(h-a)g2(y)dy=(b-a)g2(x)dx.D所以，2 J|/(x)|g(y)W x d y (6-a)/2(x)+g2(x)x.D即，J J|/(x)|g(y)d y W 与0 /2(x)+g 2(x),x.D2习题9.3解答1.化三重积分/=川/(“)(1 岫为 三 次 积 分，其中积分区域Q分别是:解n由曲面Z=f及平面z=0,y=0,x =0 和 x+y =1 所围成的闭区域;由曲面z =f+,2 及平面z =4 所围成的闭区域；由曲面z =x y ,+1 =1，z =。所围成的在第一卦限内的闭区域
26、.(1)。可以表示为：Q =(x,y,z)|OK z ,2,0 y l-x,0 x l|,其中 2 V =(x,y)|O y l-x,o x ,其中D=(x,y)卜，4-J?y l4 x2,2x2因此I=jjd x d y f,J(x,y,z)d z.J J J x+yD=f段 dyjvja,y,z)d z.(3)Q可用不等式表示为：Q=(x,y,0 xy,0 y h.1-,0 x a其中。=，(x,y)O y。卜 一.，0 x 因此/=J J ff(x,y,z)dzD=/(x,y,z)d z.习题 9.3-1 (3)=12 .计算三重积分jjjA d.rd y d z ,其中Q为三个坐标面及
27、平面x +2 y +z =1所围成的闭区Q域.解作闭区域。如图9.3-3所示.将。投影到x O y面上，得投影区域Oq,为三角形闭区方程依次为y =0,1 =0及丸+2)=1,所以)XDo.=(x,.)|0 y -,0 x l.2在 内 任 取 一 点(x,y),过此点作平行于z轴的直线然后通过平面z =l-x-2 y穿出。外.于是，由公式得I J jjf d rd y d z =f d r/d y j x d zn习题9.3-2J一.t=1 xdx(1-x-2y)dy=；f (x 2x2+x3)d r=2.3 .计算J J jx z 2 d A-d y d z ,其中。是由曲面z =x y，
28、与平面/+y =/和z =0所围成的闭区域.解。可用不等式表示为:Q=|(x,y,z)|0 z xy,0 y V l-x2,0 x z其中 D=(x,y)|oW y。J l-J i?,0 x 1 2 5 7 8 3 3 6 04.计 算 小 一.dydz 其中c为平面x =0,y=0,J”(l+x+y +z)3四面体.解。可用不等式表示为：O W z W l-4一乂 0 y 1 -x,z =0 ,x +y +z =l所围成的0%l-xd r=-(I n 2-).o 2 85.计算三重积分jjP&td y d Z2 2 2,其中。是由椭球面与+4+0=1所围成的空间闭区a b c域.z =2-x
29、?所围成的闭区域.解C可用不等式表示为:。=(X,y,Z)卜2 +2 y 2 4 z 4 2 -x2,(x,y)。卜其中 卜 J l-f J l-产,-l x l)J.因此/=J拉d：+)d z =*(/+/)则 二4D但上式计算麻烦，故考虑柱面坐标，D化为：D =(p,6)|0 p 0,/?0)所围成的nR闭区域.解 Q 在x O y面上的投影区域%=(x,y)|x?+V 4 R),l=(x,y,z)x2+y2 zh,(x,y)e 2J.于是A恤k d y d z=J J d x d y 也C%R=g +)口=g J J d x d j-J j,(x2+y2)d x d y=g-7 t/?2
30、-j：d。j：03 d 0 =(成 沙.8.选用适当的坐标系计算下列三重积分：(1)f f jz d p ,其中。是由曲面Z =7 T K 7及Z =W+y2所围成的闭区域；Q(2)jjj(x2+y2)d v,其中C是由曲面x?+y 2=4 z及平面z =l所围成的闭区域.Q解(1)Q 是上半球血和旋转抛物面围成的闭区域，它在X。)，面上的投影区域Dx y=(x,y)x2+y2 ,利用柱面坐标，。可用不等式表示为:p2 z 2-p2,0 p 1,0 2K,因此jjjz d v=J J J z p d p d d zC Q=fdefpd夕 z d z=g/d“0(2 一/)S =g.2兀/一 勺
31、 盘 哈.由f+y2=4 z及z =l消 去z得d+y2=4,从而知。在x O y面上的投影区域为=(y)I X2+y2 4,利用柱面坐标，。可表示为:2Q=(p,0,z)z 1,0 p 2,O02TI,4因此，|jj(x2+y2)dv=jJJ/j2 pApdddzQ n=一腹切应出4=何盟一4 24习题9.38(2)I2 8兀=2兀l=T9.利用球面坐标计算下列三重积分：jjj(x2+y2+z2)d v,其中C是由上半球面f +yZ+z?=1,zNO所围成的闭区域；Q求半径为a,球心为(0,0,a)的球面与半顶角为a 的内接锥面所围成的立体(图9.3-9 (2)的体积.解(1)上半球面/+/
32、+/=1 (z 2 0),用球面坐标表示的方程为:TTr=l(0 y,0 2).IfliJQ 可表示为:Q=Ur,0)O rl,O y,O 0.因此有|J|(x2+y2)dv=jjjr2sin2-r2sm(pdrd(pd0Qa=2TT-cose+gcos，9C 1r 4兀=。152o5解(2)设球面通过原点。，球心在z 轴上，又内接锥面的顶点在原点。，其轴与z 轴重合，则球面方程为r=2acoss,锥面方程为 =a .因为立体所占有的空间闭区域。可表示为Q=(r,8，e)0r 2acos夕，0 a,0 2兀,所以图 9.2-9(2)V=jjjr2sin9Jdrdd0=j C r2 sinpdr
33、apa.2。c o s。,=27 i I s i n(pd(p I rdr6ncr 13=-I c o s 9s m 0d 91 0.选用适当的坐标计算下列三重积分：(1)jjp y d v,其中Q为柱面/=1及平面z =l ,z =0,x =0,y =0所围成的在Q第 一 卦限内的闭区域：(2)川西+2心,其 中 C是 由 球 面 丁+丁+Z 2=7所围成的闭区域；Q(3)U J(x 2+y 2)d v,其中。是由曲面4/=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区域；Q(4)jjj(x2+/)!)-其中C闭区域由不等式0 aJ府+;/+z 2 4 4,z 2 0所确定.Q解(1)利用
34、柱面坐标，。可表示为：O K z V l,0 p l,0 p 因此J J J 盯 d u=|jjp2s i n c o s pdpdO dzQ Q=f s i n e c o s O d，(夕夕d z =.在球面坐标系中，球面Y +y 2+2=z的方程为厂2 =r c o s。，即r =C O S Q.Q可表_ T C示为O V r Wc o s。，0 4夕5，0。4 2花，于是JW-+-d v=J jjr -r2sin(pdrd(p(iGC Q=d 8,s i n弱es/d r =R(3)利用柱面坐标，。可表示为：争 z V 5,0 p 2,O 0 2 n,因此J J j(x2+y2)dv=
35、|J|p2 pdpdO dz=仙“夕 加 良 出=8兀2(4)在球面坐标系中，。可表示为0 p 0。2兀，于是川&+y 2)d v=jjjr s i n2。/s i n如C=s i n/d。=(力 一，).习题9.4解答1.求半径为的球的表面积.解 上半球面的方程为Z=&2-x 2-y 2 ,则它在X。)，面上的投影区域D=(x,y)x2+y2 a2.由及-x .-y 得&Mx-y”8y 荷 _尤2 _尸、Z因为这函数在闭区域D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式.所以先取区域D,=(x,_y)x2+y2 h2(0 h a这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为A =4兀2.求山两个曲面z
36、=2 一 J/+)2,x2+y2=a z(。0)所围立体的表面积.解 由 方 程 组z=2 a-yjx2+y22 2x 4-y=az得这两个曲面的交线为圆周：x2+y2=a2,z =a.在 X0Y 面对投影为 0n.=(x,y)x2+y2=a2,z =0在平面z=a上方的曲面z =2 -J x2+丁 的表面积为dxdy=J J V d vd y =五兀 a?.D x y在平面Z上方的曲面为从而，京三卷吟其表面积为&2d rd y =2 +4 x2+4 y 2(j j v d)：=j jyja2+4 p2pApA0 =j d 8(yja2+4 p2p&p“%a=(a2+4p2y =56-乃 26
37、 小 Jo 6A=A 1+A 2=(-+V 2)a2.63.设面密度为常量的匀质半圆环形薄片占有闭区域y图 9.4-3(1)D 2D=(x,乂0)|R Jx2+y2 09 求它对位于z 轴上点 A/o(O,O,a)(a 0)处单位质量的质点引力厂.解 dFx=G-出rd c r,dF：=G如 创 一-d(y.(炉 +2户 (J+、2 +/户F=G-r d b =G d e j pdpD(x2+/+a2)2 2(p2+a2)2JR：+q2 +R、R；+a?q R；+q2图 9.4-1 4由于。关于x轴对称，且质量均匀分布，故 工=0.因此引力为:_J_、也+/JR；+/,F=R)处的单位质量的质
38、点的引力.解 设球的密度为M ,山球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0,所求的引力沿z轴的分量为区二项,c x2+y2+(z-a)22=G/JJ-一期八 申 T|y+y 2+(z-a)2 2=GfhR(z-a)d zfi.itd4-p-p-p2+(z-a)25=2 7 c Gr(z-。)=2nG4-2/?+L ar4 兀*i=_Gk/(i i L-1=d zl Z ylR2-2az+a2)(z-)d J/?2 -2 呢+2 :J-R=Ga(?/?3、=2 7 i G-2 H+2H-*l3fl)其中知=殍 为 球的质量，G 为引力常数.上述结果表明:匀质球对球外-质点的引力如同球的质量
39、集中于球心时两质点间的引力.5.设薄片所占的闭区域。如下，求均匀薄片的质心：（1）D介于两圆一 =2 si n）和夕=4 si n。之间的闭区域；（2）D是介于两个圆p-2 c os。,p=2 f tc os（0 之间的闭区域;（3）D是 半 椭 圆 形 闭 区 域+解（1）因为闭区域。对称于y 轴，所以质心。壮,亍）必位于y 轴上，于是夏=0.再按公式1=”y d(7计算）由于闭区域。位于半径为1 与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A =3 兀.再利用极坐标计算积分：f y d b=J，si n O d 0 d O=si n，d 0 O 如Dsi n4 OA0=7K
40、.因此亍=3I，所求质心是c（o：37）（2）因。对称于x 轴，故质心（尤,y）必位于x 轴上，于是y =0.A=7 t(/?)2-7 t(6()2=n(h2-a2)j j.rd x d y =cosO-pApd0=c os，d e “p2d p =D D2押-/),o故，=1史 如 心 喋 胃 所求质心为a2+ah+h2 1 a 0),z=0 ;(3)z=/+y,x +y =,工=0,y =o,z=0 ；(4)求均匀半球体的质心.解(1)曲面所围立体为窗锥体，其顶点在原点，并关于z 轴对称，又由于它是匀质的,因此它的质心位于z 轴 匕 即x一 =y =o,立体的体积为丫=；1兀.W 啊4 J
41、 1n?+y2 ldxdyI1 1 ：(l-x2-y 2)d rd yx2+y2 i1 r 2,t r l 1 -3=y i d 0j l-(l-p-)pd p=-,故所求质心为(0,0，).4(2)(0,0产4：一?).8(A3-a3)(3)Q=(x,y,z)10 xa,0 y a-x,0 z z)|x2+y2+z2 0.4 7可求得球体体积为2板3,半球体的体积V =4兀 3显然，质心在z轴上，故/=y =0.2 nrc o s J-r2 sin d rd d 0=P3 ,均匀薄板可设其面密度=1,M=Vc o s sin d城 r3d r=271-sin2(p2a443aTcn20IV1
42、 Q v n3因此，质心坐标为（O,o a）.9.求半径为。的均匀半圆薄片（面密度为常量）对于其直径边的转动惯量.解 取坐标系如图8-33所示，则薄片所占闭区域。=（兑），+y 2 y w o ,而所求转动惯量即半圆薄片对于X轴的转动惯量/、,=Jj/y2d c r=/j j/?3 sin2 0dpdO =p sin2 0dpDDa p.2 nJ Z）1 4 兀 1 A4 2=L I-sin 0a 3=ua =M a .4 5 4 2 4其中M=；兀/为半圆薄片的质量.10.均匀半圆薄板由y2=d与 y =冗转动惯量.解4=肝a/y =f 甸 y2dyDlx=44Iy=x2dxdy=x2d x
43、 d yD=x2(x-)dx=5.转动惯量:11.设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区坦(1)O =3,y)|，+wi),求/v；Q（2）。山抛物线y 2=冗与直线工=2 所围成，求/，和/v；（3）。为矩形闭区域（尢,），）0 4 工 4。,0 4 丁4 母，求 人和 小解 I、=(*山 小=p x2dx dy=f x2/a2-x2dx=Px2la2-x2dxJD J J-fl*-一a L2 T2 w J_(l J()u令 x=a sin/,则上 式=丝 sjn2 rcosr-acosrdr=4ayb psin2 tdt-1Q J)J()J()sin4 tdt=-na3b.4 D=Ux,y)
44、l-3.I*啡,0 x./一 严 岫,=2 j（kf/dy=玄 务/72x2d x =5/=,皿=22dxf-y=2蜂二改=竽(3)lx=JJy&d y =/d x j y?d y =(;D3/,=p&d y =1 x2 dg y=?.D1 2.已知均匀矩形板（面密度为常量）的长和宽分别为b 和/?,计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.b h i解/、=Jj V 心 d y =E d r E y2dy=丽;D 2 2=JJx 2d x d)，=jU x2dx j d y =:次D 2 213.一 均 匀 物 体（密 度 为 常 量）占 有 的 闭 区 域。由 曲 面 Z
45、 =/+y 2 和平面z =0,|x|=a,|y|=a 所围成，(1)求物体的体积；(2)求物体的质心；(3)求物体关于z 轴的转动惯量.解 V=4 J d x d y d z =4 d r(x2+y2)d y =4 f a x2+d x =ga4.(2)=1 时d y z d z =1 f d x f 1(/+2?y2+/)d y =a2.L r Ji Q r r J I J(3)l:=fffp(x2+y2)d v =4“d r d y (x2+y2)d z =崇14.求高为2、半径为R 的均匀正圆柱体对其中央横截面的一条直径的转动惯量.解取圆柱体的轴作为z 轴，其中央横截面在x O y 平
46、面上，它的一条直径在x 轴上.1,=JJJA(Y2+z?)d y =/；仁2 +P2 sin2 0)pdzdpd0n .=f (|/?+2h p2 sin*)pdpAO=；川火+1 h R sin?q d 6=(午A/=兀/次+与.因为圆柱的质量加=2 兀/?力，故/、.=y/；215.设均匀柱体密度为，占有闭区域C =(x,y,z)x2+y2 R2,O z h)处的G 位质3：的质点的引力.解 由柱体的对称性和质量分布的均匀性知 =尸,=0.O?,=(x,y)|x2+r /?2引力沿z 轴的分量&=JJJG-j-d v =G f(z -a)d z JJ-rx2+y2+(z-a)乎，+)/+(
47、z-)2 5=Gf(z -)d z d e j-*=-2兀 6 +y)R2+(/?-)2-YJR2+a2 J.r2+(z-a)2f第九章复习题A解答i.填空题1-1.设。是矩形区域D =a,y)|0 4 4 4 a,0 0 y ,贝 i j j j x y dx dy =_ -a2b2;D41-2.一知。是长方形区域(x,y)a x h,0 y )山，那么区间 K(y),()=刈；1-5.若 4 广 /(x,y)dy =|Z d e if(rcosO.rsin0)dr,则区间(a,0=.(o g)2.选择题2-1.设。是由y =f cr(k 0),y =0 和x =l 所围成的三角形区域，J
48、3.j j x y2drdy =,则c1 52-2.设 S是正方形区域，。是5的内切圆区域，&是 S的外接圆区域，S的中心点在(-1,1)点，如图9.5-2(1),记/,=j j e2v-?-y 2-2ydx dy,4k=张2k 4 5&d y,，3 =J J e 2 y2 dx dy,D2S则/I/的大小顺序为()c：A./,/,Z3；B.I2/,/3;c././3/2；图 9.5-2PD.I2I32-3.将极坐标系下的二次积分:d。rf(rcos O.r sin 0)dr化为直角坐标系下的二次积分，则/=()D；儿 /J d.v g/(x,y)d x ;B./=f dx 信x,)，)dy
49、；C./=L d y x,y)d x；D.7 =dx f E/(x,y)dy.2-4.设。是第二象限内的 个有界闭区域，而且0 y l.记L=J J y x dcr,12=j p x db,I,=J j y 2x dcr,D D D则 的 大 小 顺 序 为()c;A./,/2 /3；B.I2IX/3；C.!I I2;D./3 /2 /,.2-5.计算旋转抛物面z =l +=v-2在 1 4 Z 4 2 那部分曲面的面积的公式是()2A.肺+/+/(10；B.J R l-t Vd jD2C.J J J l +)，dcr；D.J R 1 2 72 d b2O|其中+D2:x2+y24.3.计算二
50、重积分3 T.计算二重积分J J y drdy,其中。是由圆(x-l)2+/=i和直线y =l,y =x-2 围成的闭区域.解 把 D 看成Y-型区域，则!陕 心，=口 打 白 心=V+y-y7bd y复习9-3-1 图3-2.计算二重枳分J j g dx dy ,其中。是长方形区域(x,y)1 0 4 x 4 2,1 4 y 4 2.解版 5s=f f y-3dy=1.3-3.计 算 二 重 积 分 其 中。是由两条抛物线y=4,y=V 所围成的闭区域;D解 画出积分区域D如图9.5-1,x2 y dx dy =j dx j x e-v dy-j x J x j e-y dyD=j x _(