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1、2023年高考数学模拟试卷请考生注意：1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请 用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前，认真阅读答题纸上的 注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图所示，三国时代数学家在 周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30。，若向弦图内随机抛掷200颗 米 粒（大小忽略不计，取6 1.7 3 2）,则落在
2、小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A.20 B.27 C.54 D.642.（匕2x）的 展 开 式 中 的 系 数 为（）XA.-84 B.84 C.-280 D.2803.已知下列命题:“Vxe R,x2+5x 6”的否定是mxe R,x2+5x 2019”是“a 2020”的充分不必要条件；“若 外=0,则=0且y=0”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（）A.B.C.D.47r4.如图，用一边长为友的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将 体 积 为 多 的 鸡 蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A.3B.4C
3、.5D.61*2 y p 7.如图，双曲线。：一2r=1（4 0/0）的左，右焦点分别是耳（一。,0）,居（c,0）,直线y=笠 与 双 曲 线C的两矿 b 2aTT条渐近线分别相交于A 8两点.若则双曲线。的离心率为（）A.2R 4也1 5.-3c.V2D.竽8 .已知函数/(x)=(x a-1)，若2 =l og 2=c!|()A.加)勺S)勺(c)C.f(a)/l c)f(b)B.f(b)/(c)f(a)D.fie)f(b)/(a)9 .已知命题p:x 2 m +l,q:x 2-5 x +6 B.m C.m D.m 12 21 0 .集合 A=XX 2,XR,B=x|x2-2 x-3 o
4、j ,则人口3=()A.(3,+oo)B.(,-1)U(3,+o)C.(2,4-oo)D.(2,3)1 1 .若Q V V O,则下列不等式不能成立的是()A.-B.-C.|。|。|D.a2 b2a b a-b a1 2 .点A民。是单位圆。上不同的三点，线段OC与线段A 3交于圆内一点M,若O C m O A +nOB,(m0,n0),m+n 2,则N A O 3的最小值为()二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.已知/(x)=l n x,g(x)=/方，如 果 函 数/幻=/(幻-g(x)有三个零点，则实数”的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _(x-a)1
5、 4.已知平面向量”，5的夹角为?，=(若)，且|-石|=百，贝!1历|=1 5 .函数/(x)的定义域为-1,1),其图象如图所示.函数g(x)是定义域为R的奇函数，满足g(2-x)+g(x)=0,且当x e(O,l)时，g(x)=/(x).给出下列三个结论：g(0)=0；函数g(x)在(T,5)内有且仅有3个零点；不等式/(-x)0的解集为 x|-l%k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828102（匕-枷_另U 为 P=上/-:,a=v pu.i=l1 8.（1 2 分）已知%是等差数列,满足=3,%=12,数 列 也 满足a=4,d=20,
6、且 也 _ 叫 是 等 比 数列.（1）求数列 4 和 也 的通项公式;（2）求数列 2 的前项和.1 9.（1 2 分）等差数列 q 的公差为2,。2，4，6分别等于等比数列 包 的第2 项，第 3 项，第 4 项.（1）求数列%和 也 的通项公式;（2）若数列 c,满 足 旦+&+&=b+i，求数列 c 的前2 0 2 0 项的和.a a2 an2 0.（1 2 分）已知函数/（x）=|x+l|Tx+a|.若 a=l,求不等式/（x）一 1 的解集；（2）若“V x e R,x）|2 a +l|”为假命题，求。的取值范围.2 1.（1 2 分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具
7、中选择，它们的速度分别为6 0 千米/小时、1 2 0 千米/小时、6 0 0 千米/小时，等千米的运费分别为2 0 元、1 0 元、5 0 元.这批海鲜在运输过程中每个时的损耗为机元（机 0 ）,运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为y （元）、y2（元）、%（元）（1）请分别写出y,、y2、%的表达式；（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.22.（10 分）已知椭圆C:，+y 2=l 的左、右焦点分别为耳,鸟，直线/垂直于X轴，垂足为T,与抛物线y=4x交于不同的两点P,。，且 呼 碰=5,过心的直线，与椭圆。交 于 两 点，
8、设 可=2 可反且入 2,-1.（1）求点T的坐标；（2）求|方+|的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】设大正方体的边长为X,从而求得小正方体的边长为立设落在小正方形内的米粒数大约为N,利用概率模2 2拟列方程即可求解。【详解】设大正方体的边长为X ,则小正方体的边长为立 X -L X ,2 2设落在小正方形内的米粒数大约为N,_ i Y则 万-N 解得：N2 27-20 0故选：B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。2.C【解析】由题意，根 据 二 项 式
9、定 理 展 开 式 的 通 项 公 式 得（l-2x）7展开式的通项为（+1=（-，则（1 2力 展开式的通项为4 M =（一2。,由左一1=2,得 攵=3,所以所求/的系数为（_ 2）七；=28 0.故选xC.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幕的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.3.B【解析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断.【详解】“V x e
10、R,x2+5 x 6 的否定是R,x2+5 x 20 19”是 20 20”的必要不充分条件,错误；“若w=o,则尤=0且y =0”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B.【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础.4.D【解析】先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为O ,球 心 为。，4 7 r 4 4 7 r由题意，球 的 体 积 为 一，即一万斤=可 得 球。的 半 径 为1,3 3 3又 由 边 长 为0的正方形硬纸，可 得 圆。的半径为g,利用球的
11、 性 质 可 得O O?=J l2-(1)2=g ,又 由。到底面的距离即为侧面三角形的高，其 中 高 为,，2所 以 球 心 到 底 面 的 距 离 为 且+,=土1.2 2 2故选：D.【点 睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力,属于基础题.5.D【解 析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【详 解】1 Jr 1 1函 数/(x b l n 1的定义域为 x|x#l ,当 彳=彳 时，/(-)=-l n 3 0,排除 A.故选：D.【点 睛】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.6.C【解 析】q
12、+d =2方法一：设 等 差 数 列%的公差为d,贝!J6“+等 x”=214=1，解 得 所 以%=1+(5-1”1=5 .故选C.a=1方法二：因为二/)=3(%+%),所以 3(2+%)=2 1,则为=5.故选 C.7.A【解 析】c be BT 7i易得6(-三 笄)，过8作x轴的垂线，垂足为T,在 的7 3中，利用即可得到,c的方程.2 2a rl 5【详解】由已知，得6(二 匹)，过B作x轴的垂线，垂足为7,故耳丁=,2 2a 2be又所以鲁=t an g =G,即2 t =2 =G，3 J c a故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到
13、a,c的方程或不等式，本题属于容易题.8.C【解析】利用导数求得了(x)在(。,中功上递增，结合y=c与y =2,y =l o g 2X,y =x图象，判断出a*,c的大小关系，由此比较出/(a)J伍)J(c)的大小关系.【详解】因为/Q O=(x-a)e 所以f(x)在(。,田)上单调递增；在同一坐标系中作y=。与y =2,y=l o g2 x,y=x图象，2a=l o g2b=c,可得a c c c b,故.于(a)于(c)(于(b).故选：C本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9.D【解析】求出命题4不等式的解为2
14、 x 3,是 的必要不充分条件，得4是，的子集，建立不等式求解.【详解】解：命题：x 2加+1，4：/-5 x+6 0,即：2 cx 3,解得机2 1.实数加的取值范围为加之九故选：D.【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式（组）求解.求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验.10.A【解析】计算B=（3,-l）U（3,+8）,再计算交集得到答案.【详解】B=-2x-3 o|=(-o o,-l)u(3,+o o),A =x x 2,x e 7?,故 A
15、 n B =(3,+o o).故选：A.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.11.B【解析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】选 项A：由于a 0,b a 0 所以-0,所以一:，所以成立；a b ab a b118c 1 1选 项B：由于。匕 0,即。一匕0,所 以 一-一一=-0,所以一所以不成立;a-b a a(a-b)a-b a选 项C：由于a b b 0,所以|。|,所以成立；选 项D：由于。8 一匕0,所以|。|。|,所 以/，所以成立.故选：B.【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.12.D【解析】由题意得1 =+2 +2 mn 幺。8,再利用基本不等式即可
16、求解.【详解】将 反=mOA+nOB 平方得 1 =?+/f 2n m C Os Z A O B，,“c n 1?2-”2 l-(m+n)2+2mn 3,3.1c o s NA OB=-=-=-+1-+1=一 一(当且仅当加=1时等号成立),-.0 ZAOB l,则有(a x)2=虻，可得(x-a)I n xx=a r,即二 九&有三个零点,不妨令g(x)二 -。,对于g(x)=x j=,函数单调递增,yjlnx yjlnx y/lnx y/lnxg(ye=4e-242e 0,所以函数在区间(l,*o)上只有一解，对于函数g(x)g1(x)=l c n x)2=o,解得x =e,g(x)0,解
17、得l x 0,解得了e,所以函数在区间(l,e)上单调递减，在区间(e,+o o)上单调递增，g(e)=e+2e=3e,当 时，g(X)T+o o,当 X 时，g(x)r+o o,此时函数若有两个零点，则有a 3 e,综上可知，若函数(x)=/(x)-g(x)有三个零点，则实数。的取值范围是(3e,+c o).故答案为：(3e,+)【点睛】本题考查了函数零点的零点，恰当的开方，转化为函数有零点问题，注意恰有三个零点条件的应用，根据函数的最值求解参数的范围，属于难题.14.1【解析】r r r根据平面向量模的定义先由坐标求得a ,再根据平面向量数量积定义求得7 B；将。-力化简并代入即可求得|很
18、|.【详解】=(61),则问=2,平面向量Z，B的 夹 角 为,则由平面向量数量积定义可得 4 =|W c o s|-2 x W x g =W，根据平面向量模的求法可知,-0=二惠3 7=百，代入可得,4一2忖+麻=5解 得 忖=1,故答案为：L【点睛】本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题.15.【解析】利用奇函数和g(2-x)+g(x)=0,得出函数y =g(x)的周期为2,由图可直接判断；利用赋值法求得g(l)=O,结合g(0)=0,进而可判断函数y =g(x)在(-1,5)内的零点个数，可判断的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断的正误.综合
19、可得出结论.【详解】因为函数y =g(x)是奇函数，所以g(x)=-g(-x),又g(2-x)+g(x)=0,所以g(2-x)=g(-x),即g(x+2)=g(x),所以，函数y =g(x)的周期为2.对于，由于函数y =g(x)是R上的奇函数，所以，/(。)=0,故正确；对于，.g(2-x)+g(x)=0,令=1,可得2g(1)=0,得g(l)=0,所以，函数y =g(x)在区间 T 1 上的零点为。和1.因为函数y =g(x)的周期为2,所以函数,y =g(x)在(一1,5)内有5个零点，分别是0、1、2、3、4,故错误；对于，令，=x,则需求/(/)()的解集，由图象可知，0/2)代入即
20、可得到S“2=2(S,i 2)(2 2),即 S“2是等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】v v q由已知。“=奇 一1,得 1,即 5“一5,1=才 1，所以 S“-2 =2(S,I2)(N 2)q又-1,即，=一2,5-2=4,所以 S.一 2是以一4为首项，2为公比的等比数列，所以 S,-2 =-4X2 T,即 S,=2-2田，所以 S7=2-28=254。故答案为：-254【点睛】本题考查已知S“与an的关系求S,考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)列联表见解析，有把握；(2)a=1200/
21、=；x=40元时【解析】(1)直接由题意列出列联表，通过计算K?，可判断精英店与采用促销活动是否有关.(2)代入表中数据，结 合 公 式 求 出 由 中 所 得 的 线 性 回 归 方 程，若售价为x,单价利润为-15,日销售量为9=-g f+1200,进而可求出日利润z=1 2 +2001 一5),结合导数可求最值.【详解】解：(1)由题意知，采用促销中精英店的数量为50 x(0.12+0.02)x5=35,采用促销中非精英店的数量为50-35=15；没有采用促销中精英店的数量为50 x(0.06+002)x5=20,没有采用促销中非精英店的数量为50-20=30,列联表为采用促销没有采用促
22、销合计精英店352055非精英店153045因为小罂黑合计5050100有9 9%的把握认为“精英店与采用促销活动有关”.-7 2 1 -I(2)由公式可得：b=一一,a =y b w=395.5+x 2413.5=120021.6 3 31 ,所以回归方程为y =/+i 200若售价为x,单件利润为x 1 5,日销售为丁=-：/+1200,故日利润Z=X2 +I200卜X-15),Z=(X+30)(X 40)=0,解得=40.当x e(0,40)时，z =；/+200)(工一15)单调递增；当x e(40,+8)时，z =(-g/+12Oo (x-15)单调递减.故当售价x =40元时，日利
23、润达到最大为晋四元.【点睛】本题考查了独立性检验，考查了线性回归方程的求法，考查了函数最值的求解.在求函数的最值时，常用的方法有：函数图像法、结合函数单调性分析最值、基本不等式法、导数法.其中最常用的还是导数法.18.(1)a“=3(=1,2,)，bn=3 n+2n 1(/?=1,2,)；(2)+1)+2-1【解析】试题分析：(1)利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论；(2)利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列 4 前n项和.试题解析：(I )设等差数列 a n 的公差为d,由题意得d=ai-aI=12Z3=E3 3/.an=a i+(n -1
24、)d=l n设等比数列 b n-a n 的公比为q,则/.bn _ an=(bi-ai)qn I=2n-1,Abn=ln+2n-1(I I )由(I )知 b n=l n+2n 7,数列 In 的前n 项 和 为 帝(n+1),数列 2n-1 的前n 项和为 x 1 _ 2、2 _ b1-2 数列 bn 的前n 项和为；Sn=1域+1)+2”-12考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和.19.(1)an=2n,bn=2；(2)2019x 2M 2 2+8.【解析】(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列 对 和 年 的通项公式;(2)求出数
25、列 5 的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列 c,的前2020项的和.【详解】依题意得：b；=b也,所以(+6)2=(q+2)(0,+14),所以端+12,+36=。；+16q +28,解得 4=2.:.an=2n.设等比数列 ,的 公 比 为心所以。=2=：=2，又 =o =4,/.bn=4x 2=2.由(1)知，an=2n,bn=2n.因为工+8 +-+-+=2 4%an当“2 2 时,2+&+=2”(g)由一得，=2即c“=*2，an又当 =1时，q =ab2=23不满足上式，8,=1Cn-2+,n2 数 歹!I%的前 2020 项的和 Sz m o =8+2 x 23+3x 2&+
26、2020 x 22021=4+1X22+2X23+3X24+-+2020X220217O 2O=1 x 22+2 x 23+3 x 24+2019 x 22020+2020 x 22021,则 27=1X23+2X24+3X25+-+2019X22021+2020 x22022，由-得：-7；020=22+23+24+-+22021-2020 x2202272/1 _ 7 2020-2O2OX22022=-2O19x22022,1-2所以g=20回22侬+4,所以 202。=%)+4=2019x2222+8。【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和，考查学生的逻辑推理
27、能力，化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.20.(1)一(什0 0)(2)-2,0【解析】(D)当。=-1时，将函数/(x)写成分段函数，即可求得不等式的解集.(2)根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“HxwR,/(%).|2+1卜为真命题，只需满足/(力 皿.20+1|即可.【详解】-2,x 1,解：(1)当。=一1 时，/()=卜 +1卜,一1|=2X,T X 1.由/(%).-1,得 无.-、1 、故不等式/(x).-l的 解 集 为 一 不，+8 .(2)因为“V xeR,/(x)0,S 0,故 须 】。嚼啮，X%恒成
28、立，故只需比较为与 力 的大小关系即可,7 7 7 V令/(5)=%-必=40S-画“c m40-150S,IT)故当40面 0,即加6000时,/(S)0,即为为，此时选择火车运输费最省,777当40-6(XX)时,150,f(s)o,即%为，此时选择飞机运输费用最省.m当40一 =o,即加=6000时，/(s)=。，%=%，此时选择火车或飞机运输费用最省.【点睛】本题考查了常见函数的模型，考查了分类讨论的思想，属于基础题.22.(1)7(2,0)；(2)2,.8【解析】(1)设出P,。的坐标，代入E A月0 =5,结合P,Q在抛物线y 2=4 x上，求得P,Q两点的横坐标，进而求得T点的坐
29、标.(2)设出直线机的方程，联立直线?的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结 合 用=2造，求得|出+而 的表达式，结合二次函数的性质求得|窃+而|的取值范围.【详解】(1)可知(一1,0),6(1,0),设尸(如先)，。(%-%)则6 P 玛 Q =-5=(%+1,%)(%一 1,一%)=k -1 一 年，又 y 2=4%,所以-5=x(：-1 -4x 0解得%=2,所以 丁(2,0).(2)据题意，直线，”的斜率必不为0,所以设根:x=+l,将直线加方程代入椭圆C的方程中，整理得(5+2)+2)1 =0,设 A a，x),8(孙 )，E 2，则乂+甘 一 巨 石 因 为 不=/i祁，所以X=2%,且x0,将式平方除以式得&+&+2=-4 ;%产+21 4产所以+上+2=茎 一A r+29Ae-2,-l,X0r2-又 羽 +而=（西+与-4,y+%），%,+/_4=6+必）-2=_ 4（；+1）所以 I犷+7 =（玉 +/_ 4）-+（乂+乂）-=16 一 言 +JT+N（广+2）所以|力4+至=8/-28+16=8-1-7 e2“1694,32UU UITTA+TB G 13及，8【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.