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1、0 8立体几何一、选择题1.（安徽3）.已知机是两条不同直线,（B ）a,是三个不同平面，下列命题中正确的是省A.若 a _ L y,/?_L则 a 4 B.若机 _ L a,”_ L a,则机C.若“a,a,贝 U机 D.若m H a,m II0,则a M 02 .（北京8）如图，动点P在正方体ABC D-A4 G R的对角线Bq上，过点P作垂直于平面B B R D的直线,与正方体表面相交于M,N .设 B P =x,M N =y,则函数y =f（x）A A/=1,3.（福建6）如图，在长方体4B CD-A|B|Ci D 中,所成角的正弦值为（D ）2732四-4A.c2-31-3BD4.（
2、广 东 7）将正三棱柱截去三 个 角（如 图 1 所示A,B,C 分别是（?”/三边的中点）得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（A ）B.c a5.（宁 夏12）已知平面a，平面aA=/，点Awa，A l,直线AB/,直线4 C J J ,直线机a,机,则下列四种位置关系中，不 牢 成 立 的 是（D ）A.AB/m B.A C m C.AB/p D.A C /36.（湖南5）已知直线m,n和平面a,/7满足z J _ ,加_ L a,a _ L ,则（D ）A.n 工 0 B n H 0,或n u 0 C.n a D n H a,或n u a7.（湖南9）长方
3、体A B C。A4 G。的8个顶点在同一个球面上，且A B=2,A D=J LA%=1,则顶点A、B间的球面距离是（B ）A/2 万 72 兀 nr r rA.-B.-C.J 2 7 D.2 j 2万4 28 .（江西9）.设直线机与平面a相交但不垂直，则下列说法中正确的是（B ）A.在平面a内有且只有一条直线与直线机垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面a垂直C.与直线团垂直的直线不可能与平面a平行D.与直线机平行的平面不可能与平面a垂直9.（辽 宁12）在正方体A 8 C 0 4月G 2中，E,尸分别为棱C Q的中点，则在空间中与三条直线4 2，E F ,C 0都相交的直线（D ）A.不存
4、在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条10.（全 国I l l）已知三棱柱ABC-A4 G的侧棱与底面边长都相等，4在底面ABC内的射影为 A B C的中心，则A B】与底面4 8 c所成角的正弦值等于（B ）A.B.V2TC.V33D.32311.（全国H 8）正四棱锥的侧棱长为2百，侧棱与底面所成的角为60。，则该棱锥的体积为（B ）A.3 B.6 C.9 D.1812 .（全国H12）已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于（C）A.1 B.V 2 C.V 3 D.213 .（山东6）右图是一个几何体的三视图，根据图中
5、数据,可得该几何体的表面积是（D ）俯视图正（主）视 图 侧（左）视图A.97 t B.10KC.1 IK D.12K14.（上 海 13）给定空间中的直线/及平面a.条 件“直线/与平面a内两条相交直线都垂直”是“直线/与平面a垂直”的（C）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件15.（四川8 ）设M 是球心。的半径OP的中点，分别过,。作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：（D）1 1?3（A）-（B）-（C）-（D）-4 2 3 416.（四川10）设直线/u平面a,过平面a外一点A与/,a都成3 0角的直线有且只有:(B)(A
6、)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条17.（四 川 12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60的菱形，则该棱柱的体积等于（B ）(A)V 2 (B)2 V 2 (C)3 72(D)47218 .（天津5）设a,b是两条直线，a,4 是两个平面，则a 匕的一个充分条件是（C）A.a la,b ”B，al p B.a L a,b 1J 3,a /f3C.a u a,b 1J 3,a /p D.a a a,/?/?,a L /319.（浙江9）对两条不相交的空间直线。和b,必定存在平面a,使 得（B ）（A）a u a,b ua（B）a z a.b ll a
7、（C）a a.b a（D）a b,则(D )A.0 (p,m n B.0 (p,m nC.9(p,m n D.0 n二、填空题_1.（安 徽16）已知点A,B,C,在同一个球面上,AB_ L平面BCD,8 C J.C。,若A8 =6,A C =2 V 13,A O =8，则B,C两点间的球面距离是2 .（福 建15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 则其外接球的表面积是 L9K3 .（广 东15）（几何证明选讲选做题）已知E 4是圆。的切点，切点为4,P A=2.4C是圆。的直径，P C与圆。交于B点，P B=,则圆。的半径/?=忑4.（宁 夏14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂
8、直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为百，底面周长为3,则这个球的体积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.-7 135 .（江 西15）连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦A B、C O的长度分别等于2b、4百，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为.56 .（辽 宁14）在体积为4 兀的球的表面上有A、B,C三点，AB=,BC=J 5,A,C两点的球面距离为且兀，则球心到平面A 8 C的距离为.-3 27 .（全 国1 16）已知菱形A 8 C 0中，A6 =2,N A=12 0,沿对角线8。将 A B O折起，使二面角A
9、-8。C为12 0,则点A到X B CD所 在 平 面 的 距 离 等 于.28 .（全国n 16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行,类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件:充要条件.（写出你认为正确的两个充要条件）两组相对侧面分别平行；i组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形.注：上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案，同样给分.9 .（浙 江15）已知球0的面上四点人上、（：、口,口人_1_平面ABC.AB1BC,D A=AB=BC=痘,9兀则球O点体积等于_ _ _ _ _ _ _。210.（天 津1
10、3）若一个球的体积为4 G兀，则它的表面积为.12兀三、解答题1.（安 徽19）.（本小题满分12分）如图，在四棱锥O A 8 C O中，底面A 5 C 0四边长为1的TT菱形，Z A B C =-,0 4,底面A B C。，0A=2,M 为0A4的中点。（I）求异面直线A B与MD所 成 角 的 大 小；（I I）求点B到平面O C D的距离。0M方 法 一（综合法）A.DBC(1)/CD H AB,为异面直线A 6与MO所成的角(或其补角)作A PL C 0于尸，连接：0A 平 面ABCD,，CD M P：ZADP=-,：.DP=4 2/MD=VMA2+AD2=V2.cosNMDP=NMD
11、C=NMDP=-MD 2 37T所 以AB与M O所成角的大小为一3(2),?AB H平 面 他，点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作AQ_LOP于点Q,AP CD,OA 1 CD,：.CD 平 面OAP,AQ u 平 面。AP,，AQ 1 CD又AQ 1 OP,：.AQ 1平 面。CD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离OP=y/OD2-D P2=y/OA2+AD2-D P2=J4 +I-=-,AP=DP=2 2 22也nA A P o 7 2.AQ=-=g =,所以点B到平面OCD的距离为一OP 3V2 3 3方法二(向量法)作AP 1 C O于点P,如图,分别以AB,
12、AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系5 5 6A(O,O,O),B(1,0,0),F(0,芋,0),。(半，芋,0),。(0,0,2),M(0,0,1),设A3与MD所成的角为6,J?-J1 AB=(l,0,0),MD=(-芋芋T)AB MD 1 7r.,.cosl i =-,网4阿2 3T TAB与MD所成角的大小为一3.丽=(0,#,-2),历=(-，孝,-2)二设平面OCD的法向量为n-(x,y,z)，则n OP=0,n OD=0即fV2三 y-2z=0-XH-y 2z=0、2 2取1=及，解得=（0,4,及）设点B到平面OCD的距离为d，则d为丽在向量=（0,4,及）上的投影的绝
13、对值,.OB-n 2V OB=（1,0,-2）,J 1二一同32所以点B到平面OCD的距离为一32.（北 京16）（本小题共14分）如图，在三棱锥尸ABC 中，AC=BC=2,ZAC6=90,AP=BP=AB,PC 1 AC.(I)求证：PC 1 AB；(II)求二面角8-A P C的大小.解法一：(I)取A3中点。，连结PD,CD.v APBP,：.PD LAB.：AC=BC,CD V AB.PDCCD=D,.A 3,平面 PCD.PCu 平面 PCD,PC V AB.(II)v AC=BC,AP=BP,：.A A P C/B P C .又 P C；C,PC VBC.又 ZAC8=9 0 ,
14、即 A C J.B C,且 4C nP C =C，BC J平面 PAC.取A P中点E.连结BE,CE.;AB=BP,：.BE VAP.E C是BE在平面PAC内的射影，C E 1A P.：.NBEC是二面角B-A P-C的平面角.在BCE 中，NBCE=90,BC=2,BE=A B =娓,2.-.sinZBEC=BE 3/7二面角B-A P-C的大小为arcsin3解法二：(I)：AC=BC,AP=BP,:.A P C 9X B P C .又 PC J.4C ,PC IB C .：A C B C =C,.P C,平面4 8 c .A 8 u 平面 ABC,PC 1 AB.(H)如图，以C为原
15、点建立空间直角坐标系C-盯z.则 C(0,0,0),4(020),8(2,0,0).设尸(0,0,r).：PB=AB=2y/2,:.t=2,P(0,0,2).取4尸中点E,连结BE,CE.-.-AC=PC,AB=BP,C E L A P,B E LA P .：.NB EC是二面角B-A P-C的平面角.E(0,1,1),C=(0,-l,-l),B=(2,-1,-1),2 Gcos N B E C -EC EBEC EB 3二 二面角B-A P-C的大小为arccos.33.(福建1 9)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P4 8 c o 中，侧面外。！.底面ABCC,侧 棱 以=尸=&,底 面
16、 A8CD为直角梯形，其中 B C/A D A B 1 AD AD=2 AB=2 BC=2,0 /；为 A。中点.I；(I)求证:PO_L平面ABC。；.I d(H)求异面直线PB与 CD所成角的余弦值；/(IH)求点A 到平面PCD的距离.-七 一解法一：(I)证明：在/?!卡中B 4=P O,。为A中点，所以P 0L4D又侧面以。1.底面A B C D,平面以。0 平面ABCD=AD,P O u平面PAD,所以PO L平面ABCD(II)连结 B O,在直角梯形 48C。中，BC/AD D=2 AB=2 BC,有 ODBC且 O D=B C,所以四边形O B C D是平行四边形，所以OBO
17、C.由(I)知 P0_L08,NPB。为锐角，所以NP B O是异面直线P B与C D所成的角.因为 4=2AB=2BC=2,在 RtZAOB 中，A 8=l,4。=1,所以。8=正，在 RtZPOA 中，因为 A P=JE,A O=1,所以 OP=1,在 RtZPB。中，P B=d 0 P?+O B?=6,(HI)由(H)得 C D=OB=6 ,在 RtZP0C 中，P C=y 0 C2+OP2=V2,V 3,2=-.2所以 PC=CD=DP,SAPCD=4又 SZi=AO AB=L2设点A到平面PC。的距离h,由 VP-A C D=VA-P C D，zn1 1得 SAACD*0P=-SPC
18、D h,n 1 1 V3B P -x ix i=-x X/z,3 3 2解得正厚解法二：(I )同解法一,(I I)以0为坐标原点，0C、。、。尸的方向分别为X轴、y轴、Z轴的正方向，建立空间直角坐标系。-孙 乙贝i j A (0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).所以C )=(-1,1,0),PB=(r,-1,-1),O O(PB、CDPB-CDPB CD_ 1V3*V2A/6V-x/6所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为N 2,3(I I I)设平面PC。的法向量为=(X o,y o/o)，由(H)知C P=(-1,0,1),CD=(
19、-1,1,0),则“C P=0,所以Y、,CD 0,C-Xo+A 0=0.1-x()+y o=O,即火)=必=的)，取的=1,得平面的一个法向量为又 AC =(1,1,0).A C n从而点A到平面P CD的距离d=H2 =2 V 3于 H4.（广 东1 8）（本小题满分1 4分）如图5所示，四棱锥P-ABC D的底面A B C D是半径为R的圆的内接四边形，其 中B D是圆的直径，ZABD=60,ZBDC=45,A A D P-ABAD.（1）求线段尸。的长；（2）若P C=J T T R,求三棱锥P-ABC的体积.图5解：（1）：是圆的直径 ZBAD=90 又 A D P BAD,A D
20、D P nD_ A D2BA A D BA(2)在放 BC。中，C D =B D cos45=亚R3(8。s i n 6 0。4斤 X3R(BD s i n 3 0 j _ 2/?xl2P D1+CD1=9 R2+2 R 2 =1 I R2=p QiP D L CD 又 Z P D A=9 0 P O _ L 底面 A 8 COS A B C-A B 8 Cs i n（6（y+4 5）=，R 而区虫+，肉=避土!R?由 2 7 2 （2 2 2 2）4三棱锥P-AB C的体积为VP ABC=S ABC P D 4?3R=2HLR3 r-3 /l o c 3 4 45.（宁 夏1 8）（本小题满
21、分1 2分）如卜的三个图中，上面的是一个长方体裁去一个角所得多面体的直观图.它的正视图和俯视图在下面画出（单位：c m）（I ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（I I）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（I H）在所给直观图中连结5 C ,证明：B C 面E F G .3 分(II)所求多面体体积V =4方 体 一 丫正三棱锥=4 x4 x6 x x2 x2 x23(2 J?(G(H I)证明:在长方体A 8C D-方B C D 中,连结 A。，则 AZ)8 C.因为E,G 分别为AA,中点，所以 A 0 EG,从而E G B C .又B C Z 平面E FG,所以8
22、C 面E PG.12分6.(江苏 16)(14 分)在四面体A 8C O 中，C B =CD,A D工B D ,且 E、F 分别是AB、BD的中点,求证：(1)直线EF/面 ACD(2)面 EFC_L面 BCD【解析】：本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力、推理论证能力。(1)VE F 分别是AB、B D 的 中 点；.E F 是4A B D 的中位线，EF AD又E E(Z 面 ACD,AD U 面 ACD，直线 EF/面 ACD(2)E F/A DA D 1B Dn E F L B D、C B =C DF为B D中点=B D L面 C E FB D u 面
23、BCDCF CE F =F=C F 1B D =面EFC _L 面BCD7.(江西2 0)如图，正三棱锥。-A B C的三条侧棱O A、O B、0c两两垂直，且长度均为2.E、尸分别是A3、AC的中点，”是E P的中点，过E F的平面与侧棱0 4、0 B、3o c或其延长线分别相交于A、BG，已知0 4 =万.(1)求证：8 G-L面。A”；(2)求二面角。一 G的大小.解：(1)证明：依题设，E F是A 4 8c的中位线，所以E F B C ,则 E F 平面0 B C ,所以 E F /B,C,。又”是E P的中点，所以尸，则 A H 8 c 0因为。A J _ 0 8,0 A L 0 C
24、,所以。4，面。8。，则 0 A _ L51 G，因此B C _ L面。4H。(2)作ON J.A 4 于N ,连C、N。因为。G J L平面。44，根据三垂线定理知，G N J L 4 4,N O N 就是二面角。&的平面角。作E M 于M ,则E M /0 A,则M是。8的中点，则EM=O M=1。设。用=x ,OB.0 A 1 加由 一L=1得,MBi E Mx _ 32解得x=3,在 R t A 0 4 4 中，4 g =JCAJ+CB：=3石,则，ON=0A 0B、=;2 A 8 /所以 t an/ONG =-=V 5,故二面角。一 4内 一 为 ar c t anj。解法二：(1)
25、以直线。40 C,。8分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，。一孙z则A(2,0,0),8(0,0,2),C(0,2,0),E(l,0,l),F(l,l,0),/(l,1,1)1 1 -1 1 一所以 AH=BC=(0,2,-2)所以正反=0,而反=0所以8C_L平面OA由：尸6。得B 8 C,故：4 G，平面043(2)由已知 4(2,0,0),设 司(0,0,z)1 则 4 =(一2,0),亚=(一1,0,11)z则 x+3z 023 x+3 y=0n令 x=2 得 y=x=l=(2,1,1).又 后=(0,1,0)是平面0A4的一个法量 1 A/6cos-,.=V4TT+T 6所以二面
26、角的大小为arccos瓜68.(江苏选修)记动点P是棱长为1的正方体4BCD-A4G。的对角线3。上一点，记D P，-=4.当N APC为钝角时，求 4的取值范围.DRz解：由题设可知，以 丽、坑、西 为 单 位 正 交 基 底，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O-x”，则有A(l,0,0),B(l,1,0),C(0,1,0),0(0,0,1)由 电 =(1,1,T),得 印 =2而=(4,4,丸)，所以PA PD +=(/1,_ 丸,/I)+(1,0,1)(1 A,A,/I 1)斤=西+麻=(4 4 +(0,1,-1)=(-2,1-2,2-1)显然N APC不是平角，
27、所以N APC为钝角等价于c os Z A P C=c os =|二 0 ,则等价于 PA P C 0网附I,1即(1 -2)(-2)+(-2)(1 -2)+(2 -1)2=(2 -1)(3 2 -1)0,W-2=6 0知，A8 CC是等边三角形.因为E是 C。的中点，所以8E J _ C。，又 A 8 C ,所 以.又 因 为 a _ L平面4 8C。，8 E U 平面4 B C Z),所 以 以 J _ 8E.而A4B=A,因 止 匕 B E _ L平面8.又 8 E C 平面P 8 E,所以平面P B E _ L平面力B.(H)由(I)知，8E J _平面以8,P 8 U平面以B,所以P
28、 B _ LB E.又所以N PB4是二面角A-BE-P的平面角.P A I-在 R S B 4 B 中，t a nZ P B A=J 3 ,/P B A=6 0 .A B故二面角A-BE-P的大小是6 0 .解 法 二 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各P(0,0,V 3 )E(L-,0).(I)因为B E =(0,9,(),平面附8的一个法向量是鼠=(0,1,0),42o所 以 而 和 共 线.从 而 平 面P 4 B.又因为B E C平面B E F,所以平面P 8E 1.平面PAB.(II)易知P B =(l,0,-J ),B E=(0,-,0),2 2%+0 x y -
29、木 =0,设万=3,yi,z i)是平面P B E的一个法向量，则有，所以 yi=0,xi=G Z .故可取用=(、/J,0,l).而平面ABE的 个法向量是为=(0,0,1).故二面角A-BE-P的大小是6 0,1 0.(辽宁1 9)(本小题满分1 2分)如图，在棱长为 I 的正方体 A B C -A 8C。中，4 P=80=b(O/614 G r-ta n 4用6 =上 =5 6.1 HG所以二面角A1DE-6的大小为arctan5逐.12分解法二：以。为坐标原点，射线D 4为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系。-盯z.依题设，8(2,2,0),。(0,2,0),(0,2,1),4 (2
30、,0,4).DE=(0,2,1),丽=(2,2,0),而=(-2,2,-4),函=(2,0,4).3分(1)因为4。8=0,AC DE=0,故 A CL B D,AC 1 D E .又 D B CD E =D,所以A。J _平面O BE.6分(I I)设向量 =(x,y,z)是 平 面 的 法 向 量，则n _L D E ,n _L D A.故2 y+z=0，2 x+4 z=0 .令y=l,则z=-2,x=4 ,n=(4,1,-2).9分等于二面角A.-D E-B的平面角,co s=n A。V14石V14所以二面角A.-D E -B的大小为arcco s-.4 2.12分13.（山东19）（本
31、小题满分12分）如图，在四棱锥P A B C。中，平面P4 O_ L平面A B C。，A B/D C,P4 O是等边三角形，已知8 O =2 A O=8,A B =2 D C =4后.P（I ）设M是P C上的一点，证明：平面平面P AO；/K（I I）求四棱锥P-A B CD的体积./（I ）证明：在 A 6 O 中，由于A O =4,8 0=8,A B =4亚,所以 A Z）2 +B ）2 =4 2 /故 A OJ.6 O.又平面 P A D 平面 A B CD，平面 P A D Q 平面 A B C D =A D ,/8。u 平面 A B C D ,A /。、B所以BO L平面PA。，又
32、BO u平面M8 O,故平面M B。L平面PA O.（I I）f t?：过尸作尸。J.A。交AO于。，由于平面P A D，平面A B C D ,所以。J平面A B C D.因此P。为四棱锥P A B CD的高，又 PA O是边长为4的等边三角形.因 止 匕P O =-x4 =2百.2在底面四边形A8 C D中，AB/D C ,AB=2 D C ,所以四边形A 8 C 0是梯形，在R t a A O B中，斜边45边上的高为与2 =与 4石 5此即为梯形4 5 c o的高,所以四边形A 8 c o的面积为5 =2 7 5+4 7 5 8 7 5-X-=2 52 4.故!”2 4 x2百=1 65
33、14.（上 海16）（本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体A B C。AGA中，芯是BQ的中点.求直线O E与平面A B C。所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.【解】过E作E F 1 B C,交B C 于F,连接。EE尸1.平面4 8 C。，/E D F是直线Q E与平面A B C。所成的角.4分由题意，得E F=；CG=LCF=LCB=I,：.DF=E.8 分2iL E F y/5 八E F A.D F,：.t an Z.E D F =.10 分D F 5故直线D E与平面AB C D所成角的大小是arct an走.12分515.（四 川19）（本小题满分12分）如图，平面A 8
34、E F J.平面A 8 C。，四边形A 8 E F与A B C。都是直角梯形,A B A D =Z F AB=9 0 ,5 C 1 1-A D,BE 1 1-A F ,=2=2（I ）证明：四 边 形 是 平 行 四 边 形：（I I）C,O,F,E四点是否共面？为什么？（I I I）设A 8 =BE,证明：平面AO EL平面CO E；【解1】：（I）由题意知，F G =GA,F H =HDG,分 别 为 的 中 点所以G H -A D=2又 B C 1 1-A D,故 G”B C=2=所以四边形B CH G是平行四边形。（II）C,。,R E四点共面。理由如下:由G是E4的中点知，B E G
35、 H ,所以E F/B G=2=由（I）知 B G/I C H ,所以E F/C H ,故EC,77/共面。又点。在直线b”上所以C,D,F,E四点共面。（III）连结 EC,由 A6=BE,B E A G 及 Z B A G =90 知 A B E G 是正方形故BG_LE4。由题设知E4,77。,A3两两垂直，故A O 1平 面 必BE,因此E4是EO在平面E46E内的射影，根据三垂线定理，B G L E D又 E D C E A =E,所以6 G,平面AOE由（I）知CH H B G ,所以C”平面AOE。由（H）知 尸平面C O E,故Cu平面C 0 E,得平面ADE J平面CDE【解
36、2：由平面ABEFL平面ABC。，A F 1 A B ,得4尸，平面4BCD,以A为坐标原点，射线A 3为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-盯z（I）设A B =a,BC =b,BE=c,则由题设得4（0,0,0）,8 0,0）,C（a,b,0）,B（0,2b,0）,E（a,0,c）,G（0,0,c）,H（0,b,c）所 以 而 =（0,仇0）,前=（0,仇0）于 是 丽=反又点G不在直线BC上所 以 四 边 形 是 平 行 四 边 形。（ID C,O,F,E四点共面。理由如下：由题设知F（0,0,2c）,所以E F =（-a,0.c）,C H=（-a,0.c）,EF=CH又C史E F,
37、H e F D ,故C,D,E,产四点共面。(I I I)由 =得，所 以 丽=(a,O,a),衣=(a,O,a)又 而=(0,2 0),因 此 由.左=0,而.丽=0即 CH A E,C H A D又4O n AE=A,所以C“J _平面A O E故由C u平面CQFE,得平面A OE _ L平面C D E1 6.(天津1 9)(本小题满分1 2分)如图，在四棱锥P-A 8 C。中，底面A 8 C O是矩形.已知48=3,4 0 =2,24=2,P D=272,Z P A B=60。.p(I )证明 AO，平面 P A B；(I I)求异面直线P C与A D所成的角的大小；/A WXc m)
38、求二面角尸6。A的大小.B C(I )证明：在 P A O 中，由题设P A =2,A D =2,/3。=2及，可 得 抬2+4。2 =/?。2,于是 A O J.P 4.在矩形 A3 C O中，A D 1A B,又 P 4 n A B =A,所以 A O _ L 平面 P 4B .(H)解：由题设，B C/A D,所以N P C 5 (或其补角)是异面直线PC与AD所成的角.在 P A B中，由余弦定理得PB=P A2+A B2-2 P A A B cosPAB=b.P由(I )知AO L平面尸A B,P6 u平面尸A 8,所以A O _ L P B,因而5 c 口8,于是 P 8C是直角三
39、角形，仰、;故 t a n P C B =.B cB C 2所以异面直线P C与A D所成的角的大小为a rc t a n(I I I)ft?：过点P作LAB于 ，过点H 作 H E L B D 于 E,连结P E.因为 AO,平面 P A B,P”u 平面 P A 8,所以 A O _ L P”.乂 A nA 8=A ,因而 P H 1平面A 8C ,故为P E在平面A 8C 内的射影.由三垂线定理可知，B D L P E.从而N P E H是二面角P B D-A的平面角.由题设可得，P H =P A s i n60 =V 3,A H =PA c os 60 0 =1,B H =A B A
40、H =2,B D =A B2+A D2=V 1 3,于是在 中，t a n PE HP H _ V 39HE 4J 39所以二面角P 8 0-A的大小为a rc t a n.41 7.(浙江20)(本 题1 4分)如图，矩形A B C D和梯形B E F C所在平面互相垂直，B E/C F,Z B C F=Z C E F=90 ,A D=73,E F=2。(I )求证：A E 平面D C F；(1 1 )当AB的长为何值时，二面角A-E F-C的大小为60?方法一：(I )证明：过点E作E G 尸交CE于G ,连结O G ,可得四边形8 C G E为矩形，又A 5 C O为矩形，所以4。幺EG
41、,从而四边形AO G E为平行四边形，故 A E D G .因为A E(Z平面OC E,G u平面。C R,所以A E 平面O C尸.(I I)解：过点8作8”交尸E的延长线于，连结由平面4 8 c o _ L平面8E F C ,AB B C,得AB m BE F C,从而A H 1 E F .所 以 为 二 面 角A EE C的平面角.在 R t a E E G 中，因为 E G =A 0 =J J,E F =2,所以 N C F E =6(T,F G =1.又因为C E _ L E F,所以C R =4,从而 BE =C G=3 .于是B=B E s in Z B E H3V 3r因为 A
42、B=B H t a n Z A H B ,9所以当A8为二0寸，二面角A E F C的大小为60.2方法二：如图，以点C为坐标原点，以C 8,CF和CO分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz.XB设 A B =a,BE =b,CF =c ,则。(0,0,0),A(石,0,a),8(6,0,0),E 电,b,0),F(0,c,0).(I )证明：荏=(0,b,-a),CB=(V 3,0,0),诟=(0,b,0),所 以 而 无=0,CB BE =0,从而C B J.A E,CB 1 BE ,所以CB,平面A B E.因为CB,平面D C F,所以平面A B E 平面OC F.故A
43、 E 平面 C T.(I I)解：因 为 而=(也，c-b,0),C =(V 3,b,0),所 以 市 怎=0,|呼|=2,从而-3 +b(c -b)=0,j 3+(j)2 =2,解得 b =3,c =4.所以 E(百,3,0),尸(0,4,0).设=(1,y,z)与平面AEF垂直，则 屈=0,“而=0,解得=(1,73,).a又因为氏4,平面B E R?,BA=(0,0,a)fk .BA n 3 c d 1所以 c os =-=-=i=一,BAn 4 a 2+2 7 2得 到 二929所以当4 5为一时、二面角A E/一C的大小为60,.21 8.(重庆20)(本小题满分1 2分，(I )小
44、问6分，(H)小问6分.)如 图(20)图，a和p为平面，a c p =/,A w a,B p,A 8=5A 5在棱/上的射影2 7 1分别为A ,8,44=3,BB=2.若二面角a /-p的 大 小 为 可，求：(I)点B到平面a的距离；(I I)异面直线/与4 8所成的角(用反三角函数表示).If解：（1）如 答（20）图，过 点B C/A且使B C=A A.过点B作B D 1CB,交C B 的延长线于D由已知AA/,可得。夕_ U,又已知B8 1 1,故/!.平面8 8 ,得 8 0 J J 又因B_LC B1,从而8。，平面。,8。之长即为点B 到平面a 的距离.因 8 C 1/且 8
45、B 上/,故/B 8 C 为 二 面 角 月 的 平 面 角.由题意，A B B z C=27r7i.因此在。中，BB=2,ZBB/D=n-Z B B z C=,BD=BB,sinBB D3 3=下).(II)连接 AC、8 c.因 8,C/7A A,B C=A A,AA 上/，知 A ACB，为矩形，故 AC/.所以/A 4 C 或其补角为异面直线I与A B所成的角.27r在A B B C 中，B B=2,B C=3,/B B C=,则由余弦定理，3BC=y1 BB2+B C2-B C c o s B B C =M.因 BOJ_平面 a ,E L D C 1.C A,由三策划线定理知AC J
46、_ 8c.故 i：在丛K B C 中,Z B C A=,sinBAC=2 A B5因此，异面直线/与A 8所成的角为51 9.（湖 北 18）.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC 4 B|G 中，平面4 8。J侧面（I）求证：A B 1 BC-,（II）若 A 4=A C =a,直线AC与平面A B C 所成的角为夕，二JT面 角 A-8 C-A 的大小为夕,求证：。+夕=彳.（I）证明：如右图，过点A 在平面A|ABB|内作4OLA小 于 O,则由平面A|BCJJ则面4p4B8,且平面ABCC侧面AABB=AB,得 AOJ_平面A|BC.又 BCC平面 AI8C所以 AO_LBC.因
47、为三棱柱A B C-AXBXC 是直三棱柱，则 AA 底面4BC,所以AAJBC.又从而BCJJ则面AABBi,B又 ABU 侧面 AiABBi，故 AB J_8c.(II)证 法 1：连接C,则由(I)知NACO就是直线AC与平面AI8C所成的角，4 4 8 4 就是二面角AiBCA 的颊角，即乙4C=0，ZABA=(p.4 八 AO AO 石 AD AD于是在 Rt AACC 中，sin 0=，在 RtAAOAi 中，sinNAAQ=-,AC a AA asin，=sin/4 4 Q,由于。与NAAN 都是锐角,所以 0=AAD.7171又由 RtAAiAB 知，/44|+P=N4 4IB
48、+(P=5，故?+p=,.证 法 2：由(1)知，以点8 为坐标原点，以 BC、BA.BB|所在的直线分别为x 轴、y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设 A8=c C c 0,A C 与 的夹角p为锐角，则B与。互为余角.sin0=cosp=n AC _(0,-a,c)(7 2-c2,-c,0)I I I AC I A/G2+C2 7(2-c2)+c2yla2+c2BA,BA(0,-tz,c)(0,0,a)ccos(p=-=-=-1 -=,-BA.B A y/a2+c2-a yla2+c2所以 sin0=cos(p=sin(5 0),又 00,p ,所以0+=5.2 0.(陕西19)
49、(本小题满分12分)三棱锥被平行于底面A B C 的平面所截得的几何体如图所示,截面为A&G ,ABAC=90,4A_L 平面 ABC,4 4=百，AB=AC=2AC1=2,D 为 BC 中点、.(I)证明：平面4 AO _L平面8 C G 4；(I I)求二面角A C G-B 的大小.解法一：(1广 A/l平面ABC,BCU平面ABC.A A,A J.BC.在 用BAC中，AB=AC.D为8 c中点.:.BC _L AD.又4人 n AD=A.3 _ 1平面4%),又改：匚 平 面 氏(：出,二平面A A D _L平面BCGBi.(口)如图.作AE _LGC交C C于E点.连接BE,由已知得
50、AB J,平 面ACC,A,.A E是B E在平面A C G A内的射影.由三垂线定理知BE j_ CC,.二NAEB为二面角A-Q J-8的平面角.过G作G F J.AC交AC于F.则 CF=A C-A F=1,C,F=7 3.A ZCtCF-60*.在 R t A E C 中，AE=ACsin60*=2 X =6,1 6在 R t B A E H.unAEB-箕=当AE 73,NAEB=arctanJ2/3T，即二面角A-C C|-B为arctan擎.明法二，(1)如图,建立空间直角坐标系.A1(0,0,V3),C,(0,l,V3).AS=(I.I,O).AA7=(o,o.V3).BC-(