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1、模块二第一章空间几何体学习目标1、识记柱、锥、台、球及其简单的组合体的结构特征;能识别一个几何体是由哪一些简单的几何体组合而成的。2、能描述平形投影和中心投影，能用平形投影的方法画空间图形的三视图与直观图。3、能理解空间几何体的三视图，能画出空间简单几何体的三视图;并能根据几何体的三视图想象立体模型。4、了解斜二测画法，会用斜二测画法画出空间几何体的直观图。5、识记柱、锥、台、球的表面积和体积公式，并能运用公式求表面积和体积。第一讲 空间几何体基础知识1、多面体的结构特征（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体,叫做棱柱
2、。（2）棱 锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。（3）棱台：棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥,截面和底面之间的部分叫棱台。2、旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及转轴：3、空间几何体的三视图（1）空间几何体的三视图，是用正投影得到，在这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。（2）画三视图的基本要求是：长对正，高平齐，宽相等。4、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图
3、形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x 轴和y 轴的夹角为4 5。或1 3 5。，z 轴与x 轴 和y 所在的平面垂直。（2）原图形中平行于坐标轴的线段直观图中仍然平行，平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中丕变,平行于y轴的线段长度在直观图中减半。5、平行投影与中心投影平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点。6、多面体的表面积（1）圆柱的表面积：S =2%+2，（其中 为 底 面 半 径，/为母线长）（2）圆锥的表面积：S=+%，（其中r为 底 面 半 径，/为母 线 长）_（3）圆台的表面积：S =7r r2+7r r +7i r+r2）1,（其 中 小 为 上、下 底 面
4、 半 径，/为母线长）（4）球的表面积：S =4%，（其中r为 球 半 径）7、几何体的体积公式：（1）柱体：V=sh,（其中S为 底 面 积，h为 高）（2）锥体：V=-sh,（其中S为 底 面 积，h为 高）3（3）台体：V=1（SI+S2+A/S7）h （其S p S 2为 上 下 底 面 面 积，h为高）（4）球体：丫=4万/,（其中1_ 为球半径）3课前热身1、下列结论正确的是（D ）A、各个面都是三角形的几何体是三棱锥B、以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转所形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C、棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D、圆锥的顶点与底面圆周
5、上的任意一点的连线都是母线2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于也3俯视图3、如图所示，长方体ABCD A 与G A 中，用截面截下一 个 棱 锥 C 4。乌，则棱锥C 4。乌 的体积与剩余部分的体积之比为 1:54、如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积。（其中N R 4C=30）解：作 CD_LA5于D,则 8C=H,AC=G/?,CD=孚火故所求表面积为：S=4TTR2+R（R+V37?）=11+7rR22 2范例分析例 1 下列命题中，不正确的是（C ）A、棱长都相等的长方体是正方体B、有两个相邻侧面为矩形的
6、棱柱为直棱柱C、有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱D、底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体变式训练关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（B）A、棱柱的侧棱长都相等 B、棱锥的侧棱长都相等C、棱台的上下底面是相似多边形 D、有的棱台的侧棱长都相等点评：识记常见空间几何体的结构特征例 2 一个五面体的三视图如下，主（正）视图与侧（左）视图是等腰直角三角形俯视图为直角梯形,部分边长如图所示，则此五面体的体积为，主（正）视图 侧（左）视图正视图俯视图例 2 图变式图变式训练如图为一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的表面积为（C ）A、6 B、1
7、2 7 3 C、2 4 D、3 2点评：严格按排列规则放置三视图，并用虚线画出长、宽、高的关系，对准确把握几何体很有利。例 3 已知正三角形A B C 的 边 长 为 那 么 ABC的平面直观图口44G的面积为:g/变式训练：用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形A B C,A C-1 ,/A B C =30。，如图示，则原图的面积为J 4点评：画几何体的直观图一般采用斜二测画法，认真理解规则中的“斜”和“二测”，把握好角度和长度的变化。例 4 一个多面体的三视图如下，则此多面体的外接球的表面积是（C ）A、3兀B、4yb兀C、1 2 D、4 8 万变式训练：一个六棱柱的底面是正六边形
8、，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为百，底面周长为3,那么这个球的体积为主4 3点评：涉及球与柱、锥的切接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.2侧视图俯视图达标练习1、用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆,则这个几何体一定是（C)A、圆柱B、圆锥C、球体D、圆 柱、圆锥、球体的组合体2、当圆锥的侧面积和底面积的比值是加时,圆锥轴截面的顶角等于（C）A、4 5 B、6 0 C、90 D、1 2 0 3、如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到一个边长为1的正方形，
9、则原来图形的形状 是（A ）4、如图所示由哪个平面图旋转得到的（A ）5,如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（A)长方体A、圆锥 三棱锥 圆柱B、C、D、6、底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，那么截面圆的面积为7 V。7、把曲线y=凶 和y=2围成的图形绕x轴旋转360。，所得旋转体的体积为38、用任意一个平面去截正方体，下列的平面图形可能是截面的是。正方形 长 方 形 等 边 三 角 形 直 角 三 角 形 菱形 六边形9、一个正方体内接于高为40cm,底面半径为30cm的圆锥中，求正方体的棱长。解：如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的
10、轴截面，设正方体的棱长为x,y则。=交 乂 A2 30 40/_解得：x=120（3-2&）正方体棱 长 为120（3-2夜）cm/io、一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示 乙I（1）请 画 出 该 几 何 体 的 直 观 图，并求它的体积（2）证 明：A O CA。J平面 ABC 若D是棱C G的中点，在棱AB上取中点E,判断DE是否平行于平面ABC一并证明你的结论。（3）可取BBi的中点F,证明面D E F 面AB.C,B43析：（1）几何体的直观图如图，丫=一2（2）可证：4 C _ L A 和A。，4 G6 .A（A）L c（c,）LB（B,）B（C）正 视 图 4 侧;图A（C
11、）4（G）B-1 月俯视图第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标1、了解平面的概念和特性，能直接运用三个公理解决一些简单的空间点、线、平面关系的问题。2、理解空间中直线与直线之间的三种位置关系，会判定的两直线平行、垂直或异面，会求简单空间图形中两条异面直线所成的角。3、理解空间中直线与平面之间的三种位置关系。4、能运用直线与平面平行的判定与性质定理，证明一些简单空间图形中的线面平行问题；5、能运用平面与平面平行的判定与性质定理，证明一些简单空间图形中的面面平行问题。6、能运用直线与平面垂直的判定定理与性质定理，证明一些简单空间图形中的线面垂直问题，会求简单空间图形中直线与平面所成的角
12、；7、能运用平面与平面垂直的判定定理与性质定理，证明一些简单空间图形中的面面垂直问题，会求简单空间图形中平面与平面所成的角。第二讲 空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识1、平面的基本性质公 理 1：如果一条直线上的两息在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线的三点，有且只有一平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2、直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类：士，.，、相交直线 同一平面内，有且只有一个公共点、-1平行直线:同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点（2）异面直线所成的角定义：设以人是两条
13、异面直线，经过空间中任一点。作 直 线 口 人 把 屋 与/所成的锐角（或直角），叫异面直线。、。所成的角（或夹角）。范围：（o、g3、直线和平面的位置关系位置关系直线a 在平面a 内直线a 与平面a 相交直线a 与平面a 平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a u aa a-AaVa4、两个平面的位置关系位置关系图 示表示法公共点个数两平面平行Z_/z/_/没有公共点两平面相交斜 交a n s=/有无数个公共点点在一条直线上垂 直a A.(3有无数个公共点在一条直线上5、平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行。6、定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个
14、角相等或互补。课前热身1、（教材改编题）有以下命题：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面经过两条相交直线有且只有一个平面经过三点确定一个平面若平面a 与平面夕相交，则它们只有有限个公共点两两相交且不共点的三条直线确定一个平面其中真命题的个数为（C）A、5 个 B、4 个 C、3 个 D、2 个2、分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（D）A、异面 B、平行 C、相交 D、以上都有可能3、如图是一个正方体的展开图，如果它还原为正方体，那么下列结论不正确的是（B）A、与EF异面B、与CD异面C、C D I/E FD、G 与EF所 成 的 角 为 60。4、如图所示，在正方体A 3C
15、O 一 A 4 G A 中，E、F 分别是AB、A D 的中点，则异面直线q C 与E F 所成角的大小为60。范例分析例1 下 列 结 论：（1）公 理 1 可 用 集 合 符 号 叙 述 为：若A e l,B e l,A G a,B e a,则必有/e a;（2）四 边 形 的 两 条 对 角 线 必 相 交 于 一 点；（3）若a n =/S u a,c u S n c =A/ijA e/（4）梯形是平面图形，其中正确结论的序号是（3）（4）点评：本题是直接根据三个公理解题，能将符号语言翻译成文字语言，意在让学生“识记”公理及直接应用例 2 如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H 分
16、别是边AB、A D 的中点，F、G 分别是边BC、匚 小上 a C F C G 2CD上的点，且=一C B C D 3求证：三条直线EF、GH、A C交于一点证明：Y E、H 分别是AB、AD 的中点，由中位线定理知：E H -B D X2C B C D 32.在 A 8 C D中,F G DB D,且F G=-8 D3由公理 4 知：E”口FG,一 旦 E H a/。2、平面与平面平行的判定与性质（1）定义：如果平面夕与平面无公共点，则平面a与平面 平行，记作：a/。注:两个平面平行，其中一个平面内的任一直线与另一个平面必平行，即“面面n 线面”。（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另
17、一个平面壬红，则这两个平面平行。用符号表示为：a u /3,b u B、a C b =P,a li a,b/a=a/。（3）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。用符号表示为：a/3,a C Y=a,/3 C y=b=a/b o 注:线线平行，面面平行有传递性，而线面平行没有传递性，如a/a,a/,得不到a/,同时，a/a,b/a也得不到a/Z?。课前热身1、（教材改编题）如图，正方体极 力 一4 4。4中，E为 D 0 的中点，则下列直线中与平面A E C平行 的 是（D ）A、B B B、G A c、4 G D、B D 2、已知a,是两条不重合的直线，a是一个
18、平面，有以下四个命题:W/,ua=cz/a；。a,Z?ua=a/Z?；a l l a,b l l a=a l l b；a/b,a/a,b（ah/a,其中真命题的个数是（A）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个3、若直线。不平行于平面a,则下列结论成立的是（D ）A、。内的所有直线都与直线。异面 B、。内不存在与直线。平行的直线c、a内的直线都与。相交 D、直线a与平面a有公共点4、已知正方体ABCD-A4 G A，下列结论中，正确的结论是 （只填序号）曲/8 0；平 面 的4平面ADJIDQ；物 平面BOQ范例分析例1如图，矩形ABCD和 梯 形 庞KC有公共边3C,BE/CF,ZBCF=,
19、求证：AE7/平面QGF。证明：过E点作上右，。?7交CF于G,连结QG又NBb=9(f.四边形BCGE是矩形又4BCD是矩形，.4G于是四边形4DGE是平行四边形&AE/DG 又 AEQ 平面 ZXF,QGu 平面 QCF.A/平面 QC77点评：此题是线面平行的判定定理的直接应用，意在让学生熟练线面平行的判定定理。例2如图所示，正三棱柱4BC A4G，各棱长均为4EEG,/分 别 是 他AC,a q,4 4的中点，求证：平面4及7/平面5 c s。证明：AASC中，AE=EB,AF=FC:.EFHBC又EFU平面BCGH,BCu平面BOGH:.EF 平面 BCGH又 AG=GC,AF=&,
20、.A.GIJFC四边形AKCG为平行四边形:AFUGC又AF Z平面第 GCu平面3Q筑平面 HOT 又:AFCEF=F平 面 平 面3Q五/点评：此题是面面平行的判定定理的直接应用，意在让学生学会证明面面平行，弄清楚要证面面平行,先证明线面平行。例 3 如图，在四面体ABC。中，截 面 砒 才/平行于对棱48和CD,试问截面在什么位置 其截面面积最大？解：:AB平面?（汨且平面上RGH|平面ABC=KG 平面EFGHC面ABD=EH:.AB/FG,AB/EH:.FG/EH同理可证：EFHGH.截面砒汨是平行四边形设AB=a,CD=b,ZFGH=a（a即为异面直线AB和CD所成的角或其补角）又
21、设 FG=x,GH=yx CG y BG则由平面几何知识得：-厂而%V 1 b,、两式相加得：一+：=1即=_（一%）a b ae e .b,、.hsina/、/.5u EFGH=FG GH sincr=x(a-x)-sin 0。一%0且x+（a-x）=a为定值a Osina,、absina.当且仅当x=a x即=二时，-x(a-x)=-取最大值。2 a 4即当截面EFGH的顶点 F,G,H分别为棱AD,AC,BC,8D的中点时，截面积最大。点评：本题是利用线面平行的性质，实现由线面平行到线线平行的转化，旨在培养学生转化能力。例 4 如图，。力是异面直线，A、C与 反。分别是“。上的两点，直线
22、。/平面二，直线6 平面a,ABVa=M,CDa=N,若 AM=BM,求证：CN=DN。证明：连结AD交平面a于七点:b/a,MEu面ABD,平面ap|面 阳P=ME.ME/BD 又.在 AABD 中，AM=BM:.AE=ED,即石为AD的中点又。a,Nu面ACD,平面a n面ACD=RV.E N/A C,又 为4）的中点，N必是C D的 中 点:.C N=D N点评：本题是利用面面平行，来证线线平行，并且添加了适当的线。意在灵活运用性质定理。达标练习1、若l a,则。与a的关系是（D）A、相交 B、平行 c、a u a D、a l la 或 au a2、直线。，都平行于平面a,则为的位置关系
23、是（D）A、平行 B、相交 C、异面 D、以上均有可能3、己知平面a内有无数条直线都与平面，平行，那 么（D ）A、B、a与，相交c、a与力重合 D、a尸或a与，相交4、已知加，”为异面直线，相平面a,平 面a C /3=l,则/（B ）A、与周都相交 B、与初;中至少有一条相交c、与小都不相交 D、与 中 一 条 相 交5、已知a l l/3,a u a,B e/3,则在月内过点8的所有直线中（D）A、不一定存在与平行的直线B、只有两条与。平行的直线c、存在无数条与“平行的直线D、存在唯一一条与。平行的直线6、已知/是过正方体A B C。一A4GA的顶点的平面做4与下底面A B C D所在平
24、面的交线，下列结论错误的是（D）A、4 4/B、即 平 面 的4c、/平面A 4 4 D、7、已知直线“人 和平面0夕，则在下列命题中：若。/以a/,贝I j a a；若a/以c/u a,则。/小若a l I B，au a,b u B，则。；若。/以R/a,a 夕，则a/b,其中假命题为工（只填序号）8、正方体A B C D-A 4 G q中，棱长为a，E为A4中点，过E，G，C作一截面，则截面面积为V5，一 o29、如图所示，在三棱柱4BC-44G中，。为棱AB的中点，求证：AG 平 面。啰。证明：连结明，交4 c于点E,连结Q E,则 困与4 c互相平分:.BE=QE,又BD=AD.。足
25、是 乂 明 的 中 位 线，/.46；/氏又QEu平面。啰，平面C啰.AQ 平面 C D BJ10、如图，在正方体ASCD-A4Gq中，。为底面A8CD的中心，P是 的 中 点，设。是。G上的点，问：当点。在什么位置时，平面4伏2 平面Q4O?解：当。为e q的中点时，平面平面Q4。，证明如下:.Q为e g的中点，尸 为 皿 的中点面 必O,B4u面B40.沙 面440;PQ 分别为 DD、,DB 的中点，：.D、B P0又 ABcZ平面E40,POu面 而0,平面440又.ABC?u平面4 3平面DXBQ/平面PAO第 四 讲 直 线、平面垂直的判定及其性质基础知识1、直线与平面垂直（1）定
26、义：如果直线/与平面a内的每一条直线都垂直，就说直线/与平面a垂直，记作/注:若已知/_ L a,贝I/垂直于平面a内的所有直线，即 线，面 刍义 线，线”（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直用符号表示为：l L j,l L b,a u a,b u a,a C b=A=l A.a（3）性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行用符号表示为：al a,h l aa/h2、直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐鱼，叫做这条直线和这个平面所成的角。规定：当直线与平面垂直时，直线和平面所成的角是直角0 1/当直线与平面平行或在平面内
27、时，直线和平面所成的角是0P的角。/如图，4 4 0就是斜线A P与平面a所成的角。/J|0/（2）线面角。的范围：N,90 0 夕-U3、平面与平面垂直/1（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面。如 图（1），记作：二面角 a一/一夕或二面角1一4 8一,或二面角尸一4 3一。（2）二面角的平面角如 图（2）,二面角。一/一，若 有（i）OEI（ii）O Au O B u 0（iii）O AU,O B U,则N A O B就叫做二面角二一/一夕的平面角。注:二面角的平面角的定义可归纳为：“棱上取点，面内作线，线棱垂直，线
28、线成角”；二面角的大小可以用它的平面角来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度;平面角是直角的二面角叫直二面角。（3）平面与平面垂直定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；画法:记作：a V（3面面垂直的判定定理若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直符号表示面面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直符号表示：cd_,ain夕=/,a u Q i J J=_!_ 注:两个平面Q 夕都垂直于平面八 则a 与,可 能平行也可能相交，若 a n =/,则/_Lr。课前热身1、（教材改编题）在三棱锥V-A
29、 B C 中，V A=V C,A B=B C,则下列结论一定成立的是（c）A、V A L B C B、A B L V C c、V B 1 A C D、V A 1 V B2、（教材改编题）如图，4 5 是口。的直径，Q 4 垂直于口。所在的平面，C 是圆周上不同于A B 的角 C-B D-A 的余弦值的大小为：（A）11A 3 B 611c 9 D n范例分析例1如图，已 知 以 垂 直 于 矩 形 板D所在的平面，分别是48,P C的中点，若4Y M=45,求证：平面P CD。证明：如图，取E D的中点E,连结A E,NE.；E,N分别为PD,PC的中点、，：.NE旦二CD 2又M为A 8的
30、中 点.,.A M/-CD,.,.NE/M A=2 =四边形AA颂 为 平 行 四 边 形，.肠V/AE又平面 MC D 40 4=45.Af iM)为等腰直角三角形，.?!：，/).CD_ L平 面 加,而A E u面 加,.CD1 _ AE又C D C P D=D-.AE，平面汽 力.M V _ L 平面 P CD点评：本题直接用线面垂直的判定定理来证明，旨在让学生熟练线面垂直的判定。例2如图，在矩形中，A B=3 H,BC=3,沿对角线比)把MC D折起，使C移到C,且C在平面A BD内的射影。恰好落在A B.(1)求证：A D 1 B C ；(2)求证：平面Q B C_ L平面4DC证
31、明：(1)由题意知：C O J平面AK DOu平面 AB C 平面 AB C，平面 A8Z)又.ADJLAB,平面ABC,n平面ABD=AB平 面 期C,.M_L8C（2）/BC CD,BC1AD,CDCAD=D.BC_L平面A D C ,又BC u面DBC,平面Q8C _L平面ADC点评：本题是面面垂直的判定与性质定理的综合应用，旨在让学生理解线面垂直与面面垂直的转化。例3在三棱锥P-A 3C中，PC,AC,BC两两垂直，8C=&=1,A C=2,求二面角3 4P C的正切值。解：过C作CH _LAP交AP于点”，连结BH,/PC,AC,8C 两 两 垂 直3C_L 平面 PAC于是 又 C
32、HCBC=C.出_1平 面 比“，.44_1阳NCHB是二面角3 一。的平面角e PC AC 2A/5在3C中，苗 二 丁BC 45在 母 帖HC中,ianZBHC=-=C/i 2故二面角B AP C的正切值为g点评：本题是利用定义来作出二面角的平面角，然后再解直角三角形，皆在让学生熟练求二面角的平面角的步骤。例4如图，在长方体ABCO-4 4 G A中，AB=8C=2,A4=1,求与平面所成角的正弦值解：连结4 G交 片。于点0,连结B 0.长方体 A8CO 44G A 中，A8=BC=2A4=BC=2,于是四边形A 4 G 2为正方形4G BIDI又_L 平面A 4 GA，ACt u平面A
33、 4 GA4 G _L BB,又B Q n “=44 G，平面BBQQ于是8。是B Q在平面B B Q Q中的射影N O B G为B C与 平 面 所 成 的 角在R tQ8 0中，B C=4 5,CtO =4 2/.sin故 B G与平面8 片。所成角的正弦值为半点评：本题属“简单应用”层次。求直线和平面所成的角关键是找直线与平面所成的角，而找直线和平面所成的角的关键是找到直线在平面内的射影。达标练习1、直线/与平面a 内的两条直线都垂直，则直线/与平面。的位置关系是（D）A、平行 B、垂直 C、在平面a 内 D、无法确定2、过平面外的一条直线且与这个平面垂直的平面有（D）A、一个 B、无数
34、个 C、不存在 D、一个或无个3、下列结论：a llb,a 工an b l a ，a工a,b工a =a b。_!_/?=/a a/a,Q _L Z?=_L a,其中正确的结论是（A）A、B、C、D、4、已知直线。，平面a,根表示直线，夕表示平面，有以下四个结论a /hn,m u B n a工B m /a n a L m若，与o 相交，则/?必与a 相交，其中正确的结论个数是（C）A、4 B、3 C、2 D、1 /A5、如图，R/Q 4 8 C 的斜边BC在平面a 内，两直角边AB,AC与平面a 所/成的角分别为30。，45。，则平面ABC与平面a 所面的锐二面角的大小为（C）/7A、30 B、
35、45 C、6 0 D、9 0 /6、三棱锥 P ABC 中，P A=P B=P C=BC,N 8 A C =9 0,则直线 P A 与底面 ABC i S L_ Q./所成的角为（D）A、9 0 B、45 C 30 D、6 0 7、已知平面a,和直线m,给出条件?/a 加 _ La 加u a a _ L a/(1)当满足条件 时,有 机/(2)当满足条件 时,有 机，夕8、四面体的所有棱长都相等，顶点到底面的距离为，侧面与底面所成的二面角为6 0。则此四面体的全面积为36万，体积为二-39、如图，在三棱锥S A B C中，底面ABC是边长为缶的正三角形，S 4=S C=a,D为AC的中点(1)
36、求证：A C J平面S BD(2)若二面角S ACB为直二面角，求三棱锥S A B C的体积证明：(1):口A B C为正三角形，D为AC的中点/.BD1.A C又在DS AC 中，S A =S C,.-.S D1 A C又 S D R B D =D,S D,B D u 平面S B。/.A C _L 平面A B C(2).二面角S A C-B为直二面角，.面S 4c _L t M A6 C又S D1 A C,:.S D14画 钻。在S A =S C=a,A C=6aS D=a2匕-A B C=1 SMB C.S O =；x曰x(y 2d)2 义 今 a=a31 0、(20 0 9年湖南水平考试
37、题改编)如图所示，已知平面BCD,M、N分别是AC、AD的中点，B C 1 C D 求证：M N J _平面ABC(2)若A B =T,BC=,求直线AC与平面BCD所成的角解(1);M、N 分别是 AC、AD 的中点，.A/M/CD又AB_L平面BCD,.AB 1C D,又B C，C A B B C=B.CD_L平面A B C 于是用呼上面人台。(2).钻_1面区,8 C是A C在平面8 c的射影Z A C B为直线AC与平面BCD所成的角在R/OA B B，AB=1,BC=6,tanZACB=BC 3.-.ZACB=3O故直线AC与平面BCD所成的角为30 第三章直线与方程学习目标1、理解
38、倾斜角与斜率的概念，会根据倾斜角求直线的斜率，能运用斜率公式，根据已知直线上的两点求直线的斜率。2、掌握两直线平行与垂直的条件，并能运用它们判定两直线平行与垂直。3、掌握直线的点斜式和斜截式方程，并能运用它们求直线的方程。4、掌握直线的两点式和截距式方程，并能运用它们求直线的方程。5、掌握直线的一般式方程，并能根据直线的一般式方程求直线的斜率，截距及作直线的图形。6、理解两直线交点坐标即两直线方程对应的方程组的解，会由两直线的方程求两直线的交点坐标。7、理解两点间的距离公式，能运用公式求两点间的距离。8、理解点到直线的距离公式，能运用公式求点到直线的距离。9、识记两条平行直线间的距离公式，能直
39、接运用公式求两条平行直线间的距离。第五讲直线与方程基础知识1、直线的倾斜角和斜率：一条直线/向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角。倾斜角不是9 0 的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。2、两条直线平行和垂直的条件(1)两条不重合的直线4,4的斜率分别为仁,女2,则/1/2=仁=%2。(2)两条直线44的斜率分别为 附4 2,则/J，2Q2=T。3、直线的方程(1)点斜式方程：直线/过点(%，%)，且斜率为左，方程为：y-ya=k(x-x0).注意：不表示垂直于x轴的直线。(2)斜截式方程：直线/的斜率为,且与轴交点(0/)，方程为 =丘+8。/与y轴交点(0,
40、切的 纵 坐 标 叫 直 线/在y轴上的截距(纵截距)。(3)两点式方程：已知两点片(石,)，1(,为)，(其中看。必)，则过两点的直线/的方程为：=当一弘(4)截距式方程：直线/与光轴交点(。,0)的横坐标。叫做直线在x轴上的截距，直线/在y轴上的截距 为 则 直 线 方 程 为：土+工=1（。0/。0）a b（5）直线的一般式方程：A x+B y +C O（其中48不同为0）4、两直线的交点坐标f A x +B,y +C,=0两条直线4 :A 1X+4 y +G=0与/2：4%+鸟）+。2=0的交点坐标是方程组 A）x +B.,y+C2-0的解；当方程组只有一组解时，两条直线相交；当方程组
41、无解时，两条直线平行；当方程组有无数组解时,两条直线重合。5、两点间的距离公式，点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式。已 知4（尤1，乂）,4（,必），则 由 周=/区 _M）2+（%_弘）2。特别地，原点。（0,0），任一点P（x,y）到原点O的距离 OP =旧+2。已知点%），直线/：A x+8），+c =0,则兄到直线/的距离d =A x +B y0+C（当A=0或3 =0时，上式也成立）VA2+B2两平行直线4 :A r +By +G=0;l.-.A x +By+C,=0间的距离为4 =隼 二S t。V A2+B-课前热身1、直线/经过原点和点（一1,一1）,则它的倾斜角是（）
42、A兀 3 兀 一3兀 兀A、一 B、一 C、一 或 一 D、4 4 4 4 42、过点（3,4）且与直线3 +2 =0平行的直线方程是 o 3 x y 5 =03、下列结论倾斜角为a的直线的斜率为左=t a n a；经过A（1,1）,8（-1,3）两点的直线不存在斜率；A直线A x +5），+C =0的斜率为女=-万；直线y =l的斜率为0。其 中 正 确 结 论 的 序 号 是。4、经过直线y =2 x+3和3尤-y +2 =0的交点,且垂直于第一条直线的直线方程为x+2 y-l 1 =05、点A（4,0）关于直线5 x+4），+2 1=0的对称点是()DA、(6,8)B (8,6)C、(6
43、,8)D、(-6,-8)范例分析例1过点M(2,l)的直线/与x轴，y轴的正半轴分别交于A,6两点，求A 4 0 B面积最小时直线/的方程。解：由己知，直线/的斜率左存在且女 4 ,当且仅当-2%=-L 即攵=，(正值舍去)2 (2k)2k 2时取等号，这时/方程为：x+2 y 4 =0点评：求直线的方程，一般用待定系数法，但在用四种特殊形式的方程求直线方程时，一要注意不同的条件，选择恰当的形式，二要注意每种形式的适用范围。例 2 直线2 过点尸(1,1),Q(3,。)，直线过点 M(2,2),N(3 +,4)。(1)若m/n,求。的值；(2)若机_1_，求。的值。解：当。二一1时，km=-1
44、,直线的斜率不存在，这时，相与不垂直,1。(1)ml I n/.ki n=k 则=-=Q=V5 2 1 +。d 1 2(2),：mA.n k,/a =02 +a故当机/时，a=5 ；当?J.时，a =0。点评：求斜率问题时，一定要先考虑斜率是否存在。例3求过点(-1,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。分析：截距可正可负，也可以为0,所以要分情况讨论。解：(i)当截距为0时，直线的斜率存在，可设直线方程为丫 =依，又直线过点(-1,3),则有y =-3 x。(ii)当截距不为。时，设直线2 +2=1,且。=匕，又直线过(一1,3),则=+=l n a =2,即a b a ax+y -2=0
45、 o综上，y =-3 x或x+y-2=0为所求。点评：截距问题要考虑截距是否为零，它是分类讨论的一个标准。例4已知点A(-3,8),8(2,2),点尸是x轴上的 点,求|A P|+|P B|取最小值时点P的坐标。解：如图，在无轴上任取一点耳，作8(2,2)关于龙轴做对称点片(2,-2),连 4,q A,B连A B 交无轴于P,则由A|+|耳用=山4 +山4|A闻 X|P A|+|P B|=|P A|+|P B,|=|A B,|.|P A|+1 P B|山A|+山.点尸为所求。A区的方程为：上3 =虫即2x +y 2=0-2-8 2+3令y =0,得x =l,.点尸(1,0)达标练习1、过点M(
46、2,3)与N(l,5)的直线的倾斜角的正切值为()Bc 1 1A、2 B、2 C-.D、-2 22,如果直线x+y 2=0与直线a x +2y +l =0互相垂直，那么a的值等于()D1 2 cA、l B、-C、-D 23 33、与直线2x +y +l =0平行且距离为g 的直线的方程是()CA、2x+y 2=0B、2x +y =0C、2x+y =0和2x+y +2=0 D、2x+y =0和2x+y-2 =04、点A(3,2),B(5,4),C(a,6)三点共线，则a的 值 为()DA、-3 B、-1 C、4 D、755、原点到直线y =x +1的距离为 o 26、与直线3 x 4y +5 =
47、0关于x轴对称的直线方程为()BA、3 x +4y-5 =0 B、3 x+4y +5 =0C、3尤-4y +5 =0 D、3 x-4y-5=07、以点(1,3)和(5,1)为 端 点 的 线 段 的 中 垂 线 的 方 程 是。尤一-2=08、不论?怎样变化，直线(z +2)x(2加一l)y -(3 m-4)=0恒过定点。(-1,-2)9、已知A 4 8 C的顶点A(5,l),AB边上的中线CM所在的直线方程：2x y-5 =0,AC边上的高8”所在直线方程为x 2y 5 =0,求(1)顶点C的坐标；(2)直线8C的方程。解：仁3T.K2，直线 A C 方程为 y 1=2(x 5)即为2x+y
48、 11=02x +y-l 1 =02x-y-5 =0(1)由，解得x =4、y=3.顶点。的坐标为(4,3)(2)设顶点8的坐标为(a,b),点B在直线8”上c i 2b 5 =0 线段A8的中点M(竺 之,处32 2点M在中线CM上.2.史 -阳-5 =0 即 2。-匕-1 =0 2 2由联立，解方程组得a =1 =3即 3(1,3),又 C(4,3)直线BC的 方 程 为 士 圭-3-3x-4-1-4,整理得6 x-5 y-9 =0。10、求直线x y 2=0关于直线/:3 x y +3 =0对称的直线方程。解：解 法1：由%3-:y +2 3-=0。得交点尸 匕5 59)取直线 一 一2
49、=0上一点A(0,2),设A点关于l-.3 x-y+3 =0的对称点A(七,先)由K.-K=-1且线段A A 的中点在直线/:3%+3 =0上有x3=-l f 一 得=-3所求直线过(二,_ 2)与(_ 3,一1)3X-AZZ+3=0 1%=T、I 2 29 5/.所求直线方程为y+-=-7(%+-)即7 x +y +22=0解法2：设P(x,y)为所求直线上任意一点，P关于直线/:3 x y +3 =0的对称点尸(X；y)由尸尸J/且线段P P 的中点在直线/上0 x 3 =7x-x3x 3一拉+3=02 2x=r）,圆心距为d,两圆位置关系如下：两圆的交点坐标即两圆的方程对应的方程组的解。
50、4、确定空间点的坐标，求空间两点间的距离。位置关系外离外切相交内切内含几何特征d R+Yd=R +rR-r d R+rd=R-rd R-r代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解若A（王，x,4）,y2,z2）,则线段AB的中点坐标为（五 户,&1空,五 产）点P（x,y,z）关于坐标原点的对称点为P-x,-y,-z）点P（x,y,z）关于横轴（x轴）的对称点为（x,-y,-z）点P(x,y,z)关于纵轴(y轴)的对称点为A(-x,y,-z)点P(尤,y,z)关于竖轴(z轴)的对称点为舄(一元-y,z)点P(x,y,z)关于x O y平面的对称点为心(x,y,-z)点P(x,y,