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1、第一章函数极限连续填空题1.己知/(x)=sinx,f(p(x)=l-x2,则 Q(x)=,定义域为.解.f(p(x)=sin(p(x)=-x2,(px=arcsin(l-x2)-l l-x2 1,0 x2 2,lxl V2a解.可得e=tedt=(te-e)=aea-ea,所以 a=2.J-o oOO3.lim z-“I n+12n-z-H 1-2-n+2 +1 2 n1 2 n 1-+-2+1 rr+n+2-+/+12n-F ,-f-2+1 /+1所以l+2 +2n+1 2 o-1 on+l+2n l+2 d-FH-,(n-8)n+n+n n+n+n 2n(l+n)1 +2 d-1-n 9
2、 1-5-；=-，(n 8)n+n 4-1 n+n+1 2(1 2 n 1所以 lim-+；-+-=n+n+I n+n+2 n+n+n)2104.已知函数/（X）=lxl 1解.ff(x)=l.5.lim(Vn+3A/yin 品)=.I 8解.n 8+3-y/n-y fn)=lim n+3A/H-/2 +4n 八=lim i=-1 =2J+3G.+-y/n6.设当x 0时，f(x)=ex-1 +“为x的3阶无穷小，则a=,h=-bxx 1 +QXk=li m-1，似x 0 1一.e+bx c 1 a x=li m-x(1+bx).cx+h x x 1 a x=Ili n-D%3e=li m X
3、 TO-r bex+bx ex-a3x2(1)=li mX TOex+2h ex+h x ex6x2(2)由(1)：li m(e*+bex+bx ex-。)=1 +/?。=0X 70由(2)：li m(e*+2bex+bx ex)=1 +2。=0.v-07.li m c ot i o I si n x c osx x -si n x x-s i n x-1 -c os x si n x 1解.li m-=li m-=li m-=hm-=x-si n x x si n x o 冗-so 3x x-0 6x 6产8.已知 li m 7-=A(w 0 w 8),则 A=_,k=_ _ _ _ _ _
4、.“TOO N-(n-i)990-9 9 0解.li m-=li m -=An 一(-1)T8 k n +所以 k-1=1990,k=1991;=A,A =11I-1991二.选择题1.设危)和谈)在(-8,+8)内有定义，段)为连续函数，且大外W 0,(p(X)有间断点，则,(p(x)(a)(p /U)必有间断点(b)(p(x)必有间断点(c)/即(必有间断点(d)-必 有 间 断 点/(X)10解.(a)反例 叭X)=I x K 1,、，八力=I,贝脚伏x)=llx t 11 lx ll(b)反例 9(x)=,1(c)反例19(x)=Ix K lI X l 1/)=1,则/3a)=i(p(
5、x)(d)反 设g(x)=-在(-8,+8)内连续，则(p(x)=在(-8,+8)内连续，矛盾.所以(d)是答案./(X)2.设函数 f(x)=x t a n x es i n x,则 f(x)是(a)偶函数(b)无界函数(c)周期函数(d)单调函数解.(b)是答案.3.函数/(X)I x l si n(x-2)x(x l)(x 2)2在下列哪个区间内有界(a)(-1,0)(b)(0,1)(c)(1,2)(c l)(2,3)解.li m/(x)=8,li m/(x)=8,/()+)=2,/()_)=%-i x-o 4 4所以在(一1,0)中有界，(a)为答案.V2-_ L4.当X 1时，函 数
6、-夕1的极限x-(a)等于2(b)等于0(c)为8 (d)不存在，但不为8解./一1，f+ooli m-ex=li m(x +l)e*T =n x-1-0 x 71 +0 x 1 0(d)为答案.5.极限li mn o3 5 2/?+l-+-+,+-12 X22 22 X32 n2x(n +l)2(a)0(b)1 (c)2(d)不存在,3 5 2n +1li m-7 H-z-y d-1-$-z-x 2 2 x 3 n x(n +1)-的值是-7=1,所以(b)为答案.(+l)(x +l)9 5(a x +l)5(x2+1)506.设 li m则a的值为x 8=8.(a)1 (b)2(c)V 8
7、 (d)均不对解.8=(x+1)分(a x+1)5(x +1)95/x95(a x +1)5/x5吧 江+1)5。=:叩 英+1)5。/1。(1+1/X)95(+1/X)5 5=li m-T-7.-=a ,(1+1/x2)50a =%，所以(c)为答案.7.设 li mX 8(x -l)(x -2)(x -3)(x -4)(x -5)(3X 2尸=0、则a,B的数值为(a)a=1,p =(b)a =5,p =(c)a =5,p =g(d)均不对解.(c)为答案.8.设/(x)=2,则当X TO时(a)f(x)是x的等价无穷小(c)f(x)比x较低价无穷小(b)f(x)是x的同阶但非等价无穷小(
8、d)f(x)比x较高价无穷小,2*+3-2 2 ln 2+3vln 3,o o,、一解.li m-=li m-=In 2+In 3,所以(b)为答案.A 0 XX A 0 I1、几.(1 +x)(l+2 x)(1+3x)4-a r9.设lim-=6,贝ij a的值为X TO(a)-1 (b)1x(c)2 (d)3解.lim(l+x)(l 4-2 x)(1+3x)+=0,1 +a=0,a=-1,所以(a)为答案.X TO10.设limx-0a tan x 4-6(1-cos x)c ln(l 2 x)+d(l e-=2,其 中。2 +c2 w 0,则必有)(a)b=4d(b)b=-4d(c)a=
9、4c(d)a=-4c解.2 =lim.s 0a tanx+0(1-co sx)a,.F/?sinx=l i mc o p-XT。-2c c J _t2-+2xde1 2 xa-,所以a=4c,所以(d)为答案.c ln(l-2 x)+J(l-2c2)三.计算题1.求下列极限(1)lim(x+ex)xXT解.lim(x+e)x=lim eX T+c ox 4-eoln(x+/)ln(x+eA).1+e，lim-h m -；X 0 X T y X+e、(2)lim(sin +c o s-)r3 8 X1解.令y=一xXlim(sin2 +co sL)X T8 XX1 liml n(s i n 2-
10、V+C O S y)l i m2cos2y-sinylim(sin 2 y+cos y)3二 夕 一 =e sin2 v+cosy=/y-01 +tan xlim1+sin x右(1 +tan x.lim-1 +sin x,tan x-sin x=lim 1 +-1 +sin x%1+sin.r=limx 0(tan X-Sin X Vanx-Sinj1+-1+sin x)tan x-sin.v(l+sinx)x-tan x-sin.rh m-r-=e-。/lim:sin.r(l-cos.v)C.2Xsinxzsin .lim 1=e*T *=e22.求下列极限ln(l+yj x 1)(i)l
11、im-/.arcsin 2 VX2-1解.当X TI时，ln(l+V x-1)V x-1 ,arcsin2 yx?-12#-1.按 照 等 价 无 穷 小 代 换lim*二 l i mJ=l i m-J=；x f arcsin 2 x2-1 2 V p二I 田 2火 工1 2 V2(2)lim|-c o t2 x解.方法1：lim-c o t2 x=lim 2、/2 2 2 cos x sin x-x cos x 2-=hm-r-9-siir x J X T(x sin-x)limx 0-(x2+l)cos2 X、f-2 x c o s-x+2(尸+l)cosxsin=Iim-,so 4 r3
12、 一2 xcos“x+sm 2 x _ 2厂 cos 尤 sin x=lim-+lim-x o 4%i o 4x=limX TO-2cos2 x+4 xC O Sxsinx+2 cos2xU x21+2,-2cos2 x+2 cos2x 1 1 4 cosxsin x-4 sin2x 1 1=lim-z-1-F =lim-1-F,1。12x2 3 2 z。24x 3 2-2 sin 2x=lim-i o 2 4x1 1+-+3 21 1-1 6 31+=223方法2：1 -(x2+l)cos2 1、吟力卜 丁2 c o s 2个sirr x)3 1 x sin x)limX TOx4=limA
13、-0(i A1 -(x2+l)(cos 2x+1)x4lim.1 0l-(x2+1)(1+1-(2 (2 x)4-1-X2!4!,4+0(一)7=limA 0i 6、l-(2x2-2x4+2-2x2+-x4+0(x4)2 2 42/i o x43.求下列极限3(1)lim(V -1)-8 nn解.lim(yjn-1)=limInn In令%-1=x lim-=1=x 0 ln(l+x)i P-nxli m-1-nx1x 0 i+内0 x =0-1x 82,其中 a 0.b 07解.!im k U，-，n 2a li m.cxlnclim-=aex o+1+cXx=/n.c=b/a1 0+ln(
14、l+cA)-ln2岛3 一 824.设/(X)=2 Z 1、(1-c osx)X1 c os J 力 J。x 0试讨论/(x)在x =0处的连续性与可导性.解.4*(0)=li mx-0+c os 产 力-1li m-二 li mXO+X A 0+cost2d t-xJoX2X1 22 i-A c os尤-1.2 八=li m-=li m-=01 0+2X*T0+2X2.,，n./(x)-/(0)p-(l-c osx)-lf_(0)=li m-=li m-=li mx0 x.r-0+X A0+2(1-c os x)-x2x3 2si n x-2x .2(c osx-l)八=li m-=li m
15、-=0X-0+3X 1。+6x所以/*(0)=0,/(x)在x =0处连续可导.5.求下列函数的间断点并判别类型2X-1/u)=2;+12 r -1 2A-1./(0+)=li m=1,/(0-)=l i m =-1XT。*-A-0-12-+12、+1所以x =0为第-类间断点.(2)/(%)=x(2 x+;r)2 cosx1sin：x2-x 0解.f(+o)=-si n l,f(-O)=0.所以x =0为第一类跳跃间断点；lim/(x)=limsin一 一 不 存在.所以x=i为第二类间断点；X T l X-1 X 1jl尤(2九+4)71/(一一)不存在，而lim-i=一,所以x =0为第
16、类可去间断点;2X T-巴 2 cos x 22 x(2x+/r)lim-=8xT-k兀-三 2 COS X2,(k=1,2,)所以x二 一Z万-为第二类无穷间断点.216.讨论函数f(X)=xa sin xex+0 x 0在x =0处的连续性.x0,lim(xasinL)=0,所以io+x4二一1时，在x=0连续，时,x =()为第一类跳跃间断点.7.设f(x)在 a,b 上连续，且a v X i v X 2 xn b,ct(I=1,2,3,，n)为任意正数，则在(a,b)内 至 少 存 在 个&，使/=c (X|)+C2X2)+-+C“C+Q +.+%证明：令M=max/(xr),m=mi
17、n/(x)in所以 C J 3)+C J(XD +CJMC+C2+C”所以存在*a X|V g V xn b),使得 f 4)=cJ(X|)+C 2,a)+C，LC|+Q+c,8.设f(x)在 a,b 上连续，且f(a)b,试证在(a,b)内至少存在个。使f)=&.证明：假设 F(x)=f(x)x,则 F(a)=f(a)a 0于是由介值定理在(a,b)内至少存在个&，使=9.设f(x)在 0,1上连续，且0 K f(x)0.令 机=min(x),则加 0.因此Vxe 0,l，9(x)=/(x)x 2?.于是/(1)2 1+机 0,矛盾.所以在0,1内至少存在一个。使 哨)=。10.设 f(x)
18、,g(x)在 a,b上连续，K f(a)g(b),试证在(a,b)内至少存在-个，使熊)=g 证明:假设 F(x)=f(x)g(x),则 F(a)=f(a)g(a)0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个之 使fR)=11.证明方程X53x2=0 在(1,2)内至少有一个实根.证明：令 F(X)=X5-3X-2,贝IJF(I)=-40所以 在(1,2)内至少有一个。满足F)=0.12.设 f(x)在 x=0 的某领域内二阶可导，且lim(生 毕 +娶=0.求7(0),/(0),尸(0)及v I J v-v-_ m S in3x+?(x)XT Xsin3x .z、-+/(x)lim-I O X
19、=0.所以(sin 3x lim :-+/(x)|=O.f(x)在 x=o的某领域内二阶可导，所以/(x),/(x)在 x=o连续.所以f(o)=-3.因为x )sin3x.-+f(x)lim -=0.所以 limX TO x /-v 0-3 +/(x)+3X2X=0,所以sin3xr/(x)+3 rlim-=lim-X T。A 0 X，3 sin 3x 9=lim-=3 2x 2=limX TO3无一 sin 3x-=limx 1 3 3cos3x3x2/,(O)=limX TO/(x)-/(0)x-0rh m 匕/(x)+3=lr im x-/(x)+3=八0 x-9 =八0X TO X
20、1 0 X1 2由limX TO/(x)+3 9八 将 f(x)台劳展开，得2/(O)+f (0)x+1 /(0)x2+0(x2)+3lim-J-=，所以L(0)=,于是i。x2 2 2 2/(0)=9.(本题为2005 年教材中的习题,2008年教材中没有选入.笔者认为该题很好，故在题解中加入此题)第 二 章 导数与微分填空题./(x+M c)-/(X。)1,1 .设 h m -1 二 一 /(%),则 k=_.o A x 3,f xn+k x)-f(xn)1 ,、一.1、解.k h m-5-=-/(尤0)，所 以 甘(xo)=f(/)k x 3 3,1所 以k=-32.设函数y=y(x)由
21、方程ex+y+cos(xy)=0确定，则但=.dx解.e v(l+y )-(y+xy)sinxy =0,所以，y sin x y -ex+y)ex+y-x sin x y3.已知 f(x)=f(x),且/(一1 o)=%，则/(X。).解.由 f(x)=f(x)得 一/(X)=/(X),所以 X)=f(X)所以 f x0)=f(-x0)=k4设f(x河导，则limI八)=_A。AXA iO A x=m h.m f(xa-+-m-A-x-)-f (xa 1 1)+n lim /(x0-n-A-x-)-/(-x-0)=.(7?+n)./ri z(x0.)TO mAx 0 A x5./(X)=F，则
22、 尸)(x)=.1 +x解.-1-x-l+x(I +X)2(-1)2-1!(l+%)，+，,(-1/2-A:!(1+x产假设/“),则尸=(T严 2(女+)!(l+x)A+l+l(1)2!(1+x),+l,所以解一所以一、,令 x、2,所以/()=一17 .设f为可导函数，y=sin/sin/(x),则 上=.dx.dy.解.=/(x)cos/(x)/sm/(x)cos/sin/(x)dx8 .设y =f(x)由方程e?-C O S(盯)=e-l所确定，则曲线y =f(x)在点(0,1)处 的 法 线 方 程 为.解.上式二边求导e 2x+(2+)()，+xy)sin(xy)=O.所以切线斜率
23、k=y(0)=-2.法线斜率为1,法线方程为,1y -1 =X,即 X2y+2=0.二.选择题1.已知函数f(x)具有任意阶导数，且/(x)=/(x)2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数是(a)n!f(x)r+,(b)n f(x)r (c)f(x)2n(d)n!f(x)2fl解 f (x)=2 f(x)f(x)=2!f(x)3,假设/)(x)M!(x)严，所以(X)=(上+1火!(x)r/(X)=伏+1)!【/(x)r+2,按数学归纳法/5)(x)=!(x)+l对切正整数成立.(a)是答案.2.设函数对任意X均满足f(l+x)=af(x),且/(0)=b,其中a,b为非零常数，则(
24、a)f(x)在x=I处不可导(b)f(x)在 x=1 处可导，且/*(1)=a(c)f(x)在 x=1 处可导，且/(1)=b(d)f(x)在 x=1 处可导，且/*(1)=ab解.b=7(0)=limx70/Q)-/(O)x 0lim-x=所 以/(l)=a b.(d)是答案a注：因为没有假设/(x)可导，不能对于/(1+%)=4(%)二边求导.3.设/(幻=3/+2 1x1.则使尸)(0)存在的最高阶导数n为(a)0(b)1 (c)2(d)3f(x)=0 x 0 x 0-X所以n=2,(c)是答案.A v dy4.设函数y=f(x)在点X)处可导，当自变量x由x()增加到x()+A x时，
25、记A y为f(x)的增量,d y为f(x)的微分，lim-等于&0 A x(a)1 (b)0(c)1 (d)8解.由微分定义Ay=dy+o(A x),所以lim =lim =0 .(b)是答案.Av-O A x X TO A r5.设/(X)=2.1x-sin xa x +bx Qx 0在x=0处可导，则(a)a=l,b =O (b)a=0,b 为任意常数(c)a=O,b=O(d)a=1.b 为任意常数解.在x=0处可导一定在x=0处连续，所以2 1lim x sin=lim(ax+b),所以b=o.XT。X XT。-2.1x sin/(0+)=/(0),lim-工=lim ,所以 o=a.(
26、c)是答案.A-0+X lb X三.计算题1.y=l n co s(1 0 +3 x2),求y解.-s in(1 0 +3 x2)-6 xco s(1 0+3 x2)=-6x t a n(1 0 +3 x2)2 .已知 f(u)可导，y =/l n(x+求y解.y*=f l n(x+y l ci +x2)-/I 1 H-/.f l n(r +Ja +x23 .已知 f erdt=f co s tdt 4-s in y2,求 y.解.eyy=2x co s x2+2 y y,co s y2,2x co s x2y =；-ey-2 y c o s y24.设y为x的函数是由方程I n J/+y-=
27、a r ct a n 1确定的,求y.xy 一y2廿2y _ /:&2 +y22ylX?+y2 +X2X +Vx+y y =y x-y,所以,=-x-y四.已知当x S O时 有 定 义且 二 阶 可 导，问a,b,c为何值时.|7(x)X 0二阶可导.解.F(x)连续，所以 l im f(x)=l im F(x),所以。=八-0)=/(0)；*，()-x-o+因为F(x)二阶可导，所 以/(x)连续，所以b=/_()=/(0),且/(x)=r(x)2 a r +/_(0)x 0尸(0)存在,所以(0)=号 (0),所以li m-(。)=li m 2小0)50)=2.,所以X T0-X 1。+
28、X=1/(0)2五 已 知/(x)=1。，求/()().1-X解.g.占1 1-I-2 1 +x/()(X)=Ln 2 (1-x)-11+i-2(-1)(l +x)H+l/M)(o)=o k=0,1,2,-尸(0)=!，k=0.1,2,-六.设y=x l n x,求/).解.使用莱布尼兹高阶导数公式/(n)(x)=(I n x)g+(l n x)T=x(-i)-1 1)!+n(-i)-2=(-i r-2(n-2)!一(-1)xn力1+K=(-i r2(-2)!rXX所以/0(%2+2 x 3)e A x v 0,求 J/(x)dx.j(xln(l+x2)-3)Jx|(x2+2x y)exdx一
29、x ln(l+x-)x ln(l+x)2 x+c2 2一(r +4x+V)c +C jx0 x 0 x 0八.设/()=sinx+bcosx,(a,b为不同时为零的常数)，求f(x).解.令，=e=x=Inr,/=asin(lnf)+/?cos(ln。，所以/(x)=a sin(ln x)+/7cos(ln x)dxx=-f()sin(lnx)+0-)cos(lnx)+C九.求下列不定积分：i.j3,+3x(2 x+3)dx解.p K*(2 x+3)dx=132+3vt/(x2+3)=X2+3XIn 3+C32.J(3x22x+5”(3x-l)dx解.3.31j(3x1 2-2x+5)2 (3
30、元一 l)dx=-J(3x2-2 x +5)2 J(3 x2 一 2x+5)1 arctan x 1 1 .1 aex tan x 1 1 .=-z+-sin 2/+c=-4-arctan x+sin/cosz+c2 1 +x2 4 8 2 1 +x2 4 4I 2=-(3X2-2X+5)2+Cfln(x+V l+x2).-/-dxJ解.dx=jln(x+ylx2+1)J ln(x+7 x2+1)=ln2(x+7 x2+1)+cr xdx4.-1-1-J(l+x2+V x2+l)ln(l+Vx2+l)解,f-产=产n(l+尸)=l n|l n(1 +R)+cJ(l+x2+V x2+l)ln(l
31、+V x2+1)ln(l+V x2+1)十.求下列不定积分：rx arctan x,1.-3 axJ(1+x2),rxarctanx,1 r arctanx,Z1 2、1 r IZ1 2、-i解.-T-dx=-T rd(+x)-arctanxJ(l+x)J(l+x2)2 2 J(l+x2)2 2J1 arctan x 1 c 1 f-+-a arctan x=-2 1 +x2 2 Jl+x21 arctan x1 +x2+-fJ dx22 J(l+/)2A 1 arctan x 1 r 2,1 arctan x 1 rl+cos 2t,令冗二 tan f-+-cos tdt=-+-dt-2 1
32、 +x2 2 J 2 1 +x2 2 J 2则 x=tan2 Zjtan2 tdt=rtan2r-tan r+r+c=xarcsin+arcsin J X+c=(1+%)arcsinV 1 +x rarcsinx 14-x2,A.r t l+sin21.r z 2 八4 1 1 5=-(4-x2)2+-(4-x2)2+cdx解.-,dx=smt -cos tdt=p(esc t+l)dtJ x yjl-x2 Jsin t cost J=-，cot tdt+|f dt=-t cot 14-Jeot,力+gf2+c=-tcott+In I sinr I +r2+c2.y I-X .1/.、2=-a
33、rcsinx-+ln I x I H-(arcsin x)+cx 24.arctan x.；-dxX (1+x)f arctan x 人 c t),/2 0,dx 令x=tan t -see-t dt=(esc t-1)力Jx2(l+x2)-Jtan2rsec2/J=pCSC2 t dt-Jr 力=一“d cotf-;J =一/cotf+|cot dt一*/=-tcot t+In I sin r I t2+c=2arctanx,x,1 z x2-F In I -.I (arctan x)+cX Vl+x2 2=-a-r-c-ta-n-x+1 I,n-x-(1 azr ctan x)x2+cx
34、2 1 +x2 2十一.求下列不定积分：1.J i J /3 X解.jx3y4-x2dx 令，=2 siin 8|sin3 z 2 cos/2 cosr Jr=32 jsin31 cos21 dt32 32=32 j(l-cos2 Ocos21 dt d cost=-cos3 r+cos4 51 +c2a 令x=a sec，-a-t-a-n-t oseci tant dt,=aa sect1-cos212cos tdtx=a tant-at+c=lx2-a2 a arccos 4-cx/(1 +)3.J l-e解.-j l-e2x-dx 令e*=l-t2，（1+。dtdt 令，=sin u-1
35、-+-s-i-n-u-cosuau.cosw=-cos+c=arcsine-J l-e 2+c4.X.dx(。0)dx令”=x 24du.2-u令 =sin i 8Q 之 扭口4 tdt=8a(1-cos 2 r)2 2 f 2dt=2Q J(1-2 cos2/+cos 2t)dt=2a2t-2 a2 sin2 r+2a21+cos4r,o 2 c 2 .c a，.)-dt=3a t-2 a sin 2,+sin 4r+c2 43。，一4。2 sinrcosr+6f2 sin rc o sr(l-2 sin2 r)+c=3a2t-3 a2 sin/c o sz-2 2 sin31 cos 14
36、-c=3a2 arcsin二3。2 arcsinx4十二.求下列不定积分:1.dxsin xVl+cosx解.r dxJ sin xVl+cosxsin x dx _ r t/(l 4-cos x)_sin2 x Vl+cosx J sin2 x jl+cosxd J l+cosx1-co s2 x令 J l+cosx=u-2l-(w2-l)2-2duw2(2 -w2)2 w2.,1 1 1 1V2 +w)du=I-j=ln I -f=-1 +cu 2 j2 V2 -w1 1.,V2 +J l+cosx,1+F=In I 亍一/I +。v l+cosx 2 V2 v2 -v l+cosx2.解
37、.2-s in x .-dx2+cos xr 2-s in x-dx=2J 2 +cosx1dx+2+cos xd(2 +cosx)2 +cosx2dt令 t a n ，2 +in I 2 +co s x =2 f 4-I n 1 2 +co s x I2 J 1-t2 J 3 +/2 +-T4 t 4 1 x=-a r ct a n -j=+I n 1 2 +co s x +c=j=a r ct a n j=(t a n )+I n 1 2 +co s x I+cr s in x co s x ,3.a xJ s in x+co s x r s in x co s x,1 r l 4-2 s
38、 in x co s x-1 ,解.-dx =-:-dxJ s in x+co s x 2 s in x+co s xi_2(s in x+co s)2-1 ,I f,.x.l r 1 ,-d x-(s in x 4-co s x)a x-dxs in x+co s x 2 2s in x+co s x(x+f)s in(x d )1 z.、A/2 x 兀、=(s in x-co s x)-I n I t a n(H )I+c2 4 2 8卜三.求下列不定积分:解.J后齐&J；/*一玲=AVN+cs ecr-l ,rz 八，-t a n t dt=(s ecr-l)力t a n/J=I n I
39、 s eer -t a n r I-z +c=l n(e*+J e+1)一 a r cco s 十 cr J x-l a r ct a n V x-1 ,3.J-dx解.令看=a r ct a n J x-1,t a n r =V x-1,x =s ec21.dx =2 s ec21 t a n rr V x-Ta r ct a n V x-1 ,ct t a n z 2 f r 2 r 1-co s21 ,-dx =-2 s ec t t a n r dt=2 t t a n t dt=2 r-dtJ x J s ec t J J co s t=2 j?dt j 2 r dt=2t d t
40、a n r-r2=2t t a n r-2 j t a n r dt-t2=2t tan/+2 1n I cosz I -Z2=2 vx-l arctan v x-l-In I xl-(arctan Jx-1)2 +c第 三 章 一元函数积分学(定积分)一.若 f(x)在 b 上连续，证明：对于任意选定的连续函数中(X),均 有，/(x)(x)d x=0,则 f(x)三0.证明：假 设 熊)。0,a 0.因 为 f(x)在 b 上连续，所以存在6 0,使得在上-3,(+8 f(x)0.令 m=m i n /(X).按以下方法定义b 上(x)：在+3 上(x)=JU _(x 一3,其它地方o(x
41、)=o.所以-Sx m-0.县b 2和j /(x)(x)dx=0矛盾.所以f(x)三0.二.设九为任意实数，证明：I=1-Tdx=f-dx=.1 +(tan X)小 1 +(cot X)4n d f?/(sinx)7 C证明：先证：I2-dx=小 /(sinx)+/(cosx)4人 几 _令 t=-X,所以2一皿dx=/(sinx)+/(cosx)F/(C O S X)d x山 /(sinx)4-/(cosx)于是f一小则一出=小 /(cosr)+/(sin。dx=P dx+)/(sinx)+/(cosx)*/(sinx)+/(cosx)|7/(cosx)d x)f(cosx)+/(sin x
42、)兀=f=gu-,5/(sinx).71 fy/(cosx),所以 I2-dx=I2-dx.小 /(sinx)+/(cosx)4 J)/(sinx)+/(cosx)所以百 1 小 一/1 dx.E 3 s x)“J)l+(tanx)”+(sinxV )(cos%)+(sinx)“4cosx)同理F-)l+(cotx),兀dx-4三.已 知 f(x)在 0,1 上连续，对任意x,y都有l f(x)f(y)l v“l x-yl,证明证明:Jj y(x)公=ZgJ/(x)d x,1 k 4-kMxA=1 A=1 A=1 nn/-/(-)dxnk=MX 旦 M (x-&=1 ndxk ,M 1 M-x
43、 dx=r =p J 2 In四.设/“=F兀 t a n xd x.n为大于1的正整数，证明：-1 -2(+1)2(1)证明：令 t =t a n x,则/“=t a n xdx=f-亍dt1 +r2因为1-r-0,(0 t 1).所以-7 l+t2 1 +12于是L“占力4T”立即得到 一,一/,-0,证明：对于满足O vavpvl的 任 何a B，有B f(x)clx af(x)dx证明：令F(x)=x(x a),F(C()=C X 力 0./一 一)公 0,(这是因为t a,.9.f(x)单减).所以 F()0,立 即 得 到f(x)dx af(x)dx六.设f(x)在 a,b上二阶可
44、导，且/(x)0,证明:fM dx(b-a)fa+b2证明：V x,t e a,b,/(x)=/(f)+f(t)(x-t)+(X-t)2 a /(x)d x证明：方法一：令F(x)=a，/(a)d f a j/Q)力(或令 POju xj/(f)d f-a f (t)dt)F(x)=ccf (a x)o f (x)0,所以 F(X)单增;又因为 F(0)=0,所以 F(l)WF(0)=0.即a，(a)d f-a /(f M f 2 0,即f(x)d x a f(x)d x方法二：由积分中值定理，存在&e0,a,使：/(X)dx =a/C);由积分中值定理，存在ne【ai,使f/(x)dx=/(
45、)(l-a)Ja因为 7 ,所 以/(Z 7)W/C).所以f(x)dx =a f(x)dx +a f(x)dx =a2+a-a)0JoJaW+a/C)(i a)=a f(&)=P f(x)dxJ。A.设f(x)在a,b上连续，/(x)在包,以内存在而且可积,6)=他)=0,试证:I/(X)l|l/U)l t/x,(ax b)证 明:-l/(x)l /(x)l/(x)l,所以-fl/(0 1 /-/()f t dt,-。/I 力 W/S)7(x)W f()l 力即 一1所以一 MfW 2/(x)W 力即(x)K g(x)Mx,(ax 4证明：因 为(0,1)上 f(x)w 0,可 设 f(x)
46、0因为 f(0)=f(l)=03 xoe(0,1)使 f(x0)=m a x (f(x)(Kx f|/U)|ab)所以(尸(x)版 之 4由(1)得/(X)f(x)J x 4I-.设 f(x)在 0,1 上有一阶连续导数，且 f(l)-f(0)=1,试证：证明：0/(x)2 dx =_ f/(x)2Jxj(l2Jx(p(x)W x)2=(/(l)-/(O)2=lI.设函数 f(x)在 0,2 上连续,且，(x)dx=o,pc f(x)dx =a o.证明:四 0,2 ,f f i l f()l a.解.因为f(x)在 0,2 上连续,所以因为在 0,2 上连续,所 以 配 e 0,2 ,取自使
47、I f 为)1 =max l f(x)l (0 Vx V2)使l f l f(x)l.所以a =Rx-l)f(x)dx I|l x-l II/(x)I dx+8 3x2+1 x2+4dx7t12f:dx(1+x2因为l i mx3XT81(1+x2=1,所以空 一7积分收敛.所以Cdx(1+d xx27 1 2 4A c 写 sec t令x =tanz 2 I2-山 sec t力=2 f c os tdt=2(4)j si n(l n x)dx =l i m si n(l n x)dx =l i m(x si n(l n x)-x c os(l n x)i2e(5)1-XA/X2-1dx =e
48、 sec t tan t ,TC(6)n .2 “Kfarc tan x ,；/sec t,行,万，-7dx 2-出=21 co s tdt=1(+/)%sec31 力 2第四章微分中值定理设函数f(x)在闭区间 0,1上可微，对于 0,1上每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且f(x)H l,证明：在(0,1)内有且仅有一个 x,使 f(x)=X.证明：由条件知0f(x)0,F 0,所以存在&e(0,1),使F=0.假设存在&,成6 (0,1),不妨假设盘 却，满足f&)=*，喈2)=b于是 备一匕2=f(&)一熊2)=/()(。一$).&。&).所 以 广()=1,矛盾.二.
49、设函数f(x)在 0,1上连续,(o,i)内可导，且3 1/(x)d x =/(0).证明：在(0,1)内存在一个。使/0=0.3证明：/(O)=3f(x)dx=3/(,)(1-1)=/(,),其中却满足|q 1.由罗尔定理，存在。满足且/C)=O.三.设函数f(x)在 1,2 上有二阶导数，且 f(l)=f(2)=0,又F(X)=(X-1)4(X),证明：在(1.2)内至少存在一个。使 尸 0=0.证明：由 于 F(l)=F(2)=0,所以存在4,1 却 2,满 足/(。)=0.所 以 F(l)=F(4)=0.所以存在。满 足 1&0)上连续，在(0,x)内可导，且4 0)=0,试证：在(0
50、,x)内存在一个。使/(x)=(1+)ln(l+X)/().证明：令 F(f)=_/W,G(f)=l n(l+。，在 0,x 上使用柯西定理尸(X)-尸(0)_尸6)-，&w (0,x)G(X)-G(O)GC)所以船=(1+纣份即&)=(1+.皿1+,五.设/U)在 a,切上可导，L ab 0,试证：存在一个(a,b),使丁(初 产b a f(a)f(b)证明：不妨假设a 0,0 0.令尸(X)=X /(X).在 a,加上使用拉格朗日定理bnf(b)-a (a)=喈尸(初 S 一。)六.设函数/u),g a),力在口,句上连续，在(。,)内可导，证 明:存 在 个(。,匕)，使/()g(a)h