《2022-2023学年北京市海淀区某中学八年级上学期期中考试数学试卷含详解2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年北京市海淀区某中学八年级上学期期中考试数学试卷含详解2.pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022-2023学年度初二年级第一学期数学期中练习一、选择题1.下列平面图形中，不是轴对称图形的是（）B.2.正六边形的内角和为（）A.180B.360C.720D.14403.如图，在平面直角坐标系xOy中，点尸（一 3,5）关于y 轴的对称点的坐标为（）A(3 1 5)B.(3,5)C.(3.-5)D.(5,-3）4.如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与M BC全等的三角形是（）A.MEG B.M DF C.4DFG D.&CEG5.已知一个等腰三角形一内角的度数为80。，则这
2、个等腰三角形底角的度数为（）A.100 B.80 C.20或 80 D.50或806.如图，OP平分AM ON,B4LO N 于点A,点。是射线0M 上的一个动点.若序=4,则尸。的最小值为（）A.2B.3 C.4 D.57.如图，已知NMON及其边上一点A,以点A 为圆心，A 0 长为半径画弧，分别交OM,ON于点B和 C,再以点C 为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B,错误的结论是（）.A.S&AOC=SABC B./B=90 C./M ON=30 D.OC=2BC8.如右图，在 ABC中，ZC=90,A 8的垂直平分线MN分别交AC,A 8于点。，E.若ZCBD:/D BA=3:1,则
3、NA 为（）.A.18B.20C.22.5D.309.如图，四边形A 8C D 中，A 3=4）,点B关于A C 的对称点B 恰好落在C。上，若Z B A D a,则 N A C B 的度数为（）CBA.45B.a 451C.-ct2D.9 0-a210.如图，坐标平面内一点A（2,-1）,。为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以点尸、。、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为（）二、填空题11.如果等腰三角形的两条边长分别为23cm和 10cm,那么第三边的长为 cm.12.已知一个正多边形的内角和为1440,则它的一个外角的度数为 度.13.如图，在aA B C
4、 中，AB=AC,D 为 BC上一点，且 CD=AD,A B=BD,则N B 的度数为.14.如 图 1,三角形纸片ABC,A B A C，将其折叠，如图2,使点A 与点B 又重合，折痕为E D,点 E、。分别在AB,AC上，如果NA=4 0 ,那 么 的 度 数 为图1图215.在AABC中，AB=10,AC=6,AD是 BC边上的中线，则 AD的取值范围是16.如图，AB=4C,BDVAC,N C B D=a,则NA=（用含a 的式子表示）.A17.如图，在ZVLBC中，边A B的垂直平分线分别交于6 c于点。，交A 5于点E，若A O C的周长为8,A E=3,则A A B C的周长为.
5、18.如图，已知点。是自ABC内一点，且点。到三边的距离相等，0A=4O,则0BOC=19.已知：如图，在等边4 4 8 C和等边AOBE中，点A在。E的延长线上，如果N E C B =3 5,那么 NDW=度.20.下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程.已知：线段a求作：等腰A A B C,使AB=AC,BC=a,BC边上的高为2a,作法：如图，作线段BC=a；(2)作线段BC的垂直平分线DE交 BC于点F；(3)在射线FD上顺次截取线段FG=GA=a,连接AB,AC,所以AABC即为所求作的等腰三角形.请回答：得到AABC是等腰三角形的依据是：三、解答题(1)作出与&
6、4BC关于)，轴对称的图形4 4 G；(2)若图中一个小正方形边长为一个单位长度，请写出各点的坐标:A；c,；（3）求/!的面积.（4）若点P 为 y 轴上一点，使点P 到 A、B距离和最小，标出点P.22.如图，已知点M、N 和乙408,用尺规作图作一点P,使尸到点M、N 的距离相等,且到/A 0 B 两边的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）23.如图，点 B、F、C、E 一条直线上，BF=EC,AC=DF,ACD F.求证：N A=ZD.24.如图，AABC 中，NACB=90。，AC=BC,AE是 8 c 边上的中线，过 C作 CFLAE,垂足为F,过 8 作 3。，8 c 交 CF的
7、延长线于。.（2）若 AC=12cm,求 的长25.在ABC中，4B=AC,点。是直线8 c 上 一 点（点。不与点B,C重合），以人。为一边在 AQ 的右侧作?!）,AD=AE,Z D A E=Z B A C,连接 CE.EB D C（1）求证：A B。g 4 C E；（2）N B C E 和N B A C 之间有怎样数量关系？说明理由.2 6 .在 4 4 B C 中，/84C为锐角，A B A C,4。平分NBA。交 B C 于点 ,BC的垂直平 分 线 交 延 长 线 于 点 E,交 B C 于点F,如图，若 N A B E =6 0,判断4 C、C E 和 A B之间有怎样的数量关系
8、并加以证明.2 7 .如图，CN是等边AABC的外角NACM内部的一条射线，点 A关于CN的对称点为 ,连接A D,BD,C D,其中A D,8。分别交射线C N于点E,P.（2）若NACN=a,求/BQC的 大 小（用含a的式子表示）；（3）用等式表示线段P 8,P C 与 P E 之间的数量关系，并证明.28 .在平面直角坐标x Q y 中，直线/为二、四象限角平分绒，图形T 关于x 轴 对称图形称为图形7 的一次反射图形，记作图形工；图形（关于直线/的对称图形称为图形7 的二次反射图形，记作图形心.例如，点（2,5）的一次反射点为（2,-5）,二次反射点为（5,2）.根据定义，回答下列问
9、题:二二沁沁：（1）点（2,5）的一次反射点为,二次反射点为:当点A在第二象限时，点M（3,l）、N（3,1）,P（5,1）中可以是点A的二次反射点的是；（2）若点A在第一象限，点A、分别是点A的一次、二次反射点，。4劣为等边三角形，求射线与y轴所夹锐角的度数；（3）已知点七（1,九），/（2,）.若以E/为边的正方形的二次反射图形与直线龙=3有公共点，则的取值范围为.2022-2023学年度初二年级第一学期数学期中练习一、选择题1 .下列平面图形中，不是轴对称图形的是（）含【答案】A【分析】根据轴对称图形的定义作答.如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫
10、做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.【详解】解：根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合.故选：A.2.正六边形的内角和为（）A.1 8 0 B,3 6 0 C,720 D.1 4 4 0【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式：（-2 1 8 0。计算即可.【详解】解：（6-2）x l 8 0=720,故选：c.【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和公式：（-2）-1 8 0。是解题的关键.3 .如图，在平面直角坐标系x O y 中，点 P（3,5）关于y 轴的对称点的坐标为（）A.(3,-5)-3)B.(3,5)C.(3.-5)D.(5,【
11、答案】B【详解】根据关于y 轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，.点P关于y 轴的对称点的坐标是（3,5）,故选：B4.如图，左边为参加20 1 9 年国庆70 周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与A 4 B C 全等的三角形是（）A.MEG【答案】CB.MDFD.A C EG【分析】根据全等三角形的判定进行分析即可.【详 解】设 小 正 方 形 的 边 长 为 1 ,则 A B=3,A C=712+22=V5，B C=V2，A E=712+32=V 1 0，A F=V 42+l2=V 1 7,D F=3,D
12、G=B C=夜,GF=A C=6,C E=亚先从三角形的最长边分析，A.A A EG,B.A A D F,D.4CE G 都不可能与AABC全等；只有 C.ADF G 符合S S S 形式.故选：C【点睛】考核知识点：全等三角形的判定，勾股定理.利用勾股定理求出三角形边长是关键.5.已知一个等腰三角形一内角的度数为8 0。，则这个等腰三角形底角的度数为（）A.1 0 0 B.8 0 C.2 0 或 8 0 D.5 0 或8 0【答案】D【分析】已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论.【详解】解：（1）若等腰三角形一个底角为8 0。，顶角为1 8
13、0 8 0。-8 0。=2 0；1 Q HO Q Q O（2）等腰三角形的顶角为8 0。，底角为=5 0.2因此这个等腰三角形的底角的度数为5 0。或8 0.故选：D.【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理.解答此类题目的关键是要注意分类讨论，不要漏解.6.如图，OP平分AMON,B4LO N 于点A,点。是射线0M 上的一个动点.若序=4,则尸。的最小值为()A.2B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】根据垂线段最短得出当P Q，。历 时，PQ 的值最小，根据角平分线性质得出PQ=P A,求出即可.【详解】解：当 P Q，O M 时，PQ的值最小，;OP平分 AMON,PAV
14、ON,PA=4,.-.PQ=PA=4,故选：C.【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，解题的关键是能得出要使尸。最小时。的位置.7.如图，已知NMCW及其边上一点A,以点A 为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM,ON于点B和 C,再以点C 为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B,错误的结论是().C./M ON=30D.OC=2BC【答案】D【分析】由作图可得OA=AC=AB=BC,根据等底同高面积相等可对A 进行判断，根据三角形一条边上的中线等于这条边一半的三角形是直角三角形可对B 进行判断；根据4A B C是等边三角形，AAOC是等腰三角形可对C 进行判断；根据OB=2BC可对
15、D 进行判断.【详解】过 C 作 CD_LOB,垂足 D,如图所示,D B fVSAOAC=-（9AgCr）,SA A B C=-A B C）,OA=AB,SA O C=SA B C,故选项A 正确，不符合题意；VOA=AC=AB=BC,，BC=g0B,.OCB是直角三角形，ZO CB=90,故选项B 正确，不符合题意；在 RtOCB 中，ZOCB=90,BC=1OB,A ZCO B=30,即NMON=30。，故选项C 正确，不符合题意；VOB=2BC,OBOC,：.OC/2BC,故选项D 错误，符合题意.故选：D.【点睛】此题考查了直角三角形和等边三角形的判定与性质.此题难度不大，解题的关键
16、是能根据题意得到OA=AC=AB=BC.8.如右图，在 ABC中，ZC=90,4 8 的垂直平分线MN分别交AC,AB于点力，E.若Z C B D :A DBA=3:1,则 NA 为（）.A.18 B.20 C.22.5 D.30【答案】A【分析】由线段垂直平分线的性质可知D B=A 4,可得NA=ND84,又由条件可知NCBD=3ZDBA=3 Z A,则在RsABC 中可得NA+NA+3NA=9 0 ,可求得N A.【详解】解：M N垂直平分AB,:.ZDBA=ZA,ZCBD：ZDBA=3：I,ZCBD=3ZDBA=3ZA,在 RSABC 中，ZCBD+ZDBA+ZA=90,ZA+ZA+3Z
17、A=90,-4=1 8。，故 答 案：A.【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用.9.如图，四边形A 8C O 中，=点B关于A C 的对称点B 恰好落在C。上，若/B A D =a,则 N A C 3 的度数为（）A.45 B.a-4 5 C.-a D.290-2【答案】D【分析】连接 A B,8 8，过 A 作 AEYCD 于 E,依据 NBAC=ZBAC ,/D A E=Z B A E，即可得出/C 4 E=1 N 6 A。，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到N4C82=ZAC B=90
18、-Z B A D .2【详解】解：如图，连接AB,B B，过 A 作 AELCZ）于 E,.点B 关于A C 的对称点B 恰好落在CD上,.AC垂直平分3 3，：.AB=A B,：.Z B A C Z B A C,：AB=AD,：.AD=AB,又 办 八 处：.A D E=A ZBAE,1 1N C A E=-N B A D=-a,2 2又Z A B =Z A O B=9 0,，四边形 A O B E 1 中，Z E B,O=1 8 0-a,2，ZACB=N E B O-N C O B =1 8 0-a-9 0=9 0-a,2 2Z A C B=ZACB=9 0 -a,2故选：D.【点睛】本题
19、主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOM E,解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.1 0.如图，坐标平面内一点4(2,-1),。为原点，P是x 轴上的一个动点，如果以点P、。、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质作出相应图像，然后即可确定点的个数【详解】解：以。点为圆心，0A为半径作圆与x 轴有两交点，这两点符合题意.以4点为圆心，OA为半径作圆与x 轴 交 于 两 点 点 除 外).作线段OA的垂直
20、平分线与x 轴有一交点.如图所示：共 4 个点符合，故选C.【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键.二、填空题11.如果等腰三角形的两条边长分别为23cm和 10cm,那么第三边的长为 cm.【答案】23【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系即可得到结果；【详解】等腰三角形的两条边长分别为23cm和 10cm,，可有两种情况,分别是：23cm、23cm、10cm 和 23cm、10cm、10cm,根据三角形三边关系可得23cm、23cm、10cm符合条件，所以第三边是23cm.故答案是23cm.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系的
21、应用，准确分析判断是解题的关键.12.已知一个正多边形的内角和为1440,则它的一个外角的度数为 度.【答案】36【分析】首先设此正多边形为n 边形，根据题意得：180。(n-2)=1440,即可求得n=1 0,再由多边形的外角和等于360。，即可求得答案.【详解】设此多边形为n 边形，根据题意得：180(n-2)=1440。，解 得:n=10,这个正多边形的每一个外角等于：360+10=36.故答案为：36.【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握定义与相关方法是解题关键.13.如图，在aA B C 中，AB=AC,D 为 BC上一点，且 CD=AD,A B=BD,则/B 的度数为_
22、 _ _ _ _ _ _ _ _ _【答案】36。【分析】根据 AB=AC 可得NB=NC,CD=DA 可得NADB=2NC=2NB,BA=BD,可得NBDA=NBAD=2NB,在 ABD中利用三角形内角和定理可求出NB.【详解】；AB=AC,/B =NC,VCD=DA,ZC=ZDAC,VBA=BD,A ZBDA=ZBAD=2ZC=2ZB,又.NB+NBAD+NBDA=180,.5ZB=180,A ZB=36,故答案为:36.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用.14.如 图1,三角形纸片ABC,A B A C,将其折叠，如图2
23、,使点A与点B又重合，折痕为E D,点E、。分别在AB,AC上，如果NA=40。，那么N D BC的度数为图1图2【答案】30。#30度【分析】依据三角形内角和定理，求出/A B C的度数，再证明？084?A 4 0?,即可得到1 0 3 c的度数.【详解】解：如图2,.AB=AC,ZA=40,ZABC=ZC=-（180-40。）=70；2由折叠可得：D A =D B ,.,.ZD8A=ZA=40。，ZD 3c=70-40=30.故答案为：30.【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，灵解题的关键是活运用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等几何知识点.15.在AABC中，AB=10,AC=6,
24、AD是 BC边上的中线，则 AD的取值范围是【答案】2AD8 分析】延长4。至E,使D E=AD,由SAS证明A 4C D 三A E B D,得出BE=AC=6,在M B E中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即 可 得 出 的 取 值 范 围.【详解】延长A0 至 E,使。连接B E,如下图所示：.AO是 2 c 边上的中线，：.BD=CD,在 妨/汨 和 A C/M 中，B D =C D N B D E =Z C D A ,D E =A D：.X 3 D E 合 ACDA(SAS),：.BE=AC=6,在 AABE中，由三角形的三边关系得：A B-B E A E A B+B E，1
25、0-6 A 10+6,即 4A16,：.2ADS,故答案为：2A)=OE=。尸在 R tA O B D 和 RMOBF 中,OB=OB,OD=OF,：.Rt&OBD=R tQ B F ,：.ZAB O =ZC BO同理：ZAC O =NBCO,.ZA=40。，N B C O+N C B O=g(/A C 8+ZABC)=；(180。NA)=70。，：.ZBO C =180-(ZB C O+ZC B O)=00.故答案为：110.1 9.已知：如图，在 等 边 和 等 边ADBE中，点 A 在。E 的延长线上，如果/E C B =3 5 ,那么 ND4B=度.【答案】35【分析】根据等边三角形的
26、性质得到8 4 =B C,BD=B E，ZA B C =ZDBE,则ZD BA=N E B C,然后根据“5XS”可判断此 瓦 修 用。，再根据全等的性质即可得到ADAB=NECB=35。.【详解】解：.A4BC和 ADBE都是等边三角形，:.BA=BC，BD=BE，ZABC=ZDBE=60,ZABC+ZABE=ADBE+ZABE,即 ZDBA=ZEBC,在 ADB4和 AEBC中，BD=BE /DBA=Z.EBC,BA=BC：.ADBAAEBC(SAS),：.ADAB=AECB=-35.故答案为：35.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质：判定三角形全等的方法有“SSS
27、”、“SAS”、“AS4”、“AAS”；全等三角形的对应边相等.20.下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程.已知：线段a求作：等腰A A B C,使 AB=AC,BC=a,BC边上的高为2a,作法：如图，作线段BC=a；(2)作线段BC的垂直平分线DE交 BC于点F；在射线FD上顺次截取线段FG=GA=a,连接AB,AC,所以A A B C即为所求作的等腰三角形.请回答：得到A A B C是等腰三角形的依据是：.【答案】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等、有两条边相等的三角形是等腰三角形.【分析】根据垂直平分线的性质和等腰三角形的判定即可得出答案.【详解】解：根
28、据题意知，D E垂直平分B C,；.A B=A C,.A B C是等腰三角形，其依据是：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形，故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等、有两条边相等的三角形是等腰三角形.【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，熟练掌握垂直平分线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键.三、解答题(1)作出与&4 8 C关于)，轴对称的图形(2)若图中一个小正方形边长为一个单位长度，请写出各点的坐标：4；G；(3)求 AAC的面积.(4)若点P为)，轴上一点，使点P到A、B的距离和最小，标出点P.【答案】见 解 析 (-1,2);(
29、-3,1);(2,-1)(3)4.5(4)见解析【分析】（1）分别作出关于 的对称点，再连接即可；（2）由图象及每个单位长度为1 即可得出；（3）利用一个长方形的面积减去三个三角形的面积即可得到;（4）根据轴对称的性质，两点间的距离最短即可求出.【小 问 1 详解】解：如下图：故答案为：(一1,2);(-3,1);(2,-1)；小问3详解】解：S,3 x 5 x 1 x 2 x 3 x 3 x 2 x 5 -4.5 ；222【小问4 详解】解：连接与y轴交于点p即为所求:【点睛】本题考查了轴对称，图形与坐标，三角形的面积等问题，解题的关键是掌握轴对称的性质及作出图形.2 2.如图，已知点M、N
30、和/A 0 8 ,用尺规作图作一点P,使 P到点M、N的距离相等，且到/A 0 8 两边的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）N【答案】见解析【分析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法进而求出其交点即可.【详解】解：（1）作NAOB的平分线，（2）作 的 中 垂 线，两线相交于点P,点 P 即为所求【点睛】此题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键.2 3.如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，BF=EC,AC=DF,ACD F.求证：N A=ZD.【分析】先由平行线的性质得NACB=N D F E,再 证 BC=EF,然后由SAS证ABCADEF,即
31、可得出结论.【详解】证明：ACDF,；./A C B =/D FE,又：BF=EC,；.BF+FC=EC+FC,即 BC=EF,在aA B C 和ADEF中，AC=DF ZACB=NDFE,BC=EF.ABCADEF（SAS）,Z A=Z D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.2 4.如图，中，NACB=90。，AC=BC,AE是 BC边上的中线，过 C 作 CFLAE,垂足为F,过 B 作 BQ_LBC交 C F的延长线于O.（2）若 A C=12cm,求 8。的长【答案】（1）见解析（2）BZ）=6cm.【分析】（1）利用
32、角角边证明AOBC丝ECA即可；（2）由（1）B D=E C -B C=-A C,且 A C=12,即可求出 BD 的长.2 2【小 问 1 详解】证明：DBBC,CFLAE,：.N DCB+N D=/DCB+NAEC=90.：.Z D=ZAEC.又,:NDBC=NECA=90,且 BC=C4,在AOBC和中，Z D=ZAEC NDBC=NECA=9 0 ,BCAC：./DBC/ECA(A A S).：.AE=CDi【小问2详解】解：:CDB出AAEC,：.BD=CE,；A E是8 C边上的中线，：.BD=EC=-BC=-AC,且 A C=1 2 c m.2 2.BD=6cm.【点睛】本题考查
33、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.2 5.在4 BC中，4 B=A C,点。是直线B C上 一 点(点。不与点8,C重合)，以A O为一边在A O的右侧作 A O E,使A O=A E,ZDAE=ZBAC,连接CE.(1)求证：A BO四4 CE；(2)/B C E和/B A C之间有怎样数量关系？说明理由.【答案】(1)见解析(2)/BA C+/BCE=1 8 0 ,见解析【分析】(1)根据全等三角形的判定定理证明即可；(2)根据全等三角形的性质和三角形内角和定理证明即可.【小 问1详解】证明：ZBAOZDAE,：.ZBAD=ZCAE,
34、在 A BO与4 CE中，.AB=AC A C，A。平分/B 4。交BC于点O,BC的垂直平分 线 交 延长线于点E,交8c于点凡 如图，若NABE=6 0 ,判断AC、CE和AB之间有怎样的数量关系并加以证明.【答案】A B A C +C E,证明见解析【分析】在 线 段 上 截 取4H=A C,连接E H，由A。为角平分线得到一对角相等，再由AC=A,AE=A E,证明/M CE与全等，得到C E =H E ,由 瓦 垂直平分B C,得到C E=B ,根据NA8E=6 0,得到/仍 是 等边三角形，进 而 得 到=由A5=AH+B，等量代换即可得证；【详解】证明：在线段A8上截取AH=A
35、C,连接E”，如图，A D 平分 N B A C,，Z C A E =Z B A E,A C A H在 AACE和 AAHE 中，,NC4E=NBAE,A E A EA A C E A H E,/.C E=H E,/E F 垂直平分B C,：.C E =BE,又 ZAB E=60。,：.HE=BE,”8 是等边三角形，BH=H E=C E,：.AB=AH +HB=AC+CE.【点睛】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形与等边三角形是解本题的关键.2 7.如图，0V 是等边 ABC的外角NACM内部的一条射线，点 A 关于CN
36、的对称点为Q,连接A,BD,C D,其中A。，8 0 分别交射线CN于点E,P.(2)若N A C N=a,求NBOC的大小(用含a 的式子表示)；(3)用等式表示线段P2,PC 与 PE之间的数量关系，并证明.【答案】(1)图形见解析：(2)ZBDC=600-a；(3)PB=P C+2 P E.证明见解析.【分析】(1)按要求画图即可；(2)由轴对称可得C4=Q D,再由等腰三角形和等边三角形性质可得结论：(3)在 依 上 截 取 P b =P C,如图所示，连接C E,先证明APCF为等边三角形，再证明M 尸 CMA D P C,则 8尸=B 4,由此可解决问题.【小 问 1 详解】解：补
37、全图形如图所示.解：,点A、。关于C N 对称,.C N 为 A O 中垂线，：,CA=CD,ZACN=/DCN=a.:.ZACD=2 a，又.A4BC为等边三角形，AB AC=BC，/.BC=CD.;.ZBCD=6O Q +2a,ZBDC=ZDBC.D c J 8 0 -(60+2 a)=6 o o _ a.2故答案为：60。-a.【小问3 详解】解：PB=PC+2PE.证明：在 尸 5 上截取P b =P C，如图所示，连接C F.C4=C D，ZACD2a,CN 工 AD,ZCDA=ZCAD=90-a,-ZBDC=60-a,ZPDE=ZCDA-NBDC=(90-a)-(60-a)=30,
38、:.PD=2PE，ZDPE=3 =NCPF,PF=PC,.APCF为等边三角形，ZBFC=ZDPC=20,在的 P。和A D PC 中，ZCBF=ZCDP ZBFC=ZDPC,BC=DC:.BFCM)PCAAS).:.BF=PD=2PE.:.PB=PF+BF=PC+2PE.即 PB=PC+2 PE.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作出合理的辅助线构造等边三角形转移线段.2 8.在 平 面 直 角 坐 标 中，直线/为二、四象限角平分绒，图形r关于x轴的对称图形称为图形7的一次反射图形，记作图形工；图
39、形1关于直线/的对称图形称为图形7的二次反射图形，记作图形心.例如，点（2,5）的一次反射点为（2,-5）,二次反射点为（5,-2）.根据定义，回答下列问（1）点（一2,5）的 一 次 反 射 点 为,二 次 反 射 点 为；当点A在第二象限时，点M（3）、N（3,l）,P（5,1）中可以是点A的二次反射点的是；（2）若点4在第一象限，点4、4分别是点A的一次、二次反射点，为等边三角形，求射线。4与y轴所夹锐角的度数；（3）已知点（1,），F（2,n）.若以所 为 边的正方形的二次反射图形与直线x =3有公共点，则”的 取 值 范 围 为.【答案】（1）（一2,-5）,（5,2）；点M（2）射
40、线0 4与y轴所夹锐角的度数为7 5 或1 5。：（3）2 n 4【分析】（1）根据轴对称的性质即可得出答案；由轴对称的性质得点M在第一象限，即可得出答案；(2)由题意得点A，4在第四象限，在x轴正半轴取点以 在直线/第四象限内取点c、在)，轴负半轴上取点。，则N C O D =N B O C，乙4。8 =/4。8,分两种情况：当射线Q 4与y轴所夹锐角的度数大于4 5 时；当射线。4与y轴所夹锐角的度数小于4 5 时；由等边三角形的性质和轴对称的性质即可得出答案；(3)由题意知点E、尸的二次反射坐标为(,一1)、伽2),得当0时，以所为边的正方形的二次反射图形与直线x =3没有公共点，则 以
41、EF为边的正方形的范围为:lx2nln+l,因此正方形一次反射的范围为:1%2-n-l y n+l,正方形二次反射的范围为：，nxn+-2 y 0,1%2.以E/为边的正方形的范围为：,n-l n+l正方形一次反射的范围为:1%2 n 1 y -n +1正方形二次反射的范围为:n x n+-2 y -以EE为边的正方形的二次反射图形与直线x =3 有公共点,J n-1 3/.2 n 4,故答案:2 4.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、轴对称的性质、等边三角形的性质、坐标与图形性质、角平分线定义、不等式组的解法等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握轴对称的性质、正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键.