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1、人教版选修2-3第一章 计数原理i.i 分类加法计数原理与分部乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理小结第二章 随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗？探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信 息 技 术 应 用 口,6 对正态分布的影响小结第三章 统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结第一章计数原理1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时
2、1 分类加法计数原理（1）提出问题问 题 1.1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3 班，汽车有2 班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有加种不同的方法，在第2 类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有N =+种不同的方法.（3）知识应用例 L在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学 B大学化学 会计学医学
3、 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在A ,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件.解：这名同学可以选择 A ,B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法，在 B大学中有4种专业选择方法.又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9 （种）.变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1 类方案中
4、有g种不同的方法，在第2 类方案中有啊种不同的方法，在第3 类方案中有人种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有 n 类办法，在第1 类办法中有叫种不同的方法，在第2 类办法中有必种不同的方法在第n 类办法中有叫种不同的方法.那么完成这件事共有N =m+m2+“种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何i 种方法都可以单独完成这件事.例 2.一蚂蚁沿着长方体的
5、棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C 1 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成，所以，第一类，ml =1 X2 =2 条 第二类，m2 =1 X2 =2 条第三类，m3 =1 X2 =2 条所以，根据加法原理，从顶点A到顶点C 1 最近路线共有N =2 +2 +2 =6 (条)第二课时2 分步乘法计数原理(1)提出问题问题2.1：用前6 个大写英文字母和1 9九个阿拉伯数字，以4,4，与，当，的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：字母 数字 得到的号码我们还可以这样来思考：由于前6
6、个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6 X9 =5 4 个不同的号码.(2)发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法,在第2 类方案中有种不同的方法.那么完成这件事 共 有N =mxn 种不同的方法.(3)知识应用例 L设某班有男生3 0 名，女生2 4 名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤.第1步选男生.第2步选女生.解：第 1步，从 3 0 名男生中选出1 人，有 3 0 种不同选择；第 2步，从2 4 名女生中选出1 人，有
7、 2 4 种不同选择.根据分步乘法计数原理，共有3 0 X2 4 =7 2 0 种不同的选法.一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1 步有叫种不同的方法，做第2 步有吗种不同的方法.做 第n步有叫种不同的方法.那么完成这件事共有N =?|x%x x%种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点2相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要
8、分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事，是合作完成.例2 .如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解：按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，第一步，ml =3 种，第二步，m2 =2 种，第三步，m3 =1 种，第四步，m4 =1 种，所以根据乘法原
9、理，得到不同的涂色方案种数共有N =3 X 2 X1 X1 =6第三课时3 综合应用例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层 放 有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？从书架的第1、2、3层 各 取1本书，有多少种不同的取法？从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.要完成的事是 从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只 有 第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步
10、问题，应用分步计数原理.要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解：(1)从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层 取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层 取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N =加 +吗+m3=4+3+2=9;(2 )从 书 架 的 第1,2,3层 各 取1本书，可以
11、分成3个步骤完成：第1步 从 第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步 从 第2层 取1本文艺书，有3种方法；第3步从 第3层 取1本体育书，有2种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N =加1x m 2 x 加3 =4 X 3 X 2=2 4 .(3)N =4 x 3 +4 x 2 +3 x 2 =2 6。3例 2.要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法？解：从 3 幅画中选出2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第 1 步，从 3 幅画中选1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；第 2 步，从剩下的2 幅画中选1
12、 幅挂在右边墙上，有 2 种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N=3X2=6.6 种挂法可以表示如下：左边右边得到的挂法-乙左甲右乙甲*-丙左甲右丙 一 甲左乙右甲乙 V一-一 丙左乙右丙-甲左丙右甲丙VJ j乙左丙右乙分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.例 3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部
13、门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3 个不重复的英文字母和3 个不重复的阿拉伯数字，并 且 3 个字母必须合成一组出现，3 个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析：按照新规定，牌照可以分为2 类，即字母组合在左和字母组合在右.确定一个牌照的字母和数字可以分6 个步骤.解：将汽车牌照分为2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右.字母组合在左时,分 6 个步骤确定一个牌照的字母和数字：第 1 步，从26个字母中选1 个，放在首位，有 26种选法；第 2 步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2 位，有 25种选法；第 3 步，从剩下的24个字母
14、中选1个，放在第3 位，有 24种选法；第 4 步，从 10个数字中选1个，放在第4 位，有 10种选法；第 5 步，从剩下的9 个数字中选1个，放在第5 位，有 9 种选法；第 6 步，从剩下的8 个字母中选1个，放在第6 位，有 8 种选法.根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26 X25X24X 10X9X8=11 232 000（个）.同理，字母组合在右的牌照也有11232 000个.所以，共能给11232 000+11232 000=22464 000（个）,辆汽车上牌照.用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析一 需要分类还是需要分步.分类要做到
15、“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”一 完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.练习1 .乘积（q+%+。3）（。1 +）（。1 +。2 +。3 +。4+。5）展开后共有多少项？2.某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四4位数字都是。到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？3.从 5 名同学中选出正、副组长各1 名，有多少种不同的选法？4.某商场有6 个门，如果
16、某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？第四课时例 1.给程序模块命名，需要用3 个字符，其中首字符要求用字母A G 或 U Z,后两个要求用数字1 9.问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第 2 步，选中间字符；第 3 步，选最后一个字符.而首字符又可以分为两类.解：先计算首字符的选法.由分类加法计数原理，首字符共有7+6=1 3 种选法.再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理，最多可以有13X9X9=1053个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名.例 2.核糖核酸（RNA）
17、分子是在生物细胞中发现的化学成分一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4 种不同的碱基，分别用A,C,G,U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？分析：用图1.1 2 来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100个位置，每个位置都可以从A ,C ,G ,U 中任选一个来占据.解：100个碱基组成的长链共有100个位置，如图1 .1 2 所示.从左到右依次在每一个位置中，从 A ,C
18、,G ,U 中任选一个填人，每个位置有4 种填充方法.根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同RNA分子数目有4-4-4=1（个）例 3.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0 或 1 两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8 个二进制位构成.问：（1）一个字节（8 位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了 6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对
19、这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：由于每个字节有8 个二进制位，每一位上的值都有0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题.5解：（1）用图1.1 3来表示一个字节.图 1 .1 3一个字节共有8位，每位上有2种选择.根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表 示 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2=2s=2 5 6 个不同的字符；（2）由（1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够6 7 6 3 个，我们就考虑用2个字节能够表示多少个字符.前一个字节有2 5 6 种不同的表示方法，后一个字节也有2 5 6 种表
20、示方法.根据分步乘法计数原理，2 个字节可以表示2 5 6 X 2 5 6 =6 5 5 3 6个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6 7 6 3.所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用2个字节表示.例 4.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图L 1 一 4,它是一个具有许多执行路径的程序模块.问:这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？图 1.
21、1 一,4分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第 1步是从开始执行到A点；第 2步是从A点执行到结束.而第1步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成；第 2步可由子模块4或子模块5来完成.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.解：由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3中的子路径共有1 8 +4 5+2 8 =9 1 （条）；子模块4或子模块5中的子路径共有3 8 +4 3 =8 1 （条）.又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有9 1 X8 1 =7 3 7 1 （条）.6在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了
22、正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为1 8 +4 5 +2 8 +3 8 +4 3 =1 7 2.再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3 X2=6 .如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常.这样，测试整个模块的次数就变为1 7 2 +6=1 7 8 （次）.显然，1 7 8 与 7 3 7 1 的差距是非常大的.巩固练习：1 .如图，从甲地到乙地有2 条路可通,从
23、乙地到丙地有3 条路可通;从甲地到丁地有4 条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2 .书架上放有3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6本不同的英语书.（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？3 .如图-要给,四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为。9 6 D.6 0.图二 图三若变为图二，图三呢？5.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法
24、的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？6.（2 0 0 7 年重庆卷）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分 成（C ）A.5 部分 B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分【注意】运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即 不重不漏分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n 个步骤,这件事才算完成.分配问题把一些元素分给另一些元素来接受.这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题.
25、因为这涉及到两类元素：被分配元素和接受单位.而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的，于是遇到这类问题便手足无措了.事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素.例如，把 1 0 个全排列，可以理解为在1 0 个人旁边，有序号为1,2,，1 0 的 1 0 把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：7.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是4：,这里 2?.其中?是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原亲的意义，只要 2加.个数为，的一个元素就是“
26、接受单位”，于是，方 法 还 可 以 简 化 为 这 里 的“多”只要2 “少”.被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿”，并且不限制一对一的分配问题，方法是分组问题的计算公式乘以1.2.1排列第一课时一、讲解新课：1 .问题：问 题1.从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共 有6种不同的排法：甲乙 甲 丙 乙 甲 乙 丙 丙 甲 丙 乙，其中被取的对象叫做元素.
27、解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中 任 选1人,有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选,于是有2种方法.根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3X 2=6种，如 图1.2 1所示.上午 下午 相应的排法乙丙甲.丙甲乙甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素a ,b ,o中 任 取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排歹U是 a b,a c
28、,b a,b e,c a,c b,共 有3 X 2=6种.问题2.从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数,从余下的2个数中取，有2种方法.由分步计数原理共有：4 X 3X 2=2 4种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列.由此可写出所有的排法.显然，从4个数字中，每 次 取 出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位 数
29、.可 以 分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1 ,2 ,3,4这4个 数字中任取1个，有4种方法;8第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3 个数字中去取，有 3 种方法；第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2 个数字中去取，有 2 种方法.根据分步乘法计数原理，从 1 ,2,3,4这 4个不同的数字中，每 次 取 出 3 个数字,按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4 X3X2=24种不同的排法，因而共可得到24 个不同的三位数，如 图 1.2 2 所示.由此可写出所有的三位数:1 2
30、3,1 24,1 32,1 34,1 4 2,1 4 3,21 3,21 4,231,234,24 1,24 3,31 2,31 4,321,324,34 1,34 2,4 1 2,4 1 3,4 21,4 23,4 31,4 32。同样，问 题 2 可以归结为:从 4个不同的元素a,b,c,d中 任 取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是a b c,a b d,a cb,a cd,a d b,a d c,ca b,ca d,cb a,cb d,cd a,cd b,共 有 4 *3 X 2=2 4 种.树形图如下b a c,b a d,b ca,b e
31、 d,b d a,b d c,d a b,d a c,d b a,d b c,d ca,d e b.2.排列的概念：从个不同元素中，任 取 加（加4）个 元 素（这里的被取元素各不相同）按照下定的飒序排成一列，叫做从个不同元素中取出m个元素的厂个不列.说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素，按二定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同.3.排列数的定义：从个不同元素中，任 取 加（加）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出加元素的排列数，用符号4：表示.注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取加个元素按照一定的顺序排成一列，不
32、是数；“排列数”是指从个不同元素中，任 取 加（掰 ）个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号人 只表示排列数，而不表示具体的排列.4 .排列数公式及其推导：9由团的意义:假定有排好顺序的2个空位，从w个元素为，%与中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数4.由分步计数原理完成上述填空共有(-1)种填法，./=愉一 1).由此，求力，可以按依次填3个空位来考虑，1)(-2),求父以按依次填m 个空位来考虑父=(-1)(-2)(-掰+1),排列数公式：第 1位 第 2位 第 3位 第m
33、位Am=n(n-l)(w-2)-(w-w+1)f f t-fn n-1 ir-2(m,n&N,m 3,Z.3(x -l)(x -2)=2(x +1)+6(x -1),B P 3x2-1 7 x +1 0 =0 ,解得刀=5或=,.W 3,且x w N*,.,.原方程的解为x =5.3例3.解不等式：图 6图H解：原不等式即9!(9-x)!6.上(I I)!也就是 一 -(9-x)!(l l-x)(1 0-x)(9-x)!，化简得:x2 2 l x +1 0 4 0 ,解得x 1 3,X2 x9 ,且XGN*,所以，原不等式的解集为 2,3,4,5,6,7 .例 4.求证：(1)V=M 4二二;
34、(2)=1 3 5 (2 一1).2 ,！M I证明：(1)4：阀:=(鹿 一 二)！=！=/；,.原式成立.,c、(2)！2M-(2-1)-(2M-2)-4-3-2-11 2)-=-2！T-n 2 !,加13(23)(2-1)=.35-(2“_ 1)=右边n 原式成立.说明：(1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数4 中，加,e N*且加 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；(2)公式图1=(-1)(-2)(-加+1)常用来求值,特别是加，均为已知时，公式4；=上 一，常用来证明或化简例 5.化简：(1)+；(2)l x l!+2 x 2!+3 x 3!+x !
35、.2!3!4!M!解：JMi：=!-+2!2!3!3!4!1 11-n(H-1)!n提示：由(+1)!=(+1)!=乂 !+！，得x !=(+,1 1原式=(+1)!-1.说明:n-_ 1 1n(w-1)!n第二课时例L （课本例2）.某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列.因此，比赛的总场次是履=14X13=182.例2.（课 本 例3）.（1）从5本不同的书中选3本 送 给3名同学，每 人 各1本，共有多少种不同的送法？（2）从5种不同的
36、书中买3本送给3名同学，每 人 各1本，共有多少种不同的送法？解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是=5X4X3=60.（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本 书 都 有5种不同的选购方法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是5X5X5=125.例8中两个问题的区别在于：（1 ）是 从5本不同的书中选出3本 分 送3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（2）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算.例3.（课本例4）.用0到9这10个数
37、字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。到9这1 0个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素.一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题解 法1 ：由于在没有重复数字的三位数中，的数字不能是0,因此可以分两步完成排列.第1百位上的数字，可以从1到9这九个数字中任选14种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可下 的9个数字中任选2个，有4种 选 法（图1.2百位上步，排个，有以从余5）.根据分步乘法计数原理，所求的三位数有4 团=9X9X8=648（个）.解 法2：如 图1.2 6所示，符合条件的三位数可分成3类.每一位数字都不
38、是位数有A母个，个位数字是0的三位数有揭个，十 位 数 字 是0的三位数有揭个.根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有团+团+/=6 4 8个.12解 法 3 :从 0到 9这 1 0 个数字中任取3个数字的排列数为吊。,其 中 o在百位上的排列数是耳，它们的差就是用这1 0 个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是4-=1 0 X 9 X 8-9 X 8=6 4 8.对于例9这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法.解法1根据百位数字不能是。的要求，分步完成选3个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解
39、法 2以 0是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解 法 3是一种逆向思考方法：先求出从1 0 个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数(即不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数.从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从 n个不同元素中取出m (m n)个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题.1.1 节中的例9是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？3.若 4：=2团，则机的值为()(/)5 (5)3(C)6四、课堂练习：1 .若X=上,则 X=3!
40、()(A)4：(B)4了 图(02.与 0不等的是()4(B)8 1 4(C)i o 4(0 74.计算：2 f+3漕9!4。(/-!)!4二；(/-)!5 .若2竽区4 2,则加的解集是.6 .(1)已知&；=1 0 x 9 x x 5,那么用=_；(2)已知9!=36 28 8 0,那么蜀=_；(3)已知片=5 6,那么=；(4)已知4；=7/_ 4，那么=.7 .一个火车站有8 股岔道，停放4 列不同的火车，有多少种不同的停放方法(假定每股岔道只能停放1 列火车)？8 .一 部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1 场，有多少种轮映次序？答案：1.B 2,B 3.A 4.1,1 5.2,
41、3,4,5,6 6 .(1)6 (2)1 8 1 4 4 0(3)8 (4)5 7.1 6 8 0 8.24 .13第三课时例 1.（1）有 5 本不同的书，从中选3 本送给3 名同学，每人各1 本，共有多少种不同的送法？（2）有 5 种不同的书，要买3 本送给3 名同学，每人各1 本，共有多少种不同的送法？解：（1）从 5 本不同的书中选出3 本分别送给3 名同学，对应于从5 个元素中任取3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：用=5 x 4 x 3=6 0,所以，共有6 0种不同的送法.（2）由于有5 种不同的书，送给每个同学的1 本书都有5 种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各
42、1 本书的不同方法种数是：5 x 5 x 5 =1 25,所以，共有1 25 种不同的送法.说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5 本不同的书中选出3 本分送给3 位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而 第（2）小题中，给每人的书均可以从5 种不同的书中任选1 种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算.例 2.某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂 1 面、2 面或3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分 3 类：第一类用1 面旗表示的信号有H 种；第二类用2 面旗表示的信号有4种；第
43、三 类 用 3 面 旗 表 示 的 信 号 有 团 种，由分类 计 数 原 理，所 求 的 信 号 种 数 是：4+团+4；=3+3x 2+3x 2x 1 =1 5,例 3.将 4 位司机、4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4 位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4 个不同元素中取出4 个元素排成一列，有 种 方 法；第二步：把4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有团种方法，利用分步计数原理即得分配方案的种数.解：由分步计数原理，分配方案共有N =Z：.团=5 7
44、 6 （种）例 4.用 0 到 9 这 1 0个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法1：用分步计数原理：所 求 的 三 位 数 的 个 数 是：=9 x 9 x 8 =6 4 8.百位 十位 个位,将解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0 的三位数有用个，个位数字是0 的三位数有团个，十位数字4个，百 位 十位 个 位百 位 十位 个位 百 位 十位 个位是 0 的三位数有由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：/+团+4=6 4 8.解法3：从 0 到 9这 1 0个数字中任取3 个数字的排列数为吊。，其中以0 为排头的排列14数为团，因此符合条件的三位数的个数
45、是4 4=6 4 8-说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法.直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3.对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏.第四课时例 5.（1）7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7 个元素的全排列=50 40.（2）7 位同学站成两排（前 3 后 4）,共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X
46、 1 =7!=50 40.（3）7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列4=7 2 0.（4）7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有团种；第二步余下的5 名同学进行全排列有用种，所以，共有屈4=2 40 种排列方法.（5）7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法1 （直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2 位同学站在排头和排尾有M 种方法；第二步从余下的5 位同学中选5 位进行排列（全排列）有6种方法，所以一共有4=2 4 0 0
47、 种排列方法.解 法 2：（排除法）若甲站在排头有成种方法；若乙站在排尾有6种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有耳种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有团-2 屋+6=2 40 0 种.说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑例 6.从 1 0 个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一:（从特殊位置考虑）4 4=1 3 6 0 8 0；解法二：（从特殊元素考虑）若选：5.团；若不选：A；,则共有5团+4=1 3 6 0 8 0 种;解法三：（间
48、接法）4-4=1 3 6 0 8 015第五课时例 7.7 位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5 个元素（同学）一起进行全排列有殴种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有另种方法.所以这样的排法一共有 片=1 440 种.（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有6 H=7 2 0 种.（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5 个元素中选取2
49、个元素放在排头和排尾，有用种方法；将剩下的4 个元素进行全排列有团种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有W 种方法.所以这样的排法一共有用 团 4=9 6 0 种方法.解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2 用种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有（履-2 耳）.玛=9 6 0 种方法.解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5 个元素进行全排列共有H种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一 共有空=9 6 0
50、 种方法.（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起.解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，.一共有排法种数：团团团=2 8 8 （种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）.例 8.7 位同学站成一排，（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）4 4：.=3 6 0 0 ；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有H种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所 以 一 共 有=3 6 0 0种方法.（2）甲、乙和丙三个同学都