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1、2019-2020学年河北省衡水市冀州一中高一(下)期末数学试卷1.复数z =(1-2 i)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2 .已知向量方=(1,吗,方=。,3),若一与方共线，则|益|=()A.V 2 B.V 3 C.2 D.43.幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用 0,10 内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取8位小区居民，他们的幸福指数分别是3,4,5,6,7,8,9,5,则这组数据的第7 0百分位数是()A.6 B.7 C.7.5 D.84 .函数f(x)=l n
2、(x+l)-1的零点所在的大致区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5.0 1 是 si n/0,b。,且a +b =1,则 1的上确界为()2a bA.-3 B.-4 C.-D.-427 .已知函数f(x)=-产一 3/一 5%+3,若/(Q)+-2)6,则实数。的取值范围是()A.(8,3)B.(3,+8)C.(1,+8)D.(8,1)8 .已知圆锥的表面积为3江，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为()A.7 i B.2 7 r C.-7i D.V 3T T3 39 .两条异面直线与同一平面所成的角可能是()A.均为锐角 B.一个0度，一个9 0度C.均为0度
3、 D.均为9 0度10 .函数/(%)=鱼si n(m%+九)，下列命题为真命题的是()A.V m G R,f(x+2T T)=/(x)B.Bm 6 R,f(x+1)=/(x)C.V m 6 /?,f(x)都不是偶函数 D.3m 6 /?,f(%)是奇函数11.有一组样本数据%i，n，另 一 组 样 本 数 据、2,，为，其中%=-2 C。=1,2/-,n),c为 非 零 常 数,则()A.两组样本数据平均数相同B.两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等C.两组样本数据方差相同D.两组样本数据极差相同1 2.已知一圆锥底面圆的直径为3,高为苧，在该圆锥内放置一个棱长为。的正四面体，并且正四
4、面体在圆锥内可以任意转动，则”的值可以为()A.-B.V2 C.1 D.-3413.将函数/(%)=2sin2x的图象向左平移g个单位后，得到函数g(x)的图象，则g(0)的6值为.14.某工厂有4,B,C三个车间，A车间有600人，8车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中8车 间10人，则样本中C车 间 的 人 数 为.15.在正三棱柱ABC 4 81cl中，48=力&=1,点P满 足 而=zn舐+兀 西，其中m=1,n e 0,1,则三角形力BP周 长 最 小 值 是.16.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8,若
5、只有1人击中，则飞机被击落概率为0.2,若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6,若3人击中，则飞机一定被击落，则 飞 机 被 击 落 的 概 率 为.17.在直角坐标系X。)，中，已知点4(1,1),8(2,3),C(3,2).(1)若+而+定=6,求赤的坐标.1 8.已知函数/(x)=2sin(2x-g)(x e R).(2)若 赤=m AB+nC(m,n G R),且点P在函数y=x+1的图象上，试求m-n.X712X-302 n712sin(2x )(1)请结合所给表格，在所给的坐标系中作出函数/(x)一个周期内的简图;(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)求/(x)的最大值和最小值
6、及相应x的取值.TT6x第2页，共14页1 9 .已知在四面体A B C Q 中，4 B =A C,DB=D C,点、E,F,G,M 分别为棱A O,BD,DC,BC上的点，且B M =MC,DF =2F B,DG=2GC,AE=AADO A 1).(回)当，=g 时，求证：AM 平面E F G；(团)当；I 变化时，求证：平面4 0 M L 平面E F G.2 0 .正三角形A B C 的边长为4,D,E,尸分别在线段A B,BC,C A 上，且。为 A8的中点，DE 1 DF.(1)若N B C E =6 0。，求三角形O E F 的面积；(2)求三角形D E 尸面积的最小值.2 1 .为
7、了解某中学学生对 中华人民共和国交通安全法的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查(共1 2 道题)，从该校学生中随机抽取4 0 人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成 0,2),2,4),4,6),6,8),8,1 0),1 0,1 2 六组,得到如下频率分布直方图.(1)若答对一题得1 0 分，未答对不得分，估计这4 0 人的成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若从答对题数在 2,6)内的学生中随机抽取2 人，求恰有1 人答对题数在 2,4)内的概率.2 2 .如 图，在四棱锥P-A B C。中，P 4 B 是正三角形，四边形A B C D 是正方形.(团)
8、求证：P C=P D；(回)若2 P D =店 C D,求直线P B 与平面P C D 所成角的正弦值.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题.根据两个复数代数形式的乘法法则化简复数，再根据复数与复平面内对应点之间的关系,求得复数对应点的坐标，从而得出结论.【解答】解：由于复数z=(l-2 i)i=2+i,它在复平面内对应的点的坐标为(2,1),故选：42.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的模，两向量共线的条件，属于基础题.由两向量的坐标，根据两向量共线的条件求出产 的值，即可确定出|码 的值.【解答】
9、解：.,向量方=(l,x),b=(x,3),且五与坂共线，即_ 3,x 3则|五|=V1+%2 2,故选：C.3.【答案】B【解析】解：因为8x70%=5.6,把数据从小到大排列为：3,4,5,5,6,7,8,9,则第6 位数为：7,故选：B.利用百分位数定义可解.本题考查百分位数定义，属于基础题.4.【答案】B【解析】【分析】第4页，共14页本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号.计算f(l)和/(2)即可.【解答】解：易知函数在定义域上单调递增，/(I)=l n(l +l)-2 =l n 2-2 l n e-l =0,函数f(x)=l
10、n(x +1)的零点所在区间是(1,2),故选：B.5 .【答案】A【解析】解：a0 x 0 x2 x s in x2 s in x,反之不成立.例如：x =2,s in 4 0 s in 2.故选：A.由 0 xl，可得0%2%1,进而得出s in/a 0.b 0,且a+b=l,专 V =_(a+b)(专+6=%+2 +专+的 _+2 )=一泉当且仅当b=2 a=|时取等号，的上确界为一：.2a b 2故选：D.利用基本不等式和上确界的意义即可得出.本题考查了基本不等式和上确界的意义，属于基础题.7.【答案】D【解析】【分析】本题给出多项式函数，求解关于a 的不等式，着重考查了利用导数研究函
11、数的单调性和不等式的解法等知识，属于中档题.由函数的解析式，算出f(-乃+/。)=6 对任意的工均成立.因此原不等式等价于/(a-2)f(a),再利用导数证出/(x)是R上的单调减函数，可得原不等式即a-2 6,即f (a-2)6 -/(a),等价于/(a-2)/(-a)fC.x)=-5芯4 _ 9/5 /(a)得到a-2 即a/3,二 圆锥的体积为U =3 71r2h x I2 x y/3 =71.故选：A.设圆锥的底面半径为r,圆锥的母线长为/,由已知列式求出圆锥的底面半径、母线长与高，再由圆锥的体积公式计算.本题考查圆锥的表面积与体积计算，考查运算求解能力，是基础题.9【答案】ABC【解
12、析】解：根据题意，作正方体4 B C D-&B 1 G D 1，连接A D】与B i。,对于选项A,由图可知，异 面 直 线 和 反(?与平面A B C Q的夹角都为锐角，故A正确；对于选项3,由图可知，异 面 直 线 和B B i与平面A 8 C D的夹角分别为0 和9 0。，故8正确；对于选项C,由图可知，异面直线4D i和 与 平 面A B C。的夹角都为为0。，故C正确：对于选项。，由线面垂直的性质，知若两条直线垂直于同一个平面，则两直线平行，故不可能异面，故 错误.第6页，共14页故选：ABC.根据题意，作出适当的立体图形，结合图形一一判断即可.本题考查了线面角的计算，属于基础题.1
13、0.【答案】BD【解析】解：对于 A,若命题f(x +2?r)=V 2s i n?n(x +2兀)+n =V 2s i n(m x +n)成立,则m必须为整数，故A是假命题；对于 B,当UI=2T I时，函数/(x)=d s i n(7n x +n)满足/(x +1)=&s i n(2?r x +2兀 +n)=&s i n(2/r x +n)=/(x),故 8 真命题；对于 C,当n =/时，/(x)=V 2c o s m x,/(x)=V 2c o s(m x)=V 2c o s m x =/(x),满足/(x)=/(x),故 C假命题；对于 D,当r i -2?1时，f(x)-V 2s i
14、 n m x 满足/(x)-V 2s i n(m x)=&s i n m 工-/(%),故。真命题.故选：BD.取特殊值，利用正弦型函数的运算性质进行判断.本题考查三角函数的性质、正弦函数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.11.【答案】BCD【解析】解：设样本数据与，形，事 的平均数为3 则样本数据力,%，为，其中=4-2c(i =1,2,n)的平均数为x-2 c,故 4 错误，3 B 1.047.故选：ACD.根据题意可知，当 a 最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球，结合内切、外接球问题,即可求解.本题考查棱锥的几何特征，考查学生的运算能力，属于中档题.13.【答案】V3【解析】【分
15、析】本题主要考查函数y =A s i n(3 x +)的图象变换规律，属于基础题.根据函数y =A s i n(3 x +租)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，可得g(0)的值.【解答】解：将函数/(x)=2s i n 2x 的图象向左平移 个单位后，得到函数g(x)=2s i n(2x +g)的图象，则 g(0)=2s i n；=V 3,故答案为：/3.14.【答案】8【解析】解：设 C车间共有x 人，样本中C车间的人数为;由分层抽样的性质得:500 _ 10600+500+X 30解得=4 0 0.故n =3 0 x400500+600+400=8；故答案为：8.第 8 页，共 14页
16、利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果.本题考查实数值的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.15.【答案】V2+V5【解析】解：由题意在正三棱柱4BC-A B C中，4B=44i=1,点尸满足丽=m B C +nBB；,其中m=1,n 6 0,1,所 以P在线段CG上，所以AHBiP周 长 为+4P +B1P,如图所示，当 点P在与CG的交点处时，周长取得最小值：V 1T 4+V2=V2+V5.p.X-?A C B故答案为：V2+y/5.结合4=1得 到P在线段CG上，利用侧面展开图，求解距离的最小值即可;本题考查空间几何体的结构特征，表面距离的最
17、值的求法，是中档题.16.【答案】0.492【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力,是基础题.利用相互独立事件概率乘法公式能求出飞机被击落的概率.【解答】解：甲、乙、丙三人向同一飞机射击，击中的概率分别为0.4,0.5,0.8,若只有1人击中，则飞机被击落概率为0.2,若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6,若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为：p=(0.4 x 0.5 x 0.2+0.6 x 0.5 x 0.2+0.6 x 0.5 X 0.8)x 0.2+(0.4 x 0.5 x 0.2+0.4x 0.5 x 0.8+0.6
18、 x 0.5 x 0.8)x 0.6+0.4 x 0.5 x 0.8 x 1=0.492.故答案为:0.492.17.【答案】解：(1)设赤的坐标为(x,y),由万+P B+P C=0,可得(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(0,0),可得丽的坐标为(2,2)；(2)点4(1,1),B(2,3),C(3,2),可得四=(1,2),=(2,1),设丽的坐标为(曲,yo)，由 而=小 荏 +几万,可得项)=m 4-2n,yQ=2 m+n,点尸在函数y=x+1的图象上，可得yo=%o+l,即为2m+n=m+2n+l,可得m n=l.【解析】(1)设丽的坐标为(x,y)，运用
19、向量的加法运算，解方程可得x,/(2)求得向量AB,AC的坐标，可得P的坐标，代入函数的解析式，即可得到巾-n的值.本题考查向量的坐标运算，注意运用点满足函数解析式，考查化箍整理的运算能力，属于基础题.18.【答案】解：(1)/0)=25也(2%一(%/?).列表如下：描点连线可得函数图象如下:Xn657r1227r-3UT T n7T TTn2 X-307127137rT27r712sin(2%-)020-20(2)v/(x)=2sin(2x -)(x G R).二由-F 2/C T T 2.x F 2/C T T=-F 2kli S 2.x -F 2/CTT,2 3 2 6 6.-+k n
20、 x +k n,即单调递增区间为-,+k噂+kn(k e Z).第10页，共14页(3)/0)max=2=2#_(=(+2/OT,即=居+上兀，(fc Z);fQ)min=_2 o 2 x _ 1 =_；+2/O T,H PX=+kn,(k e Z).【解析】由已知利用五点法作函数y=4sin(3x+w)的图象即可得解.(2)由一2+2kn 2%-+2kn=-+2kn 2x +2 k n,即可得解函数/(%)23 2 6 6单调递增区间.(3)利用正弦函数的图象和性质即可求解f(x)的最大值和最小值及相应x 的取值.本题主要考查了五点法作函数y=Zsin(3x+e)的图象，正弦函数的图象和性质
21、，考查了数形结合思想的应用，属于基础题.19.【答案】证明:(囱)当4=却寸，A E=A D,四面体 ABC。中，AB=AC,DB=DC,点 E,F,G,M 分别为棱 AD,BD,DC,BC上的点，B M =MC,DF =2F B,DG=2GC,EF/AB,E G HA C,又EFflEG=E,ABAC=A,二 平面4BC平面EF G,A M u 平面ABC,AM平面EFG.(0)AB=AC,DB=D C,点、E,F,G,M 分别为棱 AO,BD,DC,8 c 上的点，B M =MC,DF =2F B,DG=2GC,AE=AAD0 A 1).A M 1 BC,D M 1 BC,BC/GF,v
22、AMCDM=M,：.BC J_平面 ADM,：GF/BC,：.GF 1 平面 ADM,GF u 平面 EF G,二 当 4变化时，平面ADM J 平 面 EFG.【解析】(回)当；I=凯寸，AE=A D,推导出EF4B,EG AC,从而平面ABC平面E FG,由此能证明4M平面EFG.(国)推导出AM J.BC,D M 1 BC,BC/GF,从而BC_L平面 AOM,GF A D M,由此能证明当;l变化时，平面平面EFG.本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.2 0.【答案】解：(1)根据题意，知2D=BD=2,因为N
23、BDE=6 0 ,所以DE=2,又因为DE 1 DF,所以乙40F=30,因此。尸=ADcos3 0=V3,故SA D E F=1 0 E。尸=百；(2)根据题意，设NBDE=。，0 0 E F面积的最小值为12-6 V 3.【解析】(1)根据题意，结合面积公式，即可求解；(2)根据题意，设4 B D E =。，结合正弦定理，以及三角恒等变换，即可求解.本题考查了三角形面积以及与面积有关的最值问题，属于中档题.21.【答案】解：(1)因为答对题数的平均数约为：(1 x 0.025 +3 x 0.025 +5 x 0.0375 +7 X 0.125 +9 x 0.18 75 +11 X 0.1)
24、x 2=7.9.所以这4 0人的成绩的平均分约为7.9 x 10=79.(2)答对题数在 2,4)内的学生有0.025 x 2 X 4 0=2人，记为4,B；答对题数在 4,6)内的学生有0.0375 x 2 x 4 0=3人，记为c,d,e.从答对题数在 2,6)内的学生中随机抽取2 人的情况有(4 B),(4,c),(4 d),(A,e),(B,c),(B,d),(B,e),(c,d),(c,e),(d,e),共 10种，恰 有 1人答对题数在 2,4)内的情况有(4 c),(4 d),(4 e),(B,c),(B,d),(B,e),共 6 种，故所求概率P =盘=：.10 5【解析】本题
25、考查由频数分布表、直方图求平均数和概率，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题.(1)平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和.(2)写出基本事件的个数和事件发生的个数，进而求出概率.22.【答案】解：(助证明：取 A8的中点M及 C Z)的中点N,连结P M,P N,MN.由A P A B 是正三角形，四边形A B C D 是正方形得4 B 1 P M,AB 1 MN,又 P M,M N u 平面 P MN,P M C M N =M,所以4 B _ L 平面P M N.因为A B C D,所以C D _ L 平面P M N,第12页，共14页又PN u 平面PM N,所以
26、CD _ L PN,又 CO的中点是N,所以PC=PD.（团）法一：过 3 作BH _ L 平面P C D,垂足为H,连接PH,BH,乙 B P H 为直线P B与平面P C D所成角，sinBP H =.BP过 M 作MF 1 P N 于 F,由CO _L 平面PM N 及M F u 平面PM N,得CD 1 MF,又M F 1 P N,P N,CO u平面 PC,P N C C D =N,所以MF JL平面PCD.由4B/CD,A B仁平面P CD,CD u 平面P C D,得力B平面PCD.于是点B到平面P C D的距离8”等于点仞到平面P C D的距离等于MF.设CD=2,则PD=V5
27、,P A=P B=AB=AD=BC=M N =2,计算得PM=V3,P N=2,在等腰三角形PM N中可算得MF=4叵 I所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于啜=手=学.P B 2 8法二：设 PB与面PC。所成角为。，设CD=2,所以PD=V5,以 CQ中点N 为坐标原点，CQ所在直线为x 轴，MN所在直线为y 轴，过 N 点且垂直于面4 8 8 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.8(2,1,0),C(0,l,0),D(0,-l,0),呜0,等),所 以 而=(_ 一1卓),无=等).设面P C D法向量为=(%,y,z),仅=0 1 所 以 5 V39 八，取Z=l,则五=(W，0
28、,l).-%-z=0 5I 4 4所以sin。=|cos =.8【解析】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，空间距离的求法，考查计算能力.（团）取 A 8的中点M 及 CD的中点N,连结PAf,PN,MN,证明力B 1平面PMN.CD 1平面P M N,然后证明PC=PD.（团）法一：过 B 作BH J_平面P C Q,垂足为“，连接PH,BH,NBPH为 直 线 与 平 面PC。所成角，过 M 作MF 1 PN于-F,设CO=2,在 等 腰 三 角 形 中 可 算 得 M F,然后求解直线PB与平面PC。所成角的正弦值.法二：设 PB与面PCD所成角为仇 设CO=2,所以P。=逐，以 C。中点N 为坐标原点，8 所在直线为x 轴，MN所在直线为y 轴，过 N 点且垂直于面ABC。的直线为z轴，建立空间直角坐标系.求出面PC。法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可.第14页，共14页