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1、7.4.1二 项分布 导学案【学 习 目 标】1 .理解次独立重复试验的模型2.理解二项分布3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题【自主学习】知识点一 n次独立重复试验(1)定义一 般 地，在相同条件下 重 复 地 做 次 试 验，各 次 试 验 的 结 果 相 互 独 立，称为次独立重复试验.(2)公式一 般 地，在 次 独 立 重 复 试 验 中，设 事 件/发 生 的 次 数 为 X,在 每 次 试 验 中 事 件力 发 生 的 概 率 为 那 么 在 次 独 立 重 复 试 验 中，事 件4恰 好 发 生A次的概率为P人 4 =C品(1一 而 -,(4=0,1,2
2、,，).知 识 点 二 二 项 分 布若 将 事 件/发 生 的 次 数 设 为 发 生 的 概 率 为0,不 发 生 的 概 率q=l 仍 那么在 次 独 立 重 复 试 验 中，事 件 力 恰 好 发 生4次 的 概 率 是P(X=k)=C笛 心 (k=0,1,2,，n),于 是 得 到 的分布列01knP0 nCnP q1 1 n 1Cnp qCck忠 k qn kCnPn q01由于表中第二行恰好是二项式展开式(7+p)=C p q+q-+C/”各对应项的值，称这样的离散型随机变量才服从参数为，p的二项分布，记 作X B 5,力.2【合作探究】探 究 一 独立重复试验的判断【例1判断下
3、列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了 1 0次，其 中6次击中;(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.解析(D由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验.(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验.(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验.归纳总结：(1)要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行.每次试验相互独立，互不影响.【练 习11下列事件：运动员甲射击一次，“射 中9环”与“射 中8
4、环”；甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中1 0环”与“乙射中9环”；甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；在相同的条件下，甲射击1 0次，5次击中目标.其中是独立重复试验的是()A.B.3C.D.【答案】：D解析：符合互斥事件的概念，是互斥事件；是相互独立事件；是独立重复试验.探究二独立重复试验的概率 例 2 某单位6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5(相互独立).(1)求至少3 人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3.解析(1)至少3 人同时上网的概率等于1 减去至多2 人同时上网的概率，即21p=l-ClX(0.5)6
5、-C：X (0.5 y x (0.5)一森义(0.5)2X (0.5)4=。乙至少4 人同时上网的概率为C x (0.5)4X (0.5)2+dX(0.5 尸义(0.5)+C|X (0.5)6=1 0.3.至少5 人同时上网的概率为7C e X (0.5)5X (0.5)+C；X (0.5)6=0.3.64，至少5 人同时上网的概率小于0.3.归纳总结：(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为次独立重复试验；(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并集.4(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算9【练 习 2】甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的
6、概率为鼻，没O有平局.(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？解析：(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则4+c j x(x x!=|?.O O o 乙 I(2)甲前三局胜；或甲第四局胜，而前三局仅胜两局；或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则p=(U,(U+c；xo o探究三二项分布【例3 1已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为:，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子,如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的.(1)第一小组做了 3 次试验，记该小组试验
7、成功的次数为X,求才的分布列；(2)第二小组进行试验，到成功了 4次为止，求在第4次成功之前共有3 次失败的概率.解析(1)由题意，得随机变量X 可能取值为0,1,2,3,53,-则 才 从 3即产(X=O)=C；1丫1-3J827,/(才=1)=C；349,I T-g)=P伊=3)=窃 3=所以I 的分布列为X0123P8274929127(2)第二小组第7 次试验成功，前面6 次试验中有3 次失败，3 次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为片 堞归纳总结：1.当才服从二项分布时，应弄清X B5,p)中的试验次数n与成功概率R2.解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式尸(1=A)
8、=C(1一0 一(左=0,1,2,，A),必须在满足“独立重6复试验”时才能应用，否则不能应用该公式.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了次.3【练 习 3】某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为力 某 班 3 名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数 X 的分布列.解析：由题意可知XE所以尸(X=A)=4=0,1,2,3.C：P(X=1)=9641“力=嗤冏磊,)-唱恒上64所 以 X 的分布列为:70123p164964276427648课后作
9、业A组基础题一、选择题1 .有 8 件产品，其中4 件是次品，从中有放回地取3 次(每次1 件)，若才表示取得次品的次数，则P(X W 2)=()【答案】D【解析】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为从o 2中取3 次，X为取得次品的次数，则P(X 4 2)=P(X=2)+P(X =l)+P(X=0)=C；选择D2 .在 4次独立重复试验中，事件力发生的概率相同，若事件/至少发生1 次的概率为五，则事件/在1 次试验中发生的概率为()1A.O2B，55C”3D-4【答案】A解析：事件4 在一次试验中发生的概率为夕，由题意得1 一C/(1 一而=二.所以o i2 11 一 嗔，嗔
10、3.某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击，此人至少有2次击中9目标的概率为()81 5 4A，1 2 5B，T 2 53 6 2 7rD1 2 5 1 2 5【答案】A解析：至少有2次击中目标包含以下情况：54只有2 次击中目标，此时概率为C X O.d X (1-0.6)=,973 次都击中目标，此时的概率为C：X0.6 3=砧，L乙。至少有2次击中目标的概率为整+=黑.1/3 IZo IZo4.某产品正品率为7，次品率为1g，现对该产品进行测试，设第&次首次测到O O正品，则 P(&=3)=()A-X：B.x l c.D-()x【答案】c7 I【解析】因为某产品正品率为(，次品
11、率为怖，现对该产品进行测试，设第&次O O首次测到正品，所 以“a =3”表示第一次和第二次都测到了次品，第三次测到正品，所以 P(&=3)=x .故选：C5.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现1 0 次时停止，设停止时共取了乃次球，则。(=1 2)等于()103 6 3 5A.C吗 喝 尸 B.C同 喝 产c.C吗 吗）2 D.图 铲 铲【答案】D解析：共取了 12次球且第12次取到红球，说明前11次共取到9次红球，每次取到红球的概率为右 所以尸（x=%（，铲.6.甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则结9束比赛，
12、假定甲每局比赛获胜的概率为可，则甲以3 1的比分获胜的概率为0（）A.C8274-964-81B.8-D.9【答案】A解析：因为甲以3 1获胜，所以共下四局，则前3局中甲胜了 2次，第四局甲m b 一 2/2、2 1 2 8胜，所以人沁（鼻）-X不义鼻=彳O O O z u 7.把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子个数为则P（后2）等于（）1 5A.铲 义 铲1 s sB.C：o（g）X（-）+（-）10c.C；）义 铲+%铲X铲D.以上均不对【答案】D11解析：由题意，h 庾10,3，65 1 5 1J P g 2)=尸(尤=0)+P(X=1)+P1X=2)=(g)10+C；0X-X (-
13、)9+Cw X (-)2XA A,B,C 三选项均不对.8.下列关于随机变量及分布的说法正确的是()A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B.某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X 服从两点分布C.离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1D.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的【答案】A D【解析】对于选项A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0,也可能是1,故是随机变量，故选项A正确；对于选项B：某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次是三次独立重复实验，命中的次数X服从二项分布3(3,0.5)而不是两点分布，故选项B 错误；对
14、于选项C：离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于 1,故选项C 错误；对于选项D：由互斥事件的定义可知选项D 正确.故选：A D二、填空题49.某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为F 那么播下4 粒种子恰有2 粒发芽 的 概 率 是.【答案】芸96124解析：每粒种子的发芽概率为F 并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布4 4,0，则4 粒种子恰有2 粒发芽的概率为：&（，七）=恚.10.某同学进行了 2 次投篮（假定这两次投篮互不影响），每次投中的概率都为p（0W 0）,如果最多投中1 次的概率不小于至少投中1 次的概率，则。的取值范围为.【答案】0=,而=
15、1 （1”=1 Z Z Z 10 10 10 o ol ol，甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为/、/、/+5 80 25协=尸（心/=T 7 X=77-lo 81 81（2）乙所得分数n的所有可能取值为一4,0,4,8,12,则 （=-4）=针=（，尸（=0）=C；4）|（：）3=2，O J 0113.、2.2.,.1,2 24 8尸(n=4)=G(6-)(o-)=7o lT=Z9/72 1 39尸(=8)=Ci(2)：()=的，P(=12)=(1)4=1y.o o l故的分布列为n=k-404812尸(n=A)1883216818127818112.某地区为下岗人员免费提供财会和计
16、算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有6 096,参加过计算机培训的有75临 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.任 选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3 名下岗人员，求这3 人中至少有2 人参加过培训的概率.解：任 选 1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件4 “该人参加过计算机培训”为事件8,由题设知，事件4与事件8 相互独立，且(=0.6,小而=0.75.(1)解法1：任选1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是2=尸(7 7)=尸(7)户(7
17、)=0.4 X0.2 5=0.1,所以该人参加过培训的概率是1 A =1 0.1=0.9.解法2：任选1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2=产(/)+。(7m=0.6 X0.2 5+0.4 X0.75=0.4 5.该人参加过两项培训的概率是P、=P(A协=0.6 X0.75 =0.4 5.14所以该人参加过培训的概率是g+A=O.4 5+0.4 5=0.9.解 法 1：任选3 名下岗人员，3 人中只有2 人参加过培训的概率是F=C；X0.92X0.1=0.2 4 3.3 人都参加过培训的概率是2=0.93=0.72 9.所以3 人中至少有2人参加过培训的概率是P+A=0.2 4 3
18、+0.72 9=0.9 72.解法2：任选3名下岗人员，3 人中只有1 人参加过培训的概率是C；X0.9 X0.=0.0 2 7.3 人都没有参加过培训的概率是0.13=0.0 0 1.所以3 人中至少有2人参加过培训的概率是1-0.0 2 7-0.0 0 1=0.9 72.15B 组能力提升一、选择题1 .如果h3（1 5,；）,则使。（乃=公最大的4 值是（）A.3B.4C.4 或 5 D.3 或 4【答案】D3 1解析：m=A）=c u ）,5-*（-）然后把选择项代入验证.2.一台X 型号自动机床在一个小时内不需要工人照看的概率是0.8,有 4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小
19、时内至多2台机床需要工人照看的概率是（）A.0.1 5 3 6 B.0.1 8 0 8C.0.5 6 3 2 D.0.9 72 8【答案】D解析：本小题主要考查独立重复试验的概率计算一小时内至多2台机床需要工人照看”的事件有0,1,2台需要照看三种可能，因此，所求概率为C：0.2 0.8,+C.0.2 0.83+C.1 0.220.82=0.9 7 2 8,或 1-0.230.8 +C1 0.210.8 ）=0.9 72 8.故应选D.1 23.如果 h8（2 0,-）,h8（2 0,-）,那么当 N 变化时，关于-M）=P（Y0 O=%）成立的（演，刃）的个数为（）A.1 0 B.2 0C.
20、2 1 D.0【答案】C1 2 2 1解析：由题意知0珈勺）4；）2。一覆=5侬（勺）%（）2 0 一%对比二项展开式得&16+%=2 0,所以符合题意的(8,外)有(0,2 0),(1,1 9),(2 0,0),共 2 1 个.34.经检测有一批产品合格率为:，现从这批产品中任取5 件，设取得合格产品4的件数为自，则尸修=6取得最大值时女的值为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由题意，随机变 量 舁 5(5$,.)=&)=($(，若P C =外取得最大值时，则：P S=k).P(&=k+l)P(一).P C =D则;二4 J +；4,解得3.5 糠4.5,丘“，则攵=4.故
21、选：C.X -X *4 6-k 4二、填空题5 .若血色素化验的准确率为p,则 在 1 0 次化验中，有两次不准确的概率为，最多有一次不准确的概率是,【答案】4 5(1 p)2 P8 1 0 炉一财.解析：由题意知，血色素化验的准确率为夕，则不准确的概率为1 一 夕，有两次不准确的概率为。(1 0)方=4 5(1 一2)下；最多一次不准确包括一次不准确和全部准确，则所求概率为a/+。(1 一向/.三、解答题6 .实力相等的甲，乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5 局 3 胜制(即5 局内谁先赢 3 局就算胜出，并停止比赛).17(1)试分别求甲打完3 局、4 局、5 局才能取胜的概率；求按比赛规则
22、甲获胜的概率.解：记事件力为“甲打完3 局才能取胜”，记事件6 为“甲打完4 局才能取胜”,记事件。为“甲打完5 局才能取胜”.(1)甲打完3 局取胜，相当于进行3 次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜.二甲打完3 局取胜的概率为尸(4)=C；4 =:.甲打完4 局才能取胜，相当于进行4 次独立重复试验，且甲第4 局比赛取胜，前 3 局为2 胜 1 负，二甲打完4 局才能取胜的概率为1 1 1 Q=d x(-)-x-=-甲打完5 局才能取胜，相当于进行5 次独立重复试验，且甲第5 局比赛取胜，前 4 局恰好2 胜 2 负，甲打完5 局才能取胜的概率为|1 1 3p g =c,x(-)2x(-)2
23、x-=设事件为“按比赛规则甲获胜“，则=4U6UC1 3又.事件/、B、。彼此互斥，故尸()=尸(/夙0=尸(心+尸(而+/(。=+忑8 lb,3 1+-=一16 2，因此按比赛规则甲获胜的概率为/7.某一批产品的合格率为95%,那么在取出其中的20件产品中，最有可能有几件产品合格？解析 设在取出的20件产品中，合格产品有。件，则 f 服从二项分布，即 f 188(2 0,0.9 5),于是恰好有A件产品合格的概率为尸(f =A)=C：X 0.9 5*X 0.O 52 0-(0 W AW 2 0,AW N).R g=k)C 2 0 X 0.9 5xX 0,O S2 0-*乂af =1-1)=0 *0.9 5 1 X 0.0 5 2”(2 0 4+1)X 0.9 5kXO.0 5=12 1 X 0.9 5 AkXO.0 5(1 W AW 2 0,AG N).于是当 AG 9.9 5 时，产（f =A 1）尸（f =A）；当*1 9.9 5 时，。（f =*一1）尸（f =Q.从而可知在取出的2 0件产品中，最有可能有1 9件合格品.19