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1、中考专题训练正方形的判定和性质1 .如图，在矩形4 8C E(中，点E,尸分别在边AB,B C上，AFLDE,K AF=DE,A尸与C E相交于点G.(1)求证：矩形AB C。为正方形：(2)若AE：E B=2：I,Z VI EG的面积为4,求四边形8EG尸的面积.2 .已知：如图，边长为4的菱形A B C D的对角线A C与B D相交于点0,若N C A O=NDBC.(1)求证：四边形AB C O是正方形.(2)E是。2上一点，B E=1,且。H L C E,垂足为H,0H与0 C相交于点F,求线段。产的长.3.如图，菱形EF G”的三个顶点E、G、，分别在正方形A 8 C Q的边AB、C
2、 D、D 4上，连接C E(1)求证：Z H E A =Z C G F；(2)当AH=Z)G时，求证：菱形E F G H为正方形.4 .如图，已知四边形A8C O为正方形，A B=3&,点E为对角线A C上一动点，连接。E,过点E作EF J_ L E,交 BC 于点F,以。E、砂为邻边作矩形。EF G,连接C G.(1)求证：矩形。E F G是正方形；(2)探究：C E+C G的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.5 .如图，在正方形4 B C O中，点E,尸分别在4 8、BC 上,L A E=B F.(1)试探索线段AF、Z)E的数量关系，写出你的结论并说明理由；(2)连
3、 接E尸、D F,分别取AE、EF、FD.D 4的中点”、/、J、K,则 四 边 形 是什么特殊平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由.6.如图，已知正方形AB C Q,P是对角线A C上任意一点，PM A D,P N L A B,垂足分别为点M和N,交A O于点E.(1)求证：四边形M A N P是正方形；(2)求证：EM=B N.7.如 图，在等腰直角三角形A B C中，ZA CB=9 0 ,A C=BC=4,。是A B的中点，E,F分别是AC,8 c上 的 点(点E不与端点A,C重 合)，且A E=C F,连 接 并 取E尸的中点0,连接 。并延长至点G,使G 0=0 D,连接O E,
4、DF,G E,G F.(1)求证：四边形EQFG是正方形；(2)当点E 在什么位置时，四边形E D F G的面积最小？并求四边形E D F G面积的最小8.如图，已知四边形4 8 c o 为正方形，A B=2V，点 E 为对角线AC上一动点，连接。E,过点E作E F L D E.交射线8 c 于点F,以D E、E尸为邻边作矩形。E F G,连接CG.求证：矩形OEFG是正方形;探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.9.平行四边形4BCO的对角线AC和 BO交于。点，分别过顶点8,C 作两对角线的平行线交于点E,得平行四边形08EC.(1)如果四边形A8C。为
5、矩形(如图)，四边形02EC为何种四边形？请证明你的结论:(2)如果四边形ABCQ是正方形，四边形08EC也是正方形吗？如果是，请给予证明;如果不是，请说明理由.10.如 果 P 是正方形ABC。内的一点，且满足N4PB+NOPC=180,那么称点尸是正方形 A8CZ)的“对补点”.(1)如 图 1,正方形A B C D的对角线AC,B D交于点M,求证：点M是正方形ABCD的对补点；(2)如 图 2,在平面直角坐标系中，正方形A8CO的顶点A(1,1),C(3,3).除对角线交点外，请再写出一个该正方形的对补点的坐标，并证明.11.已知：如图，E 是正方形ABCZ)的对角线8。上的点，连接A
6、E、CE.(1)求证：AE=CE；(2)若将ABE沿 AB翻折后得到A B F,当点E 在 BO的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论.12.如图所示，有四个动点P,Q,E,尸分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着4B,BC,CD,D 4 以同样速度向B,C,D,4 各点移动.(1)试判断四边形P0EF是否是正方形，并证明；(2)PE是否总过某一定点，并说明理由.1 3.在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点尸的坐标为(1,1).将一个最短边长大于&的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线F 0 上.(1)如图，当三角形纸片的直角顶点与点尸重合，一条直角边落在直线尸0 上时，这
7、个三角形纸片与正方形0E7P重 叠 部 分(即 阴 影 部 分)的 面 积 为；(2)若三角形纸片的直角顶点不与点。，尸重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交,当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标(不要求写出求解过程)，并画出此时的图形.,G14.(1)如图矩形ABC。的对角线AC、8。交于点0,过点。作。POC,K D P=O C,连接C P,判断四边形C O D P的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由.15.四边形ABCZ)为正方
8、形，点 E 为线段AC上一点，连接过点E 作交射线 8 c 于点F,以。E、E尸为邻边作矩形DEFG,连接CG.(1)如 图 1,求证：矩形OEFG是正方形；(2)若 AB=2,C E=&,求 CG 的长度；(3)当线段。E 与正方形ABCO的某条边的夹角是3 0 时，直接写出NEFC的度数.16.如图，在矩形ABCD中，AD=6,C O=8,菱形EFG”的三个顶点E、G、”分别在矩形 A8CD 的边 AB、C D、0A 上，A H=2,连接 CP.(1)当。G=2 时，求证：四边形EFGH是正方形；(2)当FCG的面积为2 时，求 CG的值.D G CE B17.已知，如图，矩形ABCO中，
9、AD=6,D C=7,菱形EFGH的三个顶点E,G,，分别在矩形 A8CD 的边 A8,CD,DA ,A H=2,连接 CP.(1)若 Q G=2,求证四边形EFG”为正方形;(2)若 D G=6,求A FCG 的面积；(3)当 QG 为何值时，A FCG 的面积最小.18.如 图，RtZCE/中，ZC=90,NCEF,NCFE外角平分线交于点A,过点A 分别作直线CE,C F的垂线，B,。为垂足.(1)ZEAF=(直接写出结果不写解答过程)；(2)求证：四边形ABC。是正方形.若B E=E C=3,求 D E的长.(3)如 图(2),在PQR 中，/Q PR=45,高 PH=5,Q H=2,
10、则 HR 的长度是(直接写出结果不写解答过程).19.如 图 1,在正方形ABC。中，G 为线段80 上一点，连接A G,过 G 作 4G_LGE交 BC于 E,连接A.(1)求证：B G=D G+aBE；(2)如图2,AB=4,E 为B C 中 点,P,。分别为线段AB,AE上的动点，满足。芯=遥A P,则 在 P,。运动过程中，当以 P Q 为对角线的正方形PRQS的一边恰好落在ABE的某一边上时，直接写出正方形PRQS的面积.20.四边形ABC。为正方形，点 E 为线段AC上一点，连接O E,过点E 作交射线 BC于点F,以OE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.(1)如图，求证：矩形
11、OEFG是正方形；(2)若 AB=2近,C E=2,求 CG 的长；(3)当线段OE与正方形A8C的某条边的夹角是4 0 时，直接写出/E F C 的度数.备用图参考答案；1.如图，在矩形A8CD中，点 E,尸分别在边A8,BC上，AFLDE,K AF=DE,A尸与QE相交于点G.(1)求证：矩形ABCO为正方形：(2)若 AE：EB=2：1,AEG的面积为4,求四边形8EGP的面积.【分析】(1)根据矩形的性质得/ZM 8=N B=90,由等角的余角相等可得/A O E=NB A F,利用A4s可得(AAS),由全等三角形的性质得A=AB,即可得四边形ABCC是正方形；(2)根据相似三角形面
12、积的比等于相似比的平方即可解决问题.【解答】(1)证明：；四边形4 8 c o 是矩形，:.NDAB=NB=90,DEAF,.ND4B=NAGQ=90,：.ZBAF+ZDAF=90Q,ZADE+ZDAF=9Q,:B A F=ZADE,在ABF和ZME中，ZBAF=ZADEDE=AF.AB尸丝D4E(AA5),：.AD=AB,；四边形ABC。是矩形，四边形ABC。是正方形；(2)解：V：.BF=AE,VAE：EB=2：1,设 AE=2x,EB=x,BF=AE=2x,AB3x,*AF=d AB?+BF 2=V I藐 :NEAG=NFAB,NAGE=NB=90,.,.AEGSZAFB,.AEG 的面
13、积：AFB 的面积=Af2：A尸=4 7：13x2=4：13,.4EG的面积为4,.AFB的面积为13,二四边形BEG尸的面积=13-4=9.2.已知：如图，边长为4的菱形ABCD的对角线A C与BD相交于点0,若NCAD=NDBC.(1)求证：四边形ABCZ)是正方形.(2)E是0 8上一点，B E=1,且DHLCE,垂足为H,。与0C相交于点R 求线段0尸的长.ADB C【分析】(1)由菱形的性质得出A O8C,ZBAD=2ZDAC,ZA B C=2ZD B C,得出/BAD+ZABCSO,证出/A4 O=N ABC,求出/8 4。=90,即可得出结论；(2)由正方形的性质得出 A CJ_
14、 B D,AC=BD,CO=AC,D O=H D,得出 NCOB=2 2ZDOC=90,C O=D O,证出N E C O=/E H,证明 ECO丝 F 0(ASA),即可得出结论.【解答】(1)证明：四边形A B C。是菱形，：.AD/BC,NBAD=2NDAC,NABC=2NDBC,：.ZBAD+ZABC=SO,/C 4 O=NDBC,：.ZBAD=ZABC,：.2ZBAD=80a,.N8AO=90,四边形A B C。是正方形；(2)解：；四边形A B C。是正方形，AB=BC=4,J.ACA.BD,AC=BD=4近,：.O B=C O=AC=2V2。=工8。=2&,2 2：.ZCOB=Z
15、DOC=90,CO=DO,：D H C E,垂足为“，:.NDHE=90,ZEDH+ZDEH=90,V ZECO+ZDEH=90,：.ZECO=ZEDH,在?(%和 F DO 中，Z COE=Z D OF=9 0=NA=90,:四边形EFGH是菱形，:.HG=HE,在 Rt/XHAE 和 RtAGD/7 中，(A H=D G,IHE=HG：.Rt/HAERt/GDH(H L),：./AH E=N D G H,又NDHG+/DGH=90,：.ZDHG+ZAHE=90,，/GHE=90,菱形EF GH为正方形;4.如图，已知四边形A B C。为正方形，A B=3 ,点E为对角线4 c 上一动点，连
16、接。E,过点E 作 E f UO E,交 B C于点凡 以。E、EF 为邻边作矩形。E FG,连 接 CG.(1)求证：矩形。EF G是正方形；(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.【分析】(1)作出辅助线，得 到E N=E M,然后判断得到。硒 丝 F E M,则有。E=E F 即可；(2)同(1)的方法判断出Z V IOE丝 CDG 得到 C G=A E,即：C E+C G=C E+A E=A C=6.【解答】解：(1)如图，作于M,E N L C D于N,：ZMEN=90 ,.点E是正方形A B C D对角线上的点，：.EM=EN,：Z D E
17、F=90,/D E N=ZMEF,；NDNE=NF M E=9 0 ,在 DEW和 F E M 中，Z D NE=Z FME-EN=EM，Z D EN=Z FEM.,.DENdFEM(ASA),：.EF=DE,：四边形D E F G是矩形，矩形 E G 是正方形；(2)CE+CG的值是定值，定值为6,理由如下:,/正方形DEFG和正方形ABCD,：.DE=DG,AD=DC,Z CDG+Z CDE=ZADE+Z CDE=90,NCDG=ZADE,A D=CD在和COG 中，ZA D E=ZCD G-D E=D G:./XADE安/CDG(SA S),：.AE=CG,CE+CG=CE+AE=AC=
18、AB=X 3&=6 是定值.5.如图，在正方形ABC。中，点 E,尸分别在AB、BC上，且 AE=B尸.(1)试探索线段AF、O E的数量关系，写出你的结论并说明理由;(2)连 接 EF、D F,分别取AE、EF、FD、D 4 的中点、/、人 K,则四边形H/JK是什么特殊平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由.图【分析】(1)根据已知利用SAS判定D4E丝A 8 F,由全等三角形的判定方法可得到AFDE.(2)根据已知可得HK,KJ,LJ,H/都是中位线，由全等三角形的判定可得到四边形四边都相等且有一个角是直角，从而来可得到该四边形是正方形.【解答】解：(1 )AF=DE.,ABC。是正方
19、形，：.AB=AD,NAB=NA8C=90,：AE=BF,：./DAE/ABF,：.AF=DE.(2)四边形”K 是正方形.如下图，H、/、人 K 分别是A E、EF、FD、D 4 的中点,：.HI=KJ=AF,H K=LED,2 2：AF=DE,：.HI=KJ=HK=IJ,四 边 形 是 菱 形，：/DAE/ABF,，ZADE=/BAF,V ZADE+ZAED=90,：.ZBAF+ZAED=90Q,/A OE=9 0：.NKHI=90,四 边 形 是 正 方 形.图6.如图，已知正方形A B CQ,P是对角线AC 上任意一点，PMLAD,PN LAB,垂足分别为点、M和N,P E L P 8
20、 交A。于点E.(1)求证：四边形M A N P 是正方形;(2)求证：EM=BN.【分析】(1)根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形M A N P 是矩形，再根据角平分线的性质得：PM=PN,可得结论；（2）证明EP M会 B P N,可得结论.【解答】证明：（1）.四边形A B C。是正方形,ZDA B=9 0,A C 平分NZ MB,（1 分）：PM1A D,PN1A B,：.ZPMA =ZPNA=9 0a,四边形M A N P是矩形，（2分）平分NZ MB,PM1.A D,PNL A B,；.PM=PN,（3 分）二四边形M 4 N P是正方形；（4分）（2）四边形A B C Q
21、是正方形，:.PM=PN,NMPN=9 0,:NEPB=9 Q,ZMPE+4 EPN=NNPB+NEPN=9 Q,N M P E=NNPB,（5 分）在和B P N 中，丝 。/:（&4 5）,根据全等三角形的性质可得出叱=。尸、A D E=Z C D F,通过角的计算可得出N E D尸=9 0 ,再根据。为E尸的中点、G O=OD,即可得出GO_ LER 且GD=2 O =E凡 由此即可证出四边形E FG是正方形；（2）过点。作 Q E，AC于 E ,根据等腰直角三角形的性质可得出。E 的长度，从而 得 出 2 W O E V 2&,再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值
22、.【解答】（1）证明：连接C。，如 图 1所示.4BC为等腰直角三角形，NACB=90,。是 AB的中点，./A=/O C F=4 5 ,AD=CD.AE=CF在A 3E和CO尸中，ZA=ZDCFAD=CD：./A D E/C D F （SAS）,：.DE=DF,NADE=NCDF.：ZADE+ZEDC=90,ZEDC+Z CDF=NEDF=90,.皮 尸为等腰直角三角形.。为 EF 的中点，GO=OD,J.G D L E F,且 GO=2OO=EF四边形ECFG是正方形；（2）解：过点。作 DE LA C于 E ,如图2 所示.4BC 为等腰直角三角形，NACB=90,AC=BC=4,：.D
23、E=ABC=2,AB=4如，点 E 为 4 c 的中点，：.2WDE2（点、E与点、E 重合时取等号）.4WS EDFGDE2 与 AAPB 中，.Z D A P=Z B A P=4 5O AP=AP，APO四APB,Z A P D=Z A P B,：./D P E=/B PF,：ZEPC+ZA PF=SO ,A ZCPD+ZAPfi=180,1 1.己知：如图，E是正方形A8C的对角线B。上的点，连接AE、CE.(1)求证：A E=C E；(2)若将AABE沿AB翻折后得到A A B F,当点E在8。的何处时，四边形AF8E是正【分析】(1)利用正方形的性质和SA S证明丝aC B E即可；
24、(2)由折叠的性质得出NF=/AEB,A F=A E,B F=BE,由直角三角形斜边上的中线性质得出AE=3O=8E=Z)E,证出AE=BE=AF=BF,得出四边形AF8E是菱形，A E2V BD,即可得出结论.【解答】(1)证明：二 四边形ABC。是正方形，：.A B=CB,/BA)=/A8C=90,Z A B E ZCB E=45 ,在4BE和C8E中，A B=CB=以=亚 即 点 C 的坐标为(114.(1)如图矩形ABCC的对角线AC、BO交于点。，过点。作 OPO C,且 P=OC,连接C P,判断四边形C O D P的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？
25、说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由.【分析】(1)根据矩形的性质得出O D=O C,根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形COOP是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；(2)根据菱形的性质得出NQOC=90,根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据矩形的判定推出即可；(3)根据正方形的性质得出OO=OC,NDOC=90 ,根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形COCP是平行四边形，根据正方形的判定推出即可；【解答】解：(1)四边形C O D P的形状是菱形，理由是：；四边形ABC。是矩形
26、，：.AC=BD,O A=O C=AC,O B=O D=B D,2 2：.OC=OD,：DP/OC,D P=OC,四边形C O D P是平行四边形,：O C=O D,平行四边形COQP是菱形；(2)四边形COOP的形状是矩形,理由是：四边形ABC。是菱形，：.ACBD,：.Z D O C=9 0a,JDP/OC,D P=O C,四边形C O D P是平行四边形，V ZOC=90,平行四边形C O D P是矩形；(3)四边形C O D P的形状是正方形,理由是：四边形A8C是正方形，：.ACVBD,AC=BD,O A=O C=AC,O B=O D=BD,2 2：.ZDOC=90,ODOC,：DP
27、/OC,DP=OC,四边形CODP是平行四边形，VZ DOC=90,OD=OC平行四边形CODP是正方形.1 5.四边形A B C。为正方形，点E为线段AC上一点，连接。E,过点E作交射线BC于点F,以。E、E/为邻边作矩形。E FG,连 接CG.(1)如 图1,求证：矩形OEF G是正方形；(2)若 AB=2,C E=&,求 CG 的长度；(3)当线段OE与正方形A8CO的某条边的夹角是3 0 时，直接写出NEF C的度数.【分析】(1)作 EP _ LC 于 P,EQJ_ 8c 于 Q,证明 R t/X EQF也为E PO,得到 EF=EZ),根据正方形的判定定理证明即可；(2)通过计算发
28、现E是AC中点，点 尸 与C重合，C D G是等腰直角三角形，由此即可解决问题.(3)分两种情形考虑问题即可；【解答】(1)证明：作EP JLCC于P,EQ_ L8C于Q,ZDCA=ZBCA,：.EQ=EP,；NQEF+NFEC=45,ZPED+ZFEC=45,/.ZQ EF=APED,在 Rt A EQF 和 Rt/EPD 中，NQEF=NP ED,EQ=EP ，,NEQF=NEP D：.R t/EQ FR tEPD(ASA),：.EF=ED,矩形OEF G是正方形；(2)如图 2 中，在 RtZA8C 中.A C=&A B=2&,；E C=&,：.AE=CE,点尸与C 重合，此时DCG是等
29、腰直角三角形，易知C G=&.(3)当。后与A。的夹角为3 0 时，点 F 在 BC边上，ZADE=30 ,则/CZ)E=90-30=60,在 四 边 形 CDEF中，由四边形内角和定理得：ZF C=360-90-90-60=120,当DE与 DC的夹角为3 0 时，点尸在BC的延长线上，N C D E=3 0。，如图3所示：:NHCF=NDEF=90 ,4 C H F=4EHD,：.ZEFC=ZCDE=30 ,综上所述，ZEFC=120或 30.图11 6.如图，在矩形A8CO中，AD=6,C D=8,菱形EFG”的三个顶点E、G、，分别在矩形 A8CZ)的边 A3、C D、DA ,A H=
30、2,连接 CF.(1)当。G=2 时，求证：四边形EFG 是正方形;(2)当AFCG的面积为2 时，求 CG的值.AE B【分析】(1)由于四边形A B CO为矩形，四边形HEF G为菱形，那么NO=NA=90,HG=HE,而 AH=D G=2,易证 AH Eg/XO G H,从而有NDHG=N H EA,等量代换可得NAHE+NDHG=90。，易证四边形HEF G为正方形；(2)过 F作 F M_ LZ)C于 M,根据 A 8C,可得NAEG=NM G E,同理有/H E G=NFG E,利用等式性质有N4E”=NM G凡 再结合NA =NM=90,H E=FG,可证AHE注4M F G,利
31、用三角形面积解答即可.【解答】(1)证明：在矩形A B CD中，有NA =/O=90,：.ZDGH+ZDHG=90.在菱形EF GH中，EH=GH：AH=2,DG=2,：.AH=DG,：.Rt/AEHRt/DHG(H L).：./AHE=ZDGH.；.NAHE+NDHG=90./EHG=90.四边形EF G”是正方形.(2)过产作 F MJLOC于 M,则/F MG=90.A ZA=ZFMG=90.连接 EG.由矩形和菱形性质，知A 8OC,HE/GF,ZAEG=NMGE,NHEG=ZFGE,；.NAEH=NMGF.,:EH=GF,：.丛AEH迫丛MGF.：.FM=AH=2.,:S 尸CG=|
32、；.CG=2.1 7.已知，如图，矩形A B CQ中，AD=6,QC=7,菱形EF G”的三个顶点E,G,”分别在矩形 48C。的边 A B,CD,DA ,A H=2,连接 CF.(1)若。G=2,求证四边形EF G”为正方形；（2）若 D G=6,求 F C G 的面积；（3）当 QG为何值时，FC G 的面积最小.【分析】（1）由于四边形A 8C。为矩形，四边形EF G 为菱形，那 么/。=/4=90,H G=H E,而 A H=D G=2,易证 A”Eg Z G”，从而有N D H G=N H E A,等量代换可得/AHE+NDHG=90 ,易证四边形HEF G为正方形；（2）过户作尸交
33、。C 延长线于M,连 接 G E,由于AB CD,可得NAEG=NM G E,同理有NH EG=N F G E,利用等式性质有/AE H=/M G F,再结合/A=/M=90,H E=F G,可证尸 G,从而有BW=/M=2（即无论菱形EF G”如何变化，点 F到直线CO的距离始终为定值2）,进而可求三角形面积；（3）先设 O G=x,由 第（2）小题得，SAFCG=1-x,在A A H E 中，A E A B=7,利用勾股定理可得“/2忘5 3,在 Rt Z OHG中，再利用勾股定理可得7+16W53,进而可求x从而可得当x=d历 时，AGCF 的面积最小.【解答】解：（1），四边形A 3。
34、为矩形，四边形HEF G为菱形，N4=90,H G=H E,又 A，=OG=2,.Rt AA/E Rt ADG/(H L),:./D H G=/H E A,V ZAHE+ZHEA=90 ,；.NAHE+NDHG=90 ,；.NEHG=90 ,二四边形HEF G为正方形;(2)过尸作F M_ L C,交。C 延长线于M,连接GE,：AB/CD,N A E G=NMGE,：HE/GF,二 N H E G=NFGE,：.Z A E H=Z MGF,在 A/7E 和 MF G 中，NA =/M=90,HE=FG,：./AHE/MFG,：.F M=H A=2,即无论菱形EF G”如何变化，点尸到直线CO
35、的距离始终为定值2,因此Sz k FC G XFM XG c Vx z x (7-6)=1；（3）设。G=x,则 由 第（2）小题得，SA FC G=7-x,在 AHE 中，A EWA B=7,.心53,；./+16=6,根据全等三角形的性质得到B E=E G=3,同理，G F=D F=x,根据勾股定理列方程即可得到结论；(3)把 P Q”沿 P Q翻折得PQO,把产山 沿 P R翻折得延长。Q、M R交于点 G,由(1)(2)得：四边形 P MGO 是正方形，MR+DQ=QR,MR=HR,DQ=HQ=2,得出 MG=OG=MP=PH=6,G Q=4,设 M R=H R=a,则 GR=6-a,
36、QR=a+2,在 R t Z GQR 中，由勾股定理得出方程，解方程即可.【解答】解：(1)VZ C=90,：.NCFE+NCEF=9Q,；.NDFE+NBEF=360-90=270,.人/平分/力正，AE平分N3EF,:.N A F E=/D F E,N A E F=*/B E F,：.ZAEF+ZAFE=-(NDFE+/BEF)=AX270=135,2 2A Z AF=1800-ZAEF-ZAFE=45,故答案为：45；(2)作A GJ_ EF 于 G,如 图 1所示：贝 i /AG E=/AG F=90,：ABX.CE,ADLCF,./B=N Q=90=N C,.四边形A 8CO是矩形，
37、：ZCEF,NCF E外角平分线交于点A,：.AB=AG,AD=AG,：.AB=AD,二四边形4 8 8 是正方形；设 DF=x,：BE=EC=3,:.BC=6,由得四边形ABCD是正方形，：.BC=CD=6,在 R t/X A B E 与 R t/S A GE 中，AB=AG,l AE=AE，A Rt A A B C Rt A A GE(H L),：.BE=EG=3,同理，GF=DF=x,在 Rt CEF 中，EC2+FCi=EF2,即 32+(6-x)2=(x+3)2,解得:x=2,的长为2；(3)解：如图2所示：把 PQH沿 PQ翻折得PQO,把尸RH沿 PR翻折得PRM,延长DQ、MR
38、交于点G,由(1)(2)得：四边形 P MGO 是正方形，MR+DQ=QR,MR=HR,DQ=HQ=2,：.MG=DG=MP=PH=5,：.GQ=3,设 MR=HR=a,则 GR=5-a,QR=a+2,在 R t Z X GQ R 中，由勾股定理得：(5-a)2+32=(2+a)2,解得：=西，即”R=至；7 7故答案为：史.7BE图 11 9.如 图 1,在正方形A8C 中，G 为线段8。上一点，连接4 G,过 G 作 AGJ_GE交 BC于 E,连接AE.(1)求证：B G=D G+&B E；(2)如图2,AB=4,E 为 B C 中点,P,。分别为线段AB,AE上的动点，满足。=遥A P
39、,则 在 P,。运动过程中，当以P Q 为对角线的正方形尸RQS的一边恰好落在aABE的某一边上时，直接写出正方形PRQS的面积.【分析】(1)过 点G作G N 1 B C于点N,作G M L A B于点M,过 点E作E F L B C,交BD 于点 F,先证明AGM四E G N(4S4),从而 A M=E N,再利用 OG=BO-8 G=&AB-近 B M=A M,F G=B G -B F=M t i N -B E=E N,得出。G=F G,则 BGBF+FGDG+JBE；(2)分五种情况讨论，以点8 为原点，BC所在直线为x 轴，8 4 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，分别求得A E和
40、 P Q 的解析式，二者联立解得用含？的式子表示的点。的坐标，在R t A Q E F中，由勾股定理得出Q E的表达式，然后结合Q E=A P得出关于，的方程，解得，”的值，则可得点Q 的横坐标，从而可得正方形PRQS的面积，利用锐角三角函数和线段的和差关系列出方程，可求正方形的边长，即可求解.(解答 解：(1)证明：过点G作G N V B C于点N,作G M L A B于点M,过点E作EFL B C,交 B D 于点F,如图所示：DA 四边形ABC。是正方形，8。是对角线，:.BF=BE,GM=GN,：AG_LGE,GN IBC,GMA.AB,:.NAMG=NENG=90,ZAGM+ZMGN
41、=ZEGN+ZMGN,：./AGM=NEGN,.在4GM 和aEGN 中，ZAMG=ZENG:+3 匹 RQ+匹 RQ=2 代,：.RQ=L,二正方形P R Q S的面积为1.当正方形P R Q S的一边落在A E上,如图2 -2,D图2-2V t a n Z 4 2=AS AB 2：.AS=2PS,”=”+针=府5,.Q E=A P,：.QE=5PS,：AE=AS+SQ+QE=2/5,：.2PS+PS+5PS=2娓,P S=-,4，正方形PRQS的面积为-L,图2-3同理可得：AE=AR+RE=AR+QE-QR=(5+1)RP=2娓,.PR=2ZL,3正方形PRQS的面积为当正方形PRQS与
42、BC重合时，如图2-4,D图24：tan Z B A E=-=,AS 2；.AS=2SQ,：.A P=A S+SP=3 SQ,Vsin Z AE B=J-=-QE AE 2V5 5：QE=J-QR,:,QE金娓A P,这种情况不存在，故舍去，综上所述：正方形P R Q S的面积为工或1或 区 或4 16 92 0.四边形A8C为正方形，点 E 为线段AC上一点，连接。E,过点E 作交射线 BC于点尸，以。E、E F为邻边作矩形。E F G,连 接 CG.(1)(2)如图，求证：矩形力EFG是正方形；若 A B=2&,C E=2,求 CG 的长；(3)当线段O E与正方形ABC。的某条边的夹角是
43、40。时，直接写出/E F C 的度数.备用图【分析】（1）作 EP_LC 于 P,EQJ_8c 于 Q,证明 RtZEQF丝R tZEPO,得到 EF=EO,根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现E 是A C中点，点 F 与 C 重合，CQG是等腰直角三角形，由此即可解决问题.(3)分 两 种 情 形 考 虑 问 题 即 可；【解 答】(1)证 明：作石尸_ L C D于尸，E Q J _ B。于Q,：ZDCA=ZBCA,：EQ=EP,：NQEF+NFEC=45,NPED+/FEC=45,:./Q EF=N PED,N Q E F:N P E D在 RtAEQF 和 RtAEPD
44、中，|E Q=E P ,Z E Q F=Z E P DAR t AE g F R t AE P D (A S A),:EF=ED,矩 形。所G是 正 方 形；(2)如图 2 中，在 R t Z X ABC 中，A C=&A 5=4,:EC=2,：.AE=CE,点F与C重 合，此 时 O C G是 等 腰 直 角 三 角 形，易 知C G=2；(3)如 图3,当O E与A O的 夹 角 为4 0 时,ZDEC=450+4 0 =8 5 ,V Z D E F=9 0 ,：.ZCEF=5,V ZECF=45,：.ZEFC=30，图3 如 图4,当D E与DC的 夹 角 为4 0 时,V Z D E F=Z D C F=9 0 ,：.ZEFC=ZEDC=40,综上所述,AE T-图2B Q F图 1ZEFC=130 或 400.DC(F)I