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1、()D.2,3D.V412019级 高（三）上学期10月份考试数 学（文科）试题（考试时间：120分 钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合4=x|x43,xG/V*,8=-1,0,1,2,3 ,则 4A.0,1,2,3 B.1,2,3 C.0,1,22.设z=（l 2 i，则|z|二（）A.5 B.y/i7 C.V293.三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（）A.如果 6,6,那么B.如果a b 0,那 么/；C.对任意实数。和6,有/+从 之 功力，当且仅当。=6时等号成立；D.如果 ab,c 0,那
2、么4.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,数字之和是8的概率为（）1 5 1A.-B.C.6 36 155.对3个非零平面向量2瓦 下 列 选 项 中 正 确 的 是（A.若茄+筋=0,则2=o B.若=,则5=第1页6,从中随机取出两个球，则取出球的C.若仅石林二口很，则5-D.5兄两两之间的夹角可以都是钝角6.数列 是首项为1,公比为2的等比数列，其前几项和为S”.若5角=他 1,则上=（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知。为坐标原点，抛物线C:/=8 上一点A到焦点厂的距离为6,若点尸为抛物线C的准线上的动点，则PO+P4的最小值为（）A.4 B.C.46 D.6
3、垂）9.某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而/一成，球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切，正三棱柱的高/为4,底面正三角形边长为6,球的体积为竿不，则该几何体最高点到 卜-正三棱柱下底面的距离为（）A.5 B.6C.7 D.8 71 0.已知函数/（幻=+9+/.则 使 不 等 式 成 立 的 实 数 的范围为（）A.m C.-ZH 1 D.w b 0）,其长轴长为4,耳，8 为左右焦点，P为a，b椭圆C 上一动点，且 西 丽 最 大值为1.（1）求椭圆C 的方程.（2）若直线/与椭圆C 相交于A,B两点，且 加=2 万5 丽 （O为坐标原点，力为负实数）,2己知
4、 女 迎=-；求的值.21 .（本题1 2分）已知函数/（工）=1工+卜2-工）+2.（1）当a =-l 时，求函数/（、）的单调区间；（2）当。0 时，若/（x）的极大值点为芭，求证：/（x,）-21 n 2+l.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.（本题10分）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系X。），中，曲线G 的参数方程为卜=6c o s/（其中。为参数），曲线 y=sin（pc2：x2+/-2 =o,以原点。为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l:0=a（夕之0）与曲线G，G 分别交于
5、点4，B（均异于原点O）.（1）求曲线C，G 的极坐标方程；（2）当0 a x1x2.共 3 页2021年高三10月份考试数学(文科)参考答案一、单选题1.已知集合4=工 闷，xN*,3=1,0,1,2,3 ,则 A0 8=()A.0,1,2,3 B.1,2,3 C.0,1,2 D.2,3【答案】B【分析】首先列举法表示出集合A,然后根据交集的概念即可求出结果.【详解】由题意得，A=L 2,3 ,所以AOB=1,2,3.故 选:B.2.设之=(1一方)2,则忖=()A.5 B.Vl7 C.V29 D.如【答案】A【分析】利用复数的乘法化简复数*利用复数的模长公式可求得|水【详解】因为z=(l
6、2i)2=l 4i+4i2=-3 4 i,因此，忖=(3)2+(-4)2=5做 选：A.3.三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式()A.如果。尻人c,那么B.如果。b 0,那么(尸；C.对任意实数。和人,有/+方 之 2 ,当且仅当a=时等号成立；D.如果a,c 0,那么 ac be.【答案】C【分析】设图中直角三角形的直角边长分别为。力，则 斜 边 长 为 行 了 ，进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结果.【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为久力，则 斜 边 长 为 庐 石.图中四个直角-:角形的面积和为4x；xaxb=2a
7、力，外 围 正 方 形 的 面 积 为+/)=/十/.由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以2出/+从，当且仅当。=加时，等号成立.故选：C.4.袋子中有6 个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球，则取出球的数字之和是8 的概率 为()A.B.自 C.6 36 15【答案】D9D.一15【分析】列举出所有基本事件，分别求出总事件和所求基本事件的个数，再根据古典概型公式即可得解.【详解】基本事件共有：(1,2),(1,3),(1,4),(1.5).(1,6),(2,3),(2,4)、(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(
8、4,5),(4,6),(5,6)共 15 种,2其中数字和为8 的基本事件有2 种，所以取出球的数字之和是8 的概率为吉,故选：D.5.对 3 个非零平面向量，瓦八 下列选项中正确的是A.若 而 +=6,则 4=4=0B.若 =贝！=1C.若(。石卜=(。守)5,则5=1D.小瓦 两两之间的夹角可以都是钝角【答案】D【分析】向量两个特殊情况：共线和零向量，可排除A,B：【详解】(1)与6 在同一条直线上，故 A 错向量不满足交换律所以C 错.(2)。可能为0 向量，故 B 错(3)向量运算不满足交换律，所以C 错(4)小瓦不两两之间的夹角可以都是钝角,如都为120,故选D6 .数 列 是 首
9、项 为1,公比为2的等比数列，其前项和为S”.若与“=她-1,贝必=()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】利用等比数列，求出通项外,利用求和公式求得5.，代入即可得解.P【详解】由数列%是首项为1,公比为2的等比数列，q=2小W=2.M1-2故选：D.7 .某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为迪，则它的表面积为3A.8 B.1 2 C.4+4 /J D.2 0【答案】B【分析】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，底面为正方形，根据三视图的数据即可求出该四棱柱的表面积.【详解】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，如图所示，底而边长为2,设四棱锥的高为力，贝I 依题意有V=1X2X2/
10、7=M3 3所以人=6,所以侧面的高为 =而 下=2所以四棱锥的侧面积=4 xg x2 x2=8,所以该四棱锥的表面积为：S2=8+2 x2=1 2.故选：B8 .已知O为坐标原点，抛物线C;丁=8 X上一点A到焦点”的距离为6,若点 为抛物线C的准线上的动点，则P O+P A的最小值为()A.4 B.4G C.4 7 6 D.6G【答案】C【分析】求出坐标原点。关于准线的对称点B的坐标，由P O=P B,则P O+P A =P 3+P A 2 A 3,根据两点间的距离公式即可求解.【详解】解：由题意，抛物线J=8 x的准线方程为x=-2,:AF=6,点A到准线的距离为6,即点A的横坐标为4,
11、不妨设点A在第一象限，则点A的坐标为(4 4五)，坐标原点。关于准线的对称点B的坐标为(-4,0),试卷第2页，总8页:.PO=PB,/.PO+PA的最小值为AB=4+4），（4可=4限.故选：C.9.某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而成，球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱32均相切，正三棱柱的高为4,底面正三角形边长为6,球的体积为不），则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【分析】利用球的体积公式求出半径，求出正三角形内切圆半径，利用勾股定理求出球心到上底面距离即可得解【详解】设球的半径为R,-：棱柱上底面正三角形的内切
12、圆半径为一.由球的体积为写打可得:兀*=等，解得R=2.因为正一棱柱的高为4,底面正三角形边长为6,所以底面正三角形的内切圆半径为r=x6x1=8,正 一:棱柱的高2 3为4,设球心为O,正三角形的内切圆圆心为。取的中点M,并将这三点顺次连接，则由球的几何知识得OQM为直角三角形，所以00=席 丁 J 2 y 可 =1,于是该几何体最高点到正-：棱柱下底面的距离为2+1 +4=7.故选：C10.已知函数/（*）=+/.则 使 不 等 式 成 立 的 实 数 的范围为（)A.mD.】0时，可通过求导判断函数的单调性，从而确定整个函数的单调性，根据单调性求解参数的取值范围【详解】因为f（T）=+e
13、*+/=/（,所以V）为R上的偶函数，且f（x）=e-4 +2.j易得e e e/单 调 递 增 且f （0）=0,所以，当x 0时，/。）0恒成立，八用单调递增，根据偶函数的对称性得，*0时，M单调递减，若/（2 1）/（，”），则有|2-1卜 帆，两边同时平方得：（2m-）2m2f解得:；切 0,）的左、右焦点，过月作k-小 的垂线分别交双曲线的左、右两支于&C两点（如图）.若/。8 6=/。玛8,则双曲线的渐近线方程为（）A.y=y/3xB.y=(2xC.尸=土(6 +1卜 D.y=(G-l)x【答案】C【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得忸制=2%BF2=4 a,再在引转中运用余弦
14、定理建立关于a,b,c的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.【详解】由NC85=设忸C|=|C周=?，由|C用-|。用=加 得，忸 用=2%所以怛段=4%cos/B照 嬴局 L=嬴乂/=a n/B/H 得网 叫吃.4a2+4c2-16a;=b令。“化简得：/-2 b-2 =O,得。=1 +6,所以渐近线方程为产(百+1 卜，oC IC C故选：C.1 2.已知 0,不等式xM e、a lnx20对于任意xw(l,+oo)F 成立,贝！J”的取值范围()A.B.-，设/=.e，等价于l x)”(n L),即-a V(4)111ta，令g(x)=,根据函In x In x数的单调性得到最值得到答
15、案.详解由+aln X 2 0 得 W xa-(-a In x),即 叱 In xa-，设/(x)=xe(x l),则 f x)=(x+l)0,(xl),所以函数 f(x)在*w(1,田)上是增函数,所以不等式x“e+aln.r20对于任意xw(l,+s)恒成立，等价于/(x)2/(ln.l),所以*2 I n f ,即X之 一 a ln x对任意的x l恒成立，因为#1,所以ln x 0,即对任意的x l恒成即-a 4 4).，In x in x令g(x)=L，则g(x)=；：F，由/)=(),得x=e,In A-(In x)所以当xw(l，e)时，g(x)0,函数g(x)在区间(e,+a)
16、为增函数，所以当x=e时，g(x)取得最小值g(e)=e,所以-a K e,所以aN-e,乂由己知得a 0 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为幻皿。，若/(工)。恒成立，转化为了3 0.二、填空题13.已知角的终边过点(4,-3),则 Sin(2)等于.04【答案】【分析】根据终边上的点写出s in c o s 6,再由sin(20)=2sin%osJ求值即可.【详解】由题设，sin。=-；,cos。=1,24sin(2。)=2 sin Ocos0=-.25故答案为：-去14.记 S.分别为等差数列血 的前项和，若a”=2 1-2，则$=.【答案】100【分析】利用
17、通项公式求得=19,4。=1，结合等差数列求和公式求得结果.19+1【详解】4=19吗。=1,所 以 前10项的和为品,=y-xlO =IOO.故答案为：100.x+y-4 015.已知实数K,.V满足不等式组W2x-y-12 0,则2x+y+2的最大值为_|x-3 y+30 A+123【答案】vO【分析】画出可行域，2;；：2=2+备 忘表示可行域内的点与定点(-1,0)连线的斜率，数形结合可求得最大值.【详解】试卷第4页，总8页C,俱因为B D B R,8Qu平面C g。，平面Cgj,所以B。/平面C 4。，故正确:画 出 如 图 可 行 域,因 为 受 手=2+后,因为AD/8 C,所以
18、异面直线4。与 M所成的角等于NB C4 在正方形8CG4 中，/成 耳=45。，故错误:令W=,，则表示可行域内的点儿“)与定点(T O)连线的斜率由图可知，当点尸为点八(|W)时，连线斜率最大，所以2 f ：2的最大值为，x+82 3故答案为：vQ1 6.在正方体A 8 C O-A 4 GA 中，有下列结论:8。/平面CgA；异面直线AD与C B,所成的角为6 0。；三棱柱八8/)-A 4 R的体积是三棱锥A -ABD的体积的四倍；在四面体A C4 Q中，分别连接三组对核的中点的线段互相垂直平分.其 中 正 确 的 是 (填出所有正确结论的序号).【答案】【分析】根据正方体的几何特征，证明
19、线面平行，求异面直线夹角，求体积关系，分析正四面体对棱连线特点.【详解】三棱柱A 8O-A 8Q的体积是三棱锥A -4 8。的体积的三倍，故错误；由正方体的性质可知，正方体三条对面中心连线线段相互垂直平分.四面体A C4 A 是正四面体，其棱中点即正方体每个面的中心，对棱中点连线必经过正方体的中心，由对称性知，连接正四面体A C g A 每组对棱中点的线段互相垂直平分，则正确.故答案为：三、解答题1 7.已知。，bt c 分别为 A B C 内角 A,B,。的对边，=3,b=7 ,l an(兀+8)=-6.(1)求s i nA的值；(2)求 A B C 的面积.【答案】(1)s i nA=生
20、回1 4 4【分析】(I)由如1(4+3)可求出5访8,利用正弦定理可求出s i n A：(2)由余弦定理可求出J 再借助于三角形面积即可求出结果.【详解】(1)t an(兀+8)=t an8 =-G,B=q，3 _ 7由正弦定理得 s i n A.2 ,/.s i n A =.s i n|4(2)由余弦定理得/=/+c2-2“c co s?,整理得/+3 c-4O =O,解得c =5 或-8 (舍去),:A4C 的面积&As c =Lc s i n 5=L x 3 x 5 x =由 2 2 2 41 8.某地从今年3 月份正式启动新冠肺炎疫苗的接种工作，前 4 周的累计接种人数统计如下表:（
21、1）求 关于x 的线性回归方程;前 X周1234累计接种人数y（千人）25344.5【答案】（1）证明见解析：（2）手L【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得以_ L B C再由B 4 L 4 8利用线面垂直的判定定理即可证明，利 用 三 棱 锥 的 体 积 公 式 得 出 立.=竽.再 由 等 体 法%一 皿=%3=#.廿=4 即可求解【详解】（1）侧面布8 _ L底面P 8 C,P BL BC,所以8 C _ L侧 面%8（2）政府部门要求在2 个 月 内（按 8 周算）完成 8 千人的疫苗接种工作，根 据（1）中所求的回归方程，预计接下来4 周是否需要加快接种工作的速度.又 闲 u侧面
22、小B,所 以 必_ L3 C又 P D二D B=DA,所以以 J_ A 3力 比-2 _参考公式：线性回归方程），=+加中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=-4 =.菽【答案】（1）y =0.7 X+1.7 5；（2）需要加快接种工作的速度.【详解】（1）x =1+2+3+44=2.5,，=2.5 +3 +4 +4.5f 3 8.5-4 x 2.5 x 3.5b=-；30 4X2H=0.7,=3.5-0.7 x 2.5=1.7 5,又A B n 8 C=B,所 以 附L平面A B C（2）由（1）可知：%，平面A B C,在宜角三角形布3中，P A =VP B?-A B?=2 6，D是PB
23、的中点，所以一棱锥D-A B C为三楂锥P-A 8 C体 积 的.故 VD-A H C=g VP-A B C =S A/fC-P A =苧由己知：A C =A O =2近，乂 A D=2,A C。底边AO上的高为人=疗.因此回归方程为=0.7X+1.75.故 A C D面积为：S 4=出（2）令x =8,.=0.7 x 8+1.7 5 =7.3 5,因为7.3 5 b 0)f其长轴长为4,G，鸟 为左右焦点，P为椭圆C上 动点，且5星（1）求椭圆C的方程.（1）证明：P4J平面八次7；（2）求点3 到平面ACD的距离.（2）若直线/与椭圆C相交于A,B两点，且 加=4况+；而 （O为坐标原点，
24、2为负实数），己知即k。8=求4的值.【答案】（1）设尸（如 儿）厕 所 配=片+一/,长轴2 a=4,即a=2.试卷第6页，总8页丽 而 W /_ c?=从=1，则椭圆方程为*-+丁=1-（5分）-4 2）设 A（x，x）,B则心八乂8 =*=一，即 4）、+工 丙=0-（6 分）出 4因为。P =M A+：。8,则 P 点坐标为（Z v1+-x2,2 y,+；%），V-2 1 1 I把 P点代入椭圆二-+V=1,则有：（祸+?2）2+（川+：2）2=1-0 时，若/（x）的极大值点为外,求证：/（*）0,则0%!心，2 a ：=o 1 ,化简得出/（%）=始与+7 -TT+T,2 -2a
25、4 I）N构造函数g（*）=l n*+后 二 五+看 其中0 x；,利 用 函 数 单 调 性 得 出 即 可 证 得 结 论 成 立.【详解】（1）当。=T 时，函数/（x）=l n x-V+x+2 ,（0,+o o）.小）-2*+1 =9 2=卫土也辿，XXX当o x o；当了1 时，r（x）0时，:=!+2 心-a=2 a d一 竺 1,X X令2 a d-奴+1 =0,A=a2-8.当A KO 时，即当0 0,解得a 8,设方程2/-g+1 =0 的两个实数根分别为芭、马且芮当.当0 *.q 时，f（x）Q-当时，/f（A）0,故函数/（工）的极大值点为N，由韦达定理可得为+七=；,x
26、tx2=0,则0 为；与，2axf=a v j -1.y(A()=I n.Vj +a x f -axx+2 =I nxx+】a q +2 =I n$-+-=I n.Y,+yI 3+，、+-2(2.(-1)2,令g（“卜可七f l 其中；，则 g(x)=J-1(21(2X-1)2-X(4A-1)(X-1)x(2 x-l)：A(2A-1)：，所 以,函数g（“在（0，；）上单调递增，=因 此,/（）g（x）（或 f（x）0 （或 x）-g（x）0）,进而构造辅助函数A（.r）=/（x）-g（x）；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩：二是利用常见放缩结论：（3）构造“形似”函数，稍作变形
27、再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共 10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.可得函数/（）在（0,1）上单调递增，在（1.也）上单调递减.2 2.1选修4 4 坐标系与参数方程在直角坐标系X。，中，曲线G的参数方程为卜G e。，。（其中 为参数），曲线I，=S/*C2:x2+y-2 y =0,以原点。为极点，4轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线lO=a（夕NO）与曲线G，G分别交于点A，B（均异于原点O）.（I）求曲线G，C?的极坐标方程；（2）当0 a 时，求的最小值.【详解】r23（I）G的普通方程为土 +）/=1,代
28、入x=pcosO,y=psin。得G的极坐标方程为夕3 l+2sm-。.（3 分）C2的极坐标方程为夕=2sin。.（5分）2 6-21111 l+2sin%l+2sii?a v 7|0A+|0 5最 小 值 为2遥-2.（1 0分）23.选修4-5：不等式选讲 己知区瓦石 为 正 实 数，且满足a+b=l（1）求。2+丫的最小值4（2）求证：（axx+bx2）（bx1+ax2）x1x2【答案】（1）右（2）证明详见解析.【解析】（1）（1）,a+b=V*a=1-b,:.a?+=(1 b)2+-=b2 2b+1=：(b-)2+V0 b (vax1V/ax2+bxbx)2=(ay/x1x2+vxix2)2=(a+b)2x1x2=x1x2考点：配方法求函数最值、均值不等式.试卷第8页，总8页