《2022年河南省南阳市高考理科数学一模试卷及答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年河南省南阳市高考理科数学一模试卷及答案解析.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022年河南省南阳市高考理科数学一模试卷一、选 择 题（本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（5 分）已知集合4=国/-我+3 0 ,若 ACB=x2x3,则 a=()A.0B.1C.2 D.62.(5 分)若 z=2+i,则|z+2|=()2V65A.-5410B.-5V10 V65C.-D.-5 53.（5 分）已知函数/（%）=盟 沼，则函数g（x）=磐，的定义域是（）A.x|x0B.4 x V 0,且 xW-2C.x-1X1D.x|0 x 0,匕 0）,P 为双曲线C 上的一点，若点尸到a2 bz双曲线C 的两条渐近线的
2、距离之积为1,则双曲线的半焦距c 的取值范围是（)第1页 共2 0页A.(0,1)B.(1,2C.(0,2D.2,+8)8.(5 分)A (V 4 x2+siar)d x=()A.-+2 3C.27r ry+V 3D.7 T +-/39.（5 分）2021年 8 月 17日，国家发改委印发的 2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表显示，青海、宁夏、广西、广东、福建、新疆、云南、陕西、江苏、浙江、安徽、四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻.某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施.如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚
3、高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求,要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（)A B C D EB C D EA.15 种B.16 种C 17种D.18 种1 110.（5 分）已知函数/（%）=sin2x-sin x,则当（0,2n）时，函数f （x）一定有（)3/3A.极大值，且极大值为4C.极大值，且极大值为0B.极小值,D.极小值,3y3且极小值为一一4且极小值为011.(5 分)已 知(1+x)+2(1+x)2+3(1+尤)3+-+10(1+x)1 0=。+。i x+zx2+m(优 则47=)A.9俎28 nB.C3 11C.29 73 11D
4、.lOCfi12.(5 分)9 1 Q。=耳？4,C=YQ,贝i 2设 a 75,4,()A.achB.ahcC.hcaD.cah二、填 空 题（本大题共4 小题，每小题5 分,共 20分）13.14.（5 分）已知a=（2,/）,b=（1,3）,若ab=5,则向量a与b的夹角是9（5 分）设抛物线夕=6X上一点P 到其焦点F 的距离为。为坐标原点，则尸OF的面积为1 5.（5 分）某空间几何体的三视图如图所示（图中己标数据），则该几何体的外接球表面积为第2页 共20页16.（5 分）已知函数/Xx）=尸 xm ,若对任意。.m xi-x21成立，则实数m 的 取 值 范 围 是.三、解 答
5、题（本大题共5 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12分）学校准备筹建数学建模学习中心，为了了解学生数学建模（应用）能力，专门对高二报名的100名学生进行了数学建模闭卷测试，得分在4595之间，分为45,55）,55,65）,65,75）,75,85）,85,95五组,得到如图所示的频率分布直方图,其中第三组的频数为40.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数灭和方差.J（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为参与建模测试的学生分数X 近似服从正态分布N（“，。2）,其中U近似为样本平均数斤，/近似为样本方差52.求产（47.2X
6、79.9）；学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中90.8分以上的同学进行表彰.若某班正好有6 人参与了这次测试，求这个班至少有1 人获得表彰的概率.参考数据：若 X N 3,。2）,则 P。V X n+。）=0.6826,P（|i-2o X,平面用。，底面A8CD,BC/AD,ABLBC,PA=AB=&,AD=2BC=2,E 是 P。的中点.（1）求证：布,底面加?。）；第3页 共2 0页(2)求二面角B-AC-E的余弦值.1 9.(1 2 分)在 A B C 中，V 3 s i n C+c o s C=s i n B+snC,SITL/i(1)求 A；(2)若 A B C 的
7、内切圆半径r=2,求 A 8+A C 的最小值.2 0.(1 2 分)已 知 圆。：(r 0).(1)求证：过圆。上 点 加(刈，y o)的切线方程为x o x+y o y u r2.类比前面的结论，写出%2 y 2过椭圆C：4-=1(/?0)上一点N G o,jo)的切线方程(不用证明).x2 y2(2)已知椭圆C：4-=1,Q为直线x=4 上任一点，过点Q作椭圆C的切线，切4 3点分别为A、B,求证：直线A 8 恒过定点.2 1.(12 分)已知函数f(x)=%号 其中(1)讨论函数/(x)在(0,+8)上的单调性；证明：也喘)装肾(二)选考题：共 10分.请考生在第22,23 题中任选一
8、题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程(3-t2I X=-22 2.(10 分)在直角坐标系x O y 中，曲线E的参数方程为 (f 为参数)，以。为极点,X 轴负半轴为极轴建立极坐标系，直线/),/2 的极坐标方程分别为0 =0 0,0 =0 0+*(0 O G(0,T T),/1交曲线E于点A,B,/2 交曲线E于点C,D.(1)求曲线E的普通方程及极坐标方程；(2)求证：|8 C F+|A)|2 为定值.选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数f (x)x-1|-mx.第4页 共2 0页(1)若加=2,求不等式/(x)W7的解集；(2)若 7=0,记函数 g
9、(x)=f(x)-f(-x+4),且 g(x)的最大值为 M,若i求证：M a 4-5 T 3.乙a-i第5页 共2 0页2022年河南省南阳市高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(5 分)已知集合 A=x*-41+3 0,若月 A B=x 2 x 3,贝！)a=()【解答】解：集合4=国 -4工+3 0 =如 *0,A QB=x2 x 3,；.2 是/-x-a=0 的一个解，.M-Z-a n O,解得4=2.故选：C.12.(5 分)若 z=2+i,贝”z +万|=()【解答】解
10、：z=2+i,贝 今=?，故选：B.3.(5分)已 知 函 数/(乃=仞 ,则 函 数g(x)=臂，的定义域是()A.x|x 0 B.x|x 0,且x r-2 C.x-1A:1 D.x|O x 0,j.十 l+x即(1-x)(1+x)0,解 得-I V x V l,函数f (x)的定义域为(-1,1),.函数g(x)的定义域为1V/V 1,x +2 0解得x 0,&0),尸为双曲线。上的一点，若点P到a2 b2双曲线C的两条渐近线的距离之积为1,则双曲线的半焦距c 的取值范围是()A.(0,1)B.(1,2 C.(0,2 D.2,+8)x2 y2【解答】解：双曲线C-77=1(心 0,心 0)
11、的两条渐近线的方程为云士缈=0,a2 b2,2 _ 2 2设 PG,y),利用点P到 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 的 距 离 之 积 为=1,b+Q，可得I 攀：|=1，可得。2 +/2 =a 2 b2 W惚 孚即c 2/n c 22,当 且 仅 当 时 取 等 号.双曲线的半焦距c 的取值范围 2,+8).故选：D.8.(5 分)A(V4 x2+s iru)d x=()A.-+2*3 B.+C.4-y/s D.n+V 33 3 3第8页 共2 0页【解答】解：根据题意，口 (V 4 x2+s iiv:)dx=J：V 4 x2dx-s ia rdx,而J：A/4 -x2dx的几何意义为
12、圆f+y 2=4 上-1 Wr WI且 y 2 0 部分的面积，如图:则广1 j4-x2dx=2X(-x l x V 3)+1 x 22x =+V 3,，T 2 2 3 3s iim ir=(-C O S J C)匕=0,故(/4 x2+s inx)dx=咨+g,9.（5分）2 0 2 1 年 8月 1 7 日，国家发改委印发的 2 0 2 1 年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表显示，青海、宁夏、广西、广东、福建、新疆、云南、陕西、江苏、浙江、安徽、四川等1 2 个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻.某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施.
13、如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（）A B C D E A7B7C7D7E,A.1 5 种 B.1 6 种 C.1 7 种 D.1 8 种【解答】解：某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），关闭其中的四盏灯，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有关闭的四盏灯为：ACEB,ACED,ACB D,ACB E,ADB E,ADC E,AEB D,BDAC ,BDA E,B D C E,BEA C,BEA D,CEA D,CEB D,BA C
14、 E ,第9页 共2 0页D Af C E ,共 有 1 6 种不同的方案.故选：B.1 11 0.(5 分)已知函数f (%)=sin2 x-sinx,则当 xE (0,2 n)时，函数/(x)一定有()A.极大值，且极大值为 工C.极大值，且极大值为0B.极小值，且极小值 为 丁D.极小值，且极小值为0【解答】V/(x)=sinx sinx,i l l i 1 i i 1 1:.Jf (x)=2n C os2-x 2o c os x=2 (c os-2 x-2 cos22 x+1 )=K2(22c os-x+l)(1 -c os-2x),V xG (0,2 n),x.,.6 (0,l l)
15、,21 1C O S-xG (-1,1),1 -C O S-x 0,2 2,4 7 r l i ”当(0,)时，2 c os y+l 0,f(x)0,4 7 r同理可得，当 在(,2 n)时，f(x)0,4 7 r 4 7 r 2 7 r 1 4 7 r 3A/3.当工=丁时，函数/(x)取得极大值，极大值为/(7 7)=s i n -s i n=-s 3 3 2 3 4故选：A,1 1.(5 分)己 知(1+x)+2 (l+x)2+3 (1+x)3+1 0 (1+x)1 0=ao+aix+aix1-+i ox1 ,则4 7=()Q2 8 3 2 9 3 QA.9 C&B.C C.D.l O
16、C f i【解答】解：因为/的系数 m=7 C；+8 C；+9 C；+1 0%=7+6 4+3 2 4+1 2 0 0=1 5 9 5,J9 a而%=2 9 1 1 X1 0 X9 x-3 3 X2 X1=1 5 9 5.故选：C.1 2 9 1?1 2.(5 分)设 =/成，6=耳？4,c=-JQ,贝lj()A.a c bB.a b cC.b c aD.c a b第1 0页 共2 0页2e52-5le 4T4-1-4J26 5T-2-5-1-4ee1-4-2-5a-=b令/(亢)=号,0%1,(X)=叽沪0,：.f(x)在(0,1)上单调递减,2 1：.f(-)f(-),J 5 J 4即 a
17、b.1 2 1 2 1 2 2工。-c=4 e5 4 x3x 5=4 (e 5 3x 5)，令 g(x)=-3x,：.g(x)=.-3,当 xV/3 时，g (x)g(-)0,6 5 6 2/a-c 0f a c f.c a T T T 7113.(5 分)已知a=(2,r),b=(1,3),若a b=5,则向量a 与b的夹角是 一-4【解答】解：Va=(2,，)，b=(1,3),a b=5,*2+3/=5 *t=1 第11页 共20页T T/.c os =T-a b向山5 _&V G 0,IT,.二,；b、_ 47 r，7T故答案为：491 4.（5分）设抛物线夕=6/上一点P到其焦点F的距
18、离为5，。为坐标原点，则 P O F 的9 V 2面积为73 a【解答】解：抛物线=6 x,则焦点坐标为（不 0）,其准线为=一/2 z9由于抛物线=6x 上一点P到其焦点F的距离为5，3 9：.PF=XP+=解得4=3,*yp=V 6 x 3 =3 2,APOF的面积为:x3 V 2 x|=竽.9A/2故答案为：4-.41 5.（5分）某空间几何体的三视图如图所示（图中己标数据），则该几何体的外接球表面积【解答】解：由三视图知几何体是三棱锥P-A B C,AC的中点为。，延 长 8。到 E,使得 BE=E C=E A,E为底面A B C 的外心，作底面AB C,O E=P A=,则。为三棱锥
19、的外接球的球心,A D=D C=2,B D=W,PA=2,B C=A B=V 4 T 3 =V 7,第1 2页 共2 0页cos ZABC=AB2+BC2-AC2-2AB-BC-7+7-1 62x 7 7 x 7 7sin XABC=V 1 cos2/.ABC=底面三角形的外接圆的半径为:4 6二374X2 _ 1 4 6则该儿何体的外接球的半径是:该几何体的外接球的体积为47 r(J竽)2=竽,，若对任意 0 X l X 2,恒有二2)一 丫2/.1)1%1一%2成立，则实数m的取值范围是(-8,2 U 4,+8).【解答】解：根据题意，若对任意0 X 1 -Xl 即 X 1/(X 2)-X
20、X2f(XI)-XI,变形可得：”3 3 zl,X2 X i又由0 x i 0)当m W O,g(x)=注 二1=2工一,易得g(x)在(0,+8)上为增函数，符合题意，l xz，x0 时，g(x)=，2X-,x m若g(x)在(0,+8)上为增函数，必有加2 _ 12加一工，即,”22”,解可得0根W 2第1 3页 共2 0页或机24,综合可得：?W2或M 74,即，的取值范围为(-8,2 U 4,+)；故答案为：(-8,2 U 4,+8).三、解答题(本大题共5 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)学校准备筹建数学建模学习中心，为了了解学生数学建模(应
21、用)能力，专门对高二报名的100名学生进行了数学建模闭卷测试，得分在4595之间，分为45,55),55,65),65,75),75,85),85,95五组,得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数9和方差52(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)根据样本数据，可认为参与建模测试的学生分数X近似服从正态分布N(口，。2),其中g近 似 为 样 本 平 均 数 小近似为样本方差52.求 P(47.2X79.9)；学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中90.8分以上的同学进行表彰.若某班正好有6人参与了这次测试，求这个
22、班至少有1人获得表彰的概率.【解答】解：(1)由频率分布直方图可知组距=/0,第三组频数为4 0,总共有100人，则 第 三 组 频 率=盖=0.4,根据频率之和为1,可知第4组的频率为1 -0.1-0.25-0.4-0.1=0.15,所以灭=50 x 0.1+60 X 0.25+70 x 0.4+80 x 0.15+90 x 0.1=69,?=(50-69)2X0.1+(60-69)2X 0.25+(70-69)2X0.4+(80-69)2X0.15+(90-69)2 X 0.1=192 X 0.1+92 X 0.25+l2X0.4+ll2X0.15+212X0.1=119；(2)(z)=%
23、=69,a2=s2=119,第1 4页 共2 0页.,.T=V119 1 0.9,P(47.2 x7 9.9)=P -2 a x i i +a)=W+o)；P(-2c9 0.8)=P(xn+2 b)=/2 2 产 V+2)=1-。鲁5 4 4 =00228,所以尸(4)=1-P(A)=1-(I-0.0 2 2 8 )6=1-0.9 7 7 2 6=1-0.8 7 =0.13.18.(12 分)如图，在四棱锥P-A B C D 中，平面小B J_ 底面A B C D,平面以。J_ 底面A BCD,BC/A D,A BLBC,PA=A B=V2,A D=2 BC=2,E 是 P)的中点.(1)求证
24、：出，底面A B C D；(2)求二面角8-AC-E的余弦值.D【解答】(1)证明：因为平面办8,底面A B C C,平面力B C I底面A B C Q=A 8,因为B C/A D,A B L B C,所以 A O _ LA B,所以A O _ L平面以8,因为B l u 平面出8,所以%_ LA O,同理_ LA B,因为4 n 4 B=A,所 以 出，底面A B C D(2)解：由(1)知 A B、A。、8 P 两两垂直，建系如图，L L V 2A (0,0,0),B(V 2,0,0),C(V 2,1,0),E(0,1,)，2 T2A C (V 2,1.0),A E=(0,1,),2令益=
25、(1,-V 2,2),因为品益=0,A Em=0,所以蔡是平面A C E 的法向量，n=(0,0,1)是平面A C B 的法向量，因为二面角B-A C -E为钝角，所以二面角B-AC-E的余弦值为典L =一 名=孚.第 1 5 页 共 2 0 页19.(12 分)在 A B C 中，V 3 s i nC+c os C=s i n B+sn C(1)求 A；（2）若 A B C的内切圆半径r=2,求A 8+A C的最小值.【解答】解：（1）在 A B C中，Ks i nC+c os C=空空苧匹S 1 7 1/1整理得：V3sinCsinA+sinAcosC=sinA+C)+sinC,V 3 s
26、 i nC s i nA 4-s i nA c os C=s i nA c os C+c os A s i nC+s i nC,V 3 s i nC s i nA=c os A s i nC+s i nC,V s i nC O,V 3 s i nA -c os A=1,.s i nA 一 1c os A=1,，s i n(A Q J,由于4一 台（一？部,.MA-n6 =n6 解得44,(2)令 BC=a,AB=cf AC=b1 1由 S&ABC=/c s i nA n 2(+6+c)r,2b-AA过2V3-4由余弦定理可得 a2=b2+c2-2/?CCOSA=/?2+C2-be,:.(be-
27、b-c)2=b2+c1-bc=(b+c)2-3bc,4第1 6页 共2 0页一(be)2+(b+c)2-g b c (b+c)=(b+c)2-3bcf16 23 73 bc=亍(0+c)-3,16 2V3 2 2 b+c c*(b+c)-3=-bc0,.(/?+c-8V3)(V3(H e)-8 2 0,b+c 2 8 b+cS专(舍去),：.AB+AC的最小值为8V320.(12 分)已 知 圆。：/+y 2=，(r 0).(1)求证：过圆O 上点M(xo,y o)的切线方程为xor+yoy=J.类比前面的结论，写出x2 y2过椭圆C：+=1(.a b 0)上一点N(五 o,y o)的切线方程
28、(不用证明).x2 y2(2)已知椭圆C：3=1,。为直线工=4 上任一点，过点。作椭圆。的切线，切点分别为A、B,求证：直线AB恒过定点.【解答】(1)证明：因为圆O：/+/=/,故圆心O(0,0),半径为r,又 M(xo,yo),所以koM=洱xo因为M(x o,州)在圆上，所以过M 的圆的切线斜率仁-血，y。所以过M 的圆的切线方程为厂即=一筌(x-x o),又因为刈2+为2=”,由整理得，为 xox+yoy=J.所以过圆。上点M(xo,y o)的切线方程为刈龙+.)，=/2.2 2过椭圆C：-7 +77=1(a /?0)上一点N(xo,y o)的切线方程为胃+驾 =1；a2 b2a2
29、b2(2)设 Q(4,t),(/ER),A(X I,yi),B(x2,)2),由(1),则直线QA的方程今立+=1,因为。在 出 上，所以用+苧=1,第 1 7 页 共 2 0 页同理可得X2+竽=1,由可得直线A B 的方程为x+|y =1,令 y=0,得 x=l,所以直线A 5恒 过 点（1,0）.121.（12分）已知函数/（%）=%一 一出九%,其中aER.（1）讨论函数/G）在（0,+8）上的单调性;证明扁）第翳【解答】（1）解：f（x）=+当，=-竽+1,X1 X X1当 aWO时，/（X）0 恒成立，所以/（X）在（0,+8）上单调递增;当 40 时，令 g(X)-t u+l,对
30、称轴为 x=*=a1-4,当A 0,即 0 0,即 2 时，由 g(x)=0,可得 x i=-2-0,工 2=-2-0，可得当 0 x。+J；J时,g(x)0,则/(x)0,当4Va+J广4时,g(X)0)则/J)2 时，/（x）在（0,a-a2-4-),(a+Vo2 4一-,+8）上单调递增,-a-V a2-4在(-22a+ya4上单调递减（2）证明：由 知,当=2 时，f (x)=x-2/ir 在(0,+)上单调递增,当且时，n所以当E Z 且2 2 时,1 1 nn2-l2-2 打 1一孑一2加1=0,即-2加7,几 1 n11-nlnn21n2-l n-1 n+1所 以 治2（焉）+总
31、厂+3n2-n 2=1,1_1_ _=_+2 n n+1 2n(n4-l),第1 8页 共2 0页(二)选考题：共 10分.请考生在第22,2 3 题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题 计 分.选修4-4：坐标系与参数方程(3-t2X=-222.(10分)在直角坐标系x O y中，曲线E的参数方程为 峙(f为参数)，以。为极点,X轴负半轴为极轴建立极坐标系，直线/1,/2的极坐标方程分别为e=Oo,9=0 o+f(9 o e(0,TT),/i交曲线E于点A,B,/2交曲线E于点C,D.(1)求曲线E的普通方程及极坐标方程；(2)求证：|8 C F+H)|2为定值.(3T 2X=2 3
32、 -d 4【解答】解：(1)曲线E的参数方程为4 1尸。为参数)，由于=1+,4 t 14-t2 1+t2且-1 2=O A2+O D2,将 8 =。0,0=Oo+(0o G(0,I T),代入 p 2-2p co s8 -3=0,设点A、B、C、D、对应的极径为p i,p 2,p 3,p 4；故 p i+p 2=2co s0o,p ip 2=-3,p 3+p 4=-2sin 0o,p 3 P 4=-3；所 以：|BC F+|AZ)|2=QAF+I O BF+I O CF+I O。/=p2 +p2 +pz+p2=(P l +P 2)2,2P l p 2+(P 3 +P 4)2 2P 3 P 4 =4COS20O+6+4 s m20o 4-6=16(定值).选修45：不等式选讲2 3.己知函数/(x)=x-1|-mx.(1)若 m=2,求不等式/(x)7的解集；(2)若 7=0,记函数 g(X)=f(x)-/(-x+4),且 g(x)的最大值为 M,若求证：M a +1 6 3.ZQ1第1 9页 共2 0页【解答】解：(1)当m=2时，f(x)=x-1|-2 x=一，(1-3%,%不，即 a=l时取等号，Zu 1故Ma+2 3.ZQ-i第2 0页 共2 0页