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1、立体几何与空间向量(必修第二册+选择性必修第一册)第1节 立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积课 程 标 准 要 求1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式.3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.必备知识课前回顾核双材夯实四基府知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形D9：A BSE点A BA B底面互相平行且全笠多边形互相平行且相侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于二点侧面形状平行四边形三角形梯
2、形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形*A：0e母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于*占八、轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环X2 .直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y 轴、z 轴两两相互垂直，直观图中,x 轴、/轴的夹角为4 5 (或1 3 5 ),z 轴与x 轴、y 轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度丕变,平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3 .圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥
3、圆台2句：!侧面展开图r，产吗：也泳 一 !盗/4.空间几何体的表面积与体积公式侧面积公式S圆柱侧二2兀r 1S圆锥侧 二 兀r 1S圆台侧二兀(r +r)1法重要结论名称几表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S g*h锥体(棱锥和圆锥)S表面积-S便j+S底V-|s 底 h台体(棱台和圆台)S表面积=S州+S上+S下V=|h（S 上+S F+JS 卜 S 卜）球S=4 丁 R 2V=-JI R331.特殊的四棱柱2 .球的截面的性质球的任何截面都是圆面.(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r的关系为r=y/R
4、2d2.3 .正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a,球的半径为R,(1)若球为正方体的外接球,则2 R=V 3 a;若球为正方体的内切球，则 2 R=a;(3)若球与正方体的各棱相切，则 2 R=V 2 a.4.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2 R=V a2+b2+c2.5 .正四面体的外接球的半径R=4 a,内切球的半径r=|a,其半径R :r=3 ：1 (a为该正四面体的棱长).6 .直观图与原平面图形面积间关系S 直 观 图=S 原 图 形.4对点自测5-1 .已知圆锥的表面积等于1 2 n c m2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(B )
5、3A.1 c m B.2 c m C.3 c m D.-c m2解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为1,则 S 表=n r2+n r l=n r2+nr ,2 r=3 n r2=1 2 n,所以 r2=4,所以 r=2 (c m).故选 B.2 .体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(A )32A.1 2 J i B.J t C.8 J t D.4 J i3解析：由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线长2 6即为球的直径,所以球的表面积为4 J i R2=(2 R)2 3 i =1 2 J i.故选A.3 .(必修第二册P 1 09 例 2 改编)如图，直观图所表示的平面图形
6、是(D )A.正三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形解析：由直观图中A，Cz /轴,B C x，轴,还原后A C y轴,B C x 轴,所以A A B C 是直角三角形.故选D.4 .如图,长方体A B C D-A B C ）被截去一部分，其中EH A D ,剩下的几何体是（C ）A.棱台 B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱解析：由几何体的结构特征可知,剩下的几何体为五棱柱.故选C.5 .如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则 该 棱 锥 的 体 积 与 剩 下 的 几 何 体 的 体 积 比 为.解析:设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为V
7、 尸;X；X；a X；b X；c=a b c,剩卜的几何体的体积为3 2 2 2 2 48V2=a b c-a b c=a b c,所以 V 1：V2=l 4 7.48 48答案：1 ：4 7第一课时立体图形及其直观图、柱锥台的表面积与体积关键能力，课堂突破席 考点一空间几何体的结构特征、直观图1 .（多选题）下列说法正确的是（A D ）类今考点您实四案A.棱柱的侧棱长都相等B,棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱台的侧面是等腰梯形D.用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面解析:A正确;B不正确,如正六棱柱相对的侧面平行;C不正确,棱台的侧棱长可能不相等;D正确,用一个平面截一个球,
8、得到的截面是一个圆面.故选A D.2.下列命题：以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为（B ）A.0 B.1 C.2 D.3解析：由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误,正确.对于命题,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确.故选B.3.给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱
9、是正棱柱.其 中 不 正 确 的 命 题 为（填序号）.解析：对于,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错误;对于,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明（如图），故错误;对于,若底面不是矩形,则错误;由线面垂直的判定定理,可知侧棱垂直于底面,故正确.综上,命题不正确.答案:4.已知等腰梯形A B C D,上底C D=1,腰A D=C B=V 2,下底A B=3,以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A，B，L 的面积为.解析:如图（1）和（2）的实际图形和直观图所示.作E，F _ L（T B，于点F,因为0E=、（直）2-1=1,由斜二测画法可知0,E，=；,E，F=t，6 LN
10、2 4=1,AZ B =3,则直观图A B C D 的面积为S W吟 当.答案号*题 后悟通1 .关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3 .既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的,所以在解决棱（圆）台问题时，要 注 意“还台为锥”的解题策略.4.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”（x轴和y轴 成4 5 或13 5 ）和“二测”（平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴 和z轴的线段长度不变）来掌握.岐 考
11、点二柱、锥、台体的表面积与体积口 角 度-简单几何体的表面积如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形,其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上,另一个顶点是圆柱上底面的圆心，圆柱的侧面积是（）卜 近 F Q 3近 F c 2近 F n乐A.n B.n C.n D.口3 4 3 2解析：如图所示,过点P作PEJ_平面ABC,E为垂足，点E为正三角形ABC的中心,连接AE并延长,交BC于点D.A EAD,AD=,3 2所以AE=|义洋所以 P E=V P 42-A F2=Y，设圆柱底面半径为r,则r=AE=所以圆柱的侧面积为S=2 n r-PE=2 n 小年等.故选C.懈题策略I1.旋转体的表面积问题注
12、意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.2.多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.口角度二简单几何体的体积 O(1)已知三棱锥S-ABC中，ZSAB=ZABC=p SB=4,SC=2V13,AB=2,BC=6,则三棱锥 S-ABC 的体积是()A.4 B.6 C.4V3 D.6V3(2)如图,长方体ABCD-ABCD的体积是120,E为CG的中点,则三棱锥E-BCD的体积是解析：因为N A B C g,A B=2,B C=6,所以AC=VAB2+BC2=V22+62=2V10.因为N S A B g,A B=2,S B=4,
13、所以A S=V S F2-A B2=V 42-22=2 V 3.由 S C=2 V H,得 A C2+A S2=S C2,所以 A C J.A S.又因为 S A J _ A B,A C G A B=A,A C u平面 A B C,A B u平面 A B C,所以 A S，平面 A B C,所以A S 为三棱锥S-A B C 的高,所以三 棱 锥SABC三X1X 2 X 6 X 2 V 3=4 V 3.故选 C.(2)设长方体中B C=a,C D=b,C C 产 c,则 a b c=12 0,所以VF-B C I)=-,-a b -c=a b c=10.3 2 2 12答案：C (2)10 解
14、 题 策 略 I求规则几何体的体积,主要是先找准关键的已知量,求必需的未知量，再利用“直接法”代入体积公式计算.口角度三不规则几何体的体积(H 3)E如图，四边形A B C D是边长为2的正方形,E D,平面A B C D,F C,平面A B C D,E D=2 F C=2,则四面体A B E F 的体积为()A.-B.-C.1 D.-3 3 3解析：因为E Dd _ 平面A B C D,且 ADu平面ABCD,所 以 EDAD.因为在正方形ABCD中，AD_LDC,而 DCAED=D,DCu平面CDEF,EDu平面CDEF,所 以 AD_L平 面 CDEF.连接EC,DF（图略），易知FC卷
15、=1,VA B E F=VAB C DE F-V F-ABCD-VA-DEF因为 VE-A B C D=E D S 正 方 形ABCD =2X 2 X 2 X VB-EFC=BC SAE F C 2 X 2X 1 x|x所以VA B C DE F号+智.又1 1 4VF-A B C尸FC SF方 形 .1=1 X 2 X 2 X ,VA-D E F=A D SA止刀并，ABCD 3 3 3DE F*2 X 2 X 2 XXVAB E F=-.故选 B.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时,常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体,然后再计算.利 用“
16、割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱（也可分割成四棱锥）.利 用“补”的方法把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥,把三棱柱补成四棱柱,把不规则几何体补成规则几何体,补一个同样的几何体等.针对训练1.（多选题）等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周，所形成的几何体的表面积可以为（）A.V2 Ji B.（1+V2）JiC.2V2 n D.(2+V2)n解析:如果是绕直角边旋转,则形成圆锥，圆锥的底面半径为1,高为1,母线就是直角三角形的斜边,长为鱼,所以所形成的几何体的表面积为 S=n X 1X V 2+J I X l2=(l+V 2)J i.如果绕
17、斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形斜边上的高号,两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,母线长是1,所以所形成的几何体的表面积为S，=2 X J i X/X l=V n .综上可知,所形成的几何体的表面积是(1+V 2)n 或 金 J i.故选A B.2.已知四棱锥的底面是边长为V I 的正方形，侧棱长均为VI若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱 锥 底 面 的 中 心,则 该 圆 柱 的 体 积 为.解析：由题意知圆柱的高恰为四棱锥高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为鱼,所以底面
18、正方形对角线长为2,所以圆柱的底面半径为去又因为四棱锥的侧棱长均为e，所以四棱锥的高为J(遍)2-1 2=2,所以圆柱的高为1,所以圆柱的体积为V=m*(X 1 三答案4C 九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖席.如图，四面体P-A B C为鳖麝,P A，平面A B C,Z A B C为直角，且P A=A B=B C=2,则P-A B C的体积为.解析：由题意知P A _L平 面A B C,Z A B C=p P A=A B=B C=2,所以5A B C=2,所以 VP-A B C SAABC P A X 2 X 2=.H D L Z 3 3 3答案A B如图，在多面体A B C
19、D E F中，已知四边形A B C D是边长为1的正方形,且A D E,A B C F均为正三角形,E F A B,E F=2,则该多面体的体积为.解析：如图，分别过点A,B作E F的垂线,垂足分别为G,H,连 接D G,C H,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.依题意,三棱锥E-A D G的高为E G=p直三棱柱A G D-B H C的高为A B=1,贝ij A G=V 4f2-E G2=J l2-(1)2=y.取A D的中点M,连接M G,则M G=y,所 以S*=；X 1*噂 咚2 2 4所以V多 而 体W E-ADG+F-BHC+AG D-BH C E-ADG+AGD-BHC
20、XVXIX 2 y X 1_V 2T,答案q啜考点三折叠与展开问题C D如图所示，圆台母线A B长 为2 0 c m,上、下底面半径分别为5 c m和1 0 c m,从母线A B的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.解:如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥,连接M B,在圆台的轴截面中,因为入O P A s R t/X O Q B,匚匚、OA PA 匚匚 OA 5斤 OA+ABQB k OA+AB10,所以 0 A=2 0(c m).设/B O B =a,由扇形弧石)的长与底面圆Q的周长相等,得2 X 1 0义J i =0 B a,即 2 0 n=(2 0+2
21、0)a,所以 a=,所以在 R t A B*0 M 中，B M=V O M2+O B，2=A/302+402=50(c m),即所求绳子长度的最小值为50 c m.，解题策略求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开,画出其侧面展开图;将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果.针对训练如图,M 是棱长为2 c m 的正方体A B C D-A B C D 的棱C C.的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 c m.解析：由题意，若以B C 为折叠线展开,则A,M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 c m,3 c
22、 m,故两点之间的距离是V13 c m.若以B B i 为折叠线展开,则A,M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故 两 点 之 间 的 距 离 是 c m,故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是V H c m.答 案:房息备 选例题近 如图所示,正三棱柱A B C-A B G 的底面边长为2,侧 棱 长 为 D为 B C 的中点,则三棱锥A-B D G 的体积为()A.3 B.|C.1 D.f解析：由题意可知,A D _L 平面B I G,即A D 为三棱锥A-B Q G 的高，H A D=yX 2=V 3,易求得 ”口弓义2 X V 3=V 3,所以匕i-B iD
23、 G=X 6x6=1.故选 C.C1D如图，已知多面体A B C-D E F G 中，A B,A C,A D 两两互相垂直，平面A B C 平面 D E F G,平面B E F 平面A D G C,A B=A D=D G=2,A C=E F=1,则该多面体的体积为.解析：因为几何体有两对相对面互相平行,如图所示,过点C 作C H D G于点H,连接E H,即把多面体分割成一个直三棱柱D E H-A B C 和一个斜三棱柱 B E F-C H G.A C心E F由题意，知暝棱柱加.A D 4X 2 x 1 X 2=2,V=棱 柱1 M=$BEF D E=-X 2 X 1 X 2=2,故所求几何体
24、的体积为V 多 面 体A B C-D EFG=2+2=4.答案：4丽 若圆锥的表面积是1 5 n，侧面展开图的圆心角是小求圆锥的体积.解:设圆锥的底面半径为r,母线为1,则2 J i r=l,得 1=6,又 S 圆 锥=nr2+r,6 r=7 n r2=1 5 n ,得 r=J,圆锥的高为h=VI2-r2=V36r2r2=V35r=V35 X J-=5y/3,圆锥的体积为 V=1 nrh=-JT X X 5 V 3=n .3 7 7C W 已知正三棱台(上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的射影是下底面的中心)的上、下底面边长分别是2 c m与 4 c m,侧棱长 是 V6 c m,试求
25、该几何体的体积.解:如图,0 ,0 分别是上、下底面的中心，连接0 0，0 B ,0 B.在平面 B OO B内 作 夕 E _ L OB 于点E.AA B O是边长为2的等边三角形,O 是中心，所以 O B =|x 2 X=(c m).同理 0 B=c m,则 B E=OB-0,B =竽(如.在 R tZ B E B 中，B B =V6 c m,B E=c m,所以B E=c m,即三棱台的高为学c m,所以三棱台的体积为v1V42、/V3、/1 V3./V 3 .一、V3-、_7-/14/3 V X X (X 1 6+X 4+/X 16 X X 4)=-(c m).3 3 4 4 4 4
26、3课时作业灵活方强密致提能选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练空间几何体的几何特征、直观图2,3,41 0空间几何体的体积与表面积1,5,6,8,91 2,1 3折叠与展开问题71 1综合问题1 4,1 5,1 6,1 7A级基础巩固练1 .算术书记载有求“困盖”的术:置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出圆锥的底面周长1与高h,计算其体积V的近似公式Vf 耳它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率j i近似 取 3,那么，近似公式V-煮封卜相当于将圆锥体积公式中的n 近似942取（C ）A.-B.-7 8r157 n 355C.-D.-50 113解析:V=；兀
27、 r-h=：n （J）“h=S l-h.由S-得 71 故选 C.3 3 2T T 1 2T T 1 2T T 942 502.（多选题）（2 0 2 1山东潍坊调研）下列关于空间几何体的叙述正确的是（C D ）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆或矩形C.长方体是直平行六面体D.存在每个面都是直角三角形的四面体解析:A选项，当顶点在底面的射影是正多边形的中心时才是正棱锥,A不正确;B选项，当平面与圆柱的母线平行或垂直时一，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分,B不正确;C正确;D正确，如图,正方体AB CD-A.B,C,D,中的三棱锥C-AB C,四
28、个面都是直角三角形.故选CD.3.（多选题）如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是（AC）A.四棱柱 B.四棱台C.三棱柱 D.三棱锥解析:根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都易证是平行四边形，因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱.故选AC.4 .如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为4 5。、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（D）7 WA.2+V 2 B.1+V 2C.4+2 V 2 D.8+4 V 2解析：由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示.由于。D=2,D C
29、=2,所以 0 D=4,DC=2,在题图中过D 作D H A/B（图略），易知A H=2 s i n 4 5 =V 2,所以 AB=A B =2 A,H+DC=2 V 2+2,故平面图形的面积为S二变产-AD=8+4 V 2.故选D.5.（2 0 2 1 山东聊城模拟）在 九章算术中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.现有一个羡除如图所示，D A,平 面AB F E,四边形AB F E,CDE F均为等腰梯形，AB CDE F,AB=AD=4,E F=8,点E到平面AB CD的距离为6,则这个羡除的体积是（C）A.9 6 B.7 2 C.6 4 D.5 8解析:如图，将多
30、面体分割为两个三棱锥D_ AG E,C J B F和一个直三棱柱G AD-H B C.E GH这个羡除的体积为V=2 X X 4+T X 6 X 4 X 4=6 4.故选C.6.（2 0 2 1 河南郑州调研）现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为（D）A.3 n B.2c.&D.V 5 n2解析:设底面圆的半径为R,圆柱的高为h,依题意2 R=h=2,所以R=l.所以圆锥的母线为1=，八2 +R2=72?+1=V ,因此S圆 锥 侧=n R l=l XV 5 J i =V 5 n .故选 D.7.如图，正三棱柱AB C_ A|B C的侧棱长为a,底面边
31、长为b,一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A,路线为A-M-N-Ai,则蚂蚁爬行的最短路程是（A）A.V a2+9 b2C.，4 a 2 +9b2B.V 9 a2+b2D.V c z2+b2解析:正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3 b,宽为a,则其对角线AA,的长为最短路程，因此蚂蚁爬行的最短路程为Va2+9b2.故选 A.NA BA8 .（2 0 2 0 浙江卷）已知圆锥的侧面积（单位:加）为2 n ,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位:c m）是.解析:如图，设圆锥的母线长为1,底面半径为r,则圆锥的侧面积S侧=n r l=2 n ,所 以r 1=2.又圆
32、锥的侧面展开图为半圆，所以1 r=2 a r,所 以1=2,所 以r=l.答案：19 .如图，在4 AB C 中，AB=8,B C=1 0,AC=6,DB _ L平面 AB C,且 AE F CB D,B D=3,F C=4,AE=5.求此几何体的体积.解:法一 如图,取CM=AN=B D,连接D M,M N,D N,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.才、所 以V几 何 体=V三 梭 柱+V 四 棱 锥由题意知三棱柱A BC-N D M 的体积为V.=|X 8X 6X 3=72.四棱锥 D-M N E F 的体积为 V2=1 S 梯形酮 D N=|x|x（1+2）X6X 8
33、=24,则几何体的体积为V=V1+V2=72+24=96.法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使 A A =BB=C C =8,所以 V 几 何 体=V 三棱柱,SAABC,A A =-X 24X8-96.B级综合运用练10.（多选题）（2021山东烟台调研）在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水,将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是（A BD ）A.圆面 B.矩形面C.梯 形 面 D.椭圆面或部分椭圆面解析:将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放,水面为椭圆面或部分椭圆面;将圆柱桶水平放置,水面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出
34、梯形面.故选A BD.11.（多选题）（2021 湖北武汉模拟）长方体A B C D 5 B C D 的长、宽、高分别为3,2,1,则（BC ）A.长方体的表面积为20B.长方体的体积为6C.沿长方体的表面从A到 G 的最短距离为3V 2D.沿长方体的表面从A到 G 的最短距离为2遍解析:长方体的表面积为2X （3X2+3 X 1+2*1）=22,A错误.长方体的体 积 为 3 X 2 X 1=6,B 正确.如图所示，长 方 体 A B C D _ A B C D 中,图AB=3,BC=2,BB尸1,将侧面ABBA和侧面BCCB展开,如图(2)所示.Bi C,T.B C图连 接AG,贝ij有A
35、CA/52+12=V 26,即经过侧面ABBA和侧面BCCB时,A到G的最短距离是房;将侧面ABBA和底面A E C D展开,如图(3)所示,连接AC.,则有AC1=V3r+3=3V 2,即经过侧面ABBA和底面A B C D时，A至！A的最短距离是3回;将侧面ADDA和底面A B C D展开,如图(4)所示.连接A C,贝IJ有AC1=V42+22=2V 5,即经过侧面ADDA和底面AIBIC1D1时,A到G的最短距离是2V 5.因为3V22V5 s i n 600=6V 3(c m2),正六棱柱的体积为V,=6V 3X 2=12V 3(c m3),圆柱的体积为V2=J i X0.5 2 x
36、 2 4(c m?),所 以 此六角 螺 帽 毛 坯 的 体 积 为 V =Vt-V2=(12V 3-)(c m3).答案：(12百-泉C级应用创新练1 4.如图,在正四棱锥P-ABC D中,B,为P B的中点,D,为P D的中点,则棱锥 A-BC D与棱锥P-ABC D的体积之比是(A)A.1 ：4 B.3：8 C.1 ：2 D.2 ：3解析:如图,棱锥A-B.C D,的体积可以看成是正四棱锥P-ABC D的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到.因为Bi 为 P B 的中点,Di 为 P D 的中点，所以棱锥B-ABC 的体积和棱锥D.-AC D的体积都是正四棱锥P-ABC D的体积的工,棱锥
37、C _ P BD的体积与4棱锥A-P BD的体积之和是正四棱锥P-ABC D的体积的3 则中间剩下的4棱锥 A-Bi C Di 的体积以_ 8 1 皿=4 _ 4 8(?0 _ 3*”_ 4 8(?)=”_ 4 8 0 贝 九匕-Bi C Di ：V p-4 BC D=1 ：4.故选 A.1 5.(2 0 2 1 广东佛山质检)已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点A,B 满足4 S A B 为等边三角形,且面积为4 V 3,又知圆锥轴截面的面积为 8,则 圆 锥 的 侧 面 积 为.解析:设圆锥的母线长为1,由AS AB为等边三角形,且面积为4 V 3,所以y s i n 导 6,解得1=4.
38、又设圆锥底面半径为r,高为h,则由轴截面的面积为8,得 r h=8.又 r2+h2=1 6,解得 r=h=2 V 2,所以圆锥的侧面积S=nr l=n-2 V 2 X4=8 V 2 J i.答案：8 鱼弘1 6.如图，3义3 的正方形纸片，剪去对角的两个1 X 1 的小正方形,然后沿虚线折起,分别粘合AB与AH,E D与E F,C B与C D,G F 与 G H,得到一几何体“。，记“Q ”上的棱AC 与 E G 的夹角为a ,则下列说法正确的是，几 何 体 中，C G J LAE;几 何 体 是 六 面 体；几何体“Q ”的体积为|;c os a =1.解析:如图所示,取AG,C G,C E
39、,E G 的中点M,N,0,P,连接 AN,E N,MN,O N,MP,O P,0 M.由已知可得C E=C A=E G=AG=V 5,所以 AN _ LC G,N E C G,又因为AN G N E=N,所以C G _ L平面AN E,所以C G LAE,故正确；因为 ABBC,AB_ LBG,又因为 BC G BG=B,所以AB,平面C BG,同理BE _ L平面C BG,所以平面AC B与平面C BE 共面,平面AG B与平面G BE 共面，AB与 BE 共线,所以该几何体为四面体,故错误；因为 BC=BG=1,C G=V ,所以AC BG 为直角三角形，N C BG=90 ,所以 SA
40、C BG=X I X 1-p又因为 AE _ L平面 C BG,AE=2 AB=2 BE=4,所以该几何体的体积为V=1 x1 X4=|,故正确；MP）AE=2,O P=C G=,2 2 2又因为 MP AE,O P C G,C G AE,所以MP LO P,所以M0 0MP2+P。考,O N=N M=-AC=,2 2所以 c os /0帆叱？：:2与+_：,又因为 AC/MN,E G/N O,20N NM 2 x-54所以N O N M为异面直线AC,E G 所成的角（或其补角），所以c os 0 =|,故正确.答案:1 7.如图，在4 ABC 中，C A=C B=V 3,AB=3,点F 是
41、BC 边上异于点B,C 的一个动点,E F AB于点E,现沿E F 将ABE F 折起到4 P E F 的位置,则四棱锥 P-AC F E 的体积的最大值为_ _ _ _ _ _ _.P解析:在a ABC 中，C A=C B=V 3,AB=3,士 工 用 7H-4B n BC2+BA2-AC2 3+9-3 V3由余弦定理，可得c os B=2BC 一-;而薮丁T,所以B=g设 E F=x,则 BE=P E=V 3x（0 x0,得 0 x ，令 旷 0,得率x吟所以函数y 4（3x-2 x3）（0 X ）在（0,俘）上单调递增,在晔,噂）上单调递减，所以当X考时,y=；（3x-2 x3）取得最大值手，所以当0 g,X考 时，四棱锥P-ACFE体积的最大值为季答案邛4