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1、2 0 1 8 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷数学I本试卷均为非选择题(第1 题 除 2 0 题，共 2 0 题).本卷满分为1 6 0 分,考试时间为1 2 0 分钟.参考公式：锥体的体积*S h,其中S 是锥体的底面积，力是锥体的高.一、填空题:本大题共1 4 小题,每小题5 分,共计70 分.1 .已知集合 4=0,1,2,8 ,庐 -1,1,6,8 ,那么 1 0 8-.2 .若复数z 满 足 i z=l+2 i,其 中 i 是虚数单位,则z的实部为.3 .已 知 5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那 么 这 5位裁判打出的分数的平均数8 9 9为.9 0 1 14
2、 .一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为.S 1While；6/4-/+2S 2sEnd WhilePrint S5 .函数f(x)、/l o g 2 X-l 的定义域为.6 .某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.7.已知函数产s i n(2 x+0)的 图 象 关 于 直 线 对 称，则 0 的值是.8 .在 平 面 直 角 坐 标 系 中，若双曲线W 4=l(a k,0)的右焦点厂(c,0)到一条渐近线的距离为f c,则其离b2 2心率的值是.I c o s ,0 x 2,9 .函数F(x)满 足 A x司)=f(x
3、)(x R),且在区间(-2,2 上,广5)耳 一 则 F(1 5)的值(1%+,-2x 0,为.10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.（第 10题）11.若函数7（入）之/量/2+1匕6 外在（0,+8）内有且只有一个零点,则/（外在-1,1 上的最大值与最小值的和为.12.在平面直角坐标系x%中,/为直线/:片2%上在第一象限内的点,8（5,0）,以 18 为直径的圆C与直线1交于另一点D.若 荏-CD=0,则点A的横坐标为.13.在力比1中，角A,6,C所对的边分别为a,b,c,Z AB C=120 ,N/f6C的平分线交47于点D,且B D=,则4a
4、+c的最小值为.14.已知集合？M x/xW.T,8=X/X,孙*.将/U 8 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列a,.记 S,为数列&的前n项和,则使得S，12a.”成立的n的最小值为.二、解答题:本大题共6 小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在平行六面体AB CD-A B GD 中,/4 4 用AB xLB xQ.求证：（1）/8 平面 A B C;（2）平面 平面 AxB C.（第 15题）1 6 .（本小题满分1 4 分）已知。，户为锐角，t a n。号,c o s（。求 c o s 2 a的值；求 t a n（a -6）的值.1
5、 7 .（本小题满分1 4 分）某农场有一块农田，如图所示,它的边界由圆。的一段圆弧服虫？为此圆弧的中点）和线段处 构成.已知圆0的半径为4 0米，点。到,妍的距离为5 0米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大 棚 I 内的地块形状为矩形AB CD,大棚I I 内的地块形状为物要求4 6均在线段版V 上,C,均在圆弧上.设0C与觇,所成的角为0.（1）用 J 分别表示矩形/打力和口汗的面积，并确定sin。的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚H内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 ：3.求当。为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.（第 1 7 题）1 8.
6、（本小题满分1 6 分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆。过点（倔 I）,焦点 （7 5,0）,用（旧,0）,圆。的直径为R&.(1)求椭圆。及 圆。的方程；(2)设 直 线/与 圆。相切于第一象限内的点已若直线，与椭圆C 有且只有一个公共点，求点2的坐标;直线1与椭圆C 交于A,6 两点.若勿5的面积为平,求直线1的方程.(第1 8题)1 9.(本小题满分1 6 分)记 f (x),g(x)分别为函数A x),g(x)的导函数.若存在於G R,满 足 招(旅)且f (X。)得(旅),则称旅为函数f(x)与g(x)的一个“S 点”.证 明：函数f(x)=x与 g(x)=x，2 x-2 不存
7、在“S 点”；若 函 数 7 (x)=a V T 与 g(x)=l n X存 在“S 点”，求实数a的值；己知函数/X x)=T+a,g(x)与.对 任 意 a ,判 断 是 否 存 在 使 函 数/(%)与 g(x)在区间(0,+8)内存在 S 点”，并说明理由.2 0.（本小题满分16分）设 a.是 首 项 为 公 差 为d的等差数列，2 是首项为瓦公比为。的等比数列.（1）设a T,6产1,片2,若|对=1,2,3,4均成立,求d的取值范围；若 田 心 血fflGN*,q&（1,蚯 ,证明：存 在dR,使得|w 打对上2,3,m+1均成立,并求d的取值范围（用 瓦 网q表示）.12345
8、67891011121314 1,8 29 08 2,+8)310n62V 2T43-3392 71.1,8 【考查目标】本题主要考查集合的交运算，考查考生对概念的理解和应用，考查的核心素养是数学运算.【解析】由集合的交运算可得i n 庐 1,8 .【命题分析】本题难度较小,运算的依据是4。8=闻 64且X G B .2.2【考查目标】本题主要考查复数的概念、运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】复数z*=(l+2 i)(-i)4-i 的实部是2.1【答题模板】确定复数的实部和虚部,首先要利用复数的运算法则将复数化为z=a+b a,6 G R,则 a 是实部,6 是虚
9、部.3.90【考查目标】本题主要考查茎叶图、平均数，考查考生对统计图和平均数的理解和应用，考查的核心素养是数据分析.【解析】由茎叶图可得分数的平均数为8 9+8 9+,+9 1+9 1RO.4.8【考查目标】本题主要考查伪代码，考查考生对伪代码的理解和应用，考查的核心素养是数学运算.【解析】该伪代码运行3次，第 1 次,/3,S 2第 2次,1=5,S 4第 3次,/=7,5=8,结束运行.故输出的S的值为8.【方法总结】当伪代码的运行次数较少时,一般利用列举法求解,即逐次列出运行结果,直到运行结束.5 .2,+8)【考查目标】本题主要考查函数的定义域，考查考生对基本概念的理解和应用，考查的核
10、心素养是数学运算.【解析】要使函数/U)有意义,则l o g z O O,即 x 2 2,则函数/U)的定义域是 2,+2.【误区警示】二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0,不能忽略等号，另外函数的定义域要写成集合或区间的形式.6 .卷【考查目标】本题主要考查古典概型，考查考生对数学知识的应用意识，考查的核心素养是数学运算.【解析】记 2名男生分别为A,B,3名女生分别为a,b,c,则从中任选2名学生有AB,Aa,Ab,Ac,B a,B b,B e,a b,a c,be,共 10种情况,其中恰好选中2名女生有a b,a c,be,共 3 种情况,故所求概率为2【误区警示】古典概型中基本事件
11、的计数一般利用列举法,注意列举要按照一定的顺序,避免重复和遗漏.7.4 【考查目标】本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查考生的应用意识,考查的核心素养是数学运算.【解析】由函数yEin(2x/0)y)的图象关于直线x 苦对称,得s i n 牛。)=土 1,因为所以菅0，则 号+0 苫,=_ W【方法总结】正弦函数、余弦函数的图象在对称轴处的函数值取得最大值或最小值.8.2【考查目标】本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能力和应用意识，考查的核心素养是数学运算.【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为y上所以点所以8=*,得 c2 a,所以双曲a va2+d2 2 4线的离心率e二=
12、2.a【拓展结论】双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b.9.当【考查目标】本题主要考查函数的周期性、分段函数,考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】因为函数F(x)满足/、(*4)=f(x)(xW R),所以函数/(x)的最小正周期是4.因为在区间(-2,2 上，fx 4CS 2，0%2所以/(A 1 5)-/(/(-I)=f(cz)=co s?#.|x+i|,-2 x 0,【误区警示】利用函数的周期性将自变量化为已知解析式的区间内的值,再代入相应的解析式，看清自变量的取值范围.1 0 彳【考查目标】本题主要考查空间几何体的体积，考查考生的空间想象能力和运算求解
13、能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体,其中正八面体的所有棱长都是则该正八面体的体积为衿(”2 号.【举一反三】求几何体的体积时,先确定几何体的形状,再利用相应的体积公式求解.11.-3【考查目标】本题主要考查导数的几何意义，考查考生的化归与转化能力,考查分类讨论思想，考查的核心素养是数学运算.【解析】f(A)-2a x=2x(3 x-a)(a eR),当 a WO 时，f (x)X)在(0,上恒成立,则 F(x)在(0,+哈上单调递增,又A 0)=1,所以此时f(x)在(0,+*内无零点,不满足题意.当a A)时，由 f
14、(X)为 得 烤,由f(x)o 得 o a g,则/Xx)在(o,，上单调递减，在 金)上单调递增，又 f(x)在(0,+8)内有且只有一个零点,所 以 空)=弓 也 也 得aA所 以 f(x)=2/-3 x2+l,则f (x)W x(xT),当 xd(-1,0)时，f (x)X,久讣单调递增，当 xW (0,1)时,f (x)0,F(x)单调递减,则 f(x)四=f(0)=1,A-l)I,AD 巾,则 f(x).=Y,所以 f(x)在 T,1 上的最大值与最小值的和为T.【方法总结】利用导数求函数的最值时,首先利用导数研究函数的单调性、极值,再与区间端点的函数值比较大小.12.3【考查目标】
15、本题主要考查直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的性质，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】因 为 南 而 加,所以AB Y CD,又点C 为4?的中点,所以N为Z M5 .设直线1的倾斜角为，直线 4?的斜率为k,则 t an。=2,A=ta n(0勺)=-3.又8(5,0),所以直线4?的方程为y=-3(x5),又A为直线/:以上在第一象限内的点,联立直线初与直线1的方程,得后二烧(片5)，解得；二:，所以点A的横坐标为 3.【命题分析】本题考查直线与圆的位置关系,利用等价转化思想将问题转化为两直线的交点问题.13.9【考查目标】本题主要考查三角形的面积公式
16、、基本不等式,考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】因为24/口2 0。，2 4 6 c 的平分线交于点D,所以/应AN。缪=6 0 ,由三角形的面积公式可得J ac si n l 2 0 asi n 6 0 dc si n 6 0 ,化简得 a c-a+c,又 a X),c X),所以工d=1,则 4 a+c=(4 a+c)(三上)石4起2 2 2 a c a c a c2 5+2 I-当且仅当e t a时取等号，故 4 a+c 的最小值为9.7 a c【方法总结】应用基本不等式求解最值时，要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验，尤其是等号成立的条件.14.
17、27【考查目标】本题主要考查等差数列、等比数列的前项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】所有的正奇数和2 (G N*)按照从小到大的顺序排列构成 a,在数列&中,2,前面有1 6 个正奇数，即的之、/1.当n=.时，S=1 1 2 a2=2 4,不符合题意；当n=2时，S=3 1 2 a3=3 6,不符合题意;当n=3时，S3 1 2 a0 8,不符合题意；当n=A时，S=1 0 0）.又点（如,在椭圆。上，所以L解得卜：=4,（a2-b2=3,（F=1.因此，椭 圆，的方程为4因为圆。的直径为R B,所以其方程为设直线1与 圆。相切于?（司,（用为,为X）,则诏成方
18、,所以直线1的方程为尸山（*-岗）/即尸X oxo 43yo yo（x2 O+y2=1,由 x 3消去匕得y=_曳X+三，v yo Vo（4 以 t/o）V 24照户36-Ayl=0.（x）因为直线/与椭圆 有且只有一个公共点，所以/=（-24旅）24（4 （36-4yo）N8光（诏-2）因为新,为为，所以xo=Y2 K二L因此，点的坐标为（企,1）.因为三角形Q46的面积为平,所以豺6 0P当从而AB 当.设 A（xh 71）,B（X 2,J2）,z.Z B 24%0J48羽（哈2）由（砌得 Xi,2=2.2、-，2（4好+羽）所以 A=x -X 2）2（yi-y2）2-（1 备）48斓就-
19、2）（4好+据A，因为将9 役考，所 以 府 若 翳 嗡 即 2 x 5 x 1 0 0 0,解得好力（就之0 舍去），则弁力,因此尸的坐标为（邛,日）.综上,直线1的方程为y=心埒V2.1 9.【考查目标】本题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.【解题思路】(D利 用“S点”的定义证明即可；(2)利用新定义建立方程组求解；(3)利用函数的零点及新定义求解.【解析】(1)函数f3=x,g(x)寸+2 x-2,则 f (x)=l,g (x)=2*+2.由 f(x)=g(x)且 F (x)超(x),得t2此方程组无解，因此,f(x)与g
20、(x)不存在 S点”.函数 f x)=a x-1,g(x)=l n X,则 f (x)=2 a x,g (x)a x n-l=l n%o 设照为F(x)与g(x)的“S点”，由A x。)招(照)且F (加 N(照)，得“i即2a xQ=一,.XQ得I n於 二 T，即於三Z则当2(e-z)2 2当底时,的春满足方程组，即照为F C r)与g(x)的“S点”.因此,a的值为:对任意 a/0,设方(x)=x-ix-a x-f-a.因为A(0)-a?0,/?(1)-1 -3-f-a=-2 0,且 力(x)的图象是不间断的,所以存在x(0,1),使得力(旅)4).令 b S?贝U bX.exo(i-x
21、o)函数 f(x)=-/+a,g(x)哼，则-x)中由 f(x)=gx)且 f (x)=gf(%),即-k2 +I Q=丫 N“%o 、eexo(l-xo)x一2尤=2墟.铲(1)exo(l-z()x2此时,刘满足方程组(*),即X。是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”.因此,对任意a X),存在 0,使函数A%)与g(x)在区间(0,+2内存在“s点20.【考查目标】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.【解题思路】(1)利用等差数列、等比数列的通项公式建立不等式求解；(2)利用等差数列
22、、等比数列的知识，结合推理、导数在研究函数性质中的应用等求解.【解析】(1)由 条 件 知:&d,因为I a b.Wb、对 n=l,2,3,4 均成立，叩|(Z2-1)小|W1 对=1,2,3,4 均成立，即 1W1,1W K 3,3W2dW5,7W3dW9,得 WdW|,因此,d 的取值范围为(2)由条件知：由(T)dy bn=b q 若存在d,使得/a-A/W 打(N,3,，m+1)成立,即/A+(T)d bd 3,m+1),即当n=2y 3,m+1时，”满足里了打W d Wn-l n-1因为 g d(l,盟 ，则 l P+2X.因 此 当2 W n W m+时，数列 注 单调递增，n-l故数列 白 的最大值为尘匚.n-l m设 f(x)2(1-才)，当 xX)时，F(x)=(ln 2-1-xln 2)2。所 以 f(x)单调递减,从而f(x)b(0)=1.qn i当 2 三勿时,岳拜上3 2内1当 (3 1,n_ n n nn-i因 此 当2 W n m+l时,数列 咚 单调递减，n 1故数列 q 的最小值为吧.n-l m因此,d的取值范围为 皿 心2眄口.m m