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1、2023届高考数学一轮保基卷：几何证明与计算一、选 择 题（共 19小题）1.如图所示，己知AB:BD=2:3,且 BCD E,则S-B C：S梯 形BEC等于（）A.4:21 B.4:25 C.2:5 D.2:32.如图，已知。的直径A B与弦A C的夹角为30。，过 C 点的切线P C与A B的延长线交于P,PC=5,则。的半径为（）C.10D.53.已知在半径为2 的圆。上有4、B、C、。四点，若 4B=CD=2,AB、CD的中点分别为。1、02,则。2718的面积最大值为（）A.2V3 B.2V2 C.V34.只用下列图形不能镶嵌的是（）A.三角形B.四边形C.正五边形D.3V3D.正
2、六边形5.一个直角三角形两条直角边的比为1:遍，则它们在斜边上的射影比为（）A.1:2B.1:3C.1：V5D.1:56.在 ABC中，角 4,B,C 的对边分别为a,b,c,若（a?+c?-炉）tanB=V a c,则角8 的值为（）A.-B.-C.或留 D.三或空6 3 6 6 3 37.如图所示，在 AABC中，点 M 在 BC上，点 N 在 AM上，C M =C N,且*=筹.下列结论正AN CN确的是（）C.A A N C s AACMB./M N C s 4MBD.C M N s BCA8.如图所示，已知有平行四边形4B C C,点 N 是 4 B 延长线上一点，D N交BC于点M
3、,则 言一色BM BN为（）1 3 2A.i B.1 C.-D.W2 2 39.如图所示，在梯形ABCD中，BC/AD,E 是 0 C 延长线上一点，A E交BD于点G,交BC于点、F,下列结论：言=祟 m=禽 箓=翳；缶=装 其 中 正 确 的 个 数 是（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个10.在 Rt 力 BC 中，ZC=9 0 ,乙4=30。，。1 4 8 于 ,设 AB=a,则。8 等于（）A.-B.-C.-D.4 3 2 411.设B，P2,6 为平面a 内的71个点，在平面a 内的所有点中，若点P 到“，P2,七的距离之和最小，则称点P 为 B，P2,的一个“中位点
4、”.例 如，线段4 8 上的任意点都是端点4,B 的中位点，则有下列命题：若4,B,C 三个点共线，C 在线段AB上，则 C 是线段AB上 4,B,C 的中位点；直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个点的中位点；若四个点4,B,C,。共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是（）A.B.C.D.12.如图所示，4。是 4 8 C 的中线，点 E 是 CA边的三等分点，B E交 4 0 于点F,则 AF：F。为AA.2：1 B.3：1 C.4：1 D.5：113.如图所示，PA为。直径，PC为。的弦，过 死 的中点”作 PC 的垂线交PC 的延长
5、线于点、B.若HB=6,B C=4,则 0。的直径为（）A.10 B.13 C.15 D.2014.如图，PC与圆。相切于点C,直线P。交圆。于 4 B两 点,弦 C。垂直4 B 于 E.则下面结论中，错误的结论是（）C.前 的 度数是22.5。DA.BECs DEAC.DE2=OE-EP15.在 O O 中，直径AB,CD互相垂直，于 M,连接M。并延长，交。于 N,CA.CF=FMB.Z.ACE=Z.ACPD.PC2=PA-ABBE切。于 B,S.BE=BC,CE 交 AB 于 F,交 O。则下列结论中，正确的是（）B.OF=FBD.BC/MN16.已知R tA B C中，ZC=90,AB
6、=5,BC=4,以BC为直径的圆交4 8 于点。，则 8。的长为（）A.4 B.1 C.y D.Y17.如图，4 B 是。的直径，点 C 在。上，延长BC到D 使 BC=C D,过 C 作。的切线交4D 于 E.若 AB=6,ED=2,则 BC=（）A.2 B.2V2 C.3 D.2V318.如图，在圆。中，M,N 是弦AB的三等分点，弦 CD,CE分别经过点M,N,若 CM=2,M D =4,CN=3,则线段N E的长为（）A.-B.3 C.-D.-3 3 219.已知双曲线5-9 =1的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=-B.y=x C.y D.y
7、y/5x二、填 空 题（共 7 小题）20.如图，在直角梯形 ABCD 中，DC/AB,CB 1.AB,AB=AD=a,CD=,点 E,F分别为线段AB,4 D 的中点，贝 I EF=.AEB21.如图，在 ABC中，ZC=9 0 ,乙4=60。，AB=2 0,过C作 A B C的外接圆的切线CD,BD 1 CD,B D与外接圆交于点E,则D E的长为.22.如图，点A,B,C都在圆。上，过点C的切线交A B的延长线于点D,若48=5,BC=3,CD=6,则线段A C的长为.A23.如 图，以 A B C的边4 8为直径的半圆交4 C于点。，交B C于点E,E F J.A B于点F,AF=3B
8、F,BE=2EC=2,那么 NCDE=,CD=.24.如 图，在 A ABC 中，DE/BC,EF/CD,若 BC=3,DE=2,DF=1,贝U 48 的长为._.25.如图，M是平行四边形4B C D的边A B的中点，直线I过点M分别交4D,4 C于点E,F.若AD=3 A E,则 4F:FC=.26.如图，P力与圆。相切于点4,PC B为圆。的割线，并且不过圆心。，已知48P4=30。，PA=2V3,PC=1,则PB=；圆。的半径等于.三、解 答 题(共 8 小题)27.如图，在 AABC中，ABC=90,BD L A C,。为垂足，E 是 BC中点.求证：乙 EDC=LABD.28.如图
9、，已知圆上的弧念=舒，过 C 点的圆的切线与B 4 的延长线交于E 点，证明:(1)NACE=乙 B C D；(2)BC2=BE x CD.29.如图，己知CB是 0。的一条弦，4 是。上异于B,C 的任意一点，过点4 作。的切线交直线 CB 于点 P,。为。上一点，S.ABD=/.ABP.求证：AB2=B P B D.30.如图所示，DE/AB,EF/BC.求证：&D E F s ABC.31.如图，割线P4B 交圆。于力，B 两点,P。交圆。于 C,。在 2 B 上，且满足CD2(1)求证：OD 1 C D；(2)若 2 4 =6,AB=J,PO=1 2,求 P C 的长.3 2 .如图，
10、直线P4与圆相切于点4 过 P作直线与圆交于C,。两点，点 B在圆上，且NP4C=乙 BCD.(1)证明：AB/CD；(2)若 P C =2 A C,求空.BC3 3 .己知函数/(x)=%1.(1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间(0,+8)上是增函数；(2)解不等式“2 +1)/(4 专.3 4 .如图，己知 A B C 中的两条角平分线4。和 C E 相交于H,N B =6 0。，F在 4C上，且力E =A F.(1)证明：B,D,H,E四点共圆;(2)证明：C E 平分N C E F.答案1.A【解析】因为AB:BD=2:3且BC 7)E,所以AB:4D=2:5,所 以 生 侬=上
11、，所 以$BC=SADE 25 S 梯形B DEC 2 12.A3.A【解析】因为AB=2为定值，以A B为三角形的底边，以。2到 的 距 离 为 高，当力B与CD平行时,。2到直线力B的距离最大，此时面积最大，面积的最大值为2 b.4.C5.D【解析】如图，在R tA B C中，BC:4c=1:遥，作CD_L4B于D.所以BC2=4 BBD,AC2=A B-A D,所 以 督=鬻，所 以 黑 因 此 它 们 在 斜 边 上 的 射 影 比 为1:5.4 c ABAD AD 5【解析】由余弦定理，得a?+一 /=2accosB.由已知，得2QCCOSB 列”=V 5 a c,即s in B=立
12、，cosB2又B是三角形的内角，所以B=；或g.7.B【解析】CM=C N,即 N4MC=4MNC.B P Z.A M B=A N C.又 也=型，Bp ANC.AN CN8.B9.C【解析】提示：正确，错误.10.A11.C12.C【解析】提示：过。作4 c的平行线交B E于一点G.13.B【解析】连P H及CH,由圆内接四边形的性质定理有ABCH=贝ij A P A H s AHCB,PA _ HACH BC1又 C =/L4,W IJ PA=13.14.D15.D16.D17.D18.A【解析】提示：C M M D =A M M B =BN,NA=CN,NE.19.C【解析】【分析】利用
13、抛物线的焦点坐标，得到租的方程，求解即可.【解析】解：双曲线一?=1的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，可得3=7 m+5,解得m=4,则双曲线的渐近线方程为：y=yx.故选：C.【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.20.-2【解析】在直角梯形中，连 结DE,易 知AADE为直角三角形，而F为中点，则E F为斜边AD的一半，故EF=：.21.5【解析】在R ta A B C中，BC=ABsmZ-BAC=1 0 V 3,由弦切角定理可得/BCD=60。，所以BC=BCsin600=15,CD=BCcos60=5 3,由切割线定理可得，DC2=DE x D B
14、,故 DE=5.22.-2【解析】由。C 2=DB-DA,所以62=(D8+5)-D B,所以DB=4.因为 D B C s D S,所 以 等=骼 所 以 =喏 =3.DC AC DB 223.6 0,13【解析】提示：连接A E,由已知可得A E 1 B C,由BE2=B F M B,AF=3 B F,可得B F=1,AF=3,AE=2V3,AC=V 1 3,所以 4CCE=4B=6 0 ,又 CD CA=CE C B,可得 CD=甯.24.-2【解析】根据平行线分线段成比例定理，得AD _ D E _ A E _ AFAB BC AC AD由 窘 笫 得；点P解得 =2.由 喘=*，得
15、2 =1，解得=)nti nU AH J/25.1:4【解析】延长CD与直线I 交于点G,设AB=2 a,则 CD=2 a,而 M 是 AB的中点,则 4M=会 8=a.由已知得 AM E DGE,印“AM AE AM AE所以一=一=-.D G ED D G AD-AE因为 AD=3AE,所 以 为=短=.=2/又因为 aFC G s 4M,所 以 裴 哈 姿即 AFiFC=1:4._ aCD+D G _ 2a+2a1426.12,7【解析】根据切割线定理，得PA2=PC-PB,结合 PC=1,PA=2 V 3,解得 PB=12.如图，连接4。并延长交圆于另一点。，交 P 8 于点M,则。4
16、 L P 4.在 Rt PAM 中，由 /.BPA=3 0 ,得AM=2,PM=4,则CM=PM-PC=3,BM=PB PM=8.根据相交弦定理，得DM-AM=CM-BM,解得 MD=1 2,则 4D=MC+AM=14.因此，圆的半径为7.27,50 1 A C,得 N8DC=90,由E是BC中点，得D E =C E =g B C,贝ij 乙EDC=Z C.由乙BDC=9 0。，得 Z C +乙DBC=9 0。；由 NA8C=90。，得/A B D+N D 8 C =9 0 ,因此 Z J 1 B。=Z C.又 上 EDC=4C,所以乙EDC=/.ABD.2 8 .(1)因为“=筋，所以 NB
17、CD=44BC.又因为E C与圆相切于点C,故乙1 C E =B C,所以 Z.ACE=乙BCD.(2)因为 4 E C B =Z T O B,乙EBC=4BCD,所 以 BDCs E C B,故些=.BE BC即 BC2=BEx CD.2 9.解：A P与。0相切于点A,为。的弦,Z.ADB=4 PAB,又在 DBA 和 ABP 中，/.DBA=U B P 4 DBA 4 ABP,：.,即 AB2=BP-BD.BP AB3“0 4.先、T证。=0F 7 7，,八F八O D,“CAO A,F=0 D,OA OC AC OA可得D一E=EF=DF,AB BC AC可证 DEFs ABC.3 1
18、.(1)延长CD交圆。于E,由相交弦定理得CD DE=DA-DB,由已知CD2=DA,DB,故C D =DE,即。是C E的中点，由垂径定理得。I C O.(2)延长P0交圆0于尸，由割线定理得PC PF=PA,PB,设圆 0 的半径为 r,则(1 2 -r)(1 2 +r)=6 x(6 +),解得r=8,所以P C =4.3 2.(1)因为直线P 4 与圆相切于点4 过 P作直线与圆交于C,D两点,所以 NPAC=N4BC,因为 A C =乙BCD,所以乙BCD=/.ABC,所以4 B C D.(2)由(1)得 4 P A e =/.ABC,所以 4 B A C =C P,所以 PACs C
19、BA,所 以 竺=竺=2.BC CA3 3.(1)证明：任取%1，%2 E (，+8),且1%2，则=6 一叼)(1+),因为3 工 2 (，+8),且1 09xlx2所以八%1)-/(%2)0，即/(/)0,4X 0,又因为函数f(x)在区间(0,+8)上单调递增，且外2 工+1)/#)，所以*+i 4*,所以2*T 1,所以x 1,所以不等式的解集为(-o o,l).3 4.(1)在 A B C 中，因为4 8 =6 0。，所以Z.BAC+LBCA=1 2 0 .因为4 D,C E 是角平分线，所以HAC+HCA=6 0 ,故/-AHC=1 2 0 .于是乙 EHD=Z.AHC=1 2 0 .因为4 E B D +Z E H D =1 8 0,所以B,D,H,E四点共圆.(2)连接B H,A则B H为乙4 B C的平分线，得Z-HBD=30.由（1）知B,D,H,E四点共圆，所以Z.CED=乙 H B D=30.又Z.AHE=Z-EBD=60,由已知可得E F _ L A D,可得Z-CEF=30.所以C E平分D E E