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1、第 二 章 不 等 式第一节不等式性质与基本不等式【考试要求】1 .梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.2 .掌握基本不等式，装W 号(a 0,3 0),结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.【高考考情】考点考法：不等式的性质与基本不等式，是每年必考的重点内容，常常结合函数与导数、数列、解析几何等知识交汇命题，属于中档题.核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理o.、,知 迪 机 理 二 思 碓 激 活，=o归纳知识必备1 .两个实数比较大小的依据(H6 0=a 5 (a,6 R),(1)作差法 8 一6=0=a=b (司，6 R)，a-V O o a V b
2、 (a,6 R)；r a/、(a 0 R,Z?0),b(2)作商法 (HR,b W O),7 0).2 .不等式的基本性质(1)对称性：a g ba,(2)传递性：ab,b c=a c；可加性：a c 8+c；加法法则：a b,c d a+c b+d(5)可乘性：a b,c 0=ac bca b,c 0=ac Z;0,cdQ=ac bd；(7)乘方法则：abO=abnl,/?eN)；(8)开方法则：a bQ=ya b(2 2,W N).3.基本不等式/方W要(1)基本不等式成立的条件：a 0,b0.(2)等号成立的条件：当且仅当0时取等号.(3)其中 等 叫 做正数a,力的算术平均数，遍 _
3、叫 做正数a,6 的几何平均数.注 解 1灵活把握基本不等式的两种常用变形(1)助W 一 J (a,A E R,当且仅当a=b 时取等号).(2)a+b 2 2 a(a 0,b 0,当且仅当a=6 时取等号).4.利用基本不等式求最值l”已知x 0,y Q,则(1)如果积盯等于定值P,那么当且仅当x=y 时，x+z 有最小值是2、区(简记:积定和最小).S2如果和x+y 等于定值S,那么当且仅当x=y 时,灯 有最大值是彳(简记：和定积最大).注 解2基本不等式求最值的三个常用结论/、/+/2一y-a+61一b2+11-a3)+62N_aN_c l 1).y (a 0,b0).,、b、a _,
4、、W +产(勖”智 学变式探源-1.必修一 P 4 3 T 72.必修一 P 4 8 T 2L (改变结论)若3 b 0,c d beB.adbdD.ac d Q,则有一ac bd,所以 a c V b d2.(改变数值)若用总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是【解析】设矩形的一边长为x m,矩形场地的面积为I H (0 x)2ym2,则矩形另一边长为5 X(20 2x)=(10 x)m,所以 y=x(10 x)W-L t乙25(m2),当且仅当x=10 x,即x=5 时等号成立，则%,=25.答案：25慧考 四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本能力6.基本应用3
5、.（不等式性质）设 a,b,c R,且 a 6,则（）A-a c b c B-a S C-D-【解析】选 D.取 a=l,b=2,c=l,排除A,B,C.4.(比较大小)设。=巾 +V 1 0，b=y)3+/14,则 a 与 6 的大小关系为()A.a=b B.ab C.a2/42,知 a?/?,又 aQ,b 0,所以 a8.5.(求最值)若x0,y 0,且 x+y=1 8,则 的 最 大 值 为()A.9 B.18 C.36 D.81【解析】选 A.因为x+y=1 8,所以/ag 二=9,当且仅当x=y=9 时，等号成立.1 96.(求最值)已知x0,y 0,且金+-=1,则 x+y 的最小
6、值为.【解析】方法一：(1的代换)因为:+|=1,(|9、V Q F所以 x+y=(x+y)j =1+；+U ,因为 x0,y 0,所以汇+/-=6.x y j x yV Q r当且仅当/=-,即y=3x 时，等号成立.x y1 Q又 一 +一 =1,所以才=4,y=1 2,所以才+y 2 1 6.x y所以当x=4,y=1 2 时，x+y 取得最小值1 6.|Q y方法二：（消元法）由-+-=1,得.x y y 9因为*0,y Q,所以y 9.y y 9 +9 9 9x+y=+y=y+-y+1=（y 9）+1 0.因为 y 9,所以 y 9y _9 y_9 y 9 y9 0,9 I 9 所以
7、 y 9+-2 2、/（y 9）-7 =6.y-9 l y-99当且仅当y 9=,即y=1 2 时等号成立，此时x=4,所以当x=4,y=1 2 时，x+y 取y9得最小值1 6.1 Q方法三：（配凑法）由-+-=1,得 y+9 x=x y,x y所以（矛 一 1）（y 9）=9.所以 x+y=1 0+（2 1）+（y 9）2 1 0+2 寸（x 1）（y 9）=1 6.当且仅当%-l=y-9 时等号成立.1 Q又因为一+-=1,所以x=4,y=1 2.x y所以当x=4,y=1 2 时，x+y 取得最小值1 6.答案：1 6。.、寺点提究 一法培优/.一。7 考点一比较大小与不等式的性质值至
8、更透1.（多选题）对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为（）1-，b,则 ac bcC.若 a O b,则才V 一劭i a bD.右 c a Z?0,则-rc a c-b【解析】选 B D.A.根据a 6,取 a=l,6=1,则,6,所以由不等式的基本性质知a c 2 2 6 c 2 成立，故B正确；C.由a 0 6,取 a=l,8=1,则 a 2 V a 6 不成立，故C 错误；D.因为 c a 8 0,所以（a 6）c 0,所以 a c a 8 6 c a S,即 a（c 1 ）b（ca）,因为 c a 0,c6 0,a h所 以 上-7 ，故 D 正确.c-a c-b2.（2 0 1
9、9 全国卷II）若 a 6,则（）A.In （a 6）0 B.3 V3”C.才一6 0 D.ab【解析】选 C.当 a=3,6=2 时，选项A 错.由 于 a 8,而 尸 3,是增函数，所以T 3：故B 错.当 a=3,力=-5 时，选项D 错.因 为 y=，是增函数，故，A b。故C正确.3.设 a,0,+8）,A=ya+yb,B=a+b,则 4,8的大小关系是（）A.A M B B.心 B C.A B【解析】选 B.因为1 2 0,8 2 0,#R=a+2y品+b（a+抗=2 洞所以4JI JI4.已知角。，满足一丁 Q 8 不，0。+兀，则 3。一 的取值范围是【解析】设 3。一=加（。
10、一 ）+（+，则勿+=33。一 =（勿+）o+（一 加）B.所 以 彳 ，、一%=一m=2解得 ，所以 3。一 =2（。一 ）+（。+）.、/7=1JI JT由一方 V a y?得一兀 V 2（a ）V 兀，乙 乙所以一nV 3 a V2 n.答案：（一，2 口）,规律方法(1)利用不等式性质判断命题正误，常用两种方法直接使用不等式的性质逐个验证；利用特殊值法排除错误答案.(2)比较大小常用的方法作差(商)法：作差(商)n变形=判断；构造函数法：利用函数的单调性比较大小；中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0 或 1 作为中间量.(3)Etl afx,y)b,cglx,y)0,所 以
11、=菽=(用|1 6因 为 忘 力。，D，所以。廉1 6V I,所以 ab.答案：ab，考点二利用基本不等式求最值多维探究高考考情：利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容.角 度 1 利用配凑法求最值3典例1 设 0 Vx 5 ,则函数y=4 x(3 2x)的最大值为【解析】y=4 x(3 2x)=2 2x(3 2x)口 W2x+(3 2x)I 22-7-9=7，当且仅当2x=3-2x,乙3-4X-即3-2(o,G3-4为因3 9所以函数y=4 x(3 2x)(0 xl)的最小值为_ _ _
12、_ _ _ _ _ _.x 1x2+2(X22x+l)+(2x 2)+3【解析】y=-r =-;-x1 x1(X-1)2+2(X-1)+3 /、，3 ,r-,c=-:-=(x-l)+-+2 2 2 也 +2.X 1 X 1 Y3当且仅当(X 1)=7一k ,即x=：+1时，等号成立.(X 1)Y答案：2事+2角度2常数代换法求最值 典例2 已知a0,b0,a+b=l,则1+1的最小值为.a b 一【解析】因为 a+b=l,所以+1 (a+b)=2+佟+|2+2A-J =2+2=a b a bj a bj a b4.当且仅当a=b=1时，等号成立.答案：4，一题多变（1）（改变问法）若本例条件不
13、变，则1+力的最小值为.山 析 山+扑+3母+呼电+喑）=1+目（2+g =5+2 削5+4=9.当且仅当2=6=；时，等号成立.答案：9（改变条件）本例中把“a+b=l”改为“a+2b=3”，则:+（的最小值为-.1 9【解析】因为a+2b=3,所以鼻a+-b=l.o o所以！+（=1 ,2,a,2b、,=3 +而+豆 E+2.Ih+坐当且仅当a=/b 时，等号成立.田士 一 2A/2答案：1 十3角度3 消元法求最值典例3 （20 21 上饶模拟）已知正数a,b 满足2ab+c=。,则m的最大值为（）1 14 8 B.2 C.-D.-【解析】选 C因 为 a,b,c都是正数，且满足2a-b
14、+c=0,所 以 b=2 a+c,所 叼=ac ac 1-1 1-r-(2a+c)2 4 a2+4 ac+c-4 a,c,7 瓦 c 8+4 2A -+4c a c a当且仅当c=2 a 0 时等号成立.,规律方法自主完善，老师指导1.配凑法求最值的实质及关键点配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把 工 L 的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，
15、进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.3 .消元法求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“也为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.，多维训练1 .已知 x0,y 0,且 x+y=8,则(1+x)(1 +y)的最大值为.【解析】因为x0,y 0,且 x+y =8,所以(1 +x)(1 +y)=1+(x+y)+xy =9 +x yW9+=9+1 6=25.当且仅当 x=y =4时等号成立，所以(l+x)(l+y)的最大值为25.答案：252.已知正数x,y 满足犬+2乂丫-3=0,则 2x+y的最小值是.3 x2 3 1【
16、解析】由x?+2xy 3=0,得 y=F=孤 一可x,乙 X 乙 X 乙则 2 x+y=2 x+.1 x=-y +.2 2 y年 人=3,当且仅当x=l 时，等号成立，所以2x+y的最小值为3.答案：33.若函数f(x)=X+F(x2)在 x=a 处取最小值，则a=.【解析】因为x 2,所以x 2 0,所以f(x)=x+=(x 2)+2 2+2=4.X 2 X 2当且仅当x 2=f，即(X 2 尸=1 时等号成立，解得x =l 或 3.又因为x 2,所以x=3,即a=3 时，函数f (x)在 x =3 处取得最小值.答案：3寻Hl【加练备选】(x+1)(2 y+l)(2 0 1 9 天津高考)
17、设 x 0,y0,x +2 y=5,则的最小值为当且仅当x y=3 时等号成立.故所求的最小值为4小.答案：4小/考点三基本不等式的实际应用讲练互动 典例4 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t 万件9满足t=5-F （其中O W x W k,k 为正常数）.现假定产量与销售量相等，已知生产该产品tX I 1万件还需投入成本（1 0+2 t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+书元/件.（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【解析】（1）由题意知，该产品售价为（4+胃1元/件，所以y=（
18、4+平X t 1 0 2 t x,代入 t=5-二 化简得 y=2 0（UY+X （O W x W k）.x+1 （X 十 1 ）（2）y=2 0-仔y+x）=2 1-（击+x +l）w 2 1-4当 且 仅 当 羊=x +L 即x=l 时,上式等号成立.当k l 时，促销费用投入1 万元时，厂家的利润最大;当 0 k 0,故 y=2 1 k*y+x +l)在 O W x W k 上单调递增.所以在x =k 时，函数有最大值，即促销费用投入k 万元时，厂家的利润最大.综上，当k l 时，促销费用投入1 万元时，厂家的利润最大；当O V k V l 时，促销费用投入k万元时，厂家的利润最大.，规
19、律方法基本不等式实际应用问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.，对点训练某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为9 0 0 石的矩形温室.在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物.相邻矩形区域之间间隔 1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1加宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3加宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x(单位：/)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：舟.则 S 关于x 的 函 数 解 析 式 为；S的最大值为.【解析】由题设，得 S=(x 8)(注 一2)=2 乂 一 4-91 6,x 6(8,450).因为 8 x 5)即可，此时 m=%X+T+T=，2 4 x /2 x 4 4i 50当且仅当W x=,即x =1 0时，等号成立.X43故销售量至少应达到7万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和.