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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率 是（）1111A.-B.C.-D.一3 4 5 62.已知定点6（-4,0）,
2、乙（4,0）,N是圆O:/+y2=4上的任意一点，点片关于点N的对称点为M，线段片M的垂直平分线与直线F2M 相交于点P,则点P的轨迹是（）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆3.在AABC中，角A,8,C的 对 边 分 别 为 c,C=y ,若 加=/一 布,。一6）,=（a-仇c+后），且 力A，则AABC的面积为（）AA.3a RB.-9-G-Cr.-3-8-nD.3JH32 24.已知i为虚数单位，若 复 数 二=界 +1,则胃=2-19A.-+i B.1-i5C.1 +i D.-i5.在 1 +，（2+1）3展开式中的常数项为（）6.设等比数列 a“的前 项和为S“，贝!“4+4
3、 2%，是“S2,-0,S=x|log2(3x-1)()的解集是(L+8),则关于x的不等式(办+。)(-3)0 的解集是()A.(,-1)1 1(3,”)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-8,1)U(3,”)1 2 .若复数z =l +4(i 为虚数单位)，贝!h 的共飘复数的模为()1 +2A.亚 B.4 C.2 D.V52二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3.在正方体A B C。-44G A 中，E，E分别为棱A&,4A 的中点，则直线EE与 直 线 所 成 角 的 正 切 值 为1 4.已知（l +2 x）”的展开式中含有/的项的系数是6（）,则 展 开
4、式 中 各 项 系 数 和 为.1 5.已知命题P：V x 0,d0,那么是.1 6.已知等比数列的前项和为S”,若勺%=2%“6，$5 =-6 2,则 勺 的 值 是.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.（1 2 分）求函数y =J P 7+的最大值.x =3 +2 c os Z1 8.（1 2 分）已知曲线C的参数方程为,.（a 为参数），以直角坐标系原点为极点，以x轴正半轴为极轴并y =l +2 s in 取相同的单位长度建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；（2）若直线I的极坐标方程为s in 0-2 c os。=,求曲
5、线。上的点到直线/的最大距离.Px=tcosa 4 c os 81 9.（1 2 分）已知直线/的参数方程为,.（04a，为参数），曲线C的极坐标方程为。=二 3._ y =l +/s in a s in_ 0（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；若直线/经过点（1,0）,求直线/被曲线C截得的线段的长.2 0.（1 2 分）如图，直三棱柱A B C -A 百 a 中，底面A B C为等腰直角三角形，AB L B C,A 4 =2 A B =4,M,N分别为CG，B 用的中点，G 为棱A%上一点，若 A/，平面M N G.（1）求线段A G 的长；（2）求二面角B M
6、 G N 的余弦值.2 1.（1 2 分）在三棱柱 A B C-A 与G 中，四边形 ABIR A 是菱形，A B =4,N A B 用=6 0。，B =3,B C1AB,点 M、N分别是A/、A G 的中点，且(1)求证：平面B C C 1 4，平面4 4 氏4；(2)求四棱锥A-B C G 4 的体积.22.(10 分)已知函数 f(x)=2sir)2 x+2百 sinXCOSX-1,XG R.(1)求f(x)的单调递增区间；A(2)A B C 内角A、仄 C 的对边分别为、b、c9若/(5)=1且 A 为锐角，Q=3,sinC=2sinB9求 A 5 C 的面积.参考答案一、选择题：本题
7、共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共 6 种，其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共 1 种，所以甲第一个到、丙第三个到的概率是 =故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.B【解析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行
8、判断即可.【详解】因为线段6M的垂直平分线与直线入”相交于点P,如下图所示：所 以 有=而O,N是中点，连接Q V,故M =2 O N =4,因此尸一尸耳=4（4 玛6）当N在如下图所示位置时有，所以有 耳=P 5+玲，而O,N是中点，连接O N,故=2ON=4,因此尸 耳 P鸟=4(4 6 ),综上所述：有归耳-尸周=4(4/6)(c+/6),化为：a1+h2-c1-2ab-6 .71c os =3/+/一,22ab等解得 =6.c,s i n Cx6x走=明MBC 2 2 2 2故选：C.【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.4
9、.B【解析】l +2 i,(l +2 i)(2 +i),2 +i +4 i+2 i2,.与3因为 z =+1=不工、+=-c-+1 =1 +1,所以 z =l-i，故选 B.2-1 (2-1)(2 +1)55.D【解析】求出(2 x+I p展开项中的常数项及含x的项，问题得解。【详解】(2 x+1)?展开项中的常数项及含x的项分别为：C；(1)3(2%)=1,C(2x)xl2=6x,所以(l +!)(2 x +l)3展开式中的常数项为：l x l +gx 6 x =7.故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。6.A【解析】首先根据等比数列
10、分别求出满足q +%2%，S 2 1 0的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.【详解】%为等比数列，若 4+4 2 4成立，有 4 -2 q +1)0,因为/-2 g +1 2 0恒成立，故可以推出4 0且若$2,1 0成立，当q =1时，有q 0 ,么 (1 。2 -1 )1 _ 2/:-1当时，有_ Z 0恒成立，所以有4 0,i-?i-q故可以推出4 0,q eR,所以“4 +生 2 4 ”是“S 2,i 0 ”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.7.D【解析】根据题意，求出集合A,进而求出集合A U B和Afl
11、B,分析选项即可得到答案.【详解】根据题意，B=x|l og2(3 x-1)0.5x 1 3因 为 横 轴1代 表2019年8月，所 以 横 轴13代 表2020年8月，故选：C【点 睛】考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.10.c【解析】先求出+2加，再与a相乘即可求出答案.【详解】因为 +2B =(1,5)+(-4,2)=(-3,7)斯 以&+2 6=-3+5 x 7=3 2.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，考查了学生的计算能力,属于基础题.11.A【解析】由如一匕0的解集，可知。0及，=1,进而可求出方程(侬+。)(1-3)=0的解，从而可
12、求出(o r+b)(x 3)0的解集.【详解】h由o r 人 ()的解集为(1,+?),可知。0且/=1,令(办+。)(3)=0,解 得 玉=-1,工2=3,因为“(),所 以(欧+)(一3)0的解集为(T,1)U(3,+O O),故选：A.【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.12.D【解析】由复数的综合运算求出z,再写出其共辅复数，然后由模的定义计算模.【详解】；Z =+兴=+71)大=2+i，.彳=2-i,.同=石.1+z (l+z)(l-z)I 1故选：D.【点睛】本题考查复数的运算，考查共扼复数与模的定义，属于基础题.二、
13、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.G【解析】由中位线定理和正方体性质得七/8 0,从而作出异面直线所成的角，在三角形中计算可得.【详解】如图，连接A。，BC,4 G，:瓦 厂 分 别 为 棱4 ,。小的中点，尸 A D-又正方体中A B/G 2，A8=G。，即A 5 G R是平行四边形，；.A D J/B G，.E F/8 C 1,Z/B C,(或其补角)就是直线E E与直线4 8所成角，A 4,6 G是等边三角形，/4 8&=6 0。，其正切值为6.故答案为：V 3.D1 _【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角.14.1【解析】由二项式定理
14、及展开式通项公式得：22d=6 0,解得=6,令X=1得：展开式中各项系数和，得解.【详解】解：由(1 +2 x Y的展开式的通项(*I=C；(2x)r,令r=2,得含有X2的项的系数是2 0,Y0,因为y =3在(o,+?)上单调递增，则V 0 3=0,所以。是真命题,故答案为：真命题【点睛】本题主要考查了判断全称命题的真假，属于基础题.16 .-2【解析】a,(l-25)试题分析：“2%=2 a3a6 ,a；=2 a5a4 -a5 =2 ajq=2,S5 =6 2 _2=6 2 勺 2考点：等比数列性质及求和公式三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.巫3【解析
15、】试题分析：由柯西不等式(而+cd (a2+c2)(J2+/)得(V i 7+j3 x +2)2=(，3-3 x+，3 x+2 厉(3-3 x+3 x+2)(1+l)=y试题解析：因为(+y/3 x+2)2=(y/3-3 x-R+j3 x +2-V T)2(3-3 x+3 x +2)(-+l)=,3 3所以 y =y/l-x+J 3 x +2 V 2y.3-3 x 3 x+2,-=-7等 号 当 且 仅 当I 1 ,即*=一 时 成 立.312所 以y的 最 大 值 为 口 叵.3考 点：柯西不等式求最值18.(1)2 2_6pcos6 20sine+4=O,表 示 圆 心 为(3,1),半
16、径 为2 的圆；(2)述+2【解 析】(1)根据参数得到直角坐标系方程(x-3 y+(y-1)2=4,再转化为极坐标方程得到答案.(2)直 线 方 程 为y-2x=l,计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.【详 解】(1)x=3+2cosa.今,c,，即(x 3)+(y l)-=4,化简得到：x2+y2-6 x-2 y +4=0.y=l+2sina、，、，即 2 6QCOS6 2Psine+4=0,表 示 圆 心 为(3,1),半 径 为2的圆.(2)sin。-2cos6=,，即y 2 x=l,圆心到直线的距离为1=二=述P 石 5故 曲 线C上的点到直 线/的最大距 离 为4+=述+2.5【
17、点 睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.曲 线。表 示 的 是 焦 点 为(1,0),准 线 为x=-l的抛物线;(2)8.【解 析】4cos J试题分析：将 曲 线C的 极 坐 标 方 程 为 止 飞 前 两 边 同 时 乘 以。，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；(2)由 直 线/经 过 点(1,0),可 得tan c的值，再 将 直 线/的参数方程代入曲线C的标准方程，由直线参数方程的几何意义可得 直 线/被 曲 线C截 得 的 线 段c的长.4cos f)试题解析：(1)由2=可得夕2sin2e=4 p
18、c o s6,即V=4 x,sin 6曲 线。表 示 的 是 焦 点 为(1,0),准 线 为x=-l的抛物线.(2)将(1,0)代 入 x=tcosa,.,得y=1 +tsina1 =tcosa八 .,tancr=-L0=1+tsinacX=-t3乃2()W a(乃，a =,.直线/的参数方程为 。为参数).4 叵.I 2将直线/的参数方程代入丁=4A-得/+6氏+2=0，由直线参数方程的几何意义可知，AB=,勾=而+幻2-4%=2-8 =8.20.(1)AG=(2)且5【解析】(1)先证得A A G N,设A R与GN交于点E,在ABNE中 解 直 角 三 角 形 求 得 由 此 求 得A
19、G的值.(2)建立空间直角坐标系，利用平面BMG和平面NMG的法向量，计算出二面角B-M G-N的余弦值.【详解】4 8,平面MNG(1)由题意，-T HGN u平面MVG A B G N,设AB与GN交于点E,在ABNE中，可求得BE=,则 其 七=述51 5可求得AG=3,则AG=1(2)以81为原点，与8方向为x轴，片。方向为)，轴，5 A方向为二轴,建立空间直角坐标系.8(4,0,0),M(2,2,0),G(3,0,2),N(2,0,0)BM=(-2,2,0),BG=(-1,0,2),易得平面 BMG 的法向量为1=(2,2,1).W=(0,2,0),NG=(1,0,2),易得平面 N
20、MG 的法向量为后=(2,0,-1).设二面角B MGN为由图可知。为锐角，所以n-n _ 3 _ 51nli|%|3-75 5即二面角BMGN的余弦值为手.【点睛】本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.(1)证明见解析；(2)873.【解析】(1)要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出BC_L平面4 BA即可；(2)求出点4到平面B C G 4的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥A-8C C出的体积.【详解】(1)连接4 C,由A C&4是平行四边形及N是AC的中点，得N也是A C的中点，因为点M是4 8的中点，所以M
21、 N/BC,因为 M N J.A 4,所以 BC_LAB1,又43 0 4用=4,所以8。，平面4 3出4,又B Cu平面BCG片，所以平面B C G B 1平面A4BA；(2)过A作A。交与B于点。，因为平面BCC#J_平面平面B C C 4 n平面=所以AO _L平面BCG与，由是菱形及/A BB1=6 0 ,得AAB四为三角形，则AO=2百，由8CJ_平面A 4 B A,得 B C上B B,从而侧面B C C 4为矩形，所以 Kt SCC.B,=g*O A x B C x 8 出=；x 2 G x 3 x 4=8g.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.7 i
22、 7 i22.(1)-卜 k兀,F kjf(k w Z)(2)-6 3 2【解 析】(1)利用降次公式、辅 助 角 公 式 化 简/(x)解 析 式，根据三角函数单调区间的求法，求 得“X)的单调递增区间.A(2)先 由/=1求 得 人，利 用 正 弦定理得到c=2 8,结合余弦定理列方程，求得九C,由此求得三角形A B C的面积.【详 解】(1)函数/(%)=2s i n2 x +25/3 s i n X C O S X-1,X G R,f(x)=5/3 s i n 2 x-co s 2 x=2 s i n(2x -),6 7T 7T 7T由+2 k7 t 2 x W +2 k7 r,keZ,2 6 2-k7 C x/3,c=2 G,/.S 八A R0 IC.=2/?cs i n A6x2 6 x 与巫2 2X1-2【点 睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积 公 式，属于中档题.