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1、2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数一、选 择 题（共10小题）1.（2021秋万州区期末）在 A 48c中，NA、NB为锐角，cos A=,tan 8=且，则AA8C2 3的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形2.（2021秋莱芜区期末）如图，给出了一种机器零件的示意图，其中CE=1米，BF=43米，则 AB=（）A.（1 +扬 米 B.（若-1）米 C.（2-我 米 D.（2+扬 米3.（2021秋霍邱县期末）若角。的余角是30。，则cos”的值是（）A,是4.B.3（2021秋惠安县期末）如图中的每个小正方形的边长均相等,1-D.2则 sin
2、AC的值为（C2A.1 B.C.D.-2 2 345.(2021 秋合肥期末)如图，在 AABC 中，NC=9O。，若 sinB=-,则 sinA=()B6.（2021秋高州市校级期末）在RtAABC中，Z C =90,若A4BC的三边都缩小3 倍，则sin A 的值（）A.缩小3 倍 B.放大3 倍 C.不变 D.无法确定7.（2021秋朝阳区校级期末）为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车,图 1为单车实物图，图 2 为单车示意图，与地面平行，点A、B、。共线，点。、F、G 共线，坐垫C 可沿射线BE方向调节.已知，Z4BE=70。，车轮半径为3 0 s,当8C=60C7 时
3、，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C 离地面高度约为（）（结果精确到law,参考数据：sin 70 0.94,8 s 70。=0.34,tan 70 1.41）G8.（2021铜仁市模拟）A4BC 中，ZC=90.8 c =12,AB=1 3,那么 tanA 的值等于（）A.A BC.A D13 13 12 59.（2019秋龙口市期末）若 a,尸为锐角，且sina=c o s/?,则a +夕的值（）A.小于90。B.等于90。C.大于90。D.无法确定10.（2019秋龙口市期末）已知tang-15。）：土，则锐角a 的度数为（）3A.75 B.60 C.45 D.30二、填 空 题（共
4、 7 小题）11.（2021 秋长清区期末）已知在RtAABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,贝 hanB 等于.12.（2021秋通道县期末）如图，一斜坡4 5 的坡度是i=3,将重物从坡底A 推到坡上204米的M处停下，则停止地点M的高度为 米.B13.（2021 秋青岛期末）计算：cos230+sin2300-2tan450=.14.（2021秋滦阳市期末）如图，在边长1 正网格中，A、3、C 都在网格线上，A B 与 C D相交于点。，则s in Z A D C=.15.（2021秋兰考县期末）在AA8C中，4 4 与 Nfi都是锐角，且|sin A|+|c o s 8-由=（）
5、，2 2则AABC的 形 状 是.16.（2021汉川市模拟）如图，睿智数学兴趣小组为了测量河对岸的两棵古树A、8 之间的距离，他们在河对边沿着与他 平行的直线6 上 取 C、O 两点，测 得/4C B =15。，NACD=45。，若4 之间的距离CE为50机，则古树A、8 之间的距离为 机.（结果保留根号）A B_ _ _ _ _ _ _ _ _ _:D C l21 7.如图，在直角三角形ABC中，NC=90。，B C =3,AC=4,点。是线段AC上的动点,设=4 B A C =/3,有以下说法：当0。二 tan .当 0。尸 cos 0 .。为 AC中点时，sin/Z）BA=叵.比）平分
6、 NCB4时，tan/?=2tana.其中，正确的是.（填序号）BC D A三、解 答 题（共 8小题）1 8.（2 0 2 1 秋桐城市校级期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.如图，M B C,A/如分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线P 3 与地面3E 的夹角N PB E=4 5。，视线P E 与地面3E 的夹角NPEB =2 0。，点 A,尸分别为 PB,P E 与车窗底部的交点，AF/BE,AC,/D 垂直于地面B E,A点到8点的距离应 米（参考数据：sin 2 0 0.3,c o s2 0 =0.9,ta n 2 0 0.4）（1）求 盲
7、 区 中 的 长 度;（2）点M 在 E D 上，恸=1.8 米，在 M 处有一个高度为。3 根的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由.1 9.（2 0 2 1 秋宁波期末）芳芳家有一种伸缩挂衣架（如图1）,伸缩挂衣架中有3个菱形组成，每个菱形边长为1 0 c m.伸缩挂衣架打开时，每个菱形的锐角度数为6 0。（如图2）：伸缩挂衣架收拢时，每个菱形的锐角度数从6 0。缩小为1 0。（如图3）.问：伸缩挂衣架从打开到收拢共缩短了多少c/n?（结果精确到Ic m,参考数据：sin5 =0.0 8 7 2 ,c o s5 0.996 2,sin 1 0 0.1 7 3 6,c o s 1 0 0.
8、98 4 8）.图1图32 0.（2 Q 2 1 秋宁波期末）2 sin 3 0 0 -ta n 6 0 0+c o s3 0 0 -ta n2 4 5 0.2 1.（2 0 2 1 秋北暗区校级期末）重庆移动为了提升网络信号，在坡度为i =l:2.4 的山坡4 5上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q 到坡底A 的距离为3.9 米.同时为了提醒市民，在距离斜坡底A 点 4.4米的水平地面上立了一块警示牌M N.当太阳光线与水平线成53。角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子E N长为3 米.（1）求点。所在位置的铅直高度；（2）请计算信号塔PQ 的高度大约为多少 米.（参考数据：sin
9、530.80,cos530.60,tan53 1.3 3,结果精确到0.1米）22.（2021濮阳模拟）随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志着我国已进入“双航母”时 代.已 知“山东舰”舰长 即 为 315帆，航母前端点E 到水平甲板处的距离 D E 为6m,舰岛顶端A 到 处的距离是A C,经测量，NB4c=71.6。，NE4C=80.6。.（参考数据：sin 71.6 0.95,cos71.60.32,tan 71.6 3.01,sin80.6 0.99,cos80.60.16.tan80.6 6.04）请计算舰岛A C的 高 度（结 果 精 确 到.23.（2019 秋龙
10、口市期末）计 算:-tan450+cos2 450-2sin60-cos30.42 4.在等腰三角形？IBC中，AB=A C,且有tanN84C=1，求 tanNABC的值.32 5.已知AABC,A C=3,A B =,该三角形的面积为0,求 8C 与cosB的值.2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数参考答案与试题解析一、选 择 题（共10小题）I.（2021秋万州区期末）在 AABC中，NA、N 5为锐角，cos A=且，tan 8=且，则A4BC2 3的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形【答案】A【考点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定；解
11、直角三角形【专题】推理能力；等腰三角形与直角三角形【分析】根据特殊角的三角函数值求出NA和 的 度 数，然后判断形状.【解答】解：在 AABC中，NA、为锐角，cos A=,tan B=,2 3:.ZA=30,ZB=30,:.ZA=ZB,BC AC 9.AABC为等腰三角形.故选：A.【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定，特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.2.（2021秋莱芜区期末）如图，给出了一种机器零件的示意图，其中CE=1米，BF=6A.（1 +百）米 B.（百-1）米 C.（2-6）米 D.（2 +行）米【答案】C【考点】解直角三角形的应用【专
12、题】应用意识；解直角三角形及其应用【分析】作 A，_ L 所 于 H,利用三角函数求出F,再根据A B =F =CF-CH得出43的长即可.【解答】解：作于”，C _DK45由图知，与水平方向呈3 0。夹角，BF=拒米,EF=BF-t a n 3 0 =1 （米），AC与水平方向呈4 5。夹角，.A 4 C H 是等腰直角三角形，:.CH=A H =FB=J,.C E =1 米，；.A B=H F =C F-C H =C E+E F-C H =+-E =Q-5（米），故选：c.【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键.3.（2 0 2 1 秋霍邱县期末）
13、若角a的余角是3 0。，则c o s a 的值是（）A.3 B.走 C.在 D.13 2 3 2【答案】D【考点】余角和补角；特殊角的三角函数值【专题】运算能力；线段、角、相交线与平行线【分析】先求出Na,然后再根据特殊角的三角函数值即可解答.【解答】解：由题意得：Z a =90-30=60,.8560。=,2故选：D.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，余角和补角，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.4.（2021秋惠安县期末）如图中的每个小正方形的边长均相等，则 sinN B4c的值为（）曰CA.1 B.C.D.-2 2 3【答案】B【考点】解直角三角形【专题】解直角三角形及其应用；
14、运算能力【分析】要求sinN B4c的值，必须把N8AC放在直角三角形中，所以想到连接8 C,然后证明AABC是等腰直角三角形即可解答.【解答】解：连接BC,由题意得：8 c 2=+2?=5,AC2=l2+22=5,AB2=12+32=1O,BC2+AC2=AB2,.AA8C是直角三角形,/.ZACB=90,.A C =BC,:.ZBAC=ZABC=45,/.sin ZBAC=sin 45=，2故选：B.【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.45.（2021 秋合肥期末）如图，在 AABC 中，ZC=9 O.若sinB=g,则 sinA=（）
15、【答案】A【考点】互余两角三角函数的关系【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】根据题目的已知设AC=4a,AB=5a,然后利用勾股定理求出3 c 的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可.AC A【解答】解：在AABC中，ZC =90,sinB=-.AB 5.设 AC=4a,AB=5 a,：.BC=IAB2-AC2=7（5）2-（4a）2=3a,.“BC 3a 3.sin A=-=一,AB 5 a 5故选：A.【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键.6.（2021秋高州市校级期末）在 RtAABC中，ZC=9 0 ,若 AA8C
16、的三边都缩小3 倍，则sin A 的值（）A.缩小3 倍 B.放大3 倍 C.不变 D.无法确定【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】根据题意可知变化后的三角形与原三角形相似即可解答.【解答】解：在 RtAABC中，ZC=9 0 ,若 AA8c的三边都缩小3 倍，变化后的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，可知Z 4 的大小没有发生变化，.sin A 的值不变，故选：C.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，根据题意可知变化后的三角形与原三角形相似是解题的关键.7.（2021秋朝阳区校级期末）为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了
17、共享单车,图 1为单车实物图，图 2 为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、。共线，点。、F、G 共线，坐垫C 可沿射线8 E 方向调节.已知，/4B E =7O。，车轮半径为30。，当3 c =60c?时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C 离地面高度约为（）（结果精确到15Z,参考数据：sin70 0.94,8 s 700 之 0.34,tan 70 1.41）图 1图2A.90 cm B.86cm C.82 cm D.80cm【答案】B【考点】解直角三角形的应用【专题】解直角三角形及其应用；应用意识【分析】作于 ，作/kP_L地面于P,利用三角函数求出CH+AP即可.【解答】解：作
18、 C7/_LAB于 H,作 A PL 地面于P,Gc图2由题知，AP=30cm,3 c =60cm,ZABE=1QP,:.CH=BC-sin 70 a 60 x 0.94=56.4(cm),坐垫C离地面高度约为56.4+30 x 86(cm),故选：B.【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的知识是解题的关键.8.(2021铜仁 市 模 拟)AABC 中，ZC=90,8 c =12,AB=1 3,那么 tanA 的值等于()A.B.C.D.13 13 12 5【答案】D【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】根据勾股定理先求出A C的
19、值，然后利用锐角三角函数的定义即可解答.【解答】解：.NC=90。，3 c =12,AB=13,AC=yjAB2-BC2=V132-122=5,BC 12tan A=-=,AC 5故选：D.【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键.9.(2019秋龙口市期末)若a,尸为锐角，且sina=c o s/5,则a+尸的值()A.小于90。B.等于90。C.大于90。D.无法确定【答案】B【考点】互余两角三角函数的关系【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】根据互余两角三角函数关系判断即可.【解答】解：若夕，力为锐角，且 sina=cos
20、，则c +夕的值为90。，故选：B.【点评】本题考查了互余两角三角函数关系，熟练掌握互余两角三角函数关系是解题的关键.10.（2019秋龙口市期末）已知tan（tz-15o）=且，则锐角a 的度数为（）3A.75 B.60 C.45 D.30【答案】C【考点】特殊角的三角函数值【专题】运算能力；解直角三角形及其应用【分析】根据特殊角的三角函数值判断即可.【解答】解：tan（a-150）=q,-15。=30。，/.a=45,故选：C.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.二、填 空 题（共 7 小题）11.（2021 秋长清区期末）已知在 RtAABC中，
21、ZC=90,AC=6,B C=8,则 tanB 等工 3于一一 4 一【答案】4【考点】锐角三角函数的定义【专题】解直角三角形及其应用：运算能力【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可.【解答】解：在 RtAABC中，NC=90。，A C =6,BC=8,nA C 6 3.tan D-BC 8 4故答案为：.4【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键.12.（2021秋通道县期末）如图，一斜坡A 3的坡度是i=，将重物从坡底A推到坡上204米的M处停下，则停止地点M的高度为 1 2米.【考点】解直角三角形的应 用-坡度坡角问题【专题】应用意识；
22、解直角三角形及其应用【分析】过点M作M V L A C于N,根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案.【解答】解：过点M作MN_LAC于N,设MN=3x米，.斜 坡 的 坡 度 是3,4/.AN=4x 米，在 RtAAMN 中，A M2=A N2+M N2,即 20?=（4 x/+（3x,解得：芭=4,X2=-4（舍去），则仞N=3x=12（米），【点评】本题考查度数解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度/的比是解题的关键.13.（2021 秋青岛期末）计算：cos230+sin2300-2tan45=_-1【答案】1.【考点】同角三角函数的关系；特殊角的
23、三角函数值【专题】实数；运算能力【分析】根据sin%+cos%=l进行计算即可.【解答】W：c o s23 0 +s in2300-2t a n 45 =1-2x 1=1 故答案为：-1.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，同角三角函数的关系，熟练掌握s iY a +c o s 2a =1是解题的关键.14.（2021秋滦阳市期末）如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，M 与 8相交于点力，则s in NA ）C=乙后.-5 1【答案】迫.5【考点】解直角三角形【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】要求s in ZADC的值，可以转化为和它相等的角，所以想到延长8 到点E,
24、连接BE,然 后 证 明 是 直 角三角形，求出s in/E Q B 的值即可.【解答】解：如图，延长CD到点,连接DE2=12+12=2,EB2=22+22=8 ,BD2=+32=10,DE2+EB2=BD2,.A D E 8 是直角三角形,.、3=丝=挈=拽D B屈 5 ZADC=ZED B,.2/5z.sm NADC=-,5故答案为：正.5【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线，是解题的关键.15.（2021秋兰考县期末）在 AABC中，与Nfi都是锐角，且|sin A-|+|c o s B-1=0,2 2则AABC的形状是 等 腰 三 角 形.【答
25、案】等腰三角形.【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值【专题】运算能力；实数【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合非负数的性质得出N4=3O。，ZB=3 O,进而得出答案.解答解：sin A-1 +|cos B-1=0,2 2.4 1 八 I?G C2 2.1 R 上r.sinA=,cos 8=，2 2.ZA=30,NB=30。，A 48c的形状是等腰三角形.故答案为：等腰三角形.【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确得出各角的度数是解题关键.16.（2021汉川市模拟）如图，睿智数学兴趣小组为了测量河对岸的两棵古树A、8 之间的距离，他 们 在 河 对 边
26、沿 着 与 平 行 的 直 线 6 上 取 C、O 两点，测 得/4C B =15。，ZACD=4 5 ,若 之 间 的 距 离 C E为50加，则古树A、3 之间的距离为_（5 0-习 电）m .（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用【专题】解直角三角形及其应用：应用意识【分析】如图，过点A 作 AM_L）C 于 点 过 点 8 作 8V_LEC于点N.则=通过解直角A4cM 和 ABCV分别求得CM、CN的长度，则易得MV=A8.【解答】解：如图，过点A 作于点M,过点3 作 8N_LDC于点N.则 AB=MV,A M =BN.在 RtAACM 中，.ZACM=45。，A M =5Qm
27、,.CM=A M=5 0 m.在 RtABCN 中，N B C N =Z A C B +Z A C D =60P,B N =50m,M N =C M-C N =50-一-（加）-则AB=M N =（50-迎 叵）加.3故答案是：（50-竺巫）.【点评】本题考查了解直角三角形的应用.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.1 7.如图，在直角三角形ABC中，ZC=90,BC=3,AC=4,点 O 是线段AC上的动点,设NBDC=a,/BAC =。,有以下说法:当0/?atan.当 0。夕 a cos/?.。为 AC中点时，sin/DB4=叵.65 3）平分
28、 NC84时，tan/?=2tana.（填序号）【考点】锐角三角函数的增减性；解直角三角形；角平分线的性质【专题】解直角三角形及其应用：运算能力【分析】结合图形可知a ，利用正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，即可判断和，要求sinNOBA的值，想到构造直角三角形，所以过点。作D E A.A B,垂足为E,利用面积法先求出D E 的长，然后在RtABDE中进行计算，即可判断，根 据 平 分 NCBA时，想到角平分线的性质定理，所以过点。作垂足为F,利用面积法求出炉的长，最后求出ta n a 与 tan尸即可判断.【解答】解：.NB0C是的外角，:.ZBDC=ZA+ZABD,
29、:.ABDCZA,即a 尸,当 0 /?a tan/?,故正确；当 0。夕 c 90 时，cos a/32+22=V13,.MA?C的面积=ABCD的面积+ABD4的面积,-A C BC=-C D BC+-A B DE,2 2 2.*.3x4=2x3+5D E,：.DE=,56在 RtABDE 中，sinZDBA=-,BD V13 65故错误；过点。作。尸，4 5,垂足为尸，C D A.,比)平分/C 8 4,D F rA B,DCA.BC,:.DC=D F,AA8C的面积=ABC的面积+M D 4的面积,-A C BC=-C D BC+-A B D F,2 2 2.*.3x4=3DC+5DF
30、,/.8ZX?=12,BC 3在 RtABCD 中，tanNBZ?C=tana=-2,CD 32n r 3在 RtABCA 中，tan ZBAC=tan Z?=-,AC 4.,.tan，*2 tan a ,故错误；所以，正确的是：，故答案为：.【点评】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，锐角三角函数的增减性，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.三、解 答 题（共8小题）18.（2021秋桐城市校级期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.如图，M B C.A/如分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线P 3 与地面3 E 的夹角NP3
31、E=45。，视线P E 与地面3 E 的夹角NPB=20。，点 A,F 分别为PB,P E 与车窗底部的交点，A F/B E,AC,FD垂直于地面BE,A 点到8 点的距离0 米（参考数据：sin 20O 0.3.cos20=0.9,tan 200 0.4）（1）求盲区中。E 的长度；（2）点M 在 E D 上，0 =1.8米，在处有一个高度为0.3%的 物 体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由.【答案】（1）2.5 m；（2）驾驶员能观察到物体，理由见解答过程.【考点】视点、视角和盲区；解直角三角形的应用-坡度坡角问题【专题】应用意识；解直角三角形及其应用【分析】（1）根据等腰直角三角形的性
32、质求出A C,根据正切的定义求出小；（2）过点用作N M J.E D,交P E于N,根据正切的定义M N,比较大小得到答案.【解答】解：（1）-.FD EB,A C rE B,A F/B E,/.D F =AC,在 RtAACB 中，ZAC8=90。，Z PBE=45 ,A8=0 米，：.A C=B C =AB=-x2=（米），2 2:.DF=A C =l,在 RtADEF 中，Z F D E =90 ,NPEB=20。,np 1:.DE=-x =2.5（米），tan ZPEB 0.4答：盲区中止的长度约为2 5 ；（2）驾驶员能观察到物体，理由如下：过点M 作 M 0_L E D,交P E于
33、N ,.）=2.5 米，例/）=1.8 米，.M=0.7 米，在 RtAEMN 中，肱V=EM-ta n/P E 0.7x04=0.28（米）,.-0.3 0.28,在M处有一个高度为0.3m 的物体，驾驶员能观察到物体.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.19.（2021秋宁波期末）芳芳家有一种伸缩挂衣架（如图1）,伸缩挂衣架中有3 个菱形组成，每个菱形边长为10。.伸缩挂衣架打开时，每个菱形的锐角度数为60。（如图2）；伸缩挂衣架收拢时，每个菱形的锐角度数从60。缩小为10。（如图3）.问：伸缩挂衣架从打开到收拢共缩短了多少C M?（结
34、果精确到la”，参考数据：sin 5 0.0872,cos5=0.9962,sin 10 a 0.1736,cos 10 a 0.9848）.110cVW一黑图1图2图3【答案】25cm.【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形的应用【专题】解直角三角形及其应用；应用意识【分析】连接班,B、D、,作耳.于“，根据等边三角形求出身 利用三角函数求出B R即可求出缩短的总长度.【解答】解：连接B R,作 A H L B R 于 H,.四 边 形 是 菱 形，Z 4 =6 0 ,:.AABD为等边三角形,B D=A B =10c/v,/B A R =IO,/.4AH =5，BD=2B
35、1H=2 AB1-s i n 5 =2 x l 0 x 0.0 8 7 2 =L 7 4 4(c”),衣架从打开到收拢共缩短了 3 x(1 0-1.7 4 4)=2 5(c m),答：衣架从打开到收拢共缩短了大约2 5 c m.【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键.2 0.(2 0 2 1 秋宁波期末)2 s i n 3 0 0 -t a n 6 0 0+c o s 3 0 0 -t a n2 4 5 .【答案】4【考点】特殊角的三角函数值【专题】实数；运算能力【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案.【解答】解：原式=2X4-G
36、 +正 一-2 2=1-7 3+-12百-.2【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.21.（2021秋北硝区校级期末）重庆移动为了提升网络信号，在坡度为i=l:2.4的山坡4）上加装了信号塔尸。（如图所示），信号塔底端。到坡底A的距离为3.9米.同时为了提醒市民，在距离斜坡底4点4.4米的水平地面上立了一块警示牌M N.当太阳光线与水平线成53。角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子硒长为3米.（1）求点。所在位置的铅直高度；（2）请计算信号塔P。的高度大约为多少米.（参考数据：sin53 0.80,cos530.60,tan531.33,结果精确到0.1米）【
37、答案】（1）1.5米；（2）约 为11.9米.【考点】平行投影；解直角三角形的应用-坡度坡角问题【专题】解直角三角形及其应用；等腰三角形与直角三角形；推理能力；运算能力；应用意识【分析】（1）过点E作EFJ 尸。于点F,延长PQ交8 4于点G,由坡度的定义和勾股定理求出QG的长即可；（2）锐角三角函数关系得出P F的长，进而得出答案.【解答】解：（1）过点作 仃 _LP。于点尸，延长PQ交 8 4 于点G,如图所示:则 QG _L 54,.Q =3.9 米，Q G:A G =1:2.4,.设 0G=x 米，则 AG=2.4x 米，在 RtAAGQ中，由勾股定理得：f+（24x）2=3.92,解
38、得：x=1.5（负值已舍去），答：点。所在位置的铅直高度为1.5米：（2）AG=2.4x=3.6（米），:.EF=N G =A G+A N =3.6+4A=8（米），PF在 RtAPFE,tan Z.PEF=，EF即 tan53o=，1.3,EF 8解得：PFal0.4（米），F Q =E N-Q G =3-i.5=.5（米），信号塔PQ 的高为：P g=10.4+1.5=11.9（米）,答：信号塔PQ 的高度大约为11.9米.【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.22.（2021濮阳模拟）随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志着我国已
39、进入“双航母”时 代.已 知“山东舰”舰长 即 为 315帆，航母前端点E 到水平甲板班 的距离 D E 为6m,舰岛顶端A 到 处的距离是A C,经测量，Zfi4C=71.6,NE4c=80.6。.（参考数据：sin 71.6 0.95,cos71.60.32,tan 71.6 3.01,sin 80.6 0.99,cos80.6 0.16.tan80.6=6.04）请计算舰岛A C的 高 度（结果精确到1?）.【答案】39m.【考点】解直角三角形的应用【专题】应用意识；解直角三角形及其应用【分 析】作 E F Y A C 于 尸，设 AF=x,利 用 三 角 函 数 求 出 AF,再 根
40、据AC=AF+FC=AF+ED求出 AC 即可.【解答】解：作 EFJ_AC于尸，设 Ab=x,.”t是一个矩形，:.FC=ED=6m,EF=D C,在 RtAAEF 中，ZE4c=80.6。，EF二.tan/EAC=,AF/.EF=A Ftan ZE4C=x-tan 80.6=6.04x,在 RtAABC 中，4 4 C =71.6。，tan NBAC=,ACBC=AC tan ABAC=(x+6)tan 71.6。=3.0l(x+6)=3.01x4-18.06,BC+CD=BC+EF=BD=315 ,/.3.0 lx+18.06+6.04x=315,即 9.05x=296.94,XQ 32
41、.81 3 3 ,AC=AF+FC=AF+ED=33+6=39(m)f答:舰岛AC的高度是39机.BD【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的知识是解题的关键.23.（2019 秋龙口市期末）计算：-ta n 450+cos2450-2 sin600-cos300.4【答案】-3.4【考点】特殊角的三角函数值【专题】实数；运算能力 分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.【解答】解：-tan 45+cos2 450-2 sin 60-cos 3043 4 ,【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.24.在等腰三角形ABC中，AB=A
42、C,且有tanNBAC=，求 tanNABC的值.3【答案】710+3.【考点】等腰三角形的性质；解直角三角形【专题】应用意识；解直角三角形及其应用；计算题【分析】过点C 作 CD_L A 8,垂足为O.在RtAADC中，用含CD的线段表示出4）、A C ,求出庭）,再在RtABDC中求出NA3C的正切值.【解答】解：过点C 作垂足为D.在 RtAADC 中，C D /t a n N B A C =-,A D 3设 CD的长为。，则 A D =3夕.?.A C =AB=y/AD2+C D2=.B D=A B-A D =M a -3 a./%n-C D at a n N A 8 c =-BD 屈
43、a-3 a=Vw+3.答：t a n N A B C 的值为 J i6 +3.【点评】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，过点C作 CD，45构造直角三角形是解决本题的关键.2 5.已知A A B C,AC=3,4 3 =1,该三角形的面积为&,求 BC与c o s B 的值.【答案】8 c长为2 点 或 2 6,8 s 8的值为0或 正.3【考点】解直角三角形；三角形的面积【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】根据三角形的面积公式求出AC边上的高3。的长度，再根据勾股定理求出45；然后分N f i4 c 是 锐 角 与 4 c 是钝角两种情况讨论即可求解.【解答】解：作A A
44、B C 的高质）.-SB C=-AC BD =-X3BD=-BD=/2,ZW JL2 2 22 及3.AD=y/AB2-BD2=l2-（y-）2=；.分两种情况:当N a 4 c是锐角时,1 O 2 /2在A 8 Q 中，DtC=A C-A Di=3-=,B Q =半.e.B）C=+I2=2近,F+（2&）2=3 2,gp A C2+B,C2=A C2,ZA B C =90,/.co sB =0；当N fi4 c是钝角时,1 1 n,B在A B 2a 中，D2C=AC+AD2=3 +-y,B2D2=-小 =椁2+（半）2=2收作 A E _LB 2c于 E.SMBC=-B C A E =-x2
45、-j3A E =A E =y/2,2 2.AE,c s 5=殁=a=AB 1 3BE=综上所述，3 c长为2&或2石，c o s B的值为0或 且3AC【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，进行分类讨论是解题的关键.考点卡片1 .非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.根据上述的性质可列出方程求出未知数的值.2 .余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于9 0 （直角），就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角.（2）补角：如果两个角的和等于1 8 0 （平角），就说这两个角互为补
46、角.即其中一个角是另一个角的补角.（3）性质：等角的补角相等.等角的余角相等.（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.注意：余 角（补角）与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系.3.三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即必底X高.2（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.4 .角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意：这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直
47、角平分线的性质语言：如图，在N A O B的平分线上，CD1.OA,CE OB：.C D=C E5 .等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.6 .等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.【简称：等角对等边】说明：等腰三角形是一个轴对称图
48、形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法.等腰三角形的判定和性质互逆：在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；判定定理在同一个三角形中才能适用.7 .等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形.（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）判定定理2：有一个角是6 0 的等腰三角形是等边三角形.说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为6 0 ,则用判定定理2来证明.8 .等边三角形的判定与性质（1）
49、等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含 有 30 角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个6 0 的角判定.9.勾股
50、定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是4,b,斜边长为C,那 么/+廿=,2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式。2+必=,2的变形有：=/2 ,2,b=i 2.2 及。=，2+卜2.（4）由于a1+b1=c2 a1,所 以c a,同 理c b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.1 0.菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组