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1、8.38.3 简单几何体的表面积与体积复习教案简单几何体的表面积与体积复习教案8.3.18.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【基础知识拓展】【基础知识拓展】1计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题2在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”【跟踪训练】1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的()(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和()答案(1)(2)(3)2做
2、一做(1)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()A.3 32a43B.a246 32.a43 32C.a2(2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是_(3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为 3，则该棱台的体积为_答案(1)A(2)60,94(3)28【核心素养形成】【核心素养形成】题型一题型一多面体的表面积多面体的表面积例 1现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为 9 和 15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积解如图，设底面对角线ACa，BDb，交点为O，对角线A1C15，B1D9，
3、a252152，b25292，a2200，b256.该直四棱柱的底面是菱形，AC2BD2ab2AB 422222005664，AB8.4该直四棱柱的侧面积S485160.【解题技巧】【解题技巧】求多面体的表面积求多面体的表面积(1)对于简单几何体，我们可利用公式，直接求出其表面积，而在求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割(或补全)成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积(2)求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用【跟踪训练】1正三棱台上、下底面边长分别是a和 2a，高
4、为a，则正三棱台的侧面积为2()Aa29C.a22答案D解析如图，O1，O分别为上，下底面的中心，D，D1分别为AC，A1C1的中点，1B.a22D.3 32a2133133在直角梯形ODD1O1中，OD 2aa，O1D1 aa，3233263aDEODO1D1a.在 RtDED1中，D1E，62则D1D 3 2a2a 6212a23a a，1243133 32所以S棱台侧3(a2a)aa.232题型二题型二多面体的体积多面体的体积例 2如图所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比解解法一：设ABa，ADb，DDc，则长方体ABCD
5、ABCD的体积Vabc，1又SADDbc，且三棱锥CADD的高为CDa.211所以V三棱锥CADDSADDCDabc.3615则剩余部分的体积V剩abcabcabc.6615故V棱锥CADDV剩abcabc15.66解法二：已 知长 方体 可以看 成侧 棱垂 直于 底面的 四棱 柱ADDABCCB，设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为VSh.1而棱锥CADD的底面面积为S，高为h，2111因此，棱锥CADD的体积VCADD ShSh.32615剩余部分的体积是ShShSh.66所以棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为15ShSh15.66【解题技巧】【解题技巧】求多面体体积的常
6、用方法求多面体体积的常用方法【跟踪训练】正六棱锥(底面为正六边形，顶点在底面的正投影为底面的中心)PABCDEF中，G为PB的中点则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为()A11 B12 C21 D32答案C解析G为PB的中点，VPGACVPABCVGABC2VGABCVGABCVGABC.又多1边形ABCDEF是正六边形，SABCSACD.VDGACVGACD2VGABC.VDGACVPGAC221.1.题型三题型三组合体的表面积与体积组合体的表面积与体积例 3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A54 B60 C66 D72解析根据几何体的三视图，可得该几何体的直观图为如
7、图所示的几何体ABCDEF，11故其表面积为SSDEFSABCS梯形ABEDS梯形CBEFS矩形ACFD 35 342211(52)4(52)53560.22答案B【解题技巧】【解题技巧】求组合体的表面积与体积的方法求组合体的表面积与体积的方法求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减【跟踪训练】若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()2232A.B.C.D.6333答案B解析如图所示，平面ABCD把该多
8、面体分割成两个体积相等的四棱锥以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥组合而成，该棱锥的高是正方体棱长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则1122该凸多面体的体积为V2 2 2.3232【课堂达标训练】【课堂达标训练】1已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为 2，则它的表面积是()A2 3C4答案B解析S表43224 3.故选 B.4B4 3D62底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 2，体对角线长为 6，则这个棱柱的侧面积是()A2 B4 C6 D8答案D解析由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为1，长方体的高为 622，故这个棱柱的侧面积为 1248.
9、3已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()2A.6C.233B.6D.22答案A解析由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的 2 倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的 2 倍 如图所示，在三棱锥OABC中，其棱长都是 1，133作出三棱锥OABC的高OD，连接DC，则SABC 1，ODOC2CD2224361362122，所以VSABC2VOABC2.3343634已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_答案160
10、3解析由题意，知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱的底面为等腰直角三角形，面积为8，高为844，故V直三棱柱8432，四棱锥的底面是边长为 4 的正方形，高为 4，故V四棱锥16464160164，故该几何体的体积VV直三棱柱V四棱锥32.33335 已知三棱台ABCA1B1C1上底面的面积为a2，下底面的面积为b2(a0，b0)，作截面AB1C1，设三棱锥BAB1C1的高等于三棱台的高，求三角形AB1C1的面积解将三棱台分割成三棱锥AA1B1C1，BAB1C1及C1ABC，设三棱台的高为h，则这三个三棱锥的高都是h.由于VABCA1B1C1VAA1B1C1VBAB
11、1C1VC1ABC，1111即(a2abb2)ha2hSAB1C1hb2h，得SAB1C1ab，故三角3333形AB1C1的面积为ab.8.3.18.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课后作业棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课后作业基础巩固训练一、选择题1设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5，那么它的体积为()A6 3 B.3 C2 3 D2答案B解析由正六棱锥的底面边长为 1 和侧棱长为 5，可知高h2，又因为底面积S3 3113 3，所以体积VSh 2 3.23322将一个棱长为a的正方体切成 27 个全等的小正方体，则表面积增加了()A6a2 B12a2 C18a2 D24a2答案B
12、解析棱长为a的正方体的表面积为S16a2，由棱长为a的正方体切成的a 27 个全等的小正方体的表面积和为S2276 218a2，因此表面积增加了3 12a2，故选 B.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A11C1 3答案C解析如图，三棱锥D1AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对B1 2D12132角线设正方体的棱长为a，则面对角线长为 2a，S锥4(2a)222 3a2，S正方体6a2，故S锥S正方体1 3.4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.5603B.5803C200答案CD240解析由三视图可作出如图所
13、示几何体，该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为 1，下底长为 9，高为 4，故底面积S的高为 10，所以体积VSh2010200.19420.又棱柱25.如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高SO3，则此正三棱锥的表面积为()A9 3B18 3C27 3答案CD36解析如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过点O作OEAB，与AB交于点E，连接SE，则SEAB，SEh.S侧2S底，13 3aha22.24a 3h.SOOE，SO2OE2SE2.3223 3h h.62h2 3，a 3h6.S底323a629 3，S侧2S底18 3.44S表S侧S底18
14、 39 327 3.二、填空题6用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是_答案8解析如图(1)为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图(2)所示，由图知正方形的边长为 2 2，其面积为 8.7 如图所示，在三棱柱ABCABC中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面ECBF将三棱柱分成体积为V1(棱台AEFACB的体积)，V2(几何体BFECCB的体积)的两部分，那么V1V2_.答案75解析设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则VV1V2Sh.1因为E，F分别为AC
15、，AB的中点，所以SAEFS，41 1所以V1hSS347S Sh，412SV2VV1Sh.所以V1V275.8 已知正三棱锥的侧面积是27 cm2，底面边长是6 cm，则它的高是_答案6 cm512解析如图所示，正三棱锥PABC的底面边长为 6 cm，过点P作PO平面ABC，O为垂足，取AB的中点D，连接PD，OD.1由题意得 3 ABPD27，2所以PD3 cm.又OD36 3 cm，6所以它的高POPD2OD2 93 6 cm.三、解答题9甲、乙是边长为 4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的表面积都等于这个正方形的面积(不计焊接缝的面
16、积)(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；(2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论解(1)将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为 2a，高为a的正四棱柱将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为 2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为 2a，斜高为 3a的正四棱锥(2)因为正四棱柱的底面边长为 2a，高为a，所以其体积V柱(2a)2a4a3.又因为正四棱锥的底面边长为 2a，高为h 9a2a22 2a，18 23所以其体积V锥(2a)22 2aa
17、.338 22128168 2 16因为 420，即 4，9933所以 4a38 23a，所以V柱V锥，3故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大能力提升训练1已知长方体的表面积是 24，所有棱长的和是 24，则长方体的体对角线的长是_答案2 3解析设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，2xyxzyz24，则有4xyz24xyxzyz12，xyz6，则长方体的体对角线的长为x2y2z2 xyz22xyxzyz 36242 3.2 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积解如图所示，
18、在三棱台ABCABC中，O，O分别为上、下底面的中心，D，D分别是BC，BC的中点，连接OO，AD，AD，DD，则DD是等腰梯形BCCB的高，记为h0，所以S侧3(2030)h075h0.上、下底面面积之和为3S上S下(202302)325 3(cm2)4由S侧S上S下，得 75h0325 3，所以h01310 3又OD 20(cm)，32313 3(cm)312OD 133305 3(cm)，2记棱台的高为h，则2hOOh20ODOD13 3210 32 5 3 4 3(cm)，33由棱台的体积公式，可得棱台的体积h4 33V(S上S下S上S下)325 320301900(cm3)3348.
19、3.28.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积复习教案圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积复习教案第第 1 1 课时课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积【基础知识拓展】【基础知识拓展】1对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识(1)等底、等高的两个柱体的体积相同(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的 3 倍(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系VShV(SSSS)h13VSh.132圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握
20、它们的侧面积公式及解有关问题的关键3计算圆柱、圆锥、圆台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题【跟踪训练】1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形()(2)锥体的体积等于底面积与高之积()(3)圆台的高就是相应母线的长()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知圆柱的底面半径r1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为()A6 B8 C9 D10(2)若圆锥的底面半径为 1，高为 3，则圆锥的侧面积为_(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，则这个圆台的体积是_答案(1)A(2
21、)2(3)7 33【核心素养形成】【核心素养形成】题型一题型一旋转体的表面积旋转体的表面积例 1如图所示，在边长为 4 的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180，求阴影部分形成的几何体的表面积解该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体令BDR，HDr，ABl，EHh，则R2，r1，l4，h 3.所以圆锥的表面积S1R2Rl222412，圆柱的侧面积S22rh21 32 3.所以所求几何体的表面积SS1S2122 3(122 3).【解题技巧】【解题技巧】求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成多个基
22、本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积【跟踪训练】圆台的上、下底面半径和高的比为 144，若母线长为 10，则圆台的表面积为()A81 B100 C168 D169答案C解析圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为lh2Rr24r23r25r10，所以r2，R8.故S侧(Rr)l(82)10100，S表S侧r2R2100464168.题型二题型二旋转体的体积旋转体的体积例 2如图是一个几何体的三视图，其中主视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该
23、几何体的体积是()A.4 333 B.C.D.3623解析由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为113 12 3.236答案B【解题技巧】【解题技巧】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求以三视图为背景的几何体的体积，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解【跟踪训练】将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为 34，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比解设圆的半径为r，则两个圆锥的母线长为r.由已知可得两个圆锥的底面半
24、径分别为2r2373r，72r2474r，7所以两圆锥的体积之比为3 2r 374 2r 373 2rr73 330.884r2r272题型三组合体的表面积与体积例 3如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内过点C作lCB，以l为轴旋转一周求旋转体的表面积和体积解如题图，在梯形ABCD中，ABC90，ADBC，ADa，BC2a，DCB60，CDBCADcos602a，ABCDsin60 3a.DDAA2AD2BC2AD2a.1DODDa.2由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥由上述计算知，圆柱
25、的母线长为 3a，底面半径为 2a，圆锥的母线长为 2a，底面半径为a.圆柱的侧面积S122a 3a4 3a2，圆锥的侧面积S2a2a2a2，圆柱的底面积S3(2a)24a2，圆锥的底面积S4a2.组合体上底面面积S5S3S43a2.旋转体的表面积SS1S2S3S5(4 39)a2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积V柱Sh(2a)2 3a4 3a3.V锥Sh a2 3a313133a3.3311 33VV柱V锥4 3aaa3.33【解题技巧】【解题技巧】求组合体的表面积与体积的方法求组合体的表面积与体积的方法(1)求解几何体的体积与表面积时还经常用割补法 补法是指
26、把不规则(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体(2)解答本题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢【跟踪训练】3若直角梯形的一个底角为 45，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在2的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5 2)，求这个旋转体的体积解如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，A90，B45，绕AB边所在直线旋转一周后形成由一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体过点C作CEAB于点E，3设CDx，ABx，22则ADCEBEABCD
27、，BCx.22xS表S圆柱底S圆柱侧S圆锥侧AD2ADCDCEBC 42x2xx25 22 x xx2.2224根据题设，5 2x2(5 2)，则x2.4CE2BE12212133所以旋转体的体积VAD2CD7.3【课堂达标训练】【课堂达标训练】1若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A12C1 5答案C解析设圆锥底面半径为r，则高h2r，其母线长l 5r.S侧rl 5r2，S底r2，S底S侧1 5.故选 C.2已知圆锥SO的高为 4，体积为 4，则底面半径r_.答案3B1 3D.324解析圆锥SO的高为 4，体积为 4，4 r2，3r 3.3把圆柱沿轴截面剖开，取其中一块为底
28、座，并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具，直观图和正(主)视图如图所示，则该小玩具的体积为_答案161283解析由主视图数据可知半圆柱的半径为 2，母线长为 8，四棱锥的底面是11128边长为4和8的矩形，高为4，所以体积V 228 48416.2334一个圆台的侧面展开图如图所示，根据图中数据求这个圆台的表面积和体积解设圆台的上底半径为r，下底半径为R.由题图知母线l8,2r16,2R24，44所以r2，R3.S侧(23)840，所以S表22324053，hl2Rr2 6413 7，1所以V(4 499)3 719 7.35已知底面半径为3 cm，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆
29、柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积解作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l，底面半径为r，则r 3，AD 6，l 62 32 93.故几何体的表面积为Srlr22rAD 33(3)22 3 63 336 2(3 336 2)(cm2)几何体的体积为VV圆柱V1122rAD rAD36 36圆锥332 6(cm3)第第 1 1 课时课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积课后作业圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积课后作业基础巩固训练一、选择题1 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4，那么圆柱的体积等于()AB2 C4 D8答案B解析由于侧面积为 4，2rh4，且h2r，r
30、 1，Vr2h22.2已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是()12141214A.B.C.D.242答案A解析设圆柱的底面半径为r，则其底面的周长为 2r，高为h2r，且hS表42r22r221S侧4r，S表4r2r，.S侧42r22222223若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这个圆锥的表面积是()A3 B3 3 C6 D9答案A解析根据轴截面面积是 3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以Sr2rl23.4已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为()A.C.83103B3D6答案B解析由题图可知，此几何体为从底面半径为1，高为4 的
31、圆柱的母线的中13点处截去了圆柱的 后剩余的部分，所以V剩 1243.445若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是()A32 B21 C43 D53答案C2S表r2rl解析设圆锥的底面半径为r，则有l2r，l3r，3S侧rlr23r24.3r23二、填空题6 若圆锥的侧面展开图为一个半径为 2 的半圆，则圆锥的体积是_答案33解析易知圆锥的母线长l2，设圆锥的底面半径为r，1则 2r 22，r1，圆锥的高hl2r2 3，则圆锥的体积2V r2h133.37一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_答案38解析由几何体的三视图可知，该几何体
32、是长为 4，宽为 3，高为 1 的长方体内部挖去一个底面半径为 1，高为 1 的圆柱后剩下的部分S表(413431)221121238.8圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84，则圆台较小的底面半径为_答案7解析设圆台较小的底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，所以圆台较大的底面半径为 3r，母线长l3，圆台的侧面积为 84，所以S侧面积(r3r)l84，解得r7.三、解答题9.如图，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体ABCDA1B1C1D1，设矩形ABCD的面积为S，长方体ABCDA1B1C1D1的体积为V，A
33、Bx.(1)将S表示为x的函数；(2)求V的最大值解(1)连接AC，矩形ABCD内接于O，AC是O的直径AC2，ABx，BC 4x2，SABBCx4x(0 x2)(2)长方体的高AA11，VSAA1x4x2x24x2 x2224，0 x2，0 x2V1，S2S1，方案二比方案一更经济8.3.28.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积复习教案圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积复习教案第第 2 2 课时课时球的表面积和体积球的表面积和体积【基础知识梳理】【基础知识梳理】知识点球的表面积和体积1球的表面积014R2.如果球的半径为R，那么它的表面积S2球的体积024R3.如果球的半径为R，那么它
34、的体积V3【跟踪训练】1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)决定球的大小的因素是球的半径()(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径()(3)球的体积V与球的表面积S的关系为VS.()3答案(1)(2)(3)2做一做(1)若球的过球心的圆面圆周长是c，则这个球的表面积是()A.Rc24 B.c22 C.c2 D2c2(2)表面积为 4 的球的半径是_(3)直径为 2 的球的体积是_(4)已知一个球的体积为答案(1)C(2)1(3)4，则此球的表面积为_34(4)43【核心素养形成】【核心素养形成】题型一球的表面积与体积例 1(1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积；
35、(2)已知球的表面积为 64，求它的体积；(3)已知球的体积为500，求它的表面积3解(1)球的直径为 6 cm，球的半径R3 cm.球的表面积S球4R236(cm2)，4球的体积V球 R336(cm3)3(2)S球4R264，R216，即R4.44256V球 R3 43.3334500(3)V球 R3，R3125，R5.33S球4R2100.【解题技巧】【解题技巧】求球的体积与表面积的方法求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反
36、掌了【跟踪训练】(1)两个球的半径相差 1，表面积之差为 28，则它们的体积和为_；(2)已知球的大圆周长为 16 cm，求这个球的表面积答案(1)364(2)见解析3解析(1)设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得Rr1，224R4r28，R4，r3.44364它们的体积和为 R3 r3.333(2)设球的半径为R cm，由题意可知 2R16，解得R8，则S球4R2256(cm2).题型二题型二球的截面问题球的截面问题例2一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的体积为()A.6 B4 3 C4 6 D6 3解析利用截面圆的性质先求得球的半径长如图，设截面圆的圆
37、心为O，M为截面圆上任一点，则OO 2，OM1，OM 221 3，即球的半径为 3，4V(3)34 3.3答案B【解题技巧】【解题技巧】球的截面的性质球的截面的性质(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题(2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系dR2r2.【跟踪训练】(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再
38、向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A.B.C.D.500 cm33866 cm331372 cm332048 cm33(2)球的表面积为 400，一个截面的面积为 64，则球心到截面的距离为_答案(1)A(2)611解析(1)如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB 8224(cm)设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，4500R5，V球 53(cm3)33(2)如图，由已知条件知球的半径R10，截面圆的半径r8，球心到截面的距离hR2r26.题型三题型三球的组合体问题球的组合体问题例 3设长方体的长、宽、高
39、分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2 B6a2 C12a2 D24a2解析作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为a22a2 5a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为a2 5a2 6a，则球的半径AC6Ra，所以球的表面积S4R26a2.22答案B条件探究将本例中长方体改为棱长为a的正四面体，则球的表面积如何求？解如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为BCD的中心，连接BE.323棱长为a，BEa a.233在 RtABE中，AEa 32a26a.3设球心为O，半径为R，则
40、(AER)2BE2R2，R6a，4 6 3S球4a2 a2.42【解题技巧】【解题技巧】1.正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)22长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r212ab2c2，如图(2)2a3正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为：2R【跟踪训练】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
41、()711Aa2 B.a2 C.a2 D5a233答案B解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.2331如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP aa，OPa，3232 3 21 27272所以球的半径ROA满足Ra a a，故S球4R a2.3321226a.2【课堂达标训练】【课堂达标训练】1 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.423 B.C.D.3326答案A解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，所以球的半径为 1，其体积是134.3432正四棱锥的
42、顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.8127 B16 C9 D.44答案A解析如图，设球心为O，半径为r，则在 RtAOE中，(4r)2(2)2r2，解得r，该球的表面积为 4r24 2949481.43三个球的半径之比为 123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()97A1 倍 B2 倍 C.倍 D.倍54答案C解析设最小球的半径为r，则另外两个球的半径分别为 2r,3r，其表面积分 别 为 4r2,16r2,36r2，故 最 大 球 是 其 余 两 个 球 的 表 面 积 之 和 的36r29 倍4r216r254一个距离球心为3的平面截
43、球所得的圆面面积为，则球的体积为_答案323解析设所得的圆面的半径为r，球的半径为R，则由 r2，得r1，又r2(3)2R2，R2.432V R3.335有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为 3r，水面的半径AC为 3r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(3r)23r r3 r3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为3h，3134353 3 211从而容器内水的体积是V h h
44、 h3，39333由VV，得h15r.即容器中水的深度为15r.第第 2 2 课时课时球的表面积和体积课后作业球的表面积和体积课后作业基础巩固训练一、选择题1 已知棱长为 2 的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为()32436246A.B.C.D.答案D36433解析设球O的半径为r，则 r2，解得r.32用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为()A.8328 2 B.C8 D.333答案C解析设球的半径为R，则截面圆的半径为R21，截面圆的面积为S(R21)2(R21)，R22，球的表面积S4R28.3一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为 3,4
45、,5，则它的外接球的表面积是()A20 2 B25 2 C50 D200答案C解析因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球设此三棱锥的外接球的半径为r，则有(2r)232425250，即4r250，故它的外接球的表面积是S4r250.4如图所示，扇形的中心角为，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成2两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，若ABO旋转得到的几何体体积为V1，弓形AB旋转得到的几何体积为V2，则V1V2的值为()A11 B21 C12 D14答案A1解析AOB绕AO旋转一周得到的几何体为圆锥，
46、体积V1 R3，整个扇321形绕AO旋转一周得到的几何体为半球，体积V R3，于是V2VV1 R3.335一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体32积为，那么这个正三棱柱的体积是()3A96 3 B16 3 C24 3 D48 3答案D解析设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径R3柱的高为a.又V32313aa，正三棱326柱344 33233a3.a43.V球 R3363343(4 3)4 348 3.3二、填空题6圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_ cm.答案4
47、解析设球的半径为r，则圆柱形容器的高为 6r，容积为 r26r6r3，4高度为8 cm的水的体积为8r3个球的体积和为3 r34r3，由题意6r332,8r24r3，解得r4 cm.7 已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为 3，则球O的表面积等于_答案16解析设球O的半径为R，圆M的半径为r，由题意得r 3，又球心到圆RRM的距离为，由勾股定理，得R2r2 2，R2，则球的表面积为 16.228已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为 4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为12，则该球的表面积为_答案36解析两正四棱锥
48、有公共底，且体积比为 12，它们的高之比为 12，设高分别为h,2h，球的半径为R，则h2h3h2R，3Rh，2又底面边长为 4，3 2h2Rh (2 2)2，222解得h2，R3，S球4R236.三、解答题9如图，AB是半径为R的球的直径，C为球面上一点，且BAC30，求图中阴影区域构成的几何体的全面积及其体积解如图所示，过点C作CO1AB于点O1，由题意可得BCA90.又BAC30，AB2R，AC 3R，BCR，CO1S球4R2，33RR，AO1R，BO1.222S圆锥AO1侧33R 3R R2，22S圆锥BO1侧33RRR2，22S几何体表S球S圆锥AO1侧S圆锥BO1侧3311 34R
49、2 R2R2R2，22211 32几何体的表面积为R.24又V球 R3，3132V圆锥AO1AO1CO1 R3，38112V圆锥BO1BO1CO1 R3，3841533V几何体V球(V圆锥AO1V圆锥BO1)R R R3.326能力提升训练1已知正三棱柱的体积为 3 3 cm3，其所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为_ cm2.答案12解析球O的表面积最小时，球O的半径R最小 设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的体积V32a b3 3，所以a2b12.底面正三角形所4222223b2ab112b4b22b22在截面圆的半径ra，则Rr 32343b4b4bb4332bb
50、 3，当且仅当 ，即b2 时，取等号又因为 0b2R，所4b42b22b2以(R2)min3.故球O的表面积的最小值为 12.2在半径为 15 的球O内有一个底面边长为 12 3的内接正三棱锥ABCD，求此正三棱锥的体积解如图甲所示的情形，显然OAOBOCOD15.设H为BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上23HBHCHD 12 312，32OHOB2HB29，正三棱锥ABCD的高h91524.3又SBCD(12 3)2108 3，41V三棱锥ABCD 108 324864 3.3对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥ABCD的高h1596，SBCD108 3，1V三棱锥ABCD 10