《2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第6讲 通项公式的求解策略sn与an关系（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第6讲 通项公式的求解策略sn与an关系（解析版）.pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 6讲 通项公式的求解策略:Sn与 an关系参考答案与试题解析一.选 择 题（共 1 小题）1.（2021 蒙阴县校级期中）已知数列 q 满足q%为a“=2/（N*）,且 对 任 意 都有 工+工+工 7，则/的取值范围为（）A.（；,+oo）B.；,+00）C.（y +oo）D.+00）【解答】解：；数列他“满足ata2a,2/（e N*）,二.=1 时，4=2；几.2时，一 =2 ,可得4 =22.数歹为等比数列，首项为1,公比为1.4凡24NT42 1 2=-(1)-3 4 31 1 1 0,.1对任意 w N*都有-1-F.+t,则，的取值范围为,+oo）.4%3故选：D.填 空 题
2、（共 3 小题）2.（2021 道 里 区 校 级 期 中）设 S“是 数 列%的前项和，4=3,当”.2 时，有S+S-2S,S,T=2 n a,则使5,“-2021成立的正整数m 的 最 小 值 为 1010.【解答】解：Sn+S i-2sT=2na,S n +S”n 1 2,S nS I=2/、(Sn Sn /),.2S,SI=(2+1)S,T(2-1电，2+1 2M-1.-=2.Sn nS-i,令b=个。,则 b“一bn_x=2(n.2).3“数列电 是以4=之=1为首项，以 2 为公差的等差数列./.2=2-1 .即生土1=2 1,得 s=女士1S.2 一 1.S,S,.S,=3 x
3、-x.x.?l=2w +l.-3 2m-由2%+1.2021,解得m.1 01 0.即正整数机的最小值为1 01 0.故答案为：1 01 0.3.设数列 凡 的前”项和为S.，若q=3且当.2时，2ci“=S“-S”n wN*），则数列 凡 的通项公式=1 8一(5-3)(8-3 )-【解答】解：数列 的前.项和为S“，若4=3且当九.2时,2a-，则：2（SSI）=SSI，整理得：（常数），S“S“_ 2所以：数歹”（是 以 为 首 项，-g为公差的等差数列.贝！J：-=（/?1）,S.3 2整理得：5“=一.5-3 则：an=S-5 ,=-=-n 1 5-3 5-3(n-l)(5-3)(8
4、-3)故答案为:1 8(5 3 )(8 3 )4.（2021 冀州市校级模拟）已知 数 列 “的首项6=1 ,其 前”项 和 为S,且满足Sn+S+=n2+2n,若对 V w N”,q a川恒成立，则实数r的取值范围是_（；匚【解答】解：；数列。,的首项4=，其前项和为$“，且满足S“+S用=2+2”，二/?=1 时、S1+52=I2+2x 1 ,即 4+q+4=3,二.=3 2,，S+S+=M2+2n,当.2时，5.1+=(-1)2+2(-1),一，得：an+an+|=2n+1.n.2.二.+q=5 ,/.%=5 =5 -(3 2，)=2f +2,a3+a4=7 J.a4=7 a3=7 (2
5、t+2)=5 21 ,对 V/z G TV*,an 3-2 1a4 a3 5-2r 2r+2解 得!，3,4 4.实数f 的取值范围是（；，1）.故答案为：（；，1）.三.解 答 题（共 36小题）5.（2021 浙江模拟）已知数列 4 前 项和为S满足，=2,+I=3S+2（ne/V*）.（I）求通项公式;（II）设 包=（汽*）,求证：+b2+.+bn-n-.3 3 2【解答】（/）解：由S i =3S +2（wN*）,得*=3S _+2（.2），两 式 相 减,得=3%（九.2）.由 S2=3S+2=4+4，S=4=2,得 4 =6=3,所以，a.L z w N*）,即数列 是以2 为首
6、项，公比为3 的等比数列，从而有q=2 3 .（7 分）2 2（）证明：由（/）知 5“=3-1,从而勿=二=2+3-=2+,3-1 3 3-1 3 8-3,-2+33,-2-12 2（1-（：）T）2 1从而彳J 1 H （-1）领 h+伍+-b 1 H （7?1）4-?一 +一 ；3 3 1 I 3 23当 =1时，不等式显然成立.1 0 1综上，有一软口+匕2+）一一n 一成立.（15分）3 1 2 3 26.已知数列 “的前项和为S“，Sn=n2+nf求 4 的前3 项，并求它的通项公式.【解答】解：因为，s“=1+*当.2 时，%=,-/_ =n2+H-（n-l）2-（n-l）=2n
7、,当 =1时，4=$=2适合上式，故 q=2，数列的前3 项分别为2,4,6.2所以，当.2 时，2 效 瓦-+-=-+,3 3 832 3 4-3T7.已知数列 “的前几项和是S=2+g +3,求数列的前3项，并求它的通项公式.【解答】解：S=/+,+3 ,2.2 时，dn-Sn S“_ =+H+3 (n 1)+(n 1)+3 J =2n o7 1 =1 时，O j=S1=.2=i=,2 1 2，”.229 7 1 16 7 1 =,a,=5,%=,8.(2021 武进区校级模拟)己知数列 a,的前”项和为S，q=l,且4为公与邑的等差中项，当几.2时，总有2s“M-3 S“+SI=0.(1
8、)求数列 6,的通项公式；(2)记仇为-i-在区间(0,4-(m e N*)内的个数，记数列(-1)h 的前m项和为此，a求%,【解答】解：(1)因为2s向2S”(S”S,i)=0,n.2,nwN*,所以 a“+i=g a“，n.2,因为4=1,a2,4,S2依次成等差数列，即有Za LG+S 2，所以 2=1 +2a2，可得 a,=；，M 以 4=g 4，所以数列 4是 以I为首项、公比为q =；的等比数列，所以q=击；(2)由(1)可得，=2，所以0(2-3)4.”【解答】解：(1)：S“-S,”=2 S.S W-=-2(n.2),为常数,n i =1,数列-5-是 以1为首项，-2为公差
9、的等差数列.s(2)由(1)可知，=l +(n-l)x(-2)=-2n +3,:0=-1，-2n+3-=-.2)-2”+3 2(-1)+3(2-3)(2-5)当 =1时，有6(2-3)x(2-5)3故数列 a的通项公式为a”=2(2 -3)(2-5)2 2-=-2(+1)-3 2(?+1)-5 (2n-1)(2-3)(=G+G+.+G,=1.21+3.22+5.23+.+(2/1-3).2-+(2-1).2,2T=1.22+3.23+.+(2-3).2 +(2-1).2M+1,两式相减得，-Tn=1.2 +2.22+2.2s+.+2.2 -(2-1).2向=2 +2 xI )一(2-l).2n
10、+,1-2=(3-2).2e-6 ,.-.7；,=(2n-3).2+l+6.10.(2021春宣威市月考)已知数列的首项为4=2,前项和为S“，且对任意的 eN*,当加.2 时，心总是3s,-4 与 2-j s,i 的等差中项.(I)求数列 q 的通项公式；(H)设勿=(+1)%，7；是数列 d 的前w项和，nw N*，求7；：(I I I)设 c“=,与是数列%的前“项和，e N，试证明：Pn .4 2 3 2【解答】(I)解：当.2 时 2a“=(3S,-4)+(2-|s.T),即 2-S,I)=(35“-4)+(2-|S,I),，S.小i+2.(1 分)a5-S+2)-(:S,|+2)i
11、4 SS._、22c +。=1 x c2 4-2c.o=3=七=11 =2 =一1,a 2an 2 数列 4 是首项是2,公比是g 的等比数列，o=2 x g 严=3.(4 分)(I I)解：由(I),知 a =万 二.则 Tn =+4+.=2 xTTr+3x-4-4x-+.+(n+l)1-22+4x与+5 +1).(5 分)一，fJ-7；,=2x +(+.+-)-(+1)-(+1)击=4+2-2x(g)“T _(+1)击=6-+32 i(=1 2-七？.(8 分)n 2-2(H I)证明：q4-3,393-4,-32.4 :一3/分)n 9/1 1 1、*-匕=。+。2+,表+干+不+一 +
12、不)I f _)9 4U 4n 3八 1、3-=(1-)可得r=4，所以=(g +g)，.2 时,S_1=(n-l)+-1(n-l)相减可得 4“=；/-(-l)2j+g=，所以 a,=(.2),又因为4=1 满足上式，所以。“=(6 分)(2)解法一：因为=(-=(-1)(如”+3)，T”=-(Iga,+lga2)+(lga2+Iga,)-(Iga+lga4)+(-1)(lga2+lgan+l)=(-1)lgalll-lgai=(-l)(g(n+1)所以(=(T)/g(“+l)(12 分)解 法 二：”为 偶 数T=一 (四 4+lga2)+(lga2+lga3)(lg4+/gq)+(Iga
13、,+Iga向)=Iga-lga=lg(n+)为 奇 数T=-Igciy+lga2)+(Iga?+lga3)-(lga+lgaj+-Qga“+lgan+l)=-lgan+l-ig%=-lg(n+1)所以 7；=(-l)/g(+l)(12 分)13.(2021浦城县期中)已知数列 a,的前项和是S“，且 S,+4,=l,%H0(eN).(1)求数列仅“的通项公式；(2)设=log2(l-S“)(.N*)，1,=一+一 1-h ，求/的取值范围.他2 b也3 bbn+t【解答】解：(1)由S.+q=1，得 S+l+a+t=1,两式相减得4M+“川 一%=0,即 L=1,%2又当”=1时，有 +4=1
14、,即4=,所以 4 是以g 为首项，1 为公差的等差数列，故。=(g)(e N+);!x 1 -i(2)由(1)可知 S=-=1-)所以包=l o g 22 一 =一 ,1-i 222 Al+1 (-九)-5 +1)(+1)n +1皿 1T l i 1 .1 1 1 1 1 I 1 /浦、贝 J T =-1-F-I-=1-1-F.H-=1-(nG N.)，肘2 b力3 也 什 2 2 3 n n +l n+所以当 e N+时，7 J 单调递增，且 工=；,则 北=1,故;,7；2 +-=-+(y-)-2 1 8.(2 0 2 1 厦门一 模)在 瓦 =后+1，J 4S.-1 是 2 +1 与
15、4 的 等 比 中 项,4S,=(1 +4)2(q 0)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：已知数列 q 的前项和为S“，q=l,且满足，若 =一，求使不等式a“a“+iQb1、+A+一成立的最小正整数.2 19【解答】解：选 卮=底+1，则61-四=1，所以数列 是首项为=6=1,公差为I的等差数列，所以#r=i+5 T)x i=，所以S“=/(”N*),又 atl=Sn-S“_=/-(-=2n-1(/?.2),4=1也满足上式，所以 =2-1(G N*).选匹 n是 物+1与%的等比中项，则 4s“7 =(2+1)%,4S“T 1=(2 -1)4I，n.2,两式相减可得
16、=(2n+V)an-(2n-V)an_x，即(2-3)a=(2n-1)_,，则=所以数列 _ 为常数列,2 n-l 2n-3 2 一 1所以=2-1 2x1-1所以4 =2 1(N*).选 45=(1+%0),4 s l=(1 +%)2 2，两式相减 Uj 得 4q=(1+)2-(1,即 4 -1了 一(1+%)2=0,即(4 +%)(an-2)=0,所以。一 I -2=0,即 an-an_x=2(几.2),所以数列 勺 是首项为q=1，公差为2的等差数列，所以4=1 +25-1)=2-1.1所二 口以5 b 1 1 1 z 1 1n-=-=(-a“a +i(2-1)(2+1)2 2-1 2+
17、1)，所以+8+.+=(1-1-1-2 3 3 5 2 n-l-)=(1)2/1+1-2 2+1 19即一!一 9,2+1 19所以使不等式白+也+年 2成立的最小正整数 =io.2 1919.(2021 河 南 期 末)已 知 数 列 ”“的 前”项 和S”满 足S“=2 q,-1,数 列 ,满足b.=log,an+log,a+l.(1)求 6，么 的通项公式；(I I)若数列 c满足c=anb,求%的 前 项 和7；.【解答】解：(1)由题意，当 =1 时，,=5,=2 a,-1,解得4=1 ,当机.2 时，由S,=24 一1,可得S i =2%-1，两式相减，可得4,=2a“-2a,-,
18、化简整理，得q =2%,数 列 是 以 1 为首项，2为公比的等比数列，a=1 -2 -1=2-,nc N*,bn=l o g,an+l o g,a,#=l o g,2 n-+l o g2 2 z=w-1 +n =2 w-l,nwN*,(n)由(i),可得c=anb=(2n-Y)-2n-.7 ,=c,+c2+c3+.+c =1 x 1 +3 x 21+5 x 22+.+(In-l)x 2,_|,2 7；,=1 x 2 +3 x 2?+(2”-3)X2 T +(2 n-l)x 2n,两式相减，可得-7；=l +2 x 2 i+2 x 2 2+.+2 x 2 T-(2”-l)x 2=l +2 x(
19、2 +22+.+2,-)-(2 n-l)x 2n2-2=l +2 x-p-(2 n-l)x 2n=-(2 n-3)x 2n-3,:.Tn=(2n-3)x2n+3.2 0.(2 0 2 1 皇姑区校级期末)已知数列 见 前 项和为S“，且 4=3,S=a+l-,数列 为等差数列，a2=b4 且e+&=i 7.(I )求数列 4 和 的通项公式；(I I)若 q,=皿，求 c.的前项和(+2)%|【解答】解:(I )q=3,Sn=an+19 可得%=S =%1，即有4=4,几.2 时，一 1,又S=a+1-1,两式相减可得 an=Sn-Sn_x=an+l-1 -4-1 即有%=2%，可得.2 时，
20、4=4,2 -2=2 则为3,=12n.2设等差数列 2 的公差为d ,山/=仇=4+3 d =4,用+4=伪，即为2 4+5 4=4+6 4,即4=d,解得=d=1,则 bn=n;(n)=i 时，7=工=仇=L3bz 2.2 时，ctl5+2)%)2(+2)(+1)1 2/2 2n+,=一(-)2 n+2 n+i ,4 Q5,4 Q/I+2 O+I所以前“项和7；=一 +(土-土 +土一土+)3 x 2 2 4 3 5 4 n+2 n+I 1 2 2 8、2,+1 5=一 十(-)=-.2 2 +2 3 +2 62 1.(2 0 2 1 碑 林 区 校 级 模 拟)已知 数 列 他“的 前”
21、项 和 为 S“，若 4 0,g=8“且J s”+i +=/4用（1）求 知的通项公式;（2）设 勿=S a +S 用J S”S“M求 数 列 么 的前项和7；.【解答】解：(D因 为 瓦+其=；a“u=g(Sm-S,J=g(瓦+皿)(瓦 一 卮),所以 J S“+#7 =2 因为 =8q ,所以 i/S 7-ys =yja,+a2-弧=y9a -枢=2 M=2 ,所以=J =1,因此数列 疯 是首项为1,公差为2的等差数列，所以S =l +2(-l)=2-1 ,S=(2 n-l)2,当加.2 时 a=S-S“T=(2n-I)2-(2n-3)2=8/7-8,所以I 2.(2)由(1)知S,=(
22、2-l)2,(2-l f+(2+1 y 8 7+2 4 1 1 、所以勿=-；-=；=2 +-=2 +2(-),4犷-1 4n-1 (2 一 1)(2 +1)2n-1 2/2 +112n-1 c 八 1、-4/?)=2 +2(1 )=2n d-2 n +l-2/1 +1 2 +l4n2+62 +l数列 的前八项和Tn=4.2/?4-12 2 .己知数列 4 的前加项和为S“，且 S”2 a“=”-4(e N*).(1)证明 S“-+2 为等比数列；(2)若2=幺二1,求 2 的前项和7；.44+1【解答】证明：(I)数列仅“的前”项和为S,且 S“-2 a“=-4(e N )当 =1 时，整理
23、得5-1 +2 =4,当”.2 时,S-2(S-S _1)=n-4,整理得 S“一 +2 =2 S”一伽一1)+2,故数歹1J S,-，?+2 是以4 为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)得:S“-+2=4X2T=2 ,所以5,=2 向+”-2,所以 为=S“S“T=2”+1,故V2 1 1(2 +1)(2 向+1)-2 +1-2 +11 I 1 I,3 5 5 92 +1 2 *+1 3 2),+|+12 3 .(2 0 2 1 淮 安 期 末)从 条 件 2 S,=(“+1)4,疯+7 =。“(几 2)，4 0,片+a“=2 S ，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.己知数列
24、4 的前N项和为S“，4=1,.(1)求数列仅“的通项公式；(2)若q,4,Ss成等比数列，求正整数A 的值.【解答】解：若选：(1)因为 2 S”=(+l)a“，所以 2 s M =(+2).用,相减可得物M=(+2)a+l-(n+1)外,整理可得&L =%，n+n又 叫=1,所以2=1,1 n故 atl-n(2)由 可 得 q=，则 SN=+2)(；+无 +2)=6+21+3),因为q,ak,S 一 成等比数列，所以a j =4.A?,即公=Q 2产3),又kGN*,所以攵=6 .若选择：(1)因为+6 7=(.2),变形可得厄+瓦=Sn-s“S+反)(后一 反)，因为5,0,所 以 其-
25、瓦=1，故数列/；是等差数列，首项=6=1,公差也为1,所以#7=，则 S=n2,当.2 时，an=Sn-S _ =n2-(/?-1)2=2 n-1,当 =1 时，a=1 也适合上式，故 an=2 n 1 ；(2)由(1)可知 a“=2-1,所以 S z 2 =+2)；2 +3)=伙+2)4+2),因为q,ak,&+2 成等比数列，所以2 =SM,即(2 k-=(k +2/，又 k e N*，所以欠=3.若选：(1)因为a；+a =2Stl,an 0,所 以 吭+4 田=2 S.+i，相减可得a；+i +%-a：-a=2%，整理可得(a,+a)(an+l-an-1)=0 ,因 为 0,所以M
26、-a”T =0，即 a+t-a=,所以数列 a,J 是首项为1,公差为1 的等差数列，所以。“=；(2)由(1)可得凡=，则&短=八2)(了 +2)=(左 +2 +3),因为4,ak,S 一 成等比数列，所以 a”4-S o，即二=（&+2 +3）,又k e N*，所以攵=6 .2 4.（2 0 2 1 连城县校级月考）己知正项数列 4 的前”项和为5“，点是:与（为+l f 的等比中项，数列 仇 中，若 仇=4，且d=纥,_1+3.（1）求证：数列他,+3 是等比数列，并求其通项公式；（2）若。=器，记数列付,的前”项和为7；,对 V e N*,求使不等式7；-1 +九.0 恒成立的4 的最
27、小正整数值.【解答】证明：（1）正项数列 4 的前 项和为S“，是（与（见+1）2 的等比中项，1+1）2?,1 、q =w（q +1），解得4=1,/4=4，且 bn=2bn-+3（.2），1=1 ,bn+3=2（）,i +3），.依+3 是首项为4,公比为2的等比数列，.,.2+3 =42”T=2 叫:.hn=2,+-3.解：（2）由（1）可得4=1,几.2 时 an=（an+1）2-+1）2,整理,得 3“+an+i）耳（4,一%）=0 ,/an0 f_%）_/=0，=2数 列 是 首 项 为 1，公差为2的等差数列，/.a =1 +2（-1）=2 一 1,:.d=-=(2n-l).(-
28、),+l,2+3 2-T=x(-)2+3x(-)3+5X(-)4+.+(2 n-lX-r，,3(=1X)3 +3 X (夕+5 X )5+(2 -,由一可得,J I =1 x(I)2+2x(I)3+2x(1)4+2X(I)5+(：)向 一(2 _ l)(：)+2,乙 乙 乙 乙，.，=g+（?+少 +（权 +（；严 -（2-1）4严1 o。n-)1 3 2 +3=-+2-(2 -1)(!严=士 -受22 2 2 2n+,23 2+5 3 2+3 2?+1n=-+2+i 2+2 0.数列 7；为递增数列,工=；.对V w N*,不等式（-3 +%.0恒成立,23 3_j_52 2 4 =4A.-
29、,4./的最小正整数值为2.25.（2021息县校级三 模）已知在数列 ,中，q=4,4 0,前项和为S“，若%=疯+6 7(-2).（1）求数列 ,的通项公式;（2）若 数 歹 的 前 项 和 为 7；,求64+1【解答】解：（1）因 为=S“,“以 an =S 一 S _ =+J s _，从而（底-6 7）（向+6 7）=病+6 7（比 2），因 为%0，所 以 区 0,从而向二=1(*2),所以数列 后 是一个首项为何=区=2、公差为1 的等差数列，则=2+-1 =+1 ,即 S”=(+1)2,当”.2 时，a=S-Sn_t=(n+)2-n2=2n+l,当 =1 时，q=4,所以 a“=
30、1.2n+l,n.2(2)由(1)可知当九.2 时,1 1 1 1Tn=-1-1-F.H-=-1-F.H-%02a3 43a4 ana,4x5 5x7(2+1)x(2+3)1 lrzl 1 A L z 1 1 、i=痂+遇-7)+(厂/+与 不 一 元 m1 1Z1 1 、3 1=-1 (-)=-,20 2 5 2 +3 20 4 +6又因为当=1时 7；=,满 足 上式，1 2026.(2016荆 州 模 拟)已 知 数 列 ”,中，4=3,/=5,其 前”项 和 S,满足S,+S“_2=2S,I+2T(.3)(I)求数列 q 的通项公式。.；(I I)若b,=k)g,(m-)e N*,设数
31、列 么 的前的和为S“，当为何值时，5.有最大a2-i值，并求最大值.【解答】解：(I)由题意知 S,-S,I=S,I-S,T+2T(.3),即 an=an_+(几.3)(3 分)二.%=(an _)+a _2)+(%-4)+%=2 +2-+2+5(5 分)=2 1+2”-2+.+22+2+1 +2=2+1(.3)，.(7 分)检验知=1,2 时，结论也成立，故4=2 +1.(8 分)ocz：,8(II)由=k)g,()=/。8，工=log,2=8-2(eN*)(10 分)ai 1 2当啜以 3 时，hn=8-2 n 0：当=4 时，2=8-2 =0；当.5 时，/?=8-2 n 0.(12分
32、)故”=3或=4 时，5”达最大值，凡=S&=12.(14分)2 7.(2 0 1 6 秋僧州校级期末)已知数列 4 满足q=l,a =-(n.2).2 S -1(1)求证：数列 为等差数列；(2)求 6 的通项公式.【解答】(1)证明：2-1则：2S=2a Sn-an2 S 2=2(S-S-1)S-(S-S.1)整理得：S“_S”=2S5T所以：-=2S.ST即：数列(为等差数列.(2)解：由(1)得：=+2(-1)S“4则：S=-2/7-11 1 7当.2 时，=S S =-=-T 2n-l 2n-3(2 一 1)(2 -3)15=1)所以：=(1-)+(为-/)+(+一品疝)=1(M +
33、l).2n29.(2021春瑶海区月考)已知数列 对 的各项均为正数，4=2,其前项和为5“，且当“.2时，S“、卜;、构成等差数列.(1)求数列 q 的通项公式；(2)若数列的,满足 数列 ,的前”项和为T”，求 T”.【解答】解：(1)由题意，可知，当.2时，*；=S,+S,i，则有ga3=S.M+S,，两式相减，可得 gd+i=(S,+|-S“)+(Sn-S,-)=a+l-an化简整理，得(a.+-a-2)=0,+a”，见+i-4 -2=0,即 +|-a=2,数列仅“是以2 为首项，2 为公差的等差数列，/.an=2+2(-1)=2，KLGN*.(2)由(1)知，S=2乙=+.bn=(-
34、1)lnSn=(-If-lnn(n+1)=(-1)M Inn+ln(n+1),(i)当九为奇数时,4 =4+2+=一(加 1 +加 2)+(加2+ln3)-(Jrii+/?4)+.+ln n-1)+Inn-Inn+ln(n+1)=IrA ln2+/2+In3 Ini 妨 4+.+ln n-1)4-Inn Inn ln(n+1)=一In i-ln(n+1)=-/(+1),(it)当n为偶数时,*=仇+2+5=(In i+加 2)+(Z n2+加 3)(ln3+几4)+./(-1)4-Inn+Inn+l(n+1)=-Ini-ln2+ln2+Ini-Ini-ln4+.-ln(n-1)-Inn+Inn
35、+ln(n+1)=-bil+ln(n+1)=ln(n+1)，综合,可得 7；=(-I f-ln(n+1).30.(2 021春 平 顶 山 期 末)已 知 数 列 ,的各项均为正数，其前项和为S“，满足2aliS,=a；+4(e N*).(I)证明：数列 S；为等差数列；(I I)求 满 足 可 的 最 小 正 整 数【解答】(I)当 =1 时，2S；=S：+4,，5；=4,当.2 时，由 2a.S“=a：+4 得：2(S-S-1)S=(Sn-S.1)2+4,化简得0-53=4.所以数列#是 以4为首项，4为公差的等差数列.(I I)由(I )知S：=4 +(-l)x4=4，所以斗=2册，所以
36、 q =5,=2 g ,当W.2 时.，a,=S“-S“T =2 6-2病 万，令 -1 _ 即 sfn “4 ；(2)求证：4 是等比数列；(3)设数列 ,满足,若数列4，%(4%=2设b,br 1 4 成等差数列，贝！)2 4=久+，即 2 2r-(-l)r =2 -(-l)s+2 -(-l)z,整 理 得,2s+2!-2r+l=(-1)(+(-1/-2(-1),若 f=r+l,则 2=(-1)*一 3(-1)，.2:2,一 3(-1)只能为2 或 4,则s 只能为1或 2.若 f=r+2,则2*+2 2川=(一1)+(-1)-2(-1)1.2 +2 7 4,1/(-1)+(1)2(i y
37、 4,故矛盾.综上，只能是仿，耳,仇,1成等差数列或优，为等差数列，其中r 为奇数，则t的最大值为3.33.(2021 通州区 学 业 考 试)已 知 数 列 ,的各项均为正数，其 前 项 和 为 S,且=1(+)(ne?Z ).2 (1)求证：数列 S：为等差数列；(2)从数列 S；中抽出个不同的项按一定次序组成新数列 4 .若依 3,且6 也，b2b3,成等差数列，求4+Z?2+4 的值；是否存在偶数3使得岫2,b2b3,b思.bk_tbk,成等差数列？若存在，请求出%的值；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)证明：当机.2 时，a=Sn-S.,S“=；(“+)(ne/V)2 ill
38、q=-(a H )2 q可得4=1(负的舍去)，可得 2S“=S,-S,I+F，即有 S：TT=I，则数列 5；为首项为I，公差为1的等差数列；(2)由(1)可得S；=，姑2,b2b3，4 4 成等差数列，可得 2b2b3 =bxb2+4 伪，即2=4+幺，设/仇，b3 b2若=1,贝 12=+工，无解；4 b2若伪=2,则1=I&显然不为 I，b-,.3 t.4,4 A则 i=_L+_L”！+_L 无解；b3 b2 3 4o 1 1若4=3,则一=I 9 b2显然不为1,b、.2,3 b3 b2所以_ 1=2 _ _!_ _ 2-_=.,所以4领 h 6,4 3326容易得&=2,&=6 适
39、合，则伪+伪+4=n；若他2，b2b台，贴4，bib k ,姑 成等差数列，则 2b2b3=她 +b3b4，2b3b4 =b2b3+b4b5，.24 一也=bk_2bk_i+她,所以2=。+%=5+匕=.=&+且,(*)%b2 2 b3 bk 初令q=2(i=l,2,k-2),2+2则1=C C 3c5,-1，矶 所以(*)即为 2=q 4=C 2 T =.=C 2+J。3c5 喙-3%C 3若 q=l,则5 均 为 1,所以4 =4 +2,z =l,2,.,k-2,不合题意；若 0 1,即 0 v。2 v 1，0以此类推，可得O vc i vl,i=,2,.k 2、这与2=ck_2+q c
40、3c 5q=3,矛盾；若 q l,可类似得到矛盾，练上可得，不存在偶数3使得 力 2，b2b3,b3b4 ,限 也，为 4 成等差数列3 4.已知数列 ,也 对任意nw N*,都有。也+03bti_ 2+.+4 A =2W+1-n-2.(1)若%是首项为1，公差为1 的等差数列，求数列 2 的通项公式；(2)若 凡 是等差数列，,是等比数列，求证：-+岫 a2b2%比 2【解答】解：(1)由 4 是首项为1,公差为1 的等差数列，得4,=l +l x(_ l)=.又 也?+)-1+a3b“一 2+4 也=2n+l n 2,bn+2bz+3b1+她=2M+I-n-2,b+l+2b八 +3b“_
41、i+.+(+1)白=2 2 一 3，一得：,+/?+.+4=2 1 ,又=1 ,故 bn+bn_x+4=1 ,两式相减 得*l 2 ,则W=2T；(2)证明:设等差数列%的公差为d,等比数列 的公比为q,由“i d +%一 1+一 2 +。也=21 n 2,她=1得 也 4+(6 +d)b、=4afyq2+(q +d)b、q+(q +2d)b、=1 1s=1解得 7?八 ，贝rz i.|i 3c,由白小一 3,所以 人 2 b5 .bn .,故久有最大值 ,所以对任意 w N*,有2,，,如果对于任意 e N*,都有2+；/,/，即亘成立，则（2）“”,产-,所以!”/,解得%，或,所以实数f
42、 的取值范围为（70,.4 v2、3 6.已知数列 q 的首项4=a,其前”项和为S，且满足S“M+S“=3（+l（N*）；(1)求数列 4 的通项公式;(2)当a=3时，证明：对任意e N*,都 有 二+/一+构成以“3为首项，公差为6的等差数列.由(1)得 02n=6/1 4-6 -2 6/；由条件S+S“=3(+1)2,取 九=2得4+4+%+4+4 =2 7，得q =3+2,从而 +1 =6-3+2 a，a,n=3n+(6-2)(-l),/i.2；(2)证明：由(1)可得”为偶数时，。“=3+3；n为大于1的奇数时，可得q =3-3；1Z1 1 1 1 1 1 、亨+齐+亨+至+西 牙
43、+砺 记)H-)2(2+1)-+51X-4-+3-+31X-2+lz4119111111 1 1 、=-i-+-k-4-4-)9 4 2 3 3 4-2n 2n+l1,3 1 、1 1 1=(-)=-.9 4 2+1 12 9(2+1)1237.(2021春内江期末)已知数列 的前项和为S“，q=l,且(+1)4 =2S5 N*),数列 4 满足b2=对任意w N*,都 有+:=2也 什2.(1)求数列%、2 的通项公式;(2)令=4瓦+a2b2 +.求 证:Tn0,且+a：+.+=(q+a2+a”)(1)求数列%的通项公式；(2)设数列 一 的前项和为S“，不 等 式,匕08”(1-4)式对
44、任意的正整数恒成立,的“+2 J 3求实数的取值范围.【解答】解：(1),.a：+靖+片=(4+。2 +。“)2，则有 C+；+：+“+J=(4+%+3 +1 +a“+i),一,得 a“+J=(4+%+4 +a“+i)一(4+4 +。,a“0,=2(4+2+一 +%)+4+1，同样有同=2(q+2 +“_】)+(九.2),一，得一a；=%+anan+i-an=h 又出一 4=1,即当 1 时都有。“+-=1,二.数列 勺 是首项为1,公差为1的等差数列，4 =几(2)由(1)知q=,则一 =!=-(-.cinan+2(+2)2 n n+2.3。=_1 _ _1 _1 _ _|_1_ _1_aA
45、a3 a2a4 a.a5%_ 避用 anall+21 rzi 1、J 1、A 1、/=-K1-T)+(-7)+t-T)+-+(2 3 2 4 3 5-7)+(-)n n+n n+2=(1 H-)2 2 n+n+24 2 n+l n+2s+.-s=-5-o,1(n+l)(+3)数列 S,J单调递增，)而,=要使不等式S”gIog(1-a)对任意正整数恒成立，只要工 g lo g(l-).T-a 0,0 v a v 1 .I-ct ci t H|J 0 t z +1d 4%1 1 2 3 n-2.几.21 n,an=a,x x x.x-=l x-x x x.x-=-,4%an-3 4 5 n+1
46、n(n+1)又 4=1适合上式，2 an -；(+1)?1 1(2)由(1)知，a=-=2(-),n(n+l)n n+l$=2(+/；+L)=2(1-W)=1 40.（2021春东湖区校级月考）已知等差数列 ,的首项=1,公 差”0,且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列仍“的第二项，第三项，第四项.（1）求 数 列%与 2 的通项公式;（2）设数列 g 对任意自然数“，均 有 幺+1+幺+.+&=,出，求 c,J的前项和S”.仇瓦4 b【解答】解：（1）由题意可得即（l +d）（l +13d）=（l +4d）2,解得d=2（0 舍去）,则 a“=1 +2（-1）=2 1 ,n&N*；可得，2 =出=3,a=%=9，=ci=27,则等比数列 2 的公比为3,首项为1,则a=3 1 eN*；（2）数列 c,对任意自然数，均有旦+&+匕+%=4用，瓦 b2 b3 bn可得 q=a2 b l 3，机.2 时，幺+2+如=a“，4 b2 b-一可得?一 的=2,即有%=2.3，1 _ 邛 C,的前 项和 5,=3+2(3+9+3 T)=l +2 =3.1 3