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1、2022年中考数学压轴题1 .如图，四 边 形 为 菱 形，对角线/C,8。相交于点E,尸是边比1延长线上一点，连接E F,以E F为直径作0 0,交。C于O,G两点，分别于E F,G/交 于/,，两点.(1)求/D E的度数；(2)试判断四边形以C D的形状，并证明你的结论；(3)当G为线段QC的中点时，求证：F D FI 设/C=2 m,B D=2 ,求。的面积与菱形Z 8 C。的面积之比.解：(1)尸是。的直径，.N E D E=9 0；(2)四边形叫C D是平行四边形.理由如下：.四边形/8 C A是菱形，：.AB/C D,AC 1 B D,；.N 4E B=9 0.又,：N FD E
2、=9 0 ,N A E B=N F D E,：.AC/D F,四边形R i C Q是平行四边形；(3)连 接G E,如图.四边形/8 C D是菱形，.点E为/C中点.：G为线段。C的中点，.G E。/1,N F H I=ZFGE.第1页 共1 1页,七尸是0。的直径，：.ZFGE=9 0,：./FHI=9 00.：N D E C=N AE B=9 G,G 为线段。的中点，：.D G=GE,：.D G=GE,AZ1=Z2.VZ14-Z3=90,Z2+Z4=90,N 3=N 4,：F D=F h：AC D F,A Z 3=Z 6.V Z 4=Z 5,N3=N4,A Z 5=Z 6,:.E I=E
3、A.四边形ZBCQ是菱形，四边形E4CD是平行四边形，:DE=WBD=,AE=AC=m,F D=A C=2 m,：.E F=FI+IE=FD+AE=3m.在R t A E D F中，根据勾股定理可得：n2+(2 m)2=(3/w)2,即n乘m,.3m 9 7 1 1-7*5Q(9=7I 2=411/,S 菱形12阳2=2加=2寸 5加 ，9/57T。2.提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕C AD/B C）,在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）.第2页 共1 1页
4、背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯 形 的“等分积周线”.尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕.（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线E F分别交N。、BC于点E、F.你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由.（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识.若图2中Z D 8 C,Z J=9 0,ADB C,A B=4cm,B C=6 cni,CD=5 c m.请你找出梯形48 C。的 所 有“等分积周线”
5、,并简要的说明确定的方法.解：（1）作线段（或5 C）的中垂线即可;11（2）小华 不 会 成 功.直 线 平 分 梯 形 面 积，则；（A E+B F）A B=（E D+C F）AB,2 /：.AE+B F=E D+C F,又,：A B C D,此时 A E+B F+A B =1 8,C梯 形 力BCD=18,由（2）可 知 直 线 分 别 交BC于点、E、尸时不可能，只要分以下几种情况:当直线分别交/。、A B于E、尸时有 SAEFSSAABD,又S 2 AB D=6 V 9,不可能第3页 共1 1页同理，当直线分别交Z。、CD于 E、/时 SIEF S揖CO4（舍去）：.B E=3当直线
6、分别交8、BC于 E、/时1 4 Y设 C E=x,可得：S E C F=x x（9-x）=92x2-18x+45=0此方程无解，.不可能当直线分别交4 8、C。于、E、尸时设。尸=，可得：SBEFC=3 x（35）（6=9.,.Xi=0,与同X2=5,B F=-2,舍去综上所述，符合条件的直线共有一条.第4页 共1 1页3.如图，在 R t A 4 8 C 中，ZACB=90,以斜边力8上的中线 8为直径作。0,马BC交于点“，与 48的另一个交点为E,过 M 作 MNL 43,垂足为M(1)求证：A/N 是。的切线；(2)若OO的直径为5,si3|,求 E Q 的长.：OC=OM,：.ZO
7、CM=ZOM C,在 R t Z A6 C 中，CO是斜边48上的中线,：CD=%B=BD,:./D C B=/D B C,：.ZOMC=/D BC,：.OM/BD,*：M NtBD,第5页 共1 1页:.OMLMN9TOW过 O,:MN是。O的切线;c。是。的直径，：.ZC E D=9 0 ,Z DMC=9 0 ,即。忆 L8C,C E VAB,由(1)知：B D=C D=5,为的中点，3V sinB=可，4cos=百，在 RtZSBMD 中，BM=BDcosB=4,:B C=2 B M=8,在 RtZXCEB 中，B E=B CcosB=芳,32 7：.E D=B E -考-5=g4.已知
8、NMPN的两边分别与。相切于点/,B,O O 的半径为八(1)如 图 1,点。在点4,8 之间的优弧上，/M PN=80 ,求N/C 5 的度数；(2)如图2,点。在圆上运动，当尸。最大时，要使四边形ZP5C为菱形，N 4P3的度数应为多少？请说明理由；(3)若 0C 交O。于点。，求 第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含厂的式子表示).第6页 共1 1页图1图2（备用图）【解答】解：（1）如 图 1,连接0 4 OB,图1：PA,P 8 为。的切线，弘 O=/P 8O=90,V ZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360,A ZAPB+ZAOB=1SO,：N 8=8 0 ,.N/08=
9、100,A Z JC B=50 ；(2)如图2,当N/P 8=6 0 时，四边形4P8C 是菱形,连接04,OB,由(1)可知，N4OB+N4PB=18。,V ZAPB=60,：.ZAOB=120,ZACB=60=/A P B,第7页 共1 1页.点C 运动到PC 距离最大，.PC经过圆心，：PA,P 5 为。的切线，：.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30,又,：PC=PC,:.APCQABPC(SAS),，N/C P=/8 C P=3 0 ,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30,：.AP=AC,:.AP=AC=PB=BC,四边形/P 8 C 是菱形；(3):。的半径为r,：.OA=r,
10、OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,V ZAOP=9Q-4尸 0=60,前 的长度=6 18；0r=-r,.阴影部分的周长=R(+PD+丽=每+厂+货=(V3+1+J)r.5.如图，以 为 O O 的切线，P8C 为。的割线，4D LO P于点,/O C 的外接圆与8 c：OALAP,AD LOP,二由射影定理可得：PA2PD PO,4D2=PDO D.（5分）又由切割线定理可得PA1=PBPC,第8页 共1 1页:.PBPC=papo,:D、B、C、。四点共圆，(10分)A ZPDB=ZPCO=ZOBC=ZODC,/PBD=/COD,:PBDscOD,PD BD、(15)BDCD=PD
11、OD=AD2,.BD AD布二CD又 NBDA=/BDP+90=ZOZ)C+90=ZADC,:./XBDAsAADC,:.NBAD=NACD,：.AB是/O C的外接圆的切线,6.如图，点4为y轴正半轴上一点,4 8两点关于x轴对称，过点N任作直线交抛物线y=|%2于P,。两点.(1)求证：NABP=NABQ；(2)若 点/的 坐 标 为(0,1),且NP8Q=60,试求所有满足条件的直线尸。的函数解析式.第9页 共1 1页【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,力，则点8的坐标为（0,-t）.设 直 线 的 函 数 解 析 式 为 了=履+
12、。并设P,。的坐标分别为（XP,yP CXQ,yQy由y=kx+ty=1x22 7得石 f c x t =0,于是=一方3 即 t =-1x p%Q.B C于是=B Dyp+t一?%+/?2+t|%p 2+t 京 p 2-1%p%Q|x p(X p-X Q)e i PC Xp B C又因为777；=-，所以三；=Q D XQ B D因为N B C P=N B D Q=9 0 ,lxQ2-lxPxQ 声 Q(x 0,由（1）可知Z A B P=ZAB Q=30 ,B C=W a,B D=V 3b,所以/C=d 5 a-2,A D=2-V 3b.因为P C 0Q,所以 4C Ps44D Q.干信空一些即逊 工f Q-加以-2 同所以 a +b=y/3ab.由（1）中X p X q=-,3 即-a b=-,所以a b =,a +。=3 r,于是可求得a =2f e =V 3.F5 Q J?1将力=方-代入丫=a X 2,得到点。的 坐 标（?，-）.,J L L再将点。的坐标代入y=f c c+l,求得k=一堂.所以直线P Q的函数解析式为y =-+1.根据对称性知，所求直线P Q的函数解析式为y =塔久+1 或y =字+1.第 1 0 页 共 1 1 页第1 1页 共1 1页