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1、2023天津版数学高考第二轮复习第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质五年高考考点一椭圆的定义和标准方程1.（2022全国甲文,11,5分，综合性）已知椭圆c W +5=l（a b 0）的离心率为沁A分别为C 的左、右顶点,B 为 C 的上顶点.若西丽;=-1,则 C 的方程为（）A-+=1 B-+=1M-18 十 16 1 口 9 十 8,m+D.?y2=l答 案 B2.（2021新高考1,5,5分，基础性）已知F i E 是椭圆C：y +*1 的两个焦点，点 M 在 C 上厕|MFi|MF2|的最大值为（）A.13 B.12 C.9 D.6答 案 C3.（2019课标I 理,10,5分，综合性
2、）已知椭圆C 的焦点为FI（-L0）,F 2（L0）,过 F2的直线与C 交于A,B两点若|A F 2|=2|F 2 B|,|A B|=|B FI|,则 C 的方程为（）A.?+y2=l+=14+A1 4+加答 案 B4.（2022新高考1,16,5分，综合性）已知椭圆C:+/=l（a b 0）,C的上顶点为A 两个焦点为F/2,离心率为今过Fi 且垂直于AF2的直线与C 交于D,E两点,|DE|=6很！J 4 A D E 的周长是.答案 13第1页 共15页5.(2019课标i n 理,15,5分，基础性)设F1,F2为 椭 圆 段+亲 1 的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限.若 M
3、FF2为等腰三角形，则 M 的坐标为.答 案(3,后)6.(2018浙江,17,4分，综合性)已知点P(0,l),椭圆1+y2=m(ml)上两点A,B满足Q =2万 厕 当 m =时，点 B 横坐标的绝对值最大.答 案 52 27.(2018天津理,19,14分，综合性)设椭圆器+方=l(a b 0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为当点A 的坐标为(b,0),且|FB|AB|=6V2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线R=k x(k 0)与椭圆在第一象限的交点为P,且 I 与直线A B 交于点Q.若 锵=苧 si n/AOQ(O为原点)，求 k 的值解析 Q)设椭圆的焦距为2c,由已
4、知有号=4又由 a 2=b 2+c2,可得 2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=&b,由|FB|AB|=6近，可得 a b=6,2 2从而a=3,b=2.所以椭圆的方程为高+?=1.(2)设点P 的坐标为(xi,yi),点 Q的坐标为(x&y。由已知有 yi y20,S|PQ|si n ZAOQ=yi-y2.又因为|A Q I=W%后而 N AB=：,故|AQ|=V y2.由 黑=学 si n/AOQ,可得 5yi=9y2.由方程组卜匕1 1消去X,可得y i=T .3 +7-L J 9k2+4易知直线A B 的方程为x+y-2=0,由方程组匕;*=0,消去x,可得yz;系.由 5
5、yi=9y2,可得5(k+1)=3我产不4 两边平方，第2页 共1 5页整理得 56k 2-50k+ll=0廨得 k=：或 k=i i.Z Zo所以,k 的值为同理.L 408.(2020课标i n,理 20,文 21,12分，综合性)已知椭圆蜷+5=1(0010,由题意知yP0.由已知可得B(5,0),直线B P 的方程为y=-(x-5),yQ所以 BP|=ypJl+赂|BQ|=Jl+光.因为|BP|=|BQ|,所以yp=1,代入C 的方程，解得xP=3 或-3.由直线B P 的方程得yQ=2或 8.所以点 P,Q 的坐标分别为 PI(3,1),QI(6(2);P2(-3,1),Q2(6,8
6、).|PIQI|=M。直线Pi Q i 的方程为y=g x,点 A(-5,0)到直线Pi Q i 的距离为手，故 APi Q i 的面积为:xrrTZ 5 x V10=-.|P2Q 2|=W而 直 线 P2Q 2的方程为y=g x+多点A 到直线P2Q2的距离为罢，故AP2Q 2的面积为3 X缪X V130=宗上,aA P Q的面积为今Zo Z L考点二椭圆的几何性质1.(2022全国甲理,10,5分，综 合 性)椭 圆 缁+=l(a b 0)的左顶点为A,点 P,Q 均在C 上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ 的斜率之积为 厕 C 的离心率为()入J 2 5B 2 4c-UD-3答 案 A
7、第3页 共1 5页2.（2018课标I 文,4,5分，基础性）已知椭圆C:+9=1 的一个焦点为（2,0）,则 C 的离心率为（）A.|B.i C.t D.平3 2 2 3答 案 c3.（2019北京理,4,5分，基础性）已知椭圆 +=l（a b 0）的离心率为捌（）A.a2=2b2 B.3a 2=4b 2 C.a=2b D.3a=4b答 案 B4.（2018课标H 文,11,5分，基础性）已知臼后是椭圆C 的两个焦点,P 是 C 上的一点.若PFJPF2,且NP F 2 FI=6 0 ,则 C 的离 心 率 为（）A.l-y B.2-V3 C.等 D.V3-1答 案 D5.（2021全国甲理
8、,15,5分，基础性）已知FI,F2为椭圆C:1|+*1 的两个焦点,P,Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且|P Q|=|FIF 2|,则四边形PF1Q F2的面积为.答 案 86.（2021浙江16,4分综合性）已知椭圆各、=l（a b 0）,焦点FI（-C,0）,F 2（C,0）（C 0）.若过Fi 的直线和圆（%Jc）2+y2=c2相切，与椭圆在第一象限交于点P,且 PF2J_X 轴，则 该 直 线 的 斜 率 是，椭圆的离心率是.林 案 延.包5 57.（2021北京,20,15分，综合性）已知椭圆E:+5=l（a b 0）的一个顶点为A Q-2）以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边
9、形面积为4V5.求椭圆E 的方程；（2）过点P（0,-3）作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线y=-3交于点M,N.当|PM|+|PN|W15时，求 k 的取值范围.第4页 共1 5页解析 Q油 题 设 b=22 x 2a x 2b =4遍.所以2=病.所以椭圆E 的方程为9+=1.直线 BC 的方程为 y=k x-3.由 仁 :5%=20得(5k 2+4)x2-30k x+25=0.由 =(-30k)2-4X(5k 2+4)X 25=400 2-1)0得 k|l.设 B(X i,yi),C(X 2,y x1+x2=,x l x 2 =岛.直线 AB的方程
10、为y=3f x-2.令y=3 得点M 的横坐标为xM=-=-ep 同理可得点N 的横坐标为xN=-急=-W p 由题设,yi+20,y2+20,xi X 20,所以XMXN=0.所以xM,xN同号.所以2kx 25 30k|PM|+|PN|=|XM+XN|=|七+e|=|X：XXXJ=&亶 二 掣+1=5|k|.由题设5+4 5/+4知,5|k|W15.所以lb 0)的右焦点F 与抛物线C2的焦点重合,Ci 的中心与C2的顶点重合.过F且与x 轴垂直的直线交G 于 A,B两点，交 C2于 C,D两点，且|CD|W|AB|.求 Ci 的离心率；(2)设 M 是 J 与 C2的公共点若|MF|=5
11、,求 Q与 C2的标准方程.解析 由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=V 炉.不妨设A,C在第一象限，由题设得A,B的纵坐标分别为玫，-;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故a a|AB|吟,|CD|=4c.22由|CD|W|AB|得 4 c=*，即 3 X：=2-2()解 得 衿 2倍去)或；=/所以G 的离心率为去由知 a=2c,b=c,故 Ci：W +=L设 M(xo,yo)厕 患+弱=L y=4cxo,故 荒+空=1.2由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=xo+c,而|MF|=5,故 x0=5-c,代 入 得 聆 +甯=L 即 c2-2c-3=0,解得c=-l(舍去)或c=
12、3.所以G 的标准方程为卷+g=l,C2的标准方程为y2=12x.第5页 共1 5页三年模拟A组考点基础题组考点一椭圆的定义和标准方程1.(2020河北线上测试,12)已 知 椭 圆 博+=l(a b 0)的离心率为日焦距为2祗则椭圆的方程为.答 案*=12 22.(2021南开一模,18)已知椭圆器+%=l(a b 0)的左、右焦点分别为F/z,右顶点为点A,点 E 的坐标为(0,延长线段Fi E交椭圆于点M,MF21X轴.(1)求椭圆的离心率；(2)设抛物线y2=y b x 的焦点为F,B为抛物线上一点,|BF|啰 b,直线BF交椭圆于P,Q 两点若|APF+|AQ|2考求椭圆的标准方程.
13、b2解 析(1)由题设可知点M 的坐标为用),其中,C2=a 2-b 2,将点M 的坐标代入接+*L 得盘+g=L所以e=J l =T抛物线y 2 4 b x 的焦点为F(|b,0),由对称性不妨设点B 在第一象限，因为|BF得b,所以由抛物线的定义，可得B仅 瓦?b).所以直线BF的方程为y=y(x-|b).由(1)得椭圆方程为磊+=1,点 A 的坐标为(2b,0).联立卜 T(x-lb)(消去y 整理，得 3x2-6b x+f b 2=0.x2+4y2=4b2,设 P(xi,yi),Q(X 2,y2)厕 xi+x2=2b,xi x2=b2.所以|AP|2+|AQ|2=(x 2b)2+公+(
14、x2-所)2+叩QQro=(xl+x2)2 7b(xl+x2)-xlx2+b24 2 5=9b2-14b2-y b 2+y b 2=y b 2=y,第6页 共15页2 2解得b 2=2.所以椭圆的标准方程为高+-=LO Z考点二椭圆的几何性质1.（2022天津十二区县一模考前模拟,8）已知椭圆捺+、=l（a b 0）的左,右焦点分别为F g点 P 在椭圆上,0是坐标原点|F1F2|=鱼|PF1|,NF1PF2=12O。，则椭圆的离心率是（）A710-V2 n V5-1 _ V5-V2 c V6-V24.D.-C.-U.-答 案 A2.（2021天津一中月考二,4）椭圆C:g +、=l（a b
15、0）的左、右焦点为Fi E,过 F2垂直于x 轴的直线交C 于 A,B两点若a AFi B为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（）A.|C.1 D,2 2 3 3答 案 D3.（2020天津南开中学月考四,7）设 e i,e 2分别为具有公共焦点F/z 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点，且 满 足 而两=0厕 4 +义的值为（）el e2A.1 B.i C.2 D.不确定答 案 C4.（2021河西一模,19）已知椭圆C:5+5=l（a b 0）的左、右焦点分别为Fi、F2,且满足离心率e=,|FlF2|=4b,过原点O 且不与坐标轴垂直的直线I 交椭圆C 于 M,N 两点.（1
16、）求椭圆C 的方程；设点卬2,1）,求4 人 1/面积的最大值.解析 由题意可知c=2低根据e=肆 得 a=4,故 b=2,所以椭圆C 的方程为1 +4=1.1D 4第7页 共1 5页（2）设直线I 的方程为y=k x（k W0）,M（xi,yD,N（X 2,y2）,由对称性不妨令xi X 2,由y=kx,/y2 得(l+4k 2)x2=16,解得 X l=匕+7=L4J1+4k2,x2=一4_1+4/则|MN|=VI +/|xl x2|I ,J 1+4/又点A 到直线I 的距离d=3，所以SA1 12k liAMN=,1+k28 J 1+k2当 k 0 时,S“AMN4;当 k b 0）的左
17、、右焦点分别为Fi、F，P是 C 上的点PF2J_F1F2,/PF1F2=3O1则 C 的离心率为（）A4 B-5 弓 D-T答 案 D2.（2021天津四中月考三,7）设 Fi,F2分别是椭圆E:+=l（a b 0）的左、右焦点，过点Fi 的直线交椭圆 E 于 A,B两点|AFi|=3|BFi|,若 co sNAF2B=|厕椭圆E 的离心率为（）Ai B.|C.f D.f答 案 I）二、解答题（共 90分）第8页 共1 5页3.（2022红桥一模,18）已知椭圆C:+=l（a b 0）的一个顶点为A Q-3）,右焦点为F,且|OA|=Q F|,其中O 为原点.Q）求椭圆的方程；（2）已知点P
18、 满足3而=而，点 B 在椭圆C（B 异于椭圆的顶点），直线A B 与以P 为圆心的圆相切于点 Q,且 Q为线段A B 的中点，求直线A B 的方程.解 析（1）由已知可得b=3,又|OA|=|OF|,所以b=c=3,所以a=府”=3鱼，故椭圆C 的方程为1O y因为3而=。，所以P（l,0）,y=/e x-3,易知直线A B 的斜率存在,设直线A B 的方程为y=k x-3,联 立/2 可得（2k 2+l）x2-12k x=0,（五+豆=L解得x=或，则可得B窑），又 Q为线段A B 的中点厕Q（岛,岛），所以 kp Q=m=，由 k pQ k=-l廨得 k=l 或 k=J,所以直线A B
19、的方程为y=x-3或 y=*3.4.（2022和平一模,18）已知椭圆C+=l（a b 0）的左,右焦点分别为F2,点 P ,孝）在椭圆C 上,且|PF2|=.（1）求椭圆C 的方程；过点F2的直线I 与椭圆C 交于A,B两点,M 为线段A B 的中点，若椭圆C 上存在点N,满 足 标=3 O M（O 为坐标原点），求直线I 的方程.解析.点 Pl,日）在椭圆C 上,且晔|二苧，第9页 共1 5页f_L+J _=iy(5+(豹2 老汁二b0)的一个顶点恰好是抛物线D:x?=4y的焦点，离心率为日求椭圆C的方程；(2)设 Ai(-a,0),A2(a,0),B(0,b),M是椭圆C上一点，且不与顶
20、点重合,若直线AiB与直线A2M交于点P,直线A iM 与直线A2B交于点Q.证明:4BPQ是等腰三角形.解 析 Q)由题意得,抛物线x2=4y的焦点坐标为。1),3 L 又合同邛，a=2.,Y2.椭圆C的方程为a+y2=l.(2)证明:由可得,AI(-2,0),A 2(2,0),B(0,1),直线AIB的方程为yx+L直线A2B的方程为y=-，+l.设直线A iM 的方程为y=k(x+2)(fc h g，且 k。0).第1 0页 共1 5页y=k(x+2),由#2 _ 得(4k 2+l)x2+16k 2x+16k 2-4=0.彳+y=i，/=(16k2)2-4(4k2+1)x(16k2-4)
21、0,16k2-4.2-8k2f XM=4?二 xM=花 行4k.yM-0 1yM=E k&M =而直线A2M 的方程为y=(x-2).由二得 皓岛)由；=：,得4悬熊)2PQ lxf f l.设 P Q的中点为N,可得N 的坐标为位台,1)，连接BN,可知BN x轴,，BN1PQ.故4 B P Q是等腰三角形.深度解析对等腰三角形的证明彳艮少求出两腰长度，一般利用两腰所在直线的斜率关系转化为角相等或利用等腰三角形三线合一的性质证明.6.(2022天津市实验中学自主模拟一,18)已知椭圆C 的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x 轴上,离心率为当(1)求椭圆C 的方程；(2)若直
22、线y=k(x-l)(k W0)与 x 轴交于点P,与椭圆C 交于M,N 两点，线段M N 的垂直平分线与x 轴交于 Q,求稿的取值范围.r a=2,解析 Q)由题意知上=今 可得b=l,C=K,、Q2 二炉+C2,丫 2故椭圆c 的方程为宁+y2=l.4(2)设 M(xi,yi),N(X 2,y2),第1 1页 共1 5页y=fc(x-i),联立 M 7 可得(4k2+l)x2-8k2x+4k2-4=0,匕+于=1,Ell.8k 2 4k2-4贝”1+X2加,X-X2=E所以 yi+y2=k(xi+X 2-2)=p所以线段M N的 中 点 坐 标 为(恶,/),则线段M N的垂直平分线方程为y
23、-品=-X-黑)令y=得 乂=思，所以Q(法,。)由题意知P(LO),则怜。|=上卷|=急，又|MN|=A/1+次2惶1 x2|=V1+fc2 J(%1+%2)2-441X24j(k2+l)(3k2+l)=,4J(庐+1)(3必+1)_所以 I MN I _4k 2+1_ _ 4 Rk，l所 以IPQI 一 =_ N k2+l4k 2+1=4卜 品,丁 kW0,k2+1 1,1 3 /3,.4 H b0)的右焦点为F(l,0)离心率为冬求椭圆C的方程；(2)设经过点F的直线I不与坐标轴垂直，直线I与椭圆C相交于点A,B,且线段A B的中点为M,经过坐标原点O作射线O M与椭圆C交于点N,若四边
24、形OANB为平行四边形，求直线I的方程.解 析Q)设右焦点为(c,0),由题意可知第1 2页 共1 5页y=k(xl),(2)解法一:由题意,设直线I的方程为y=k(x-l),fi kWO.与椭圆方程联立,b 整理得Q+z k -e+y =1，4k2x+2 k2-2=0.设 A(xA,yA),B(XB，YB),M(xM,yM),贝！xA+xB=p =2XM,XAXB=所以yM=k(XM-l)=备，所以M(器，六)于是直线O M的斜率为义直线O M的方程为y=-壶与椭圆方程联立,，2：二 整理得(1+A)X2=2.2k2/设N(XN,XN),则 端=与.l+2/c2 2 2在平行四边形O ANB
25、中,M为O N的中点，从而2XM=XN,即4瑞=孀，因此备)=当，解得k=冬所以直线I的方程为y=y x 一号或y=(x +与解法二:求得M(含2，卷)的过程同解法一，在平行四边形O ANB中，有 丽 =OA+OB=20M,2(4k2 j 2设N(XN,yN),所以N(器，备).又因为点N在椭圆C上，所以媪竽人+(券)2=1,解得k=苧.所以直线I的方程为y=y x -号或y=4 x +率8.(2020天津新华中学统练(5),18)设M、N分别是椭圆E:务=1 Q 4 0)的右顶点与左顶点,过左焦点F、斜率为8 的直线I交椭圆E于A、B两点且|FA|=2|FB|.求椭圆E的离心率e的值；醯 形
26、(B N 225V3 十 触 目 r右-z-=V、求椭圆E的标准方程.S&FBN 4解 析(1)设椭圆的焦距为2c,第1 3页 共1 5页则直线I的方程为X=%-C,设A(XAyA),B(XB,yB),X =y-c,L由2 2 得(3a2+b2)y2-22cy-3b4=0,.直线I过点F,.直线I必与椭圆相交，.275b-3d4 6,y A+y B=w(yA y B=,V|FA|=2|FB|,.yA=-2yB,W yA=-2yB 代入中，但 V d-2 2c将yB 1/市将yA=-2yB代入中，得-2序=一缶,盖=1，3a+b 3a乙+。又,.，b2=a2-c2,.,.9c2=4a2,.*.e
27、=-=a 3=#a+c)l 3=5X2=10,FBN 20c)ly j.S四边形力MBN _ 2 2 5,S&FBN 4，C _45A/3 、四边形AMBN=F o又S 四边形AM BN二SZXMNA+SAM NB=；|M N|,(|yA|+|yB|)二g|MN|31yBi=3a 詈=4s詈=c2=4z.*.c=2z/.a=|c=3,.b2=a2-c2=5,2 2.椭圆E的标准方程为卷+卷=1.一年创新1.(2022 5 3原创题)已知FI,F2分 别 为 椭 圆+=1的左,右焦点,P,Q两点均在椭圆C上点A(l,l),则下列判断正确的是()A.若点A Q 1)恰为弦PQ的中点很！I直线PQ的斜率为-1B.|PFi|+|PA|的最大值为3C.|PFi|+|PA|的最小值为3D.若直线PQ过左焦点，则|PQ|的最小值为2V3第1 4页 共1 5页答 案c2.（2022 5 3原创题）设椭圆r+y=l的左,右焦点分别为F/2,点P在椭圆上，直线PO（O为原点）与圆O:x2+y2=7交于M,N两点，若 满 足 丽筋=5则|PF1|PF2的直为；|PM|PN|的值为15 15口木 T;T第15页 共15页