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1、2 年模拟1 年原创精品高考系列专题十一概率与统计(文科)【考点定位】2011考纲解读和近几年考点分布概率与统计问题是每年高考必考内容.文科考查等可能事件的概率计算公式，互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式，相互独立事件的概率乘法公式,事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概率计算公式等五个基本公式的应用试题多为课本例题，习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握五个概率公式及其应用，夯实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法，就能顺利解答高考概率与统计试题.概率统计试题在试卷中的题型逐年发生变化，2 0 1 0年高考数学的文科试卷中，出现概率与统计解答题的有多套，最多的概率
2、与统计问题的分值占整个卷面分值的1 2%,且本部分题多为中低档题。从而可以看出近几年高考中概率与统计所占地位的重要性。【考点pk名师考点透析考点一、随机事件的概率【名师点睛】事 件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事 件A发生的频率巴总接近于某个常数,n在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记 作P (A).由定义可知O W P (A)W1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件4由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有个，即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的
3、可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是工.如果某个事件4包含的结果有，个，那么事件4的概率产(4)=%.使用公式P (A)=-n n n计算时，确定?、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变，没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏.求解等可能性事件4的概率一般遵循如下步骤：(1)先确定一次试验是什么，此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A.(2)再确定所研究的事件A是什么，事件A包括结果有多少，即求出(3)应用等可能性事件概率公式P=%计算.n【试题演练】设 有5个人，每个人都被等可能地分到8个房间中任意一间去住，求下列事件的概率:(1)
4、指定的5个房间各有1人住；(2)恰好5个房间，其中各住1人；(3)某指定的房间中恰有3个人住.解(1)记A为“指定的5个房间各住1人”，则A中有A；种分法，所以指定的5个房间各 住1人的概率P (A)=李=仁.8s 4 096(2)记“恰好有5个房间其中各住1人”为事件B,则B中有C；A；种分法，所以P (B)_ C；A；10585-512-(3)记“某指定房间恰有3人”为事件C,指定的房间住3人，有C；种分法，剩余2人中的每人可在7 个房间中任选1 间有7,种选法，所以C中包含C；7,种不同的选法，所以P(C)_ C；7?2 4 58，-1 6 3 8 4 ,考点二互斥事件有一个发生的概率【
5、名师点睛】事件A、B的和记作4+8,表示事件4、B至少有一个发生.当4、8为互斥事件时，事件A+B 是 由“A发生而8不发生”以 及“8发生而A不发生”构成的，因此当A和 B互斥时，事件4+B 的概率满足加法公式：P (A+B)=P(4)+P (B)(A、8互斥)，且有 P CA+A)=P (4)+P (入)=1.当计算事件力的概率尸(A)比较困难时I有时计算它的对立事件久的概率则要容易些,为此有尸(A)=1 一尸(A ).对于 个互斥事件A”A2,A“，其加法公式为P (A|+A2+A)=P(4)+P(A2)+-+P(A“).概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A、B互斥时，P CA+B)=尸
6、(A)+P(8),否则公式不能使用.如果某事件A发生包含的情况较多，而它的对立事件(即A不发生)所包含的情形较少，利用公式尸U)=1 尸(A )计算A的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.【试题演练】国家射击队的某队员射击一次，命中7 1 0 环的概率如下表所示：命中环数 1 0 环 9 环 8 环 7 环概率 0.3 2 0.2 8 0.1 8 0.1 2求该射击队员射击一次(1)射中9 环 或 1 0 环的概率；(2)至少命
7、中8 环的概率；(3)命中不足8 环的概率.解 记事件“射击一次，命中k 环”为 机(k d N,k W I O),则事件人彼此互斥.2分(1)记“射击一次，射 中 9环 或 1 0 环”为事件A,那 么 当 A m 之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得 P (A)=P (A9)+P (A1 0)=0.3 2+0.2 8=0.6 0.5 分(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B,那么当M,A9,AK)之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得 P (B)=P (A t.)+P (A9)+P (A1 0)=0.1 8+0.2 8+0.3 2=0.7 8.9 分(3)由于事
8、件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8 环”的对立事件：即后表示事件“射击一次，命中不足8 环”，根据对立事件的概率公式得P (B )=1-P (B)=1-0.7 8=0.2 2.考点三、相互独立事件同时发生的概率【名师点睛】事件4 与B的积记作A-B,A-B 表示这样一个事件，即A 与 B 同时发生.当A 和 B 是相互独立事件时，事件A 8 满足乘法公式P(4 8)=P (A)P (B),还要弄清N B ,屋 的区别.A 万表示事件入与后同时发生，因此它们的对立事件4 与B同时不发生，也等价于4 与B至少有一个发生的对立事件即笳方，因此有入万会不 Z,但 入 B A
9、+B.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件4 与 8 来说，才能运用公式尸(A B)=P(A)P(B).在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立)，当且仅当事件4 和事件B互相独立时，才有P(A B)=P(4)P(B).4、B中至少有一个发生：A+B.(1)若 A、B 互斥：P(A+B)=P(4)+P (B),否则不成立.(2)若 A、B 相互独立(不互斥).法一：P (A+B)=P (A+尸(A 豆)+P(7 B)；法二：P (A+B)=P(A B)；法三：P(A+B)=P(A)
10、+P (B)P(A B).某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化.n次独立重复试验中某事件发生k次的概率Pn(k)=Cf p*(1 p)正好是二项式(1p)+p 的展开式的第k+1项.【试题演练】设一射手平均每射击10次中靶4 次,求在5 次射击中：(1)恰击中1次的概率；(2)第二次击中的概率；(3)恰 击 中 2 次的概率；(4)第二、三两次击中的概率；(5)至 少 击 中 1次的概率.解 由题设，此射手射击1 次，中靶的概率为0.4,此射手射击5 次，是一独立重复试验,可用公式P(k)=C*Pk(1-P),r
11、k.(1)n=5,k=l,得 Ps(1)=C；P(1-P)=0.259 2.(2)事 件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或击不中都可，它不同于“击中一次”，也不同于“第二次击中，其他各次都不中”，不能用独立重复试验的概率公式，其实，“第二次击中”的概率，就是此射手“射击一次击中”的概率，为 0.4.(3)n=5,k=2,得 Ps(2)=C;P2(1-P)=0.345 6.(4)“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五次击中或击不中，所以概率为0.4X0.4=0.16.(5)设“至少击中一次”为事件B,则 B 包 括“击中一次”、“击中两次”、“击中三次”、“击中四次四“击中五次”,
12、所以概率为 P(B)=P6(1)+P5(2)+P5(3)+P5(4)+P5(5)因为事件B 是 用“至少”表述的，可以考虑它的对立事件.B 的对立事件是“一次也没有击中”,所以 P(B)=1-P(B)=1-P5(0)=C；(1-0.4)5=0.922 24.考点四、抽样方法、总体分布的估计【名师点睛】1.简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.2.分层抽样：当已知总体由差异明显的儿部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽
13、样叫做分层抽样.分层抽样的步骤：（1）分层；（2）按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法可以不同）；（4）汇合成样本.3.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.4.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.解决总体分布估计问题的般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=赞）；（3）画出频总数率分布直
14、方图，并作出相应的估计【试题演练】某一个地区共有5个乡镇，人口 3万人，其中人口比例为3 ：2 ：5 ：2 ：3,从3万人中抽取一 个3 0 0人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.解（1）将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层.（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.3 0 0 X 2=6 0 （人）；300X=4 0（人）；15300 X A=100（人）；300 X A=4 0（人）；300 X A=60（人），15 15 15因此各乡镇抽取人数分别为6 0人，4 0人，100人，4 0人，6 0人（3）将
15、300人组到一起即得到一个样本.2对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿 命（h）100 200 200-300 3004 00 4 00 500 500 600个数 20 30 8 0 4 0 30（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100 h-4 00 h以内的概率；（4）估计电子元件寿命在4 00 h以上的概率.解（1）样本频率分布表如下：寿 命（h）频 数 频 率100200200.10200 300300.153004 008 00.4 04 00 5004 00.20500 600300.15合计2001(2)频率分布直方图(3)由频率分布表
16、可以看出，寿命在100 h 4 00 h 的电子元件出现的频率为0.65,所以我们估计电子元件寿命在100 h 4 00 h 的概率为0.65.(4)由频率分布表可知,寿命在4 00 h 以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35,故我们估计电子元件寿命在4 00 h 以上的概率为0.35.【三年高考】08、09、1 0高考试题及其解析2010高考试题及解析一、选择题1.(2010年高考北京卷文科3)从 1,2,3,4,5 中随机选取一个数为a,从 1,2,3 中随机选取 个 数 为 b,则 b a 的概率是4 3 2 1(A)-(B)-(C)-(D)-5 5 5 52.答案D【命
17、题意图】本题考查离散型随机变量的概率问题，求解此类问题要求能够准确的确定基本事件空间的基本事件个数，和所求事件所含的基本事件个数.【解析】分别从两个集合中各取二个数，共 有 15种取法其中满足b a 的有3 种，故所镇 生 的 概 率 为 P=:2.(2010年高考江西卷文科9)有位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(O p l)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少每一位同学能通过测试的概率为A.(1 一 p)B.-pn C.pn D.l-(l-p)【答案】D【命题意图】主要考察对立事件的概率【解析】每位同学不能通过的概率为l-p,所有同学都不能通过的概率为(1-p
18、)”,至少有一位同学能通过的概率为1-(l p)”。3.(2010年高考安徽卷文科10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从【解析】正方形四个顶点可以确定6 条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5 种(4 组邻边和对角线)包括10个基本事件，所以概率等于.【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率.4.(2010年高考山东卷文科6)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，3 4(A)(A)(A)18 18【
19、答案】C则所得的两条直线相互垂直的概率是5,、6 (A)18 189 0 8 9 9 0 9 5 9 3 9 4 9 3去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(A)9 2,2(B)9 2,2.8(C)9 3,2(D)9 3,2.8【答案】B【解析】由题意知，所剩数据为9 0,9 0,9 3,9 4,9 3,所以其平均值为9 0+:(3+4 +3)=9 2；方差为(22X2+FX2+22)=2.8,故选 B。【命题意图】本题考查平均数与方差的求法，属基础题。5.(2010年高考福建卷文科9)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是少
20、，_8 1 7A.9 1.5 和 9 L.5 B.9 1.5 和 9 2 9 3 1 6 4 0 2C.9 1 和 9 1.5 D.9 2 和 9 2【答案】A【解析】由茎叶图可知：这组数据为8 7,8 9,9 0,9 1,9 2,9 3,9 4,9 6,所以其中位数为9 1+9 2 1-=9 1.5,平均数为一(8 7+8 9+9 0+9 1+9 2+9 3+9 4+9 6)=9 15,故选 A。2 8【命题意图】本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法。6.(2010年高考重庆卷文科5)某单位有职工7 5 0人，其中青年职工35 0人，中年职工25 0人，老
21、年职工15 0人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7 人，则样本容量为(A)7 .(B)15(C)25(D)35【答案】B7【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3,所以样本容量为彳=15.T 57.(2010年高考四川卷文科4)一个单位有职工8 00人，期中具有高级职称的16 0人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为4 0 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是(A)12,24,15,9(B)9,12,12,7(C)8,15,12,5(
22、D)8,16,10,6答案：。解析：因为9=-,故各层中依次抽取的人数分别是=8,型=16,=10,800 20 20 20 20120-=o。20二、填空题：1.（2010年高考福建卷文科14）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1,且前三组数据的频数之和等于2 7,则n等于-【答案】60【解 析】设 第 一 组 至 第 六 组 数 据 的 频 率 分 别 为2x,3x,4x,6x,4x,x,则1 2 3 42x+3x+4x+6x+4x+x=l,解得x=，所以前三组数据的频率分别是一，一，一，20 20 20 20故前三组
23、数据的频数之和等于一+二+=27,解得n=60。20 20 20【命题意图】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键。2.（2010年高考江苏卷试题3）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是.【答案】12 解析 考查古典概型知识。=3=16 23.（2010年 全 国 高 考 宁 夏 卷13）设y=/（x）为 区 间 0,1上 的 连 续 函 数，且恒有0可以用随机模拟方法近似计算积分f,先产生两组（每组N个）区间 0,1上 的 均 匀 随 机 数xvx2,-xN和%,内，%，由 此 得 到N 个 点（冷 必）=1,2,-
24、,N）,再数出其中满足,=1,2,-,N）的点数N、,那么由随机模拟方案可得积分f f（x）d x的近似值为。【答案】乂N解析：的几何意义是函数/（外（其中0 4/（幻41）的图像与轴、直线x=0和直线x=l所围成图形的面积，根据几何概型易知（f（x）d x .4.（2 0 1 0 年上海市春季高考9）连续掷两次骰子，出现点数之和等于4的概率为一（结果用数值表示）答案：。1 2解析：点数和为的结果为（1,3）,（2,2）,（3,1）共 3 个，而总的试验结果为3 6 个，由ni 3 1古典概型概率计算公式可得P =二=一。n 3 6 1 25.（2 0 1 0 年高考江苏卷试题4）某棉纺厂为了
25、了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 1 0 0 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间 5,4 0 中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的1 0 0 根中，有 上 一 根在棉花纤维的长度小于2 0 m m o【答案】3 0 解析 考查频率分布直方图的知识。1 0 0 X （0.0 0 1+0.0 0 1+0.0 0 4）X 5=3 06.（2 0 1 0 年上海市春季高考6）某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有8 0 0 人、1 6 0 0 人、1 4 0 0 人。若在老年人中的抽样人数是7 0,则 在
26、中 年 人 中 的 抽 样 人 数 应 该 是。答案：8 0。解 析：由 题 可 知 抽 取 的 比 例 为 攵=一7 0匕=1-,故 中 年 人 应 该 抽 取 人 数 为1 4 0 0 2 0N=1 6 0 0 x -=8 0 o2 07.（2 0 1 0 年高考浙江卷文科1 1）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 2_解析：4 5；4 6,本题主要考察了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力，属容易题。8.（2 0 1 0 年高考浙江卷文科1 7）在平行四边形ABCD中，O是 AC与 BD的交点，P、Q、M、N分别是线段O A、OB、OC、O D的中点，在
27、APM C中任取一点记为E,在B、Q、N、D中任取一点记为F,设G为 满 足 向 量 砺=O E+O F的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABC D外（不含边界）的概率为_ _ _ _ _ _ _（讥 1 7 35）解析：由题意知，G点共有16种取法，而只有E为P、M中一点，F为Q、N中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G的只有4个，因此概率为三3，本题主要考察了平面向4量与古典概型的综合运用，属中档题。9.（2010年高考上海卷文科10）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为C结果用最简分数表示）。解析：考查等可能事件概率C2 3
28、“抽出的2张均为红桃”的 概 率 为 小 二 二。5110.（2010年高考辽宁卷文科13）三张卡片上分别写上字母E、E、B,将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为。解析：填!题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：BEE,EBE,EEB,.概率为：3311.（2010年高考宁夏卷文科14）设函数y=/（x）为区间（0,1上的图像是连续不断的一条曲线,且恒有0 /（x）l,可以用随机模拟方法计算山曲线y=/（x）及直线x=0,x=1,y=0所围成部分的面积，先产生两组i每组N个，区间（0,1上的均匀随机数不了,和弘 方 为，由此得到V个点（乂回（，一1,2.加）。再数出其中
29、满足,W/（x）（i=l,2.N）的点数N ,那么山随机模拟方法可得S的近似值为【答案】4NN解析：(/(世的几何意义是函数/(幻(其中04/。)4 1)的图像与芯轴、直线x =0和直线x =1 所围成图形的面积，根据几何概型易知f f(xMx 牛.1 2.(2 0 1 0 年高考重庆卷文科1 4)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为-、-、-,且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为70 69 683【答案】70【解析】加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率p=I-x x =.70 69 68 701 3.(2 0
30、1 0 年高考湖北卷文科1 3)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3人 被 治 愈 的 概 率 为 (用数字作答)。【答案】0.9 7 4 4【解析】分情况讨论:若共有3人被治愈，则=(0.9)3 x(1-0.9)=0.2 91 6；若共有4人被治愈，则6=(0.9)4=0.6 5 6 1,故至少有3人被治愈概率尸=+6=0.97 4 4.1 4.(2 0 1 0 年高考湖南卷文科1 1)在区间-1,2 上随即取一个数x,则 x d 0,1 的概率为【答案】-3【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。三、解答题：1.(2 0 1 0 年高考山东卷文科1
31、9)(本小题满分1 2 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(I )从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(I I)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n,求”?+2的概率.【命题意图】本小题主要考察古典概念、对立事件的概率计算，考察学生分析问题、解决问题的能力。【解析】(I)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1 和 2,1 和 3,1 和 4,2和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个。从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1 和 2,1 和 3 两个。
32、因此所求事件的概率为1/3。(I I)先从袋中随机取一个球，记下编号为m,放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有：(1,1)(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)(3,2),(3,3)(3,4),(4,1)(4,2),(4,3)(4,4)共 1 6 个有满足条件n2m+2的事件为(1,3)(1,4)(2,4),共 3个所以满足条件n与 m+2 的事件的概率为P=3/1 61 Pi=i _故满足条件n m+2 的事件的概率为 16 16,2.（2 0 1 0 年高考天津卷文科1 8）（本小题满分1 2 分）
33、有编号为A-A?,A。的 0个零件，测量其直径（单位：c m）,得到下面数据:%4儿_小 444。H径1511.461.531.47箕中直径在区间 1.4 8,1.5 2 内的零件为一等品。（I）从上述1 0 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率;（I I）从一等品零件中，随机抽取2个.（i）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（i i ）求这2个零件直径相等的概率。【命题意图】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。【解析】（I ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从 1 0
34、个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A,则 P （A）10 5（i i）（i）解：一等品零件的编号为4,4从这6个一等品零件中随机抽取2个,所有可能的结果有:4,4,4,4 ,4,4,4,4 ,A，4 ,4,4，4,4，4,4，他，4 ，4,4，4,4，4,4，4,4，4 4，4，4,4 共有 1 5 种.（i i）解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B）的所有可能结果 有:A，A J,4,4,4,4，%,4 ，4,&，4，4，共有 6 种.所 以P（B）=9 =2.15 53.（2 0 1 0 年高考江西卷文科1 8）（本小题满分1 2 分）某迷宫有三个通道，进入迷
35、宫的每个人都要经过扇智能门.首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是1 号通道，则需要1 小时走出迷宫；若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你本到埒的通道，直至走出迷宫为止.（1）求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率；（2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率.【解】（1）设 A 表示走出迷宫时恰好用了 1 小时这一事件，则 P（A）=；.(2)设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则尸(8)=,+,+,=，.6 6 6 24.(2 01 0年高考福建卷文科1 8)(本小题满分1 2 分)设平顶向量%,=(m,1),/?
36、”=(2,n),其中 m,n e 1,2,3,4).(I)请列出有序数组(m,n )的所有可能结果；(II)记“使得,)成 立 的(m,n )”为事件A,求事件A 发生的概率。1 8.本小题主要考查概率、坪面电冰等基础知识,考查运算求解能小I、,山意i 几号查化归与转化思想、必然与或然思想.满分1 2 分.解：有序数邢(wn)的所有可能结果为:(1,1),(1.2),T 1.3),(1,4),(2,1),(2.2).(2,3),(2.4),(3.1).(3,2).(3.3 0,(3,4),(4,1),(4,2).(4.3).(4,4)共】6 个.270-3 0 x 1 6 0)220 0 x
37、3 0 0 x 70 x 4 3 0=9.9 6 7。由于9.9 6 7 6.6 3 5,所以有9 9%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。(I H)由(H)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.8.(20 1 0 年高考重庆卷文科1 7)(本小题满分1 3 分“(I )小问6分，(I I)小问7 分.)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起
38、.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,，6),求：(I )甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；(I I)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.解:考虑甲、乙两个单位的排列.甲、乙两单位可能排列在6 个位置中的任两个，才 Ai=30种等可能的结果.(I)设4 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，典 包含的结果有A；=6 种，故 所 求 概 率 为P(A)=y-(II)设“表示 甲、乙两单位的演出序号不相邻”，则B表示甲、乙两单位序号相邻，5 包含的结果才5 x2!=10种.从而P(8)-I-P(fl)=1 -55=y.9.(20 1 0 年高考四川卷文科1 7)(本小题满分1
39、2分)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励 瓶 或 谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有 奖励一瓶 字样即为中奖，中奖1-6概率为、甲乙、丙三位同学每人购买了 瓶该饮料。(I)求三位同学都没有中奖的概率；(I I)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.解(I )设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、8、C,那么P(A)=P(B)=尸(C)=；.O125答：三位同学都没有中奖的概率是上.(6 分)216(I D I-PCA B C+A B C+A B C+A B C)ZIX分2527或.瓦乙+A 瓦+3 8己+.瓦C)=答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为2 5一2 72 5一2 72z(点阳(
40、1)本题涉及随机事件的概率，互斥事件，相互独立事件的概率，n次独立重复试验等不下5 个知识点.与前三年的概率统计题比较，内容稳定，属中档题.(2)主要有5 步演算：求概率尸(A),P,尸(C),P(A B C),求对立事件的概率 1一尸(Z B C +A.瓦C+A B e +A B C).(3)涉及化归与转化、分类与整合、或然与必然等基本数学思想，能考查实践应用能力，但由于题目本身已经使用了概率语言，因而考查建模能力有所降低.2009高考试题及解析、选择题1.(2009山东卷文)在区间-工，工 上随机取一个数x,co sx 的值介于0 到l之间的概率为2 2 2().12 12A.B.C.D一
41、3 万 2 3【解析】:在区间 工，工上随机取一个数X,即XW 工，刍 时，要使COSX的值介于0 到 L2 2 2 2 2J i TT TT TT TT之间，需使一一x一一或一 4 x 4 一,区间长度为一，由几何概型知COSX的值介于。到2 3 3 2 3711 可 1一之间的概率为&=.故选A.2 n 3答案:A【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题，由自变量x 的取值范围，得到函数值 co sx 的范围，再由长度型几何概型求得.2.(2009安徽卷文)考察正方体6 个面的中心，从中任意选3 个点连成三角形，再把剩下的3 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于1
42、 2_A.1 B.-C.3 D.0【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有C；个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形，故概率为1,选 A。【答案】A3.(2009江西卷文)甲、乙、丙、丁4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4 个队分成两个组(每组两个队)进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为答案：DC 2 c2【解析】所有可能的比赛分组情况共有4 xd&=12 种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，2!故选O.4.(2 00 9 四川卷文)设矩形的长为a ,宽为6,其比满足b :。=立二=0.6 1 8,这种2矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄
43、金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5 9 8 0.6 2 5 0.6 2 8 0.5 9 5 0.6 3 9乙批次：0.6 1 8 0.6 1 3 0.5 9 2 0.6 2 2 0.6 2 0根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.6 1 8 比较，正确结论是A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【答案】A【解析】甲批次的平均数为0.6 1 7,乙批次的平均数为0.6 1 35.(2
44、0 0 9 辽宁卷文)A B C D 为长方形，A B=2,B C=1,0为 A B 的中点，在长方形A B C D 内随机取一点，取到的点到0的距离大于1 的概率为(A)-(B)1-(C)-(D)1-4 4 8 871【解析】长方形面积为2,以 0为圆心,1 为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为万冗 TT因此取到的点到0的距离小于1 的概率为7+2=2 47T取到的点到0的距离大于1 的概率为1-4【答案】B6.(2 0 0 9 陕西卷文)某单位共有老、中、青职工4 3 0 人,其中青年职工1 6 0 人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查
45、，在抽取的样本中有青年职工3 2 人，则该样本中的老年职工人数为(A)9(B)1 8(C)2 7(D)3 6答案B.解析：山比例可得该单位老年职工共有9 0 人，用分层抽样的比例应抽取1 8 人.7.(2 0 0 9 福 建 卷 文)个 容 量 1 0 0 的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别(0,1 0 (2 0,2 0 (2 0,3 0)(3 0,4 0)(4 0,5 0 (5 0,6 0 (6 0,7 0 频数 1 2 1 3 2 4 1 5 1 6则样本数据落在(1 0,4 0)上的频率为1 3 7A.0.1 3 B.0.3 9 C.0.5 2D.0.6 4解 析 由题意可知频数
46、在(1 0,4 0 的有:1 3+2 4+1 5=5 2,由频率=频数+总数可得0.5 2.故选C.二、填空题1.(2 0 0 9 年广东卷文)某单位2 0 0 名职工的年龄分布情况如图2,现要从中抽取4 0 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1 2 0 0 编号，并按编号顺序平均分为4 0 组(1 5号，6 1 0 号，1 9 6 2 0 0 号).若第5组抽出的号码为2 2,则第8组 抽 出 的 号 码 应 是。若用分层抽样方法，则 4 0 岁以下年龄段应抽取 人.图 2【答案】3 7,2 0【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为2 2,所以第6组抽出的号码
47、为2 7,第 7组抽出的号码为3 2,第 8 组抽出的号码为3 7.4 04 0 岁以下年龄段的职工数为2 0 0 x 0.5 =1 0 0,则应抽取的人数为x lO O =2 0 人.2 0 02.(2 0 0 9 安徽卷文)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段 为 边 可 以 构 成 三 角 形 的 概 率 是。【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或 3、4、5 或 2、4、5,3 3故 P =0.7 5.C：43.（2 0 0 9 江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随
48、机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为.【解析】考查等可能事件的概率知识。从 5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为 1 0,它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2,分别是：2.5 和 2.8,2.6 和 2.9,所求概率为 0.2 4.（2 009 江苏卷）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投1 0次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为$2=.【解析】甲 班 的 方 差 较 小，数据的平均值为7,故 方 差学生1 号2号3 号4 号5号甲班67787乙班676792 （6-7）2+02+02+（8-7）2+02
49、 2s =-=5.（2 009 湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5,则三 人 都 达标的概率是,三人 中 至 少 有 一 人达标的概率是。【答案】0.2 4 0.7 6【解析】三人均达标为0.8 X0.6 X0.5=0.2 4,三人中至少有一人达标为1-0.2 4=0.7 66.（2 009 湖北卷文）下图是样本容量为2 00的频率分布直方图。根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6,1 0内的频数,数据落在（2,1 0）内的概率约为0.0$0.080.030.0218 22样本数:据【答案】6 4【解析】观察直方图易得频数为2 0 0
50、x 0.0 8 x 4 =6 4,频率为0.1 x 4 =0.47.（2 009 湖南卷文）一个总体分为A,B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为1 0的样本。已知8层中每个个体被抽到的概率都为则总体中的个体数为1 2 0.1 2解：设总体中的个体数为x,贝 ijW =_ nx=i2 0.x 1 28 .（2 009 福建卷文）点 A为周长等于3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B,则 劣 弧 AB的长度小于1 的概率为。解析解析：如图可设A B=1，则A B=1,根据几何概率可知其整体事件是其周2长3,则其概率是39 .（2 009 上海卷文）若某学校要从5名男生和2名女生中