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1、大招1函数的性质大招总结1.函数对称性必会结论(1)函数 y=/(%)图象本身的对称性(自身对称).若f(a+x)=+f(b-x),见|/(%)具有对称性.若fix+a)=+f(x+b),则f(x具有周期性.记忆方法：括号内，差定周，和定对.(2)/(a+x)=/(b-x)y=/(x)图象关于直线x=铲出=法 对称.推 论 1：/(a+x)=/(a-x)y=/(x)的图象关于直线 =a 对称.推 论 2:/(%)=/(2a-x)y=/(%)的图象关于直线x=a对称.推 论 3：/(-%)=/(2a+x)o y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)/(a+尤)+f(b-久)=2c o y=f
2、(%)的图象关于点(誓，c)对称.推论 l:/(a+x)+/(a-)=2b=y=/(%)的图象关于点(a，b)对称.推 论 2:/(x)+/(2a-X)=2 b y =/(x)的图象关于点(a，b)对称.推论+/(2a+x)=2b a y=/(%)的图象关于点(a，b)对称.(4)两个函数的图象对称性(相互对称)(1)y=/(%)与 y=/(-x)图象关于y 轴对称.(2)y=/(x)与y=-/(-x)图象关于原点对称.(3)函数y=/(x)与 y=-/(%)图象关于轴对称.(4)函数y=/(%)与其反函数y=/T(x)图象关于直线y=x对称.(5)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图象关
3、于直线x=对称(可以令y=x去理解，令括号内相等求%即可记住，a+x=b-x,解得久=推 论 1 ：函数y=f(a+x)与y=/(a-%)图象关于直线x=0 对称.推 论 2:函数y=/(%)与 y=/(2a-x)图象关于直线x=a 对称.推 论 3:函数y=/(-%)与 y=f(2a+%)图象关于直线x=-a对称.2.函数周期性必会结论对/(%)定义域内任一自变量的值%：若 f(.x+a)=-/(%),则 T=2a(a 0).若/(x+a)=念，则 T=2a(a 0).J I 犯(3)若 fix+a)=一念，则 T=2a(a 0).(4)若/(x+2d)=/(x+a)/(x),则 T=6a(
4、a 0).若 f(x+d)=白 黑，则 T=2am o).J.十/yX)若 f(x+a)=贝1 J T=4a(a 0).1-/w3.函数的对称性与周期性之间的联系结 论1 ：两线对称型：如果定义在R上的函数/(%)有两条对称轴x=a、x=b,即/(a+x)=/(a%)，且f(b+%)=f(b-%),那 么/(x)是周期函数，其中一个周期T=2a-b.结 论2:两点对称型：如果函数同时关于两点(a，c)、(b，c)(a#b)成中心对称，即f(a+x)+f(a-x)=2c 和 f(b+%)+f(b-%)=2c(a*b),那么 F(x)是周期函数，其中一个周期T=2a-b.结 论3:一线一点对称型：
5、如果函数/(x)的图象关于点(a，0)(a H 0)成中心对称，且关于直线x=b)成轴对称，那 么/(%)是周期函数，其中一个周期T=4|a b.以上3个结论可以用三角函数去理解和记忆，例如令/(x)=sin%.推 论1：如果偶函数/(x)的图象关于直线 =a(a O 0)对称，那 么/(%)是周期函数，其中一个周期T=2a.推 论2:如果偶函数/(X)的图象关于点(a，0)(a O 0)对称，那 么/(%)是周期函数,其中一个周期T=4a.推 论3:如果奇函数/(%)的图象关于直线x=a(a H 0)对称，那 么/(x)是周期函数，其中一个周期T=4a.推 论4:如果奇函数/(x)关于点(a
6、，0)(a 0 0)成中心对称，那么/(%)是周期函数，其中一个周期T=2a.典型例题【例1】(2021-甲卷理科)设函数/(%)的定义域为/?J(x+1)为奇函数，/(%+2)为偶函数，当X G h2,时，/(%)=ax2+b.若/(0)+/(3)=6,则)A.-4C.-4解 方法 1：/(X +1)为奇函数，f(l)=0,且 f(x+1)=-f(-x+1),V f(x+2)偶函数，:fix+2)=/(-x 4-2),.-./(x+1)+1 =-f-(x+1)+1 =-/(-%),即f(x+2)=-/(-x),.-./(-x+2)=f(x+2)=-f(-x).令 t=-x,则 f(t+2)=
7、-/(t),.,.f(t+4)=-f(t+2)=/(t),A/(x+4)=/(x).当 x e h 2 时，/(x)=ax2+b./(0)=/(-l+1)=-/(2)=-4a-b,/(3)=f(l+2)=/(-l +2)=/(l)=a+b,又/(O)+/(3)=6,.-3 a =6,解得 a=-2,v/(I)=a+&=0,.1.b=a=2,二当 x G 1 2 时，/(%)=2x2+2,-f(J =，(9 =-f(9 =-(-2 X z +2)=3故 选D.方 法2:/(x+l)为奇函数，/(x+1)右 移1个单位变为/(%),./(x)关于点(1，0)对 称/(%+2)为偶函数，/(%+2)
8、右 移2个单位变为/(%),./(%)关于=2对称7=4,剩下同法1【例2】.(2021-甲卷文科)设/(X)是定义域为R的奇函数，且/(I +x)=/(-%).若 f(W)=”犷(|)=()【解】方 法1：由题意得/(-x)=-/(%),又/(I +%)=/(-X)=-/(%),所以/(2+%)=/(%),故 选C.方 法2:/(%)是奇函数，所以关于(0,0)对称/(1+X)=/(一X),/(久)关于X =之对称周期 T=4 x g-0)=2,则 f)=/f.【例3】.(5分)(2021-新高考I I)已知函数/(%)的定义域为/?,/(%+2)为偶函数,/(2x+1)为奇函数，则()A(
9、-1)=B./(-I)=0C./(2)=0D./=0【解】方 法1：由题意，f(x+2)为偶函数，可 得/(%+4)=/(-x),/(2x+1)为奇函数,可得 f(.-2x+1)=-f(2x 4-1),令F(x)=f(2x+1)为奇函数，可得 F(0)=/(I)=0,.-./(-I)=-/(3)=-/(l)=0,即=-/(x+2),.,./(x+4)=-f(x+2),易知/(x)的周期7=4,其他选项的值不一定等于0.即/(-I)=0,故 选B.方 法2:/(x+2)向右平移2个单位得到/(%)/(%+2)是偶函数，f(x)的对称轴是%=2同理/(2x+1)为奇函数，/(%)对称中心是(1，0
10、)根据函数对称性与周期的结论=2 1=1,7=4且/(I)=0,对称中心距离为p所 以/(-I)所以答案选B.【例4】.若对正常数m和任意实数x,等 式 小 +m)=摘 成 立，则下列说法正确的是A.B.C.D.)函数/(%)函数/(%)函数/(%)函数/(%)是周期函数，最小正周期为2 m是奇函数，但不是周期函数是周期函数，最小正周期为4 m是偶函数，但不是周期函数/(%+m)1+/W嗡，%+2旬=这=一卷 f(x+4 m)=-打二而)=-=/(X)，:T=4 m.故选 C.【例5】函数f M 的定义域为R,以下命题正确的是()(1)同一坐标系中，函数y=f(x-1)与函数y=/(I -X)
11、的图象关于直线X=1对称；(2)函数f M 的图象既关于点(一|，o)成中心对称，对于任意X,又 有/(X +|)=-f(x),则fix)的图象关于直线=|对称；(3)函数f M 对于任意居满足关系式/(%+2)=-/(-%+4),则函数y=Z(x+3)是奇函数.A.(l)(2)B.(l)(3)C.(2)(3)D.(l)(2)(3)【解】对于(1),y=f(久)与y=/(-久)关于y轴对称，而y=/(%-1)与y=/(1-%)都 是y=f(x)与y=/(-%)向右平移个单位得到的，二函数y=f(x-1)与函数y=/(i-X)的图象关于直 线 =I对称，故(I)正确；对于(2),函数/(%)的图
12、象既关于点(一，0)成中心对称，贝 IJ/(-1-%)=-A%),而对于任意 X,又有/(%+|)=-/(%),=/(%+|),即/(-%)=/(%),又根据/(%+1)=S 可得函数周期 7=3,.-./(x+|)=/(-1-%)=/的图象关于直线%=-|对 称，则/(%)的图象关于直线x=|对称，故(2)正确；对于(3),.(x+2)y+4)=3,.函数/(X)的图象关于(3,0)对称，而函数y=f(x+3)是 把y=/(%)向左平移3 个单位得到的，二函数y=f(x+3)是奇函数，故 3)正确.故选D.【例 6已知定义在R上的函数/(%)满 足/(-%)=-/(x),/(3-x)=/(%
13、),见|/(2019)=()A.-3B.0C.1D.3【解】定义在R上的函数/(%)满 足/(-%)=-/(%),可知函数是奇函数，/(0)=0.f(3-%)=/(%),可得/(3+x)=/(-x)=-/(x),所以/(x+6)=-/(x+3)=fix),函数的周期是 6.f(2019)=/(336 x 6+3)=/(3)=f(3-3)=/(0)=0.故 选 B.【例 7已知定义在R上的函数f M 的图象关于点(-玄。)对 称，且满足/(%)=又/(-I)=1,/(0)=-2,则/+/+/+/(200 8)=()A.669B.670C.2008D.1【解】因为满足/(%)=一/(X +1),则
14、 f M=/(%+3),又/(-1)=1,/(0)=-2,M(-D =/(-l+3)=/(2),又/(0)=/(0+3)=f.又函数/(x)的图象关于点(一：，。)对 称,/(-1)=一/(一)=/(6+|)=/(1)，所以 f(l)+f(2)+/(3)=0.又/(I +3)=f(4),f(2+3)=f(5)/(3+3)=f(6),又 2008=669 X 3+1.所以/(l)+/(2)+/(3)+/(2008)=/(l)=/(-l)=1.故 选D.【例8】.已知定义在R上的函数/(x)满足：y=f(x-1)的图象关于(10)点对称，且当 时恒有+当%G 0 2)时,/(%)=靖 一 1,.-
15、.f(20期)+/(-2016)=/(2017)-/(2016)=/(I)-/(0)=(e-1)-0=e-1.故 选 C.【例9】定义在R 上的偶函数，丫 =/(%)满足/(%+2)=-/(X)对所有实数%都成立，且在 0,2 上递增，a=/(|),b=/(9，c=f(logp),则下列成立的是()A.a b cB.b c aC.b a cD.c a b【解】函数y=/(%)为偶函数，又 /(X +2)=-/(x)对所有实数X都成立，二函数以4 为周期的周期函数.又函 数f。)在 -2-0上单调递增，二函数/(x)在 0 c a.故选 B.【例10已知函数f M 的定义域为R,当 g 时，/1
16、 +3 =/(%-3 则*2016)=()A.-2B.-1C.0D.2【解】当：时，/（%+3 =/1 一3，:当 时，r（%+i）=f（x）,即周期为 1 ./(2016)=f 户当一 1 4 x 41 期 f(f)=一/(%),:/=-/(-l),v 当%0,则 有()X1-X2A./(49)/(64)/(81)B.*49)f(81)f(64)C.(64)/(49)f(81)D.f(64)/(81)0,%1一%2则函数/(X)在区间0 3 上为增函数，进而有/(I)/(2)/(3),即/(49)f(64)/(81).故选 A.3.已知函数/(x)=a-x2(l%2)与 g(x)=x+2 的
17、图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是0A.卜/+8)B.。）C.D.-2-0 2-4【答案】若函数/(%)=a-x2(l%2)与 g(x)=x+2 的图象上存在关于x 轴对称的点,则方程a-必=一(+2)o a=/一 一 2 在区间0 2 上有解，令h M=x2-x-2,1%2,由 h(x)=x2-x-2的图象是开口朝上，且以直线%=|为对称轴的抛物线，故当=1 时，h M取最小值 2,当 =2 时，函数取最大值()，故 a -2-0.故 选 C.4.定义在实数集R上的函数/(%)满 足/(%)+/(%+2)=0,且/(4-x)=/(X).现有以下三种叙述：(1)8是函数/(%
18、)的一个周期；(2)/(%)的图象关于直线%=2 对称；(3)/(%)是偶函数.其中正确的是()A.(2)(3)B.C.(l)(3)D.【答案】对于(1),由于定义在实数集R上的函数/(%)满 足 f(%)+/(%+2)=0,则 f(%+2)=-/(%),即有/(%+4)=-/(%+2),则/(x+4)=/(%),即 4 是函数的最小正周期，故 8 为函数的一个周期，故(1)对；对于(2),由于/(%)满足/(4-%)=/(%),即有/(2+x)=/(2-x),即/(%)的图象关于直线x=2 对称，故(2)对；对于(3),由于 3(4-于=/(%),即有/(-x)=/(%+4),又 f(x+4
19、)=/(%),贝 IJ/(-x)=/(x),贝 IJ/(x)为偶函数，故对.故选D.5.已知函数/(%)(%G /?)满 足/(-%)=4-/(%),函数9(%)=三|+2.若曲线y=f M 与 y=g(x)图象的交点分别为(xryj,(%2-y-i).(x3-y3),(%m-2,/(2)=m 则实数m的取值范围是【答案】r/6 +%)=/G-用 l+x 代换%得 f(|+x)=/(-x)=-/(x).用|+%代 换%得/(%+3)=-/(%+()=/(x),即/(%)=/(%+3).函数/(x)是 以 3 为周期的周 期函数，/(4)=/-2,/(2)=/(-2)=-/(-2+3)=-/(I)2,：.m -*2,解得m -1 或 0 c m 3,二实数m的取值范围为mm -1 或 0 V巾V 3.故答案为刈6 -1 或 0 m V 3.