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1、大招4 双距离单交线公式大招总结两个三角形平面心分存在夹角为氏其外接球半径为R,则2 +n2-2mncos0 I2 甘小K=-+sin6 4？：平面a外接圆圆心到交线距离（。尸）：平面夕外接圆圆心到交线距离（&尸）夕相与夹角（当且仅当其中一个三角形为钝角的时候,取二面角的补角）/：两平面的交线长度（a c p）证明：。为球心，。|为三角形A B C的外接圆圆心，。2为三角形AO C的外接圆圆心尸为AC 中点，。_1面4 8。,。2，面 A。，/Q E Q =。，设。尸=肛02尸=余弦定理。煲=q尸+0/2 _ 2Q尸.Q F .cos0=m2+2mncos0是斜边，为直径的圆经过正弦定理得：O
2、F=色旦=小优+*-2m吧%sin。sin 夕在三角形0E 4中使用勾股定理求外接球半径以=凡 所 以 改=.+2一痴烟。+:sin。4D典型例题例 1.（2 0 2 0-武汉模拟）在三棱锥S-A B C 中，底面V A B C 是边长为3的等边三角形,S A =g,S B =26,若此三棱锥外接球的表面积为2 1 乃，则二面角S-A5-C的余弦值为解：方 法 1:由题意得S A?+A4=SB2，得到1sA _ L A 8,取 AB中点为D,S B 中点为M,得 到/COM为 S-AB-C的二面 角的平面角，设三 角 形 ABC的 外 心 为。则。0，=3.2 =6,。0=且，球心为过加的平面
3、筋5的垂线与过0 的平面4 3。2 3 2的垂线的交点，三棱锥外接球的表面积为2k8 =百，所以4O M =-,由 MD=LSA=3,所以 t an/O D M =瓜 一0。河=60 12 2 2同理 ZODO=60 ,得到 N M D C=1 2 0 ,由 cosMDC=故答案为：一,2 2方法2:。河=机=OQ=乌 交 线 A6=3,/?2=212 43 3 3 J直接使用公式R2=-+2-坪 cos。+以=寸+2=0sin2 4 3 4 44.e=i2（r,c o se=2例 2.（2021春-福州期末）在三棱锥S ABC中，SA=S8=AC=6C=2,SC=1,二面角S-A B-C 的
4、大小为60。，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（）*4万A.3B.4万C.Vin解：方 法 1:取 AB的中点为。，由三棱锥S ABC中，SA =SB=A C =B C =2,SC=,二面角S-A B-C 的大小为60。，得到VSAB和VA8C都是等腰三角形，.-.SDA.A B,4。工48,二2 5。是二面角5-钻一。的平面角，QSC=1,二面角 S-A B C 的大小为 60；.NSOC=60,SO=C=1,故 45=2百设球心为O y AB C和Y S A B外心分别为E,F,则O E 平面A BC,OF 平面SA B,则D E =D F =I,/.OE=OF=外接球半径 R=3S.
5、姮十乙一 r6 外接球的表面积为4万心=子.故 选 D.方法2:m=1,交线48=2后,6=工3直接使用公式产+9*459w.5=4T Z-/?2=,iD.3例 3.（2018-惠州模拟）在三棱锥S-ABC中，VABC是 边 长 为 3 的等边三角形,SA =S B =2 0 二面角S-A B-C 的大小为120。，则此三棱锥的外接球的表面积为。解：方 法 1:由题意得SA2+A52=SB2,得到取AB中点为,SB中点为得至U Z C D M为 S ABC 的二面角的平面角，得至U N M D C=120,设三角形ABC的外心为。，则。0，=6 =3 0，,。0，=且，球 心 为 过 加 的
6、柳 的 垂 线 与 过 0 的 4 8。2Q Q 91的垂线的交点，在四边形MDOO中，。=,所以/?2=。2+。的=+3=:，所2 4 4以球的表面积为4万收=21%.故答案为:2打.方法2:D M =m =O,D=n=交线 AB=3,0 =幺2 33 3 3 直接使用公式R2 =+2 c o s 6 +以=彳+75+2=21sir?。4 3 4 4/.S=4 兀 R2=211（例4.（原创题）在三棱锥S-ABC中，VABC是边长为6的等边三角形，SA=SB=,二面角S-A B-C 的大小为120,则 此 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为。解：注意此时VSA8为钠角三角形,因此
7、圆心在平面外所以相，的夹角为二面角的补角60Q Q=2 =LQO=L 交线 AB=6 f =%直接使用公式尸m +-2 mncos0 Is in/+7121414143-21-1-3-4+3-4S=4 乃 R*=713（例 5.（2021春-瑶海区月考）在菱形A8CO中，4=匹,46=4百，将丫段）沿 3。折327r起到VPB。的位置,若二面角P-即-C 的大小为二，三棱锥P-8C。的外接球心3为点。，则三棱锥P-B C D 的外接球的表面积为（）A.112B.96万C.48%D.1281解：方 法 1:Q 四边形ABC。是菱形，A=（,:.VBC）是等边三角形，过球心。作OO_L平面BCD,
8、则。为等边VBC。的中心，取 BO的中点为E,则且27r 27rB D L E C,由二面角P 8。C 的大小为，得/P E C =,即3 3N O E C =-.Q A B =4百,A AE=EC=6,0E=工 EC=2,在 Rt NOEO中，由3 3j r/O E C =，可得QE=4,在VOEC中，3O C2=O E2+E C2-2 O E E C c o s N O E C=2 8,即 O C =2 出,设三棱锥 P-B C D 的外接球的半径为R,即R=2疗,.三棱锥P-B C D的外接球的表面积为4万店=112万，故选A.方法2:/TI=?=OE=2,交线BD=4/5,e=g,直拉
9、使用公式m2+n2-2mncos0 I2 4+4+2x2 _ _ _ ,R-=-+=-+12=28,；.S=4乃 R-=112;rsir?。4 3例 6.（2021-七模拟）在三棱锥 A8C）中，BC=BO=嫄,AC=A。=C=2,当二面角A-C D-B的余弦值为延时,三棱锥A-8 8 外接球的表面积为（）.15万A.11D3 0 万D.-1 160 C.-1 11 2 0 万1 1解：方 法 1:如图所示，取 CO的中点E,连接A E,B E,由A C =A ,B C =3 ,可得A E r C D,B E C D ,又 A E c B E =E,:.CDL 平面 A BE,:.NA EB
10、是 二 面 角A-C D-B的平面角，由已知可得A E=6,B E =1,在 V 4 5E中，由余弦定理可得A B=6 则三角形A B E为等腰三角形，取点F为 8 E 的中点，则A F J _ 5E,又QBEu平面BCD,:.CDLA F,又 C D c B E =E,;.AF，平面B C D,由勾股定理可知 B C L B D,E为R t V B C D 外接圆的圆心.过E点作OE/A F,取O为三棱锥A-B C D的外接球的球心，过。点作O G/B E 交AF于一点G,连接0 4,0。，设 Q E =x,在V A B E 中，设三棱锥外接球的半径为R,R2=x2+l由勾股定理可得：,r
11、v n Y 1，解得R2=-九 +1 12 4三棱锥A-8 8 外接球的表面积为S=4乃炉=*.11故选C.方法2:E 是底面外接圆圆心m=0,=。遂=走，交线CO=2,cos6=遮,sin6=叵,3 6 6古城/土小 八 T n，m2+n2-2mncos0 I2 O+3-0,1 5 c.60直接使用公式 R-=-弓-+=4 一+1=,：.S=7lR=一71.sin2 4 H 11 1112自我检测1.在四棱锥P-ABC。中,底面A8CD为正方形，A6=2,VPAO为等边三角形,线段8 C 中点为E,若 PE=1,则 四 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为。解答：方 法 1:取 AO的
12、 中 点/，连接E F,P E,因为底面ABC。为正方形，A8=2,VA4。为等边三角形,所以PF=6,E F =2,又PE=1,所以P F 工P E,设正方形A B C D的对角线的交点，过 P 做底面的投影N,则由题意可得N 在 E F 上,由射影定理可得NE=&PE2 =二1而 =1,所以EF 2MN=士 PN=层二应7=3,MB=3。=冬 色=V I,过 做 底 面 的 垂 线，2 2 2 2则四棱锥的外接球的球心在直线 O 上，设。为外接球的球心,设球的半径为R,则op=Q?=R,过。做 次_L PN 于 ，则四边形O M N H为矩形,所以O H =M N =L,HN=O M ,2
13、(i)若球心在四棱锥的内部则可得：在 VOP”中，O尸 2 =OH 2+(PN-”N)2,即 改=(g)+苧一,(1)在Y O B M O B2=B M2+O M2,即 R2=(夜尸+OM?,由(1)(2)可得O M=B,不符合,故舍去.3(ii)若球心在四棱锥的外部则可得：门、2 Y在 VOP中，O P2=OH-+(PN+HN)2,即a=+0 M ,(3)2 J在7 0 B M 中，。长=BM?+OM?,即 R1=(五?+O M2,(4)由(3)(4)可得改=工，所以四棱锥的外接球的表面积S=4万改=生生.综上所述四3 3棱锥的外接球的表面积S=4万 火2 =%.故答案为：也.3 3方法 2
14、:首先确定角度，Z P F E =%(PE=1,PF=6,E F =2),6,7O.F=m =,O)F=7?=1,交线 A D =2,0=332,2?n ,2 1 +1 一2 X X立直接使用公式片/+一 邢。一+=3-4=L,sir?。4 1 4 34S=4乃=7T32.(2021-江西模拟)已知在三棱锥4 BCD中，A B=A D =BD2,B C =C D =,A C =近,则三棱锥A-B C D外 接 球 的 表 面 积 为。解答：方 法1:由题意可知VABO是等边三角形，V6CD是直角三角形，B C L C D.设8D的中点为“N AB D的中心为N,过M作平面8 8的垂线,过等边N
15、 A B D的中心N作 平 面 的 垂 线,则 两 平 面 垂 线 的 交 点。为三棱锥A-B C D的外接球的球心.连接 AM,CM,Q 3C=CO=0,A3=3D=AD=2,AM _ L J,3。，且AM=0,=1,./AMC 为二面角 A BO C 的平面角，在N AM C中由余弦定理可得cosA MC=。加,2 AM C M 2Z AM C=1 5 0 ,r.N O M N=1 5 0-9 0 =6 0 ,Q MN=O M =2 M N =3 3 3.OBTOM +BM?=叵,即三棱锥外接球的半径为=叵.外接球的表面积3 3S=4 万/=.故答案为：.33方法2:二面角Z AM C=1
16、 5 0 ,三角形B C D为RtV,M为外接圆圆心，m=*,=0,交线5 D=2,e=5 7Tr，直接使用公式6八，irr+n2-2mncos0 I2 +-0 4 7 o.2 2 8s i n2 4 1 4 3 343.(2 0 1 8-西城区校级模拟)在三棱锥A-BCD中A B=A C =l,DB=D C =2,A D=BC=y/3,则三棱锥A-3CD的外接球的表面积为()A.7 TC.4 万D.7兀解答：方法 1：QA3=AC=1,AO=3C=百,3r=CO=2,.AB_LA,AC_LAO,AR2 A.AC2 RC2 I.AT)_L平面 ABC,在VABC 中，由余弦定理得cos/BAC
17、=-=-一2 AB A C 2/.Z C A B =1 2 0,以A C为x 轴，以AD为z 轴建立如图所示的坐标系：则A(0,0,0),B-g，孚。，。(1,0,0),。(0,0,设棱锥4 3 8 的外接球球心为M(%,y,z),则 X?+9+z?=(x +；+V一 等+z2=(x-l)2+y2+z2=x2+(z-/3)2,解得=;冬 外 接 球 的 半 径 为 一 L寿=3外接球的表面积S=4万/=7万.故选D.方法2:线面垂直模型R=因 为底面外接圆半径，为高,3 7=V,VA3 c 外接圆半径弋=1,-.R2=-+!=-,S=4/?2=ITI4 4方法3:/.Z C A B=120。为
18、二面角，找VADC与7 A D B的外接圆圆心到交线AO的距离机交线皿=百,。=竽直接使用公式11 1112.2 c/)；2 1-F 2 X X X 2 +-2 nmeos 夕 /_ 4 4 2 2 2 3 _ 7sin?。+4 3+4 4S=4兀R2=7万.44.（2020秋-合肥期末）在三棱锥A BCD中，/8 4 C =/B O C =60。，二面角4-8。-。的余弦值为一1,当三棱锥A-8C。的体积的最大值为逅时;其外接球3 4的表面积为（）A.57rB.6兀C.7兀D.8解答：方 法 1：如图,设球心。在平面ABC内的射影为0,在平面B C D内的射影为02,则二面角A-3 C-。的
19、平面角为N 4W D,点A在截面圆01上运动，点。在截面圆02上运动，由图知当AB=4C,8。=CO时,三棱锥A-B C D的体积最大,此时7 AB e与7 B D C是等边三角形,设8C=a,贝A M =D M -a,SVBCD=-a2,h=AMsin（万一=-a,VA-BCD=；SVDBC。，解得 a=6,所以 D M =-|,D O2=1,O2M=；，设Z AM D =26,则 cos26=2cos/-1 =，解得 tan。=血，所以 OO,=,又3=；，所以。2 =容 则球。的半径R=+=乎,所求外接球的表面积为S=6乃,故选B.方法2:由题意得：VA8C与V8CO是正三角形，由体积最
20、大够得到。=若。和。2是外接圆圆心，m=n=OXM =,交线CB=G,cose=,sin6=,1 1 1直接使用公式代nr+2mncos0 I s in/+7+-+-4 48 693+-432S=4 万 =6兀.5.（2021-汕头一模）在三棱锥S-A 5 C 中，VABC是边长为2 的等边三角形，VSA B是以A 3为斜边的直角三角形,二面角S-4?-C 的大小为60,则该三棱锥外接球的表面积为 o解答：方 法 1:如图所示,过等边VABC中心。作直线/J平面是以A8为斜边的直角三角形,外接球的球心在过RtVABS的 斜 边 的 中 点02并且垂直于RtVABS的直线上，即与直线/的交点。的
21、位置.过。2作垂直于4 5 的直线交S 3于点D,由于二面角S AB C 的大小为60,即/。2。=60。，所以4 0 0 2 0 =30,由于Y AB C为等边三角形，所以G Q =1A/22-12 差，则O 0 =*.tan30。=；,则我=。=?=半，所以5球=4%半=等-故 答 案 为:穿方法2:和 2 是外接圆圆心，帆=0,=，交线A6=2,e=（,直接使用公式炉=+2痴85+；=2+1 =肥：S=4万 收=%乃sir?。4 3 9 946.（2020-德阳模拟）在四面体 ABC。中，A B=A D 2,Z B A D=60,Z B C D=90,面角A-8 O-C 的大小为150。
22、，则四面体A8CD外 接 球 的 半 径 为。解答：方法 1:在四面体 A8CD中，A8=AD=2,/8A D =60,/8C）=90,二面角A-B O-。的大小为150。，四面体ABC。外接球,如图：则V3C。在球的一个小圆上,3。的中点为圆心N N AB D是正三角形，也在球的一个小圆上,圆心为M,作 OM _L平面A BD,ON_L平面8 c 0,0 为球心,二面角A-B D-C的大小为150,作NP BD,贝！|/A N P=150。，可得/O N M =60。,MN=昱,则 ON=,外3 3接球的半径为：J 苧+F=2 1 .故答案为：殍.方法2:由题意得：祖=0/=立，交线8 0
23、=2,8=3,直接使用公式R2痴+2 -功 cos。+J 二;+1 =工，.R=叵sir?。4 1 3 347.（2021春-山东月考）已知三棱锥P 4 3 C 中，VA8C是以角A为直角的直角三角形，AB=AC=2,P8=PC,P4=7iZ，a 为VABC的外接圆的圆心，cos/PA。=乎，那么三棱锥P-A B C 外接球的体积为（）C.2历兀A士3B 屈兀D.7 解答：方 法1 ：如图,设三棱锥P-A6C外接球的球心为。，半径为R,连结P O O O,PO,AO,由已知可得，8c为圆0 1的直径，8 C =2五 ,则AO,=4 1,因为c o s/P A Q =乎，在V P 4。中，由余弦
24、定理可得，P O：=PA2+A O 2 PA-AO,cosZPAO,=8,则 P O】=2后，又 AO;+P O；1 0 P A2 1 4,所 以 叫 为 钝 角 由 正 弦 定 理 可 得 春 彳P。、即日sin/PA O|s i n/P Q A=半，解得sin/尸旦A =#，所以NP Q A =1 2 0。，因为AQ,O Q,PO,三线共面,7O O _ L AO,则 N P O Q=3 0。，在 R t VAO 中，O O：=我 一 2,在 VP O Q 中，P O2=O O；+P O；2 0 0,PO,c o s Z P OO,所以R 2 =斤 _ 2 +8 -2，?2 2 .2 V
25、2 .C OS 3 0。，解得R?=-，故三棱锥P -A B C的外接球的2体积为v=W万庐=4万、2、噂=乂 画.故 选B.3 3 2 J2 3方法2:先求出二面角，再使用公式.在V P A 0 1中，由余弦定理可得，P O；=P A2+A O-2 PA-AOc o s/PA Q1 =8,则 P Q =2后，又A O：+P O：=1 0 尸屋=1 4,所 以 为 钝 角，由正弦定理可得，PA P O、H rl V 1 4 2 V 2 bn/,s./cc t-3 匚 、-=-1,即 -=-j=,解得 sinZPO,A =J,所以s i n/P Q d sin/PA。s i n/P Q A-2N
26、P Q A=1 2 0。，由题意得:VP 8C为等腰三角形，设。2为VP BC的外接圆圆心，P Ot=2 V 2,B C=2 5/2,0O2=n,(2 V 2 -ri)2=+2,解得“=手，又加=0,交线/=8。=2近,6 =葛，直接使用公式R2=m2+n2-2mncos0 I2sin2+=49 I-+2=，小=飙=半.4p8.(2 0 2 1 春-兴宁区校级月考)在三棱锥P-ABC中，PA =PB,E 是 AB的中点，VA8C与V P C E 均是正三角形，4 8 =3,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()A.8 B.1 2 万C.1 3 乃D.1 4 乃解答：方 法 1：如图所示，由题意可得：=为等边三角2形，设VABC与V R 4 B 的中心分别为”,G.设三棱锥P-ABC的外接球的球心为。,半径为R,连接OG,OH,OE.则N O E H=3 0,则E H=-x V 3 x-=,O E=l./.+产=,.,.三棱锥 P A B C 的外接球的表3 2 2 41 3面积=4 乃x二=1 3 万.故选C.4方法2:由题意可得VPAB与VABC均为正三角形,边长为3,二面角 6。=呼,交 线 正 3,”接使用公式R2=ITT+rr-2cos 6 I2-o-1-sin26 43 3_34 4 4 9 13 _.2,0-1 S-44 R-1343 4 44