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1、2022年辽宁高考数学真题及答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，项是符合题目要求的.1.已知集合 A.国 B.日【答案】B【解析】【分析】求出集合日后可求目.详解 I-I,故故选：B.2.三.()A.I2HJ B.【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求 X 1 详解 故选：D.3.中国的古建筑不仅是
2、挡风遮雨的住处，县面图，是举，r共 40分.在 每小题给出的四个选项中，只有一，则日()c.a D.国c.目 D.臼哲学的体现.如图是某古建筑物的剖是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ，若 目 是公差为0.1 的等差数列，且直线 回 的斜率为0.7 2 5,则 叵 ()A【答案】D【解析】,则可得关于区的方程，求出其解后可得正确的选，则,且I-所以 I x 1，故目故选：D4.己知，若 I X I，则叵（)A.0 B.S C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：X,|_ I，即，解 得 叵,故选：C5 .有甲乙丙丁戊5名同学
3、站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（）A.1 2 种 B.2 4 种 C.3 6 种 D.4 8 种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有日种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有 2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B6 .角 国 满 足 I ，则（）A.I 一 B.I 一 C.I x I D.I x I【
4、答案】D【解析】【分析】由两角和差g正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：叩：所以 I X ,故选：D7 .正三棱台高为1,上下底边长分别为回 和 叵,所有顶点在同一球面上，则球的表面积 是（）A.日 B.回 C.E E 1 D.国【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面目半径a,再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的 半 径，所以 x I ,即三,设球心到上下底面的距离分别为 a ,球的半径为四，所以 1x I X|,故|X|或|X|,即|或 一 ,解得
5、 目 符合题意，所以球的表面积为【一 故选：A.8 .若函数 臼 的 定 义域为R,且 r-，则（）A.B.S C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数a的一个周期为回，求出函数一个周期中的I X 的值，即可解出.详 解 因为 ，令 可得，,所 以I X|,令 国 可 得，I,即X,所以函数叵 为 偶 函 数，令 国 得，r U ,即有 ,从而可知I,故 I,即I x I,所以函数目的一个周期为可.因为 一 ,一 ,X I ,所以一个周期内的J.由于22除以6余4,所以故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
6、选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数 的图象以 中心对称，则（）A.叵1 以 在 单调递减B.日曰 在|x 有2个极值点C.直线 S 是一条对称轴D.直线 国 是一条切线【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出.【详解】由题意得：即 x I ，又目，所 以 日 时，S,故对A,当|x|时，上是单调递减；对B,当 闫 时，I I，所以 日,目，,由 正 弦 函 数 目图 象 知 日在,由 正 弦 函 数 目图 象 知 日只有1个极值点，由解得叵，即 叵|为函数的唯一极值点;对 C,当区I时，I区 ,直线 不是对称轴;对 D,由 X I得:解得或从
7、而得:目或 I所以函数日在点冈处的切线斜率为切线方程为:x I 即 1H I-故 选:A D.1 0.已知0 为坐标原点，过抛物线 的焦点厂的直线与。交于A,6 两点,点 4 在第一象限，点目，若 N 3A.直 线 a 的斜率为aC.I X I【答案】A C D【解析】，贝!J()B.I x ID.1 _【分析】由 r i 及抛物线方程求得 目,再由斜率公式即可判断A选项:表示出直线a的方程，联立抛物线求得,即可求出判断B 选项；由抛物 线 的 定 义 求 出 叵即可判断C选项；由心 ,NI 求 得 日口 为钝角即可判断D 选项.【详解】对于A,易 得 区,由可得点冈在 臼 的垂直平分线上，则
8、日点横坐标为区I代入抛物线可得I x|，则 I X|,则直线区的斜率为SA正确;对于B,由斜率为0可得直线3的方程为 I X|,联立抛物线方程得设目，则|x ,则 叵，代入抛物线得 目解 得 叵|,则|x|,则,B 错误；对于C,由抛物线定义知：,C正确；对于I),则口 为 钝 角,又则NJ 为钝角，又 一 F ,则 U 一 ,D正确.故选：ACD.1 1.如图，四边形目 为 正 方 形，目平面日，三棱锥 N 1的体积分别为国，则（）B.日D.LBJ-1,记【答案】CD【解析】【分析】直接由体积公式计算 a连 接 回 交 叵）于 点 回，连接口由1设，因 为 日 平 面 目，口，则,连 接 回
9、 交 叵 于 点B，连接1 *1 ,易得 N 1又日平面目，山平 面I X|,则,又平面，则E J平面LJ又则I,则则A、B错 误；C、D正确.，过 目作于 日，易得四边形【x,则日目日为矩形，则 X 1,故故选：CD.12.对 任 意x,y,I X I，则（）A.I x B.C.D.【答 案】BC【解 析】【分 析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.【详 解】因为I X I（日 R）,由 I x 可变形为,解得,当且仅当 N 1 时,当 且 仅 当 日时,口，所 以A错误，B正确;由可变形为,解得,当且仅当三|时取等号，所 以C正确;因为 U 变形可得 EHJ，设 r i ，所以
10、,因此,所以当 I X|时满足等式，但是 N I 不成立，所以D 错误.故选：B C.三、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分.1 3 .已知随机变量才服从正态分布 目，且 一 ,则X 】.【答案】曰#曰.【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.【详解】因为11,所以 I 一 ,因此故答案为：叵1.1 4 .写出曲线 过坐标原点的切线方程：【答案】.S .a【解析】分析】分 日 和 国 两 种 情 况，当 日 时 设 切 点 为 日，求出函数目导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出可，即可求出切线方程，当 a时同理可得；【详解】解：因为目
11、，当臼时口，设切点为目，由 叵 ，所以 a,所以切线方程为L 1又切线过坐标原点，所以 L _ E J ,解 得 叵,所以切线方程为|X|，即冈；当 回时T X I,设切点为 I X|，由叵,所以 国,所以切线方程为 r ,又切线过坐标原点，所以 X ，解 得 国，所以切线方程为|X I,即区；故答案为：叵 ;区1 5.已知点 I x I，若 直 线 日 关 于 山 的对称直线与圆I 一 存在公共点，则实数a 的取值范围为.【答案】国【解析】【分析】首先求出点网关于 匹 I 对称点回的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：国 关 于 目
12、对称的点的坐标为,目 在直线 回上，所 以 LrJ所在直线即为直线三,所以直线目为 目，即 L ;圆 I ,圆心I X I,半 径 叵,依题意圆心到直线 的距离即 一 ，解 得 其,即故答案为：1 6.已知椭圆 叵，直 线/与 椭 圆 在 第 一 象 限 交 于4 6两点，与x轴，y轴分别交T-M,N两 点，且 一 ,则 直 线/的 方 程 为 答 案 I X 【解 析】【分 析】令 国 的 中 点 为 回，设 目，目，利用点差法得到 目设直线,叵1 ,目，求 出 回、目的坐标，再 根 据 区I求 出日、a,即可得解;【详 解】解：令 叵1的 中 点 为 日，因为I X|,所以设I X1,|X
13、|,则 E目所以,即所以,即目，设直线国,日,令国得日令 叵 得区即|x|与，所以 目S即,解得 a或（舍 去）,又【X 1,即,解得日或目（舍 去）,所以直线,即 I 1 四、解答题：本题共6小题，共 7 0 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1 7.已 知 0 为等差数列，是公比为2的等比数列，且 1 一 .（1）证明：臼；（2）求集合 I 中元素个数.【答案】（1）证明见解析；（2）a.【解析】【分析】（1）设 数 列 S的公差为可，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得日，即可解出.【小问1 详解】设 数 列 S的公差为日，所以，I ,即可解得，目所以原命题得证.
14、【小问2详解】由（1）知，E，所以 ,即 I X I亦即 I X ，解得,所以满足等式的解 ri,故集合 中的元素个数为 I X I .1 8.记目 的 三 个内角分别为4 B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,b,c 为边长的 三 个 正 三 角 形 的 面 积 依 次 为 日，已知(1)求日的面积；(2)若 日,求b.【答案】(1)g(2)g【解析】【分析】(1)先 表 示 出 耳，再由求得 I X I，结合余弦定理及平方关系求得山，再由面积公式求解即可;(2)由正弦定理得 x I,即可求解.【小 问 1 详解】由题意得,则即 k ，由余弦定理得|x ，整理得 r i ，则 N 1又回
15、，则|x ,贝 ij z x：|【小问2 详解】由正弦定理得：|x|,则1 9.在某地区进行流行病调查，随机调查了 100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图.频率组距(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)估计该地区一人患这种疾病年龄在区间目的概率；(3)己知该地区这种疾病的患病率为E3，该地区年龄位于区间口的人口占该地区总 人 口 的3 ,从该地区任选一人，若此人年龄位于区间回，求此人患该种疾病的概率.(样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0 0 0 1)【答案】(1)日岁；(2)叵I
16、；(3)日.【解析】【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；(2)设叵 一人患这种疾病的年龄在区间 目 ，根据对立事件的概率公式I X 即可解出；(3)根据条件概率公式即可求出.【小问1详解】平均年龄(岁).【小问2详解】设a 一人患这种疾病的年龄在区间目，所以【小问3详解】设 a 任选一人年龄位于区间 日，a 任选一人患这种疾病习,则由条件概率公式可得20.如图，a是三棱锥 鼻1的高,I K 1,E良a的中点.c(1)求证：目 平 面 3 ；(2)若 I=，月，目，求二面角 I x 1 的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)日【解析】【分析】(1)连 接
17、区 并 延 长 交 叵 于点四，连 接 回、臼，根据三角形全等得到 W),再根据直角三角形的性质得到，即可得到日为国的中点从而得到 日，即可得证；(2)过点回作 目，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值,再根据同角三角函数的基本关系计算可得；日小问1详解】证明：连 接 a并延长交叵于点日，连 接 回、回，因 为 a是三棱锥 N1的高，所 以 日 平 面 回，r i 平 面 目，所以 1 x f、I X J,又,所以 I ,即 NI ,所以 I 一 ,又 后1，即 r i ,所以 1-,所以 1 所以 三 1，即 1 ，所 以 因 为国的中点，又回为目的中点，所以又回平面目,
18、方)平 面 包,所 以 回 平 面 日【小问2 详解】解：过 点 臼 作 口，如图建立平面直角坐标系,因 为 目口，所以所以 N 1 ，所以 I X|,|X|,|X|,I X|,所以PH-则，I X 设 平 面 目 四 法 向 量 为 三,则EH，令闫，则目，回，所以 I X|设 平 面 臼的法向量为,则，令国，则日目,所以 X 所以设二面角 1 X 1 为回，由图可知二面角 1 X|为钝二面角,所以 I x ,所以|X|故二面角 -1 的正弦值为目；2 1.设双曲线 x D 的右焦点为 目 ，渐近线方程为 目.（1）求C的方程；（2）过尸的直线与。的两条渐近线分别交于4 5两点，点 I x
19、在。上，且 1 1.过户且斜率为 3 的直线与过0且斜率为日的直线交于点M,请从下面中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：材在日 上；三I；1 x 1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）国（2）见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得H的值，利用渐近线方程求得S的关系，进而利用 国的平方关系求得S的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线H的斜率存在且不为零，设直线47的斜率为人.欣加,外）,由14M=|5网等价分析得到 E H 3 ；由 直 线 臼 和 叵 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线的斜率 区|，由 三 等价转化为日，
20、由 臼 在 直 线 臼 上等价于个作为结论，进行证明即可.【小 问1详解】I X ,然后选择两个作为已知条件一右焦点为 日，二国，：渐近线方程为 目，叵I,日,:.曰,/.I X I.C的方程为:H【小问2详解】由已知得直线a的斜率存在且不为零，直 线a的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线LrJ的斜率存在且不为零；若选推，则 日为 线 段 凹的中点，假若直线LrJ的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知日在目轴上，即为焦点回，此时由对称性可知网、日关于可轴对称，与从而 国 ,已知不符；总之，直 线a的斜率存在且不为零.设 直 线a的斜率为日，直 线a方程为 f x ,则 条 件 臼 在
21、目 上，等价于 n W ；两 渐 近 线 的 方 程 合 并 为 三I,联立消去y并化简整理得：I 一 设 I X I，线 段 中 点 为 日，则设 I X|,则条件 r i 等价于移项并利用平方差公式整理得:，即即 I X I由题意知直线目的斜率为叵，直线叵的斜率为s,/.由 ,I所以直线叵1的斜率直线J，即代入双曲线的方程，即 I x 1 中,解得E 的横坐标：I X I 叵1 -条 件 N1等价于 1 _ ,综上所述：条 件 臼 在 国 上，等价于 x 1；条 件 目等 价 于 日；条 件 1 x 1 等价于；选推：由解得：，成立;选推：由解得：国,臼 日，成立；选推：由解得：I X|,
22、|X|,|X I,：.1 X ，成立.2 2.已知函数 1 I.(1)当 国时，讨 论 叵)的单调性;（2）当 日 时，NI ,求a的取值范围;【答案】（1）3的 减 区 间 为E ，增 区 间 为 叵 .（2）国（3）见解析【解析】【分析】（1）求出 a ，讨论其符号后可得 a的单调性.（2）设 I X ，求 出 叵 ,先讨论 g 时题设中的不等式不成立，再就区I结合放缩法讨论a符号，最后就 山 结 合 放 缩 法 讨 论a的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得 叵 对任意的以 恒成立，从而可得 K 1 对任 意 的 目 恒 成 立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小 问1详解】
23、当 国 时，I x I,则 W J ,当 日 时，目，当 日 时，L z s J，故3 的 城 区 间 为 叵，增 区 间 为 叵 .【小问2详解】设 I X ,则 I X|,又,设 I .，若国，则 X I,因 为 叵 为连续不间断函数，故 存 在I X|,使得|X|，总 有I X|故 叵 在 叵 为增函数，故 I X 1,故 叵 在 叵 为增函数，故,与题设矛盾.若区|则*n u 下证：对任意 口，总有 r i 成立,故 叵 在L K J 上为减函数，故 I x 即 三 成立.由上述不等式有 -,故I I总成立，即 H 在 目 上为减函数，所以 1 X 1.当 臼 时，有,所 以 S在叵 上为减函数，所以 I X .综上，区.【小问3 详解】取 叵 ，则目，总有 X I 成立，令 叵 ，贝 I J 一 ,故 =I 即回 对任意的以 恒成立.所 以对任意的目，有 I,整理得到:故I X|故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.