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1、专题1 3导数与放缩法综合应用一、解答题1.(20 22全国高三专题练习)已知函数/()=,+胆.X X(1)若X 21 时，求实数”的取值范围;“2 1(2)求证：l nZ r +l n(Z r +l)-左=i +1【答案】(1)m ；恒成立，即l nx l-一，则1 叱 (+1)1-+；累加后结合放缩法即可证明命题.x+l X L J n 7 2 4-1【详解】解：(1)不等式即为,w4(i +/(i+m”,X+1 x记 g(x)=(f+也故g，3=(x +l)(l +l nx)x-(x +l)(l +l nx)=In x令/i(x)=x-l nx,贝”?(犬)=1-工，：x,./f(x)
2、Z 0,/z(x)在 1,+O O)单调递增，故MH.=3)=1。，故 g (x)。，故g(x)在 1,E)上单调递增，故g(x)zn=g(l)=2,故加W 2；(2)由(1)知：/(x)-j恒成立，x-1 2 2即 I nx N 土=1 一 一x+l x+2 X2 2 2令x =(+l),则帅+-而 可=七+总 2 2 2 2i M(l n(l x 2)l-Y +-,l n(2x 3)l-+-,累加得：X l nR +l n(&+l)-2 1 +1 +1n2 i故 之 ln&+ln（左+-（几 w N）.2.（2022 上海 闵行中学高三开学考试）定义在R上的函数f（x）满足：若对任意的实数
3、力 九 有|x）-”），）|x-y|,则称 x）为 L 函数.（1）判断/（力=炉+1和 g（x）=是否为L 函数，并说明理由；（2）当xea,句时，L 函数“X）的图像是一条连续的曲线，值域为G,且G=a,b,求证：关于x 的方程 可=在区 间 可上有且只有一个实数根；（3）设“X）为 L 函数，且 3）=3,定义数列 q （eN*）：a,=l,4 H=g（a,）+a“），证明：对任意 e N*,有4 +i 3.【答案】（1）x）不是L 函数，g（x）是Z,函数，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（I）利用给定定义结合已知函数式直接验证即可得解；（2）构造函数人
4、（x）=f（x）-x,xe a,0 ,利用零点存在性定理及反证法即可得解；（3）根据给定条件，先证得“3,然 后 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 3对任意正整数成立.【详解】（l）Vxl（x2 e R,x,x2,I f a）-f （）H X：-考 1=1 X|+I-I X 1 -七|,显然I占+工 2 I值可以趋近于正无穷大，即I f（X|）-/（%）IV-|不成立，所以函数/（X）不是工函数；I g（占）-g（%）1=1 -|=（M-七|,工+1 芍+1 （X；+1）（芍+1）而-引_ 应 5（+l）+#；+l）=#+）+V ,则I g（X 1）-g（七）|X/I 恒成立，（x：+l）（
5、x：+l）#+考+1 xf+%2 +1 X；+x；+l所以函数g（x）是 L 函数；令 （x）=/（x）-x,xea,勿，显然（x）的图象是。,切上的一条连续曲线，而f（x）值域为G,且G q 心力,于是得）=/（）-。2 0，h（b）=f（b）-b 0,由零点存在性定理知，方程人（x）=0在口,句内有实根，若入=/-X=0 在陵向内有两个不同的实根W,%，则有f 每）=W，f（*4）=4，即I f。）一 /。4）1=1翌-匕I，而函数/（X）是乙函数，对上述的不，匕，必有（三）-/（5）|X,-%与I f（W）-/U4）1=1 W-X&|矛盾，所以关于X的方程 力=X在区间a,b上有且只有一
6、个实数根；因函数 f(x)是 L 函数，又 3)=3,4=1,于是得|/(4)一/(3)|3|=2,即 l/(q)5,生=g (4)+4 (l,3),从而有4 生 3,用数学归纳法证明不等式：aa3,eN*,当=1时，不等式显然成立，假设 =N时，不等式成立,即“4+J /4|/(4+1)-3)|%+3|=3 4”即有/(4+J+%I 3)+3 =6,则%,又“4)T(4+1)V|4+i)-F 3 )|E+i-4 1 =%+i-%，即 4 )+%)+4+1，则g /(6)+4 g 4+J+%,即%2，从而得生一%2 3,即=%+1时，不等式成立,综合得，对任意”w N*,有 用3.3.(202
7、2 宁夏 银川一中三模(理)已知函数/(x)=&e*-；x 2,其中&eR.(1)若/(x)有两个极值点，记为看,马(占 2；一一 1 2 k n.求证：对任意CN,恒有溟+买+.一+而 产?+.+而声(L【答案】0%L 证明见解析；e(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由题得上=三 有两个变号零点，设g(x)=,求出函数的单调性即得解；利用极值点偏移的方法证明；e e(2)证明;一一二，再利用裂项相消求和即得证.(+1)e n n+1(1)解：(1)由题得尸(x)=&e-x=0 有两个变号零点，所以=5 有两个变号零点，e设 g(x)=j.g(x)=,e e当X1时，函数g(X)单调递减
8、,当x 0 时，g M 0 时，g(x)0,g(D=-,e所以0&1),1 x 1 x所以/?(x)=g(x)-g(2-x)=+0,(x 1),e e-所以力(x)在(1,”)单调递增，又=0,所以 g(x)g(2-x),又百所以 g&2)g(2-x?),所以g a A g Q-%），因为2-1，所以占2-工 2，&+2.(2)Y 1 X证明：由(1)知，所以金，e e e所以对任意 w N*,恒有-白 一 1 -;7 2 1 1=-r，(九 +1)e 5 +1)H(M+1)n n+1 2 k n L J L/I、所以齐+买+而西+西评一/(5 一 尹+(丁 石？“1 2 k n 1 所以 r
9、+-w +,+-r l-0 时，/(x)0；(2)证明：-+-+-H!0 时，f(x)-7=-0,x+1(x+2)2(X+1)(X+2)2故/(x)为增函数，/(0)=0;2 r(2)由(1)知：ln(x+l)-,x+21 +1ln-,n加n22+11,2.2 2,3 2 1 九 +1故 In,一 In,.,-In-,3 1 5 2 2 +1 n出 _ixxn4 zn 2 2 2 i 2 i 3 i +1 i/2 3 +1)将 蔺式相加得：I-F H-InF InI+In-=I n-=ln(77+1),3 5 2n+l 1 2 n U 2 n J H-1-2 时，一 1+力 2 恒成立；(2)
10、设数列 4 的通项公式为4 =五)，记 S“为。,的前项和，求证:n+Stl g(2)0,可证得f(x)_：+|成立，构造函数Mx)=x)g利用导数得出力(x)妆2)0 可证得 力|,综合可证得结论成立；(2)由 中的 结 论 可 得 出白 即，+葭。,1 +三/，利用放缩法得出：+一二一一+一一二,结n2+2n+3 n2+2n 3 +1 n+2 2 2 时,g(x)0,所以，函数g(x)在(2,茁)上单调递增.乂 g=m 2-,而/心 _/=2-/，2=8,y/s=2/2 2.83 e 7 7 5/.(2)=ln 2-0,/(犬)-噎+不在(2,+oo)上恒成立./?(x)=/(x)-=ln
11、 x-贝 小 片子笨，当x 2 时,/(x)0,所以，函数/z(x)在(2,+8)上单调递减.又Zi(2)=ln 2-l=ln 2-ln e 2,I n+2nJ I n+2nJ n+2n所 以 令(1)中不等式的x=2+-3 丁=2；+4：+2,n+2n n+2n由(1)可得-n2+2nn2+2n+“1+丁 3 犷+2ri-/+2 5 5则一方面3 一 瓦 罚+=n+1)2-1 2 1 2 1 2 1 15 +1)2 3(+1)2 3(+1)(+2)3 n+l，+22S.n+321 1 1 1 1 21 1 21121I-F H-=-n H-n H-=n-1 ,3 3 4 n+n+2J 3 2
12、 n+2 3 2 3 3 6另一方面，见 i+而1 司Ti+5 11 K M11 1 1 1 1 I .-1 3 2 4 n n+2ul L2 n+l1=+一2 2(-J-=w+2-l f-L+_ L Lw+2n+2)4 21+l n+2)42 1 3综上，有：+1 s“af(b)+bf(a)；对任意 e”都有/()=3.(1)试证明：/为 N+上的单调增函数；(2)求/+/(6)+/(28)；,n 1 1 1 1(3)令a,=/(3),eN+,试证明：,n +T-4n+2 at a2 an 4【答案】(1)证明见解析；(2)66；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)对中等式变形，利用定义
13、法判断出X)的单调性；(2)先假设 1)=。，根据条件确定出。的值，即可求解出1),”6)的值，再结合(1)的单调性确定事”28)的值,由此计算出结果：(3)根据条件判断出%为等比数列并求解出通项公式，利用不等式以及二项展开式采用放缩方法证明不等式.【详解】解：(1)由知，对任意a,b e N*,a 0,由于a-/?0,从而/()1,而由(1)=3,即得 a)=3.又 由(1)知f(a)/(l)=a,即a3.于是得l a 3,又a e N*,从而a=2,即/(1)=2.又由 a)=3 知 2)=3.于是八3)=/(/(2)=3 x 2 =6,/(6)=/(/(3)=3 x 3 =9,f(9)=
14、/(/(6)=3 x 6=18,f (18)=f (f (9)=3 x 9 =2 7 ,/(2 7)=/(/(18)=3 x l 8=5 4,/(54)=/(/(27)=3X27=8 1,由于 5 4 2 7 =8 1-5 4 =2 7 ,而 且 由(1)知，函数/*)为单调增函数，因此7(2 8)=5 4+1 =5 5.从而/(D+/(6)+/(2 8)=2+9 +5 5 =66.(3)q.)=/(/(3 )=3 x 3 =3 M,.+I=/(/(3，+，)=/(/()=.4 =八 3)=6.即数列 4 是以6 为首项，以3 为公比的等比数列./.an=6x 3”“=2 x 3”(=l,2,
15、3)l +2 n,从而综上所述,-1-1-+-4 +2 4 a24-7.(2 0 2 2 安徽省霍邱县第二中学高三开学考试(理)已知函数 x)=al n x-o r-3 (a*0).(1)讨论A*)的单调性；(2)若/(x)+(a+l +4-e W 0 对任意x e e,e 与恒成立，求实数。的取值范围为自然常数);(3)求证：l n(-+1)+l n(+1)+l n(-+1)+.+l n(y +1)2,n e N ).【答案】(1)答案见解析；(2)a 0 和。e2 e -a/即I n x x-1对一切x e (1,+8)成立，从而l n(+!)-=-,然后利用裂项相消法求解.n n n(n
16、-i)n-n【详解】(1)函数的定义域为(0，+8),f(x)=也 二 立，X当40时，/(X)的单调增区间为(0,1,单调减区间为 1,+8):当。0时，/0)的单调增区间为 1,+8),单调减区间为(0,1;(2)令 F(x)=alnx ax-3+(a+l)x+4-e=alnx+x+l-e ,则尸(x)=9,F(x)=-=0,贝 ljx=-aX X(a)若-a K e,即。之 一 6 则尸(%)在 e,/是增函数，F(x)max=F(e2)=2i+/+1-e K 0 无解.(b)若一 4 2/即。二一片,则/(x)在 是 减 函 数，Wmax=F(e)=+l 0 a -所以(c)若e v
17、a v/,即一/a v e,尸(x)在%-是减函数，在-,/是增函数,尸(/)=2 +&2+i一 gw。可得4 4 一 一 1,歹(e)=a+l W0可得。/(I)B|J -ln x +x-1 0,/.n x 2,nN ,则有ln(+1)方 -=-n n nn-)n-n所 以 In(齐+l)+ln(+1)+ln(+1)+ln(+1)Z11、J L J L z 1 1、1 0 一 尹(5 一 才(丁/+“百 一/=七 0恒 成 立，设g（，刈=-2皿+产，根据题意可知关于实 数，的不等式组，由此可解得实数f的取值范围;（3）求得山 =/，进 而 可 求 得S,=驾L 利用放缩法可得+进而可证得所
18、证不等式成立.【详 解】x,+1 3x_,+3-（1）当“2 2且“eN*时，x =3 v,+2,则 一 =一住,=3,且 +1=3,Xn-+1 Xn-+1所以，数 列/+1 是 以3为首项，以3为公比的等比数列，：.xn+=3x3-=3n,则x“=3 -l：”七）=*工竽中，则券崇宁=黑%,则3 -6,加+?,化 筒 得/一2机（）,3 3当 北e-1,小 时,不 等 式t2-2mt 0恒成立,设g(m)=-2加+*,则,（-l）=r+2r 0小）个八，解 得1 2 g（l）=厂一 2z0因此，实 数，的取值范围是（F,-2）U（2,+O）；由可 得 以。,|=|片|=/，则出+/=储,1
19、1 _3 _12nSn 7?(4/7+1)(4 +1)3因此,4(4 +1)=12 i故所证不等式成立.【点 睛】本题考查等比数列定义的证明，同时也考查了数列不等式恒成立以及数列不等式的证明，考查推理能力与计算能力,属于中等题.9.（2022山东模拟预测）已知函数x）=2x-ln（2x）-2.(1)求证：，(x)有且仅有2个零点;(2)求证:(一 1)(2 +1)2(+1)N 2,e N*【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)先求出函数的单调区间，得到/(X)在上存在唯一零点，f(x)在(o,；)上存在唯一的零点，即得八X)有且仅有2个零点；设g(无)=l n x
20、x+1,%0,证 明 处4 1 L 令x =A*e N*),得 坐 工 1一二，得到曲41_二，1 1,x 尤 J k2 k2 I2 I2 22 22l n 32 1 In 1 i-n ln2.(n -1)(2?+1)/八丁A3 不 力 一/相加化简即得，2(+D ().【详解】解：(1)由题意，函数f(X)的定义域为(0,+8).则 小)=2I =三2x-lX X令尸(x)=O,得x =L,2当x e(0,|时，r u)0,/(x)单调递增，所以f(x)在x =g处取得极小值，且极小值为/W =l-2 =-l 0,故/*)在(；,+8)上存在唯一零点，因 为 止)=卜+2-2 =/0,故x)
21、在(。，；)上存在唯一的零点，综上所述，/(X)有且仅有2个零点.(2)设g(x)=l n x x +l,x0,|1 -x则g (x)=2 T=，可得当x e(O,l)时，g(x)单调递增，X X当x w(l,+8)时,单调递减，所以g(x)4 g(l)=0,所以In x V x 1.即24 1-1 (当且仅当x =l时，取 等 号).X X令x=iek N、,得 臀 a 一表(A e N*,当且仅当人=1时，取等号)所以依次令=1,2,3.,，得到In i2,1 l n 22.1 l n 32,1 In n2.1亍 一 尹 了3一?-1-7g、i l nIn 22 l n 32 In/111
22、,1所 以+-+-+2,n G N*1 0.（2 0 2 2 浙江效实中学模拟预测）已 知 ）=学?为 定 义 在R上的奇函数，且 当x =l时，f（x）取 最 大 值 为1.（1）写 出“X）的解析式.(2)若x+l=/(x),求证(i)x 0+i x ；（i i）（3一、2）（马一电）+X/2(当7,+)，5-0,又f（x）为奇函数,所 以/（0）=，=0,得分=0；又/0）=言=1，所 以a =l +c 0.当*4 0 时，f(x)=当x 0时,人 力=(l +c)xX2+c(1 +c)%0.又4+|_ =_()0,故也|1,故/+i o,i).X；+1由数学归纳法可知V x,e(0,l
23、).(i i)法一(基本不等式+裂项相消):因为。当 1,所 以 加 一/二/，(幻*.嗡1+1 二 1又因为4+1 x +，_2_2a-2,所以加 4+11 _ 1 +7 2 52 a-2 -8 （1 61 6（J由（i）可知，i x+1 l,所以4（2-一 4,得（占-W）+（-/）+（x”-x,用）2 x+1 6 Xlx2 X 2 X 3 x“x,i 1 6法 二（函数的值域+裂项相消）：因为0 c x.1,所以斗+1一七,=.2 X；，由（i ）可知，4%+|1,g（x=XX f -x l x+1 2 x +1 2 J所以g,）匕坐任+i）（1-2X2）（X2+1）-2X（x-x3）5
24、-（2 +x2）2（x2+1 0,2-3%-既-伍;（X,-X2）2 1（X,-X,）2f 1 1 1 1+1 1、x“x“+i 1 （X|x2 x2 x3x“x+31 02-Xn+J由（i ）可 知，xn+1 ,所以 2一 1,%35x2x3xxn+l 1 03 J 1 I 3 5 2-%1 0 1 6,证毕.1 1.(2 0 2 2.全国高三课时练习)已知函数/(x)=a l n x+x 2,其 中“eR.(1)讨 论f(x)的单调性;(2)当。=1 时，证 明：/(x)x2+x-l；(3)求 证：对任意的e N*且 九.2,都有:1 +卜+/卜.(其 中e =2.71 8 3为自然对数的
25、底数).【答 案】(1)当“N O n寸，函 数/(x)在(0,+8)上调递增；当”0时，函数f(x)在 上单调递减，在+8|上单调递增；(2)证明见解析：(3)证明见解析.【解 析】【分 析】(1)求出导函数/(X),按照和。0讨 论，确 定/(X)的正负，得Ax)的单调区间;(2)不等式即为I n xV x-1,B P l n x-x+l 0 .引入函数g(x)=l n x-x+l,由导数确定其最大值后可证结论.(3)关键是如何应用刚才所证得的函数不等式，由(2)l n x x-l,令x=l +(，让k =2,3,.、，这些不等式相加后右边利用放缩法证明和式 0,所 以/*)在(0,e)上
26、单调递增,当 0 x 当a 0时,令/0）=0,解 得x=时，4 +2*2 0,所 以r(x)0 .所 以/(力0,所 以/(x)在依上单调递增.综上，当。20 时，函数/*)在(0,a)上调递增;当。0 时，函 数 在上单调递减，在-p-w上单调递增.(2)当。=1 时，f(x)=l n x+x2,要证明 f(x)+%_i ,即i i E l n x x-l,B|J I n x x+1 0,当 x(l,+o o)时，gx)0 .所以x=l 为极大值点，也为最大值点.所以g(%)g(l)=0,B|J l n x-x+1 0.故+x-l.(3)证：由(2)l n x x-l,(当且仅当x=l 时
27、等号成立)令x=l +,nr1 1 1 Tn2 1 x2 2 x3yiljln l1+,n1H-所以弓弓 A e.1 2.(2 0 2 2 四 川 成 都七中高三期中)已知函数/(x)=l n(l +x),g(x)=V (x),x2。，其中f(x)是 f (x)的导函数.若 gi(x)=g(x),g 同(x)=g&,(切,w N*.(1)求g“(x)的表达式;(2)求证：g(F-l)+g Q 2 _l)+/(3 2 _l)+g(2-l)七，其中“G N.【答案】(1)g,(x)=J,e N*：(2)证明见解析.-nx【解析】【分析】(1)根据已知条件猜想8,(刈=念，利用数学归纳法证得猜想成立
28、.(2)利用放缩法，结合裂项求和法，证得不等式成立.【详解】Y(1)由题意可知，g(-)=-，x2 0,7+x由已知 g|(x)=J-g 2(x)=g g (x)=g(金 1 人 V 1 I 人 JX1 +x+11 +x念(x)=-X-,.l +3 x猜想g.(x)=4,eN卜面用数学归纳法证明：I +IVC(i)当n=时，g|(x)=j-,结论成立：假 设n-k(Q1,左N*)时结论成立，即g k(x)=；:,那么，当=氏+1 (后1,左N*)时，Xg z(x)=g g 4)=篇/十受=试不，即结论成立.+kx由(i i)可知，结 论 对 N*成立.Y(2)g(x)=-,尤N O,1 +x
29、履 加 士=1-土n g (I2-1)+g (22-1)+g (32-I)+g (2 -1)/(x)；4.1 1 1 1 /(3)求证：T +o _ 7-个，、-0,gp 2g(x)f(x)；(3)由(2)知 2 g(x)2/(x),即 2g(x)+x 2 d+3 x+2.易知 xeN*时，得不上-7=一 7，2g(x)+x x+3x+2 x+1 x+2 0=x 0,(x)在区间(-8,0)上单调递减，在区间(o,+。)上单调递增，Mx)min=/(0)=0.()NO,；0(x)在 R 上单调递增,A xOFbt，(p(x)(p(O)=O t 2g(x)f(x).(3)山(2)知 2g(x)2
30、/(x)即 2g(x)Nx2+2x+2o2g(x)+xN%2+3x+2易知xwN 时，2g(x)+x 0,x2+3x-F2 0 r1 1 1 1 12g(x)+x x2+3x+2(x+l)(x+2)x+1 x+2所以o J、-1，2g()+n+l +21 1 1 1 1 1 1 1 1111.-H-!-+-H-F -=-2g(1)+1 2g(2)+2 2g()+2 3 3 4 n+l +2 2 +2 214.（2022吉林吉林高三期末（理）已知函数 x）=2x+l-ln2x.(1)求函数 X)在 区 间；，4 上的最值；c、十、T Ini2 In22 In32 Inn2 1 3.口(2)求证：
31、-I I -F ,I-H-(ji e N 且/2).I2 22 32 n2 n+1 2【答案】/M1ta=2,f(x)a=9-3 1 n 2；(2)见解析【解析】【分析】对於)求导，然后判断危)的单调性，再求出火x)在 区 间；,4 上的最值即可；(2)根据可 得 皿 4 1 -L 然后令x=2(e N*),可 得 其 41 一 4(w N*),再利用放缩法证明不等式xx n 八 JIni2 ln22 ln32 nn2 1 3 冷+日 口 市 一+厂+0),./f(x)=2-=X X令尸(x)0,得 x ；令尸(x)0,得 0 x y-4 x 1 o.当 x e ；,4 时,1 ra x=八
32、4)=9-31n2,在 区 间：，4上的最小值为2,最大值为9-31n2.(2)由(1)知,2*+1-1112工 之2,；.11122_-1，当且仅当尤=；时等号成立,.In x M x 1.当且仅当x=1时等号成立，即 皿 41-4.X X令*=2(代)得 1 1 -4 1-n nne N.InF 1 ln 2 l1 1 ln32 1一L下亍a 亍丁”-铲叱1C -x.Ini2 In 22 ln32 I n ,1,1,1,1I-1-1-1-Ml 7+1-T+1 7-1-7I222 32 n2 I2 22 32 n2=-1-悖+*+/)”-1 1-1-F +2x3 3x4(+1)0 nI n
33、I2 l n 22 l n 32即 h+亍+丁12+-I-nn-2 0时，若f(x)2 0对任意的xeR恒成立，求实数的值；求 证：弥7 x 3 1卜 +m?x V 1卜.+7 x V卜2.【答案】(I)答案见解析；(H)a=l；(I I I)证明见解析.【解析】【分析】(1)由题设，fx)=e-a,当 V 0时/(x)0,f(x)在R上单调递增；当a0时，x e(-8,l n a)时/(x)0,/(x)单调递增.(2)由(1)知：a 0时/。*曲=/(I n a),所以f(l n 4)2 0,即“一a l n a-1 2 0恒成立，i i 2 g(a)=a-a l n a-1 3 0),则 g (a)=_(l n a +l)=_ l n a ,所以在(0,1)g(a)0,在(l,+o o)上 g (a)0,所以g(a)在(0,1)上递增，在。,内)上递减，贝D g 3)4 g(l)=0,所以 g(a)=O,即 a =l.(3)”=1 时,2 x 3 3 C-T=1 2(3 -1)2 2“2 2 时,2 x 3 2 x 3 2X3T 1 1-x+l.即l n(l +x)4 x(x -l),则x0时l n(l+x)v x,7 x 3 7 x 9x 4 中综上，皿1 +码 了 +l n l +*彳+皿1 +正 工 石 三万2,即原不等式成立.