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1、第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1 .你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？解答 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。2 .晶体膨胀时，费米能级如何变化？解答 费米能级方2琮=（3病产,2 m其中单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时;
2、体积变大，电子数目不变，”变小，费密能级降低。3 .为什么温度升高，费米能反而降低？解答 当T O O K时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。4 .为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？解答 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是
3、金属中的价电子遵从费米-狄拉克统计分布的必然 结 果。在 绝 对 零 度 时，电 子 不 可 能 都 处 于 最 低 能 级 上，而 是 在 费 米 球 中 均 匀 分 布。由式椁=（3 万2）“3可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。这 一 点 从=3（3 2）2/3和 七=三 ；=一（3 万2）2式看得更清楚。电子的平均动能后正2/7 7 5 1 0 m比 于 费 米 能,而费米能又正比于电子浓度2辂。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。5 .两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？解答 两块同种金
4、属，温度分别为7；和/，且（丁2。在这种情况下，温度为（的金属高于费米能E Z的电子数目，多 于 温 度 为/的金属高于费米能的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为（的金属高于的部分电子将流向温度为 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为7；的金属失去电子，带正电；温度为/的金属得到电子，带负电,两者出现电势差.6 .为什么价电子的浓度越高，电导率越大？解答 电导。是金属通流能力的量度。通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数。但并不是所有价电子对导电都有贡献，对导电有贡献的是费米面附近的电子。费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多。费米球的大小取决
5、于费米半径既、=(3 万2)“3。可见电子浓度越高，费米球越大,对导电有贡献的电子数目就越多，该金属的电导率就越高。7 .一金属体积为V,价电子总数为N,以自由电子气模型,(1)在绝热条件下导出电子气体的压强为：P=也，其中电子气体的基态能量3 V 5(2)证明电子气体的体积弹性模量 K=-V(dp/dV)=-P =3 9 V 解答(1)在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W等于系统内能的增加dU,即dU=W=-PdVC J式中p是电子气的压强。由上式可得 p=dV在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由u=Uo=NE*=3N工(3 1 万 2)2/35 5 2m V由此可得到P =3 N
6、 工(3 N万2)2 .2 (V)-5/3dV 5 2m 32U。3 V(2)体 积弹 性 模 量K与压强P和 体 积V的 关 系 为dPdV将dPdV 3NQ(3 N%2)2/3.2 9(V)-8/3=吗5 2 m 3 3 9V2代入体积弹性模量K与压强P和体积V的关系式，得到8.每个原子占据的体积为4 3,绝对零度时价电子的费米半径为炜 二(6/)3,计算每个原子的价电a子数目。解答 在绝对零度时导电电子的费米半径部=(3 1 2)“3。年2/3现已知一金属导电电子的费米半径炸 二 巴。，所以，该金属中导电电子的密度a2=a苏是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子.第二
7、章晶体的结构习题及答案1.晶面指数为（1 2 3）的 晶 面。是离原点。最近的晶面，以1,0 8和0 c分别与基矢q ,生 和 巴重 合，除0点 外，,0 B，和0 c上是否有格点？若力8 C面的指数为（2 3 4 ）,情况又如何?解答 晶面家族（1 2 3 ）截%,小，和%分 别 为1，2 ,3等 份，A 8 C面是离原点。最近的晶面，0 4的长度等于q长 度，0 8的长度等于电的长度的1/2 ,0 C的长度等于q的长度的3，所以只有A点是格点。若2 8。面的指数为（2 3 4 ）的晶面族，则4 B、和C都不是格点。2.在结晶学中，晶胞是按晶体的什么特性选取的？解答在结晶学中，晶胞选取的原则
8、是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。3 .在晶体衍射中，为什么不能用可见光？解答J晶体中原子间距的数量级为1（）T 米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于1 0 T 米。但可见光的波长为7.6 4.0 x 1 0-7米是晶体中原子间距的i o。倍。因 此，在晶体衍射中，不能用可见光。4.温度升高时，衍射角如何变化？X光波长变化时，衍射角如何变化？解 答 温 度 升 高 时，由 于 热 膨 胀，面 间 距dhk,逐 渐 变 大，由 布 拉 格 反 射 公 式2dbkl s i n。=n A可 知，对应同一级衍射，当X光波长不变时，面间距4制逐渐变大，衍射角。逐渐变小
9、。所以温度升高，衍射角变小。当温度不变，x光波长变大时，对于同一晶面族，衍射角，随之变大。7.六角晶胞的基矢a=-a i+-j,h -ai+-j ,c=c k0 求其倒格基矢。2 2 2 2 解答晶胞体积为y/3.Q 5/3.a,x/7、I V3 2。bx c=2a i+5，2a i+(力=2a。其倒格矢为a27r/?X cJ=2-(-ai+-/)x(cA:)xi =(/+j).Q 2 27 6 a 2 c a 3b27rcxa-、-=2TT(CK)x.a 2 2 万C ll H-/)X 厂=-2 屈 2c ai+j)o27ra x b V3.a.、，杷.a2 2万-2 (-+,/)x(一 一
10、 cu+-j)x8.证明以下结构晶面族的面间距：(1)立方晶系：dhkl=ah2+k2+l2r 12(2)正交晶系：九=心 +(1)2+(-)2-|/2；a b c 解答(1)设沿立方晶系晶轴的单位矢量分别为i，则正格子基矢为a-a io图2.6立方晶胞b=aj,c-ak,0 77,倒格子基矢为 a=ia个 2万.b=Ja*2乃,c=k oa与晶面族（hkl）正交的倒格矢Kh k l=ha*+kb*+lc*o,二2万由晶面间距dhkl与倒格矢Kh k l的关系式 4得aylh2+k2+l2（2 ）对于正交晶系，晶胞基矢a ,b,。相互垂直，但晶格常数a w b w c ,设沿晶轴a ,8 ,c
11、的单位矢量分别为i J水，则正格子基矢为a=aib=hj t c=ck0 jr倒格子基矢为 a =ia2 1,k。c与晶面族（hkl）正交的倒格矢Khkl=ha+kb*+Ic o由晶面间距4囱与倒格矢K/w的关系式 4.2万.b=/,hc,二2万klW得 /=(-)2+A2+(-)2-1/2Oa b c9 .求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族（九为勾）的面间距。解答面心立方正格子的原胞基矢为卬=|/+攵），4=胃（”+,），a 3 =|（Z+J）.2 4 口 乂 b.=-!3C由 b二 网 空1也1 Qx2 Q可得其倒格子基矢为倒格矢根 据 式4M =同2 7 r。2 =(/+2)，
12、aKh=hb+h2b2+h3b3，得面心立方晶体晶面族（饱为）的面间距24b3=-(i +j-k)aW ，=Ki=询+色 +-)2 +(%-/+n)2 +(4 +(一 3)2 2体心立方正格子原胞基矢可取为a=(-i+j+k),a2=(i-j+k)2 7 r 2万其倒格子基矢为 b、=,%=(&+，)a aa3=(z +j-k)oaI 2 7 r /.、&=-(Z +j)oa则晶面族（4生力3）的面间距为,_ 2%_ a“桢=瓦|=(/?2+/23)2+(/13+/71)2+(/11+/12)21/21 0 .试证三角晶系的倒格子也属于三角晶系。解答对于三角晶系，其三个基矢量的大小相等，且它们
13、相互间的夹角也相等，即二 I J =|出|二 卜|=|3 1 =ct （3 0c利用正倒格子的关系，得|4|=2屯2匈 =2加2 sm e=b,1 1 Q QI I _ 27ra3 x q J _ 2如 2 s i n 8弧 卜2.x“2】2m2 s i n，,-=boQ(1)设仇与名的交角为3,优与的交角为。2 3，打 与 伉 的 交 角 为 念，则有)4乃 2 4 7 r 2b=b c o s%=石FK/x%)”?x ax)=Ta(生 x 3)x%4万24万2Q4=-(卬a3)(a2 a3)-(n1*2)t z2 =(c o s 2 6-c o s 6)(2)由(1 )和(2 )式得八 c
14、 o s-0-c os0 c o s (1 -c o s0)-c o s 6?c o s p =9 7s i n2 0 1 -c o s2 0 1 +c o s。由劣和4可得八 -c osO 八 一 c o s。c o s，x =-,c o s 9飞 =-o2 3 1+c o s。3 1 l +c o s。可见倒格基矢仇与仇的交角，仇与久的交角，仇与仇的交角都相等。这表明三个倒格基矢的长度不仅相等，且它们之间的夹角也相等，所以三角晶系的倒格子也属于三角晶系。1 1 .一维原子链是由A ,8两种原子构成，设A ,B原子的散射因子分别为和 力，入射X射线垂直于原子链，证明(1 )衍射极大条件是。c
15、 o s。=4 ,。是晶格常数，。是衍射束与原子链的夹角.(2)当力为奇数，衍射强度比例于|力-/小.(3)讨 论 人=%情 况.解答(1 )如图1所 示，设原子是等间距的，衍射光束与原子链的夹角为夕,当入射X光垂直于原子链时，A原子或8原子散射波的光程差为a c os0o当a c o s 8 =/l时，各A原 子(或B原子)的散射波的相位差为0，散图1 X光衍射射波相互加强，形成很强的衍射光。(2)一个原胞内包含A ,8两个原子，取A原子的坐标为(0 0 0 ),B原子的坐标为(卜一 一 2万倒格矢G.=h b =lu,则几何结构因子a%=皿+5必=源心 +曲 一 弓 叫 嫉=fA+V=办+
16、A c o s(而)，衍射光的强度=fA+fB c o s(/2 7?-)2,因此从上式可知，当力为奇数 时，衍射光的强度正比 于 以 一 塌2。(3 )若 以=(=./，当为奇数时，衍射光的强度为0。这 时，A原子与B原子的散射波的相位 差 为 万，相位相反，互相抵消，即对应消光现象。当/?为偶数时，衍射光的强度最强,I o c 4/2 o第三章能带论习题和答案1.布洛赫函数满足 叭r+R.)=*R”(p(r),何以见得上式中左具有波矢的意义？解答人们总可以把布洛赫函数0(r)展成付里叶级数叭r)=a(K +K Q小心，h其中K!是电子的波矢。将夕代入 例/+4)=小困甲得到 一七=*R 其
17、中利用了 a=2 乃(是整数)，由上式可知，k=k,即%具有波矢的意义。2 .波矢空间与倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？解答波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为仇，伉，伉，而波矢空间的基矢分别 为bJ N,b2/N2,Z 7 3/N 3 ；M,A 2 ,N 3分别是沿正格基矢%,%，/方向晶体的原胞数目。倒格空间中一个倒格点对应的体积为 (仇X/)=,波矢空间中一个波矢点对应的体积为十堂华喙即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N。由于N是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其
18、微小的。也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此，在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。3.与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？解答当电子的波矢人满足关系式 K,(A +乎)=0时，与布里渊区边界平行且垂直于K”的晶面族对波矢为人的电子具有强烈的散射作用。此时，电子的波矢很大，波矢的末端落在了布里渊区边界上，k垂直于布里渊区边界的分量的模等于区/2。4.一维周期势函数的付里叶级数V(x)=Z匕J*“中，指数函数的形式是由什么条件决定的？n 解答 周期势函数V。)付里叶级数的通式为V(X)=KV。上式必须满足势场的周期性，即nV(x+d)
19、=工 匕/+0=2 匕=V(x)=n n n显然 e 4 =l。要满足上式，4,必为倒格矢4,=丝27r。可见周期势函数v(x)的付里叶级数中指数函数的形式是由其周a期性决定的。5.在布里渊区边界上电子的能带有何特点？解答 电子的能带依赖于波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。若电子所处的边界与倒格矢K“正交，边界是K“的中垂面，则禁带的宽度E*=2|V(K,)|,V(K“)是周期势场的付里叶级数的系数。不论何种电子，在布里渊区边界上，其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区边界正交。6.紧束缚模型电子的能量是正值还是负值？
20、解答 紧束缚模型电子在原子附近的几率大，远离原子的几率很小，在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近。因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近。孤立原子中电子的能量是一负值,所以紧束缚模型电子的能量是负值。s态电子能量表达式式圻=吗一八0)-八凡关注1即是例证。其中孤立原子中电子的能量弓是主项，是一负值，-4 0)和-J(R,)是小量，也是负值。7 .紧束缚模型下内层电子的能带与外层电子的能带相比较，哪一个宽？为什么？解答 以S态电子为例，紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分J的大小，而积分J )=-J。:(r)V(r)-Va,(r-R：r-R Jd r的 大 小 又 取 决 于/(r
21、)与相邻格点的灯(r-H,“)的交叠程度。紧束缚模型下，内层电子的灯()与交叠程度小，外层电子的/(r)与%(r-R,“)交叠程度大。因此，紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比，外层电子的能带宽。8 .晶格常数为。的 一维晶体中，电子的波函数为3万(1)(pk(x)=ico s x,(2)(pk(x)=Z f(x-l a),，是某一 函 数，/=-oo求电子在以上状态中的波矢。解答由 式R(r+&)=e R%(r)可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足(pk(尤 +a)=e,ka(pk(x)。由此得3 7 r 3 7 r(pk(x+t z)=zco s (x+a)=ico s
22、(x+万)(1)a a3 1 I-zco s(-x)=(pk(x)=e ka(pk(x)于是 eik a=-1因此得k=+-a若只取布里渊区内的值：(2)夕式x+a)=Z，(x+a-/a)=工/%一(/一1)0，令-I-I/=30/=003兀 5%，,a a-k,则有人=4/。a a_Q0得 甲 A x+a)=工于(x-1 a)p V)=a(x)/=-0 0由上式知 心=1所 以 有 左=0 ,，a由此得在布里渊区内的值为4 6乃 ，.a a攵=0。9.一维周期势场为y（x）_ m W2b2 一（九 一 a）?,当4 尤4 na+b0,当（-V）a+b x）=,7-eh lkBT _|因为光学
23、波的频率g 比声学波的频率例,高，（声2 I）大 于（/e/3 T）,所以在温度一定情况下，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。4 .对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？僚 答 设 温 度 北 T,由 于（/-I）大 于（砧._）,所以对同一个振动模式，温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目。5 .高温时，频率为。的格波的声子数目与温度有何关系？解答 温度很高时，*2 xl+hM k/,频率为啰的格波的（平均）声子数为/、1 叱n（）=,-s1 h c o可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比.6.喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？解答
24、晶格振动谱的测定中，光波的波长与格波的波长越接近，光波与声波的相互作用才越显著。喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说，该波长属于长波长范围。因此，喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用。长光学波声子的波矢很小，相应的动量力q 不大。而能产生倒逆散射的条件是光的入射波矢攵与散射波矢/要大，散射角。也要大。女与公 大要求波长小，散射角。大要求方4 大，但对喇曼散射来说，这两点都不满足。即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射。7.长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？解答 长光学波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子（正负离子）产生了相对位移，长声学格波的特点是，原胞
25、内所有的原子没有位移。因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。8.你认为简单晶体存在强烈的红外吸收吗？解答 实验已经证实，离子晶体能强烈吸收远红外光波。这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合。简单晶格中不存在光学波，所以简单品格不会吸收远红外光波。9.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？解答 按照爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约为10Hz,属于光学支频率。但光学格波在低温时对热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学格波。也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。10.在甚低温下，
26、德拜模型为什么与实验相符？解答 在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献。因此，再甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。11.在绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？解答 频率为例的格波的振动能为其中济例是由，个声子携带的热振动能，（方用/2）是零点振动能，声子数1n:=-1绝对零度时，=0。频率为例的格波的振动能只剩下零点振动能。格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的。绝对零度时，声子消失，格波间不再交换能量。第七章 固体中的原子键合习题及答案1
27、 .是否有与库仑力无关的晶体结合类型？解答 共价结合中，电子虽然不能脱离电负性大的原子，但靠近的两个电负性大的原子可以各出个电子，形成电子共享的形式，即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间，通过库仑力，把两个原子连接起来。离子晶体中，正离子与负离子的吸引力就是库仑力。金属结合中，原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着。分子结合中，是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体。电偶极矩的作用力实际就是库仑力。氢键结合中，氢先与负性大的原子形成共价结合后，氢核与负电中心不在结合，迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合。可见，所有晶体结合类型都与库仑力有关。2 .如何理解库仑力是原子结合
28、的动力？解答 晶体结合中，原子间的排斥力是短程力，在原子吸引靠近的过程中，把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力，这个长程吸引力就是库仑力。所以，库仑力是原子结合的动力。3 .晶体的结合能，晶体的内能，原子间的相互作用势能有何区别？解答自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量，或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量，称为晶体的结合能。原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。在OK时，原子还存在零点振动能。但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多。所以，在OK时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。4 .原子间的排斥作用取决于什么原因？解答相邻的原子靠得很近，以
29、至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时，相邻的原子间便产生巨大排斥力。也就是说，原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合层壳电子云的重叠。5 .原子间的排斥作用和吸引作用有何关系？起主导的范围是什么？解答在原子由分散无规则的中性原子结合成规则排列的晶体过程中，吸引力起了主要作用。在吸引力的作用下，原子间的距离缩小到一定程度，原子间才出现排斥力。当排斥力与吸引力相等时，晶体达到稳定结合状态。可见，晶体要达到稳定结合状态，吸引力与排斥力缺一不可。设此时相邻原子间的距离为当相邻原子间的距离厂“时，吸引力起主导作用；当 相 邻 原 子 间 的 距 离 时，排斥力起主导作用。6.共价结合为什么有“饱和性 和
30、 方向性”？解答 设N为一个原子的价电子数目，对于I V A,V A,V I A,V DA族元素，价电子壳层一共有8个量子态,最多能接纳(8 N)个电子，形 成(8-N)个共价键，这就是共价结合的“饱和性”。共价键的形成只在特定的方向上，这些方向是配对电子波函数的对称轴方向，在这个方向上交迭的电子云密度最大。这就是共价结合的“方向性”。7.共价结合，两原子电子云交叠产生吸引，而原子靠近时，电子云交叠会产生巨大的排斥力，如何解释？解答共价结合，形成共价键的配对电子，它们的自旋方向相反，这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低，结构稳定。但当原子靠得很近时，原子内部满壳层电子的电子云交迭，量子态相
31、同的电子产生巨大的排斥力，使得系统的能量急剧增大。8 .试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象。解答当一个中性原子吸收一个电子变成一个负离子，这个电子能稳定地进入原子的壳层中，这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与其他电子的排斥能。但这个电子与原子核的库仑吸引能是一个负值。也就是说，当中性原子吸收一个电子变成负离子后，这个离子的能量要低于中性原子的能量。因此,一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量。9 .为什么许多金属为密积结构？解答金属结合中，受到最小能量原理的约束，要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低。原子实越紧凑，原子实与共有电子电子云靠得就越紧密，库仑
32、能就越低。所以，许多金属的结构为密积结构。1 0 .何为杂化轨道?解答 为了解释金刚石中碳原子具有4个等同的共价键，1 9 3 1年 泡 林（P a u l i n g）和斯莱特（Sl a t e r）提出了杂化轨道理论，碳原子有4个价电子，它们分别对应（p2s,（p2px,（p2p,仍小量子态，在构成共价键时，它们组成了 4个新的量子态/=5（%s +仍 八+*2%+/八）；夕2 =:包+夕2外一。2。2八）；/=（夕2,一仍,+。2外-。2八）；夕4 =5 M s -+外凡）。4个电子分别占据，夕2，外，外 新轨道，在四面体顶角方向形成4个共价键。2 1 最近邻H.设离子晶体中，离子间的互
33、作用势为（）=R 2 R。证明：晶体平衡时，离 ,最近邻以外r子间总的相互作用势能U（R）=-绘（加-1），其中Z是晶体配位数。证明：设离子数目为2 N,以 =%R表示第7个离子到参考离子i的距离，忽略表面效应，则总的相互作用能可表示为U =MX，-（W）+X =7V-+Z,I J cP J DjajK 最近邻N K K其中 =L/（1）为马德隆常数，+号对应于异号离子，一号对应于同号离子；z为任一离子的最近y aj邻数目。设平衡时7?=7?0，由平衡条件，当 片令小得Zmb 2 口 八 ,Zmb、-：叶=即&=宣尸于是，晶体平衡时离子间总的相互作用势能rT.T r Zmb Zb、NZh.八U
34、a=N-+=-(m-),u nfn D in J nm、o K。小1 2 .两原子间互作用势“(/)=-+4，当两原子构成一稳定分子时，核间距为31，解离能为4 e V,r2 r8求a和/?o 解答 当两原子构成一稳定分子即平衡时，其相互作用势能取极小值，于是有du(r)_ 2a 80丁 L*一由此得平衡忖两原子间的距离为 为=(也 ，(1)a而平衡时的打能为 (石)=2+4=一 卷。(2)厂。靖 需根据定义，解离能为物体全部离解成单个原子时所需要的能量，其值等于|仇)|。已知解离能为4 e V,因3 a此得 号=4 e V。(3)再将为=3 1代 入 、(3)两式，得 =7.69x1 0-3
35、 8/./,夕=1.4 0 x1 0-95/加8。1 3 .勒纳一琼斯势为(r)=4 (g)“一 (S)6,证明：r =1.1 2 c r 时，势能最小，且“(r)=-；当 r =c rr r时，w(r)=0；说明和。的物理意义。解答 当 =小 时，”(r)取最小值”(2),由极值条件 9=0,力12 6得 4 (-1 2。+6 4)=0。F 4于是有/=a-1.12cr),再代入U的表示式得()=4 4(-)12-(-)6 =4(；-；)=-。F F 4 2当，=。时，则有 U(a)=4(-)2-(-)6 =0(7 (7由于|a)|是两分子间的结合能，所以即是两分子处于平衡时的结合能。具有长
36、度的量纲，它的物理意义是互作用势能为0时两分子间的间距。第八章 缺陷习题答案1.为什么形成一个肖脱基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低？解答 形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子。因此形成一个肖特基缺陷所需的能量，可以看成晶体表面一个原子与其他原子的作用能，和晶体内部个原子与其他原子的相互作用能的差值。形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子。因此形成一个弗仑克尔缺陷所需要的能量，可以看成晶体内部个填隙原子与其他原子的相互作用能，和晶体内部一个原子与其他原子相互作用能的差值。填隙原子与相邻原子的距离非常小，它与其他原子的排斥能比正常原子间的排
37、斥能大得多。由于排斥能是正值，包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值，所以填隙原子与其他原子的相互作用能绝对值，比晶体表面一个原子与其他原子相互作用能的绝对值要小。也就是说，形成一个肖特基缺陷所需能量比形成个弗仑克尔缺陷所需能量要低。2.金属淬火后为什么变硬？解答 晶体的一部分相对于另一部分的滑移，实际是位错线的滑移，位错线的移动是逐步进行的，使得滑移的切应力最小。这就是金属一般较软的原因之一。显然，要提高金属的强度和硬度，似乎可以通过消除位错的办法来实现。但事实上位错是很难消除的。相反，要提高金属的强度和硬度，通常采用增加位错的办法来实现。金属淬火就是增加位错的有效办法。将金属加热到一定高温，
38、原子振动的幅度比常温时的幅度大得多，原子脱离正常格点的几率比常温时大得多，晶体中产生大量的空位、填隙缺陷。这些点缺陷容易形成位错。也就是说，在高温时，晶体内的位错缺陷比常温时多得多。高温的晶体在适宜的液体中急冷，高温时新产生的位错来不及恢复和消退，大部分被存留下来。数目众多的位错相互交织在一起，某一方向的位错的滑移，会受到其他方向位错的牵制，使位错滑移的阻力大大增加，使得金属变硬。3.在位错滑移时，刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点？解答在位错滑移时，刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向。但螺位错滑移时，螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直。4.离子晶体中正负离子空
39、位数目、填隙原子数目都相等，在外电场作用下，它们对导电的贡献完全相同吗？解答在正负离子空位数目、填隙离子数目都相等情况下，A+B-离子晶体的热缺陷对导电的贡献只取决于它们的迁移率。设 正 离 子 空 位 附 近 的 离 子 和 填 隙 离 子 的 振 动 频 率 分 别 为 和uj,正离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为E.和 J，负离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为乙，和乙，负离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为E/J 和EB，2 +2 +2m i则l 有士 4 A +=.e.a.V.AU-EA +/kBT，4 A +=-e-a-e -EA%.+/kBB T
40、,n-e a VBv-EB-/kBTRA k V Tx 4 L 7 F,=-L-7-e%B,g 1.A B 12 -二竺2里0一 旷”。由空位附近的离子跳到空位上的几率，比填隙离子跳到相邻间隙位置上的几率大得多，可以推断H I空位附近的离子跳过的势垒高度，比填隙离子跳过的势垒高度要低，即,EB-EB-。唳+r/,.另外，由于A*和8一的离子半径不同，质量不同，所以一般E；EB-,乙+N乙-.也就是说，一般因此，即使离子晶体中正负离子空位数目、填隙离子数目都相等，在外电场作用下，它们对导电的贡献一般也不会相同。5 .晶体结构对缺陷扩散有何影响？解答扩散是自然界中普遍存在的现象，它的本质是离子作无
41、规则的布郎运动。通过扩散可实现质量的输运。晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似，不同之处是缺陷在晶体中运动要受到晶格周期性的限制，要克服势型的阻挡，对于简单晶格，缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期。6 .一个空位花费多长时间才被复合掉？解答对于借助于空位进行扩散的正常晶格上的原子，只有它相邻的一个原子成为空位时，它才扩散一步，所需等待的时间是。但它相邻的一个原子成为空位的几率是/N,所以它等待到这相邻原子成为空位,并跳到此空位上所花费的时间 Z =r,=e（u+|,/vo 1 0 17 .自扩散系数的大小与哪些因素有关？解答 填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数可统一写成D=-
42、v（）a2e-elkT=-vaa2e-NIRTz z可以看出，自扩散系数与原子的振动频率小,晶体结构（晶格常数。），激 活 能（N ）三因素有关。8 .替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么？解答 占据正常晶格位置的替位式杂质原子，它的原子半径和电荷量都或多或少与母体原子半径和电荷量不同。这种不同就会引起杂质原子附近的晶格发生畸变，使得畸变区出现空位的几率大大增加，进而使得杂质原子跳向空位的等待时间大为减少，加大了杂质原子的扩散速度。9 .你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？解答 目前固体物理教科书对自扩散的分析，是基于点缺陷的模型，这一模型过于简单，与晶
43、体缺陷的实际情况可能有较大差异，实际晶体中，不仅存在点缺陷，还存在线缺陷和面缺陷，这些尺度更大的缺陷可能对扩散起重要影响。也许没有考虑线缺陷和面缺陷对扩散系数的贡献是理论值比实验值小很多的主要原因。1 0 ./T 8-离子晶体的导电机构有几种？解答 离子晶体导电是离子晶体中的热缺陷在外电场中的定向漂移引起的，.离子晶体中有4种缺陷：A+填隙离子，8一 填隙离子，A+空位，夕 空 位。也就是说，A 8一 离子晶体的导电机构有4种。空位的扩散实际是空位附近离子跳到空位位置，原来离子的位置变成空位。A+B-离子晶体中，A-空位附近都是负离子，8空位附近都是正离子.由此可知，A+空位的移动实际是负离子
44、的移动，B-空位的移动实际是正离子的移动。因此，在外电场的作用下，A+填隙离子和8-空位的漂移方向与外电场方向一致，而8 ,填隙离子和A+空位的漂移方向与外电场方向相反。1 1.假设把一个N a原子从N a晶体中移到表面上所需的能量为l e V,计算室温时肖脱基缺陷的相对浓度.解答对于肖特基缺陷，在单原子晶体中空位数为式中N为原子数，内为将一个原子由晶体内的格点移到表面所需的能量。取室温时T =3 0 0 K,得室温时肖脱基缺陷的相对浓度%,1.6 x l 0-1 9、=e -e x p(-)N 1.3 8 x 1 0-2 3 x 3 0 0=e-3 8 6 =1.7 2 x 1 0-1 71 3.试求有肖脱基缺陷后，上题中的体积的相对变化V/kV为无缺陷时的晶体体积。解答肖脱基缺陷是晶体内部的原子跑到晶体表面上，而使原来的位置变成空位。也就是说，肖脱基缺陷将引起晶体体积的增大。设每个离子占据体积为。，则当出现对正、负离子空位时，所增加的体积为AV=2nv.而晶体原体积为V=2Nv由以上两式及.上题中的结果n=N”E 5得生=2=e-T)V N