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1、专题1 0二次函数（压轴题）一、解答题1.（2 0 2 1湖北中考真题）如 图1,已知4 P Q =45。,AABC中N A C B =90,动点P从点A出发，以2 6 c m/s的速度在线段A C上向点C运动，P Q,P R分 别 与 射 线 交 于E,F两 点,且当点P与 点C重合时停止运动，如 图2,设 点P的运动时间为x s,N RP Q与AABC的重叠部分面积为y e n?,y与x的函数关系由（0 x W5）和G（5 =2X2(0X5)-3 4 x2+3 6 0%-90 0(5 x/2 x 6-【分析】（1）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得E F =PE，再根据x =5时，y =
2、5 0即可得；先根据运动速度和时间求 出 的长，再根据正弦三角函数的定义即可得；（2）先求出当点尸与点。重合时，”的值，再分0 xV5和5x两种情况，解直角三角形求出PE的长，然后利用三角形的面积公式即可得；（3）分0 xW5和5 cm，AC=NAB?-BC?=12后cm，则当点尸与点C重合时,AC 手6(s),当 0 xK 5 时，AP-2V5cm-EF=PE=AP-sin A=2xcm.1 1 ,则 y=SR,F P=-EF.PE=-E F2=2X2.,当5JAF2-F M2=xcm，52J 5：.PM=A M-A P =-xcm，5FM AC,ZACB=90,BC/FM，:./C N *
3、MF,.丝耳平*F M PM 迪 x 递 x5 5解得 CN=36后-6后x(cm),:.BN=BC-CN=(6岳-3075)cm，则 y=S“BN p+S邪E P =-B N CP+-B E PE,=I (6也x-3075)(12V5-2道x)+g (30-4x)2x,=-34X2+360X-900.|2X2(0X5)综上，y =一 -3 4 x2+3 6 0%-90 0(5 x 6)(3)当0 x W 5时，y =2 4 2,令2/=3 6，解得x =30或x =3夜(舍去)，.在0 x W 5内，随x的增大而增大，.当 y 2 3 6时，3 7 2 x 5：当5 x W 6时，y =3
4、4 1+3 6 0尤 一90 0,此二次函数的对称轴为=一 一%一=.-3 4 x 2 1 790 90则由二次函数的性质可知，肖5 x j时，y随X的增大而增大；当 一 =3 4 x 5 2 +3 6 0 x 5 90 0 =5 0,当x =6时，y =-3 4 x 62+3 6 0 x 6-90 0 =3 6 5 0.则当x=6时，y取得最小值，最小值为3 6,即在5 x W 6内，都有y i 3 6,综上，当y N 3 6 c m 2时，x的取值范围为304 x W 6 .【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题(2),正确分两种情
5、况讨论，并通过作辅助线，构造相似三角形和直角二角形是解题关键.32.(2021湖北鄂州市中考真题)如图，直线y=-/X+6与X轴交于点3,与)轴交于点A,点尸为线段A B的中点，点Q是线段O A上一动点(不与点。、A重合).(1)请直接写出点A、点 B、点尸的坐标；(2)连接P Q,在第一象限内将A O P Q沿PQ翻折得到AE P Q ,点。的对应点为点E.若N O Q =90。,求线段A Q的长；(3)在(2)的条件下，设抛物线、=2-2/+。3+。+1(。0)的顶点为点。.若 点。在 P QE内部(不包括边)，求。的取值范围；在平面直角坐标系内是否存在点C,使|C Q-C目最大？若存在，
6、请直接写出点。的坐标；若不存在,请说明理由.图1图2【答案】A(0,6),8(4,0),P(2,3)；(2)1；(3)2“j+a+=a(x-a)2+a+,回 其顶点C的坐标为(a,a+1),1 3点。是直线y=x+l(xw 0)上一点,回 NOQE=90。，02=5,回当y=5时，x=4又用点P(2,3)在直线y=x+l上回当点C在 Q E内 部(不含边)时，&的取值范惘是2 a 4：作 点 Q 关 于 直 线 y=x+l 的对称 点。，连 接 Q E交 直 线 y =x+l(x w O)于 点 c,则CQ=CQ,此时|C Q CE|=|C Q C|=Q E,|C Q -C 目 最大.团尸(2
7、,3),2(0,5),P是Q。的中点，团。(4,1),团Q E0 O Q,Q =O Q=5,团E(5,5),=4k+b k 4设Q E的解析式为：片kx+b,则 上 一，,解得：、U5=5k+b h=-5田。上 的解析式为：y=4x-1 5,联 立 y=4 x-1 5,，解得：y=x+1 6x-31 9y-一3回点C坐标为1 6 1 9T T答：存 在 点 C 使|C Q-C E|最 大，此 时 c 的坐标为1 6 1 9T T【点 睛】本题主要考查一次函数，二次函数与平面儿何的综合，掌握等腰直角三角形的性质，函数图像匕有的坐标特征，利用轴对称性，作出线段差的最大值，是解题的关键.3.(202
8、1湖北襄阳市中考真题)如图，直线y=g x+l与 x,y 轴分别交于3,A,顶点为P 的抛物线y=ox2-2 o r+c 过点 A.(1)求出点A,8 的坐标及c 的值；(2)若函数y=ox22or+c 在 3W xW 4时有最大值为。+2,求。的值；(3)连接A P,过点A 作 AP的垂线交x 轴于点M .设ABMP的面积为S.直接写出S关于。的函数关系式及的取值范围；结合S与。的函数图象，直接写出S：时。的取值范围.O2+2_7【答案】A（0,l）,B（-2,0）,c =l：a1 a S=2 2521(。1且0或。)2)-l(l a 2)3 5/2 口 c T 3+、a -22【分析】(1
9、)令 x=0,可得直线与y 轴的交点A 的坐标；令片0,可得直线与x 轴的交点8 的坐标，把点A 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得c 的值；(2)把=%2一2 a x+l配方后，分。0和。0 两种情况讨论，当3 K x 4 时，函数的最大值，根据题意可求得此时的。值；(3)设直线AP交 x 轴于点N,易得月包AOMBRtaMOA,由题意可求得ON的长，从而由相似的性质可求得 O M,分四种情况：当 a 0时，当 0。1 时，当 1。2 时，当。2时，分别就这些情况计算幽MP的面积即可；画出函数S的图象，求得当S=J 时 a 的值，结合函数图象即可求得S：时。的取值范围.8 8【详解】（1）
10、当 x =0时，y =g x +l =L 得 A（O,1）当y =0时，；+1 =0,解得 =一2.得8（-2,0）把 A（O,1）代入 y =o x?-2ax+c,得 c =l（2）0c=ly=ax2-2o x+l =Q（九-1）-+1-Q当Q0,3尤4时，y随1的增大而增大团当=4时，y的值最大由题意得9。+1。=。+2解得。=;当40,3 W x W 4时，y随X的增大而减小团当x=3时，y的值最大由题意得4。+1 4=4+2解得。=工（不合题意，舍去）2 =7 回P（l,l-a）,A（0,l）团直线A P的解析式为y =-ar +1设直线A P交x轴于点N,令y=0,得X =a网叫，。
11、哪I过P点作P C 0 X轴于点C,则P C =|l-4当。0时，如下图所示H L4/V/I2L A P,OAMNW NAO+MAO=NAO+1 ANO=90 Rt AONRt MOAOA ON团-二-OM OA团 04 二 1c I I0 OM-=a=-aON 1 1308=2团 BM=0B+0M=2-a0PC=l-ai i i 3ElS=BM PC=-(2 a)(l 。)=一/一一a+2 2 2 2nA2当。01时，如下图所示，同理得：0M =-=a=a PC=l-aON 1BM=0B-0M=2-ai i 130S=-fiM.P C =-(2-a)(l-z)=-2a+12 2 2 2nA2
12、当 la2时，与上图同，同理得：OM=-=a=a PC=a-lON 1BM=0B-0M=2-a i 3回 S=-8M PC=-(2 a)(a l)=a2+-a-l2 2 2 2n A2当。2时，如下图所示，同理得：O M=-=|a|=a,PC=a-lON 1 1回 8M=OM-O8=a-2i i 1 30S=-B M.P C =-(a-2)(-l)=-a2 _ a+2 2 2 2当a=l或2时，此;时EIM8P不存在i 3 a2 4+1(0(1且“0或)2)综上所述，s=2 2画出的函数5的图象如下当工。2-3。+1=.时，解得。=圭亚或。=三，12 2 8 2 2由图象知，当 1223 s/
13、2,目 c t 3+5/2回 a -.2 2【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求图形面积等知识，涉及分类讨论思想，且分类的情形比较多，数形结合思想，是一个比较难的题.4.（2021湖北武汉市中考真题）抛物线y=f _ 交 x 轴于A,3 两 点（A 在 B 的左边）.（1）的顶点C 在）轴的正半轴上，顶点E 在）轴右侧的抛物线上.如 图（1）,若点C 的坐标是（0,3）,点 E 的 横 坐 标 是 直 接 写 出 点 A,。的坐标；如 图（2）,若点。在抛物线上，且口ACDE的面积是1 2,求点E 的坐标；（2）如 图（3）,F 是原点。关于抛物线顶点的对称点，不平行）
14、轴的直线/分别交线段A E,BF（不含端点）于 G,，两点，若直线/与抛物线只有一个公共点，求证尸G+FH 的值是定值.【答案】A（1,0）,峭？；点 E的坐标是（2,3）.见解析【分析】（1）根据函数图象与x轴的交点，令片0,求出A（-1,0）,点 E 在抛物线上，求根纵坐标为：，再根据平行四边形的性质,求出。连 CE,过点作x 轴垂线，垂足为M，过点C作 CNJ.EM,垂足为N,设点C坐标为（0,），点 E坐标为（北加2 一）,根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到初2-1+=（加+1）2-1,再由则ACE1AMNC-SaAME-S&CNE 列出方程求解;（2）方法一：先求出G、H两点
15、的横坐标，再利用F G +F H =+齿 一s i n Z A F O s i n Z B F O痴 力 而 国-）求解即可；方法二先用待定系数法求出直线BE与直线/的表达式，根据直线/与抛物线有唯一的交点，求出点”坐标为（一,加-1）,点G坐标为（勺1,一?一1）,再求出结果.【详解】（1）解：回抛物线y =f-l交x轴丁 A,3两 点（A在3的左边）,团令y =x 2 _，i=o,解得：A F =B F =也，0 A（-1,O）,3回点E在抛物线上，点E的横坐标是2”=（1）2-1 =5,回四边形ACDE是平行四边形，嘲+申3）0 D 设 点C坐标为（0,），点E坐标为（m,m2-1）.E
16、 l四边形A C D E是平行四边形，团将AC沿AE平移可与 重合，点。坐标为（?+1,m 2 1 +）.1 3点）在抛物线上，回山2-1+=（m+）2一.解得，=2 m+1,所以C（0,2 m+1）.连C E,过点作x轴垂线，垂足为M,过点C作CN_LEW,垂足为N.贝U S&ACE=S梯 形AMNC-S/XAME-AC/V 1asOACDE=12,A（-1,O）,回6=；（，+/+1）（2，”+1）；（m+1乂/2-+1）.回,+3加一10=0，解 得 叫=2,m2=-5（不合题意，舍去）.团点E的坐标是（2,3卜（2）方法一：证明：依题意，得3（1,0）,F（0,-2）,回设直线3歹解析
17、式为丫 =丘+匕,则快+b=0,c，解得b=2k =2b=-2回直线B F的解析式为y=2x-2.同理，直线A尸的解析式为y=-2x 2.设直线/的解析式为 =比+凡y=t x+n.联立，,消去y得 炉一比一一 1 =0.y=x*-1团直线/与抛物线只有一个公共点，212A=（-/）2-4（-1）=0,1 1-1 .4y=2x-2联立1 py=t x-1I4且7 2,解得，xHt +2 7 同理，得%=匚.HA.B两点关于丁轴对称，ZA FO=ZB FO.0FG+FH=-+%s in Z A FO s in A B F O二;d(卜团E G +切的值为 石.m+m =pm m =-q-方法二：
18、证明：同方法一得直线3 尸的解析式为 =2%一2.设直线/的解析式为 =p x+q,/与抛物线唯一公共点为（?,机2-1）.y=px-q）联立 Z ，消去丁得 1 p x q 1 =0,回 y=x-1p=2 m .解得 ,.回直线/的解析式为y =2 m x-疗 1.q=-nT -1y =2/nx-m2联立 ，且 mwl,解得y=2 x-23-,加1 .同理，点G坐 标 为 二,一mT j.回 一 F G +F H =&1-吟2+,（1 +加）2=当（_ 加）+告（1 +加）=石.团/G+FH 的值为 逐.m +Xx-2y-m 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面
19、积、方程组等知识点，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题.5.（2021 湖北荆州市中考真题）已知：直线y =%+1 与x轴、V 轴分别交于A、3两点，点 C为直线A B上一动点，连接O C,ZA O C为锐角，在 OC上方以OC为边作正方形O C D E，连接BE,设 5 E =7 .（1）如 图 1,当点。在线段A3上时，判 断 座 与 A3的位置关系，并说明理由；图 1(2)真接写出点E的坐标(用含，的式子表示);(3)若tanNAOC=Z,经过点A的抛物线丁=公2+法+。0)顶点为，且有6。+3+2c=0,PQ4的 面 积
20、 为 当/=也 时，求抛物线的解析式.2k 2备用图【答案】(1)BEAB,理由见解析；(2)(-r,i-?)；(3)y=x2-4x+32 2【分析】(1)先求出点4 8的坐标，则可判断她。8是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转可证明她O C 0MO E(SA 5),可得团。8=回。4 7=4 5。，进而可得结论;(2)作辅助线如图1 (见解析)，根据正方形的性质可证回MO C E E 1 N E。，可得C M=O N,O M=E N,由(1)的结论可得A C=B E=t,然后解等腰直角附CM,可求出进而可得答案;27 7(3)由抛物线过点A结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x=2,然后
21、由(2)可求出当/=注 时k=l,2进一步即可求出点P 的纵坐标，从而可得顶点P的坐标，于是问题可求解.【详解】解：(1)BEQ AB,理由如下：对于直线y=-x+l,当 x=0时，y=l,当 y=0时，x=l,08 (0,1),A(1,0),回。4=。8=1,0008 4=004 8=4 5 ,团四边形。8E是正方形,E)O C=O E,0C O 5 =9 0,的AO8=90,E1M0C二 团 80E,mAO(BOE(SAS),团 团OBE二 团04c=45,回 回 E8c=回 8。+团08A=45+45=90,g|J 8函48；(2)作C 7 V偏。内于点 M,作日他x轴于点N,如图1,则
22、 团CMOWNO=90。,EONNEO=EONCOM=90 ,函 NEOWCOM,又 团。C=0,团 团 MOCWl/VE。，团CM二。N,OM=ENf在蜘CM 中，团CMA=90,团/V伏C=45。，AC=BE=t,V2AM=CM=，2E10M=l-t，2回点E在第二象限，回点E的坐标是(一 旦,1一旦);2 2(3)回抛物线过点A(1,0),cr+b+c=O,团 6a +3/7+2 c =0,1 3 消去c 可得b=-4 a,团抛物线的对称轴是直线x=2,如 图 1,当时，由(2)可得AC=Y2,2 2BAM=CM=-,20OM=l-=-=CM,2 20 t a n ZAOC-1.即 k=
23、l,瓯P O A 的面积 为 工，2即g x l x|y 3=；,解得M =1,团。0,1 3 顶点P的纵坐标是-1,回 点 P(2,-1),.y=a(x-2)2-1,把点A(1,0)代入，可求得0=1,回抛物线的解析式是y =(x 2)2 1 =f-4 尤+3.【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质以及等腰直角三角形的判定和性质等知识，具有一定的难度，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键.6.(2 0 2 1 湖北恩施土家族苗族自治州中考真题)如图，在平面直角坐标系中，四边形A B C。为正方形，点 A,3在
24、x 轴上，抛物线y =/+云+。经过点8,。(-4,5)两点，且与直线。C交于另一点E.(2)F为抛物线对称轴上一点，。为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以3 E为边的菱形.若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P为)，轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂 足 为，连接M E,B P.探究EM+MP+依是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)=*2+2%-3；(2)存在以点Q,F ,E,3为顶点的四边形是以3 E为边的菱形，点尸的坐标为(1,J万)或(T J五)或(一1,5-/万)或 卜L
25、5+J T 7)；(3)EN+MP+PB存在最小值，最小值为“T +1，此时点M的坐标为(-L；.【分析】(1)由题意易得A D =A 5 =5,进而可得4(-4,0)，则有见1,0),然后把点8、D代入求解即可；(2)设点厂(1,。)，当以点Q.F，E，8为顶点的四边形是以8 E为边的菱形时，则根据菱形的性质可分当石时，当 瓦=8石时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；(3)由题意可得如图所示的图象，连接。仞、DM,由题意易得D M=E 7W,四边形8O M P是平行四边形，进而可得O M=8P,则有a0+必+必=。知+加0 +1,若使EM+MP+依的值为最小，即ZW+MO+1为最小，
26、则有当点。、M、。三点共线时，DM+MO+1的值为最小，然后问题可求解.【详解】解：（1）团四边形A B C。为正方形，D（T,5）,E l A D=AB=5 A(-4,0),团 A O=4,0 O B=1,0 5(1,0),把点8、D坐标代入得:1 6-4/?+。=51 +/?+c =0解得：b=2c=-3回抛物线的解析式为y =X2+2X-3；（2）由（1）可得5（1。），抛物线解析式为y =/+2x-3,则有抛物线的对称轴为直线 =-1 ,团点D与点E关于抛物线的对称轴对称，0（2,5）,团由两点距离公式可得8 石2 =（1-2）2 +（）5）2 =2 6 ,设点E（1,。），当以点。，
27、F,E，5 为顶点的四边形是以B E为边的菱形时，则根据菱形的性质可分:当 班 =3E时，如图所示：团由两点距离公式可得B F2=B E2，即(1+1)2+(0-=2 6 ,解得：a-+V 2 2 回点F的坐标为(-1,V 2 2)或(-1,-2)；当E F =B E时,如图所示：团由两点距离公式可得E F2=B E2，即(2 +l+(5-a=2 6 ,解得：a=5土 后，回点F的坐标为(-1,5-47)或(-1,5 +屈)；综上所述：当以点Q，F,E,B为顶点的四边形是以B E为边的菱形,(-1,-7 2 2)(-1,5-7 17)(-1,5 +7 17)；点F的坐标为(-1,后)或(3)由
28、题意可得如图所示：连接。M、DM,由（2）可知点。与点E关于抛物线的对称轴对称，6（1,0）,团 O B =1,DM=EM,团过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M.0 P M =O B =1,PM/IOB,团四边形B 0 M P是平行四边形，团。M=8P,SEM+M P+P B=D M +M O+,若使E M+M P+P B的值为最小，即DM+MO+1为最小，团当点D、M、。三点共线时，ZW+MO+1的值为最小，此时。与抛物线对称轴的交点为M,如图所示:回。（T 5）,团。=%+52=屈,D M +M O+1的最小值为d +1,即E M +M P+P B的最小值为d +1，设线段O D的解析式
29、为卜=履，代入点。的坐标得：k=-,4团线段0 D的解析式为y=-1x,S A/|1,|.【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键.7.（2 02 1湖北十堰市中考真题）已知抛物线y=o r 2+以-5与x轴交于点A（-l,0）和B（-5,0）,与y轴交于点G顶点为P,点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交 抛 物 线 于 连AC、C M .（2）如 图1,当t a n N A C M =2时，求M点的横坐标；（3）如图2,过点P作x轴的平行线/,过M作于。，若 M D =，求N点的坐标.【答案】（1）y=
30、x2 6x 5 ；（2）-；（3）N卜3,-2-）【分析】（1）将点A（-l,0）和点B（5,0）代入解析式，即可求解；（2）由t a n NA C M =2想到将NACM放到直角三角形中，即过点A作A E J.AC交C M的延长线于点E,即可知 一=2 ,再由Z A O C =A E A C=90想到过点E作 砂_ L%轴，即可得到A A O C A E F C ,故点A CE的坐标可求，结合点C坐标可求直线C E解析式，点M是直线C E与抛物线交点，联立解析式即可求解；（3）过点M作L的垂线交于点D,故设点M的横坐标为m,则点M的纵坐标可表示，且M D的长度也可表示，由H M H N Q可
31、得A A MSA 4 Q V即可结合两点间距离公式表示出M N,最后由MO=MMN即可求解【详解】解：（1）将点 A（1,0）和点8（5,0）代入y=一5得ffl!Z?5=0 a=，解得：,/125a-58-5=0,=-6y 6x 5（2）点A作AE，AC交CM的延长线于点E,过E作 所_ L x轴于E,如下图轴，AELAC,ZEFA=ZEAC=90.ZFAE+ZOAC90又.ZACO+NQ4C=90ZEAF=ZACO/AOC/EFA _A_C_ _ _A_O_ _ _C_O_EAEFAFAR,/tan ZACM=2 即 二 2A.C _A_C_ _A_O_ _C_O_ _1 EA EF AF
32、 2当x=0时，y=-5.C(o,5)即 0C=5Eb=2,4=10 即 E(-ll,-2),设直线C的解析式为y=履+/左。0）,并将C、E两点代入得-lk+h=-2,u 解得h=-5k-11b=-5”-511 点M是直线C E与抛物线交点y-x-5 6311 解得阳=一 百,=0(不合题意，舍去)y=-x2-6 x-5，点M的横坐标为-(3)设过点M垂直于L的直线交x轴于点”，对称轴交x轴于点Q,M的横坐标为m则 OH=m,/y=-x2-6x-5.对称轴x -=-32a P、Q、N的横坐标为 3,即。=3：.AQ=0Q-0A =2.当尤=-3时，y=-(-3)2-(-3)x6-5=4，P(
33、3,4)点D的纵坐标为4MD-4(m2-6m5-n r+6m+9=(m+3)-.HM/NQAH HM-I-/?!-=-1!IJ-AQ QN 2m2+6m+5QNQN=-2m-10；.N(3,2m+10)MN2=(m-3)2+-/M2-6m-5-2/n-10MD=6M N2了=3(m+3)2(m+5+1:.MD2=3MN2,即(加+3)4 =3(m+3)2(m+5 +l,.m+3=0,m=-3 不符合题意，舍去,当根+3 工0 时，2m2 4-24m+69=0,解得m=7 2土娓2由题意知z=T2 一 指2N 卜 3,-2-本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求
34、法和两点间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大.解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想.8.(2021湖北黄冈市中考真 题)已知抛物线旷=以 2+汝一3与 X轴相交于4 1,0),8(3,()两点，与 y轴交于点G点 N(”,0)是 x 轴上的动点.(1)求抛物线的解析式;（2）如图1,若,/APDG=i N G，PG -B G 即”，+3 =(3 ,解得=及或=3 (与“3不符，舍去)，故当=及 时，*D G=由N G；(3)如图，设线段OC的中点为点O,过点5作x轴的垂线，交直线。男 丁点E，3则点。的坐标为D(0,-)，点E的横坐标为3,设直线B D的解析式为y =%x+
35、。，陷+7=0 k0将点5(3,0),。(0,一？代入得：3 ，解得，2%=2 01 3则直线B D的解析式为y =/x-耳，由平移的性质得：宜线。片的解析式为y3 3当 =3时，y=-f即 项3至)，3O B =3,BE=a，BE 1/.t a n Z B O B.=-OB 2故答案为：;2 由 题 意 得：NN J O B 1,则 设 直 线N N、的 解 析 式 为y =-2 x +q ,将 点M,0）代入得：-2 +C j =0 ,解 得q =2 ,如N N 僚 析 式 为y =2K+2 .联 立 y=-2 x +2n1 ，解 得，y=x24x=n52y =54 2即 直 线NN1与
36、直 线04的交点坐标为（|n,j n）.设 点M的 坐 标 为M（S J）,s +4则=n2 53t+0 2-=nI 2 5，解 得 s=n54t=n53 4,即 乂（g,g），将点 N(n,一)代入 y=x 2x 3 得:(fi)2 x /?3 =-n,5 5整理得：9n2-5()n-75 =()，此，汨 2 5 +10 V 13 .2 5 10拒解得 n=-或“=-9 9则 点N的坐标为/5 +;）而，0）或J，一:而，o）.【点 睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键.9.（2 0 2 0 湖北荆门市中
37、考真题）如 图，抛物线=一 7 x-3与x轴 正 半 轴 交 于 点4与y轴交于点 8.(1)求直线A 3 的解析式及抛物线顶点坐标；(2)如 图 1,点 P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作 PC _Lx轴，垂足为G PC交AB于点。，求尸D+8。的最大值，并求出此时点P 的坐标；1 ,5(3)如图2,将抛物线L:y=V 一二x 3向右平移得到抛物线/,直线A 3 与抛物线U 交于M,N两2 4点，若点A 是 线 段 的 中 点，求抛物线的解析式.3【答案】直 线,的 解 析式为叶 三 一3 抛物线顶点坐标 为(匕5 一五、当x=z13时，如+加的最大值为1三69;32(3
38、)y =1 X2-1-3-X H 3.2 4 2【分析】(1)先根据函数关系式求事A、B 两点的坐标，设直线AB 的解析式为y =H+匕，利用待定系数法求出A B的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；过 点。作轴于E，P 1 I D E/O A.求得A B=5,设点P的坐标为卜一;%一3)仁 x 4则点D的坐标为,一3),E D=x,证明 B OES.。，山相似三角形的性质求出8。=%,用含x的式子表示P D,配方求得最大值，即可求得点P的坐标；1 191(3)设平移后抛物线 的解析式y =/(x-/n)2-五，将 的解析式和直线A B 联立，得到关于x 的方(3 A 25程
39、，设 M(X|，x),N(X 2，y 2)，则%，是方程V-2+卜+加 一 记=0 的两根，得到%+9=2(机+2),点4为加可的中点，&+=8,可求得m的值，即可求得L 的函数解析式.【详解】1 .5(1)在 y =-f%3 中，-2 4 5 3令y =0,则5 _ _ 3 =0,解得不 =-务,/=4,0A(4,O).令x=0,则 y =-3,回8(0,-3).设直线AB的解析式为y =丘+，3团直线AB的解析式为y =-x-3.4y=1 x2 5 x-3-2 4团抛物线顶点坐标为(2)如图，过点D作。E _ L y轴于,则。Q 4.0 OA=4,OB=3,回 A B =JO A2+C B
40、 2=2+32=5,设点 P 的坐标为(x,X 3 x 4),3k=4 ,b=-3则f 4攵+b=0,c,解得：b=-3则点。的坐标为（x,：x 3但 ED=x.出DEHOA,QABDES ABAO,BD团=BABD团=5ED-，OAX-，4SlBD=*x.4而 P O =5 x _ 3 _(g x 2 _；x_3 x+2x,2nc nc 12c 5 1 2 1 3 1 (1 3、1 6 90PD+BD-x+2x+x-x H x=x-H-2 4 2 4 2(4 J 320-0,9cx /3).【分析】(1)把A(-3,1)代入丫 =一 尤2+依一2%即可求解；(2)根据题意作图，求出直线A B
41、的解析式，再表示出E点坐标，代入直线即可求解；(3)先求出定点H,过H点做H I取 轴，根据题意求出自M H I=3 0。，再根据题意分情况即可求解.【详解】(1)把 3,1)代入 y-X2+k x-2 k得-9-3 k-2 k=1解 得k=-2回抛物线的解析式为y=-x2-2x+4；f(2)设 C (t,/一2/+4),则 E (t,-1+2),2设直线AB的解析式为y=k x+b,把A (-3,1),(0,4)代入得 1 =-3女 +4 =8解得Lk=)1b=4团直线AB的解析式为y=x+420 E (t,-1 +2)在直线 A B 上2r1 3-1+2=t+42解得匕2(舍去正值),0C
42、(-2,4)；(3)由 y=-Y +履-2 Z=k (x-2)-x2,当x2=0即x=2时，y=-4故无论k取何值，抛物线都经过定点H(2,-4)二次函数的顶点为N -2 A:)2 4k甘如图，过H点做印取轴，若一 2时，则k42(4百)13M 2-,0,H(2,-4)团Ml g ,312Hl=4国 tan 回 MHI 二00MHI=3OO且3-6443ZMHN=60EHNHI=30即 团 GNH=3O-2GH 2山图可知ta nM N H=-GN k-.-2&+44解得k=4+2 J L 或k=4(舍)同理可得自 M H I=3 0 ZMHN=60上20 H N 0 I H,即-2 左=-4
43、4解得k=4 不符合题意；k3。若一=2,N、H重合，舍去.2既=4+2 6团抛物线的解析式为y=-x2+(4+2 7 3)%-(8 +4 7 3).【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质及三角函数的定义.1 2.(2 0 2 0 湖北中考真题)已知抛物线、=。/-2 3+(;过点4(一 1,0)和。(0,3),与 x 轴交于另一点B,顶点为D.(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；(2)如 图 1,E 为线段BC 上方的抛物线上一点，EF 1 B C,垂足为F,E M 1 x 轴，垂足为M,交BC于点G.当BG =C 尸时，求 1/(的面积；(
44、3)如图2,4 c 与B。的延长线交于点H,在 x 轴上方的抛物线上是否存在点P,使4。P B=UHB?若存在，求 出 点P的坐标：若 不 存 在，请说明理由.【答 案】(1)丫 =一/+2%+3,。(1,4)；(2)SAEFG=1；存 在，尸 式0,3),2 2 (竽，萼)岛(等，萼)【解 析】【分 析】(1)利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进 而 得 到 顶 点D坐标；(2)先 求 出BC的解析式y =-x+3,再 设 直 线E F的解析式为y =x+瓦设点E的坐标为(m,-m?+2 m +3),联 立 方 程 求 出 点F,G的坐标，根据8 G 2 =C产 列 出 关 于m的方程
45、并求解，然 后 求 得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；(3)过 点A作AN E 1 H B,先 求 得 直 线BD,A N的解析式，得 到H,N的坐标，进而得到N =4 5,设点p(n,-n2+2 n +3),过 点P作P R x轴 于 点R,在x轴 上 作 点S使 得R S=P R,证明 O P S-A O P B,根据相似三 角形对应边成比例得到关于n的方程，求 得 后 即 可 得 到 点P的坐标.【详 解】(1)把点 A(-1,0),C (0,3)代入y =a-2 ax +c中，fa4-2 a4-c =0t c =3 ，解 得 忆；,y x2+2 x +3,当=-2=1时，y=4
46、,：D(l,4)(2)v y=-x2+2%+3令y=0,x=-1,或 x=3 B(3,0)设BC的解析式为y=kx+b(HO)将点C(0,3),B(3,0)代入,得(b=3l3fc+h=0，解得c,y=-x +3 EF 1 CB设直线EF的解析式为y=x+b,设点E的坐标为(m,-6 2 +2m+3),将 点E坐标代入y=%+b中，得b=-in?+m+3,A y=x m2+m 4-3(y=-%+3(y=x m2+m+3m2 m m2,+m+6y=-2/m2 m m2+m 4-62)把 x=m 代入y=%4-3 G(jn,m+3).BG=CF BG2=CF2即(m-3)2+(3 m y=(宁)2
47、+(宁)2解 得m=2或m=-3回点E是BC上方抛物线上的点Elm=-3舍去团点E(2,3),F(1,2),G(2,l)EF=V l2+12=V2FG=J12+#=y/2x V 2x V2(3)过点 A 作 AN0HB,回 点 )(1,4),8(3,0)回 点4(-1,0),点C(0,3)设X4N=gx+b，把(-1,YDB=-2%+6 VAC=3%+3(y=%4-3y=-2%+6(3.X =5 24ly =T/3 240)代入，得b=1 1A y=-%+-2 21 1y=2X+2y =-2 x +6:x=TN 偿 1).借+】)y针+(野:.AN=HN 4H=45设点 p(n,-n?+2n+
48、3)过 点P作PR0 x轴于点R,在x轴上作点S使得RS=PR:乙RSP=45且点S的坐标为(一/+3n+3,0)若 NOPB=Z-AHB=45在AOPS和AOPB中,(/.POS=Z.POBI 乙OSP=OPB OPS-OPBOP _ OSOB=OPOP2=OB OSn2+(n+l)2(n-3)2=3 (-n2+2n+3).n=0 或 计 萼 (0,3)/I +V5 5+V5本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解.13.（2020湖北随州市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+法+1的对称
49、轴为直线=-,其图象与X轴交于点A和点8（4,0）,与），轴交于点C.(1)直接写出抛物线的解析式和N C 4。的度数；(2)动点M,N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段43上运动，点N以每秒0个单位的速度在线段A C上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间为 0)秒，连接MN,再将线段MN绕点用顺时针旋转90。，设点N落在点。的位置，若点。恰好落在抛物线上，求，的值及此时点。的坐标；(3)在(2)的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为)轴上一动点，当以点C,P,。为顶点的三角形与 应 相 似 时，请亶谈与出点P及其对应的点。的坐标.(每写出一组正确的结果
50、得1分，至多得4分)【答案1方=一%2+走+1,/。4 0 =4 5。；(2火=：,。点坐标为(2,|(3)片(5,-|,0(0,-)25115 1994 1 3977五7 0,-37324 243得,Q o,-呜隹问。嗡)【分析】(1)根据抛物线的对称轴以及点B坐标可求出抛物线表达式；(2)过点N作N E _ L A3于E,过点。作_ L 于F,证明丛N E M q A M F D,得到N E =M F,E M =D F ,从而得到点D坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可；1 ,3(3)设点P(m,nr+/?+1 ),当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过 点P作P R O y轴于点R,4