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1、2023年高考数学一轮复习测评卷函数的概念与性质一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知函数/(%)的定义域为R,“X+2)为偶函数，2 x+l)为奇函数，则()A.=0 B./(-1)=0 C.2)=0 D.4)=02 .设函数“X)的定义域为R,x+l)为奇函数，x+2)为偶函数，当x l,2 时,f(x)-ax1+.若/(0)+/(3)=6,则./(1)=()9432A.B.C.741 Y3 .设函数/(X)=，则下列函数中为奇函数的是()1 +XA./(X 1)-1 B./(X-1)+1 C./(%+1)-1D
2、./(X+1)+14 .高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设xeR,用 尤 表示不超过x的最大整数,则 =可称为高斯函数.例如：-5,1 =-6,团=3.已知函数则函数y=的值域为()A.-1 B.-1,0 C.1 D.0,1 5.设奇函数7U)在(0,+8)上为增函数，且41)=0,则不等式“匚2021)二,(2021?)0)存在“K区间”，则。的取值范围为()1D.1 47.已知定义域为R的偶函数y=.f (x)-3 x在 0,+8)单调递增，f(m)+3 g(x)也是“自倒函数”1 1.已知函数y =/(比 一 1)的图象关于直线x =l对称，且 对 心
3、eR有/(6 +/()=4.当x w(O,2 时，x)=x+2.则下列说法正确的是()A.“X)的周期T=8 B./(x)的最大值为4C./(2 02 1)=2 D./(尤+2)为偶函数1 2.假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以x(r)表示，被捕食者的数量以y(r)表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不正确的是()A.若在%、时刻满足：加)=她)，则x(r j =x&)B.如果y(f)数量是先上升后
4、下降的，那 么 的 数 量 一 定 也 是 先 上 升 后 下 降C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D.被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.1 3.已知aeR,函数/(x)=,:若/=则。=x-3+a,x2,L )1 4 .己 知 函 数/(月=/(小 2 kx+b G(x)0),若/(x)和 g(x)之间存在“分隔直线”，则 匕 的 取 值 范 围 为.1 6 .已知函数/(幻二产一分+4+，a eR,若 f 3 在区间-1 上的最大值是3,则的 取 值 范 围 是.四、解答题：本题共6 小题，
5、共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .设函数/(x)=|3 x-l|+|2 x+2|的最小值M(1)求 M；2 4 2 4 2 4(2)已知a,b,c 为正实数，&a+b+c =9 M ,求证(1)(-1)(1)8.a b c1 8 .若函数段)对任意的x WR,均 有 於-1)侦x+l)W(x),则称函数负x)具有性质P.(1)判断下面两个函数是否具有性质巴 并说明理由；y二 3。13：X(X )X O(2)若函数g(x尸，在 工 切 工 试 判 断 g(x)是否具有性质P,并说明理由；为 无理数(3)若函数y(x)具有性质P,且式0)可()=0(2,GN*)求证：对
6、 任 意 仁-1,kGN*,均有汽巫0.1 9.上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔f (单位：分 钟)满 足 2 W/4 2 0,t w N*，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔r 相关，当1 0 r 2 0 时地铁可达到满载状态，载客量为1 2 0 0 人，当2。1 0 时，载客量会减少，减少的人数与(1 0-。的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为5 6 0 人，记地铁载客量为p(f).(1)求 P 的解析式;(2)若该时段这条线路每分钟的净收益为。=%止0国-3 6()(元)，问当发车时间间t隔为多少时，
7、该时段这条线路每分钟的净收益最大？2 0 .已知/(x)=|2 x+l|-|x-a|.(1)若。=一2时，求/(6 0的解集；(2)当x e(一；,a时，不等式/(x)=(x)的图象有对称中心W，).利用以上结论探究：对于任意的实数，函数)=/(力是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用表示)；若不是，证明你的结论1.【答案】B【解析】因为函数/(尤+2)为偶函数，则/(2+x)=f(2-x),可得X +3)=1-X),因为函数/(2x+l)为奇函数，则/1(l-2x)=-/(2 x+l),所以，/(1-x)=-/(x+l);所以，x+3)=-x+l)=/(x-l),即x)=/(x+4)
8、,故函数/(x)是以4为周期的周期函数，因为函数/(%)=/(2x+l)为奇函数，则尸(0)=1)=0.故T)=-1)=0.其它三个选项未知.2.【答案】D【解析】因 为/(X+1)是奇函数，所 以/(一%+0=一/+；因 为/(尤+2)是偶函数，所 以/(x+2)=/(x+2).令x=l,由得：/(0)=/(2)=(4。+匕)，由得：/(3)=l)=a+b,因 为/()+/(3)=6,所 以 一(4。+)+a+/?=6 n a =2,令x=0,由得：/(1)=一/(1)=/(1)=0=力=2,所 以/(X)=_2W+2.思路一：从定义入手.所以/思路二：从周期性入手52由两个对称性可知，函数
9、/(力 的周期r =4 所以/0时,0 /(x)=Xx2 4-1-2x 2所以当x w R时，/(不)W从而y=(%)的值域为-to .5.【答案】D【解析】解:因为/(x)为奇函数，则f(-x)=-f (x),所以/(x 2 0 2 1)2 0 2 1 -X)。,x 2021“，人 2/(x-2021)等 价 于-x-20210 或元-2021 0/(x-2 0 2 1)0，又/(九)在(0,+8)上单调递增，且/=0,所以“X)在(T,o)上单调递增，且/(-1)=0若/(%-2 0 2 1)0,则0 x 20211 或x 2021 0,则一l x 20211f/(x-2021)0 x 2
10、021 0 x-20210f0 x-2021l“c,八，解得2021 x0,所以或，八/,(x-2021)0,所以x-2021l或4X 2021(T-lx-20210八 ，解得2020 x 2021；x-20210综上原不等式的解集为(2020,2021)。(2021,2022)6.【答案】C若【解析】Ax)为减函数，所以i-a =na=m两式相减化简得J二 +=l.代 人-a =n，得-a=mci=n sj n+1a=-m-yj-m+1问题转化为函数y=a与函数、=/一%+1(*20)有两个交点结合图像可知”97.【答案】D【解析】解：设g(x)=/(x)-3 x,由题意可知函数g(x)为偶
11、函数，并且在 0,+oo)单调递增,由/(/)+3 W/(1 /)+6机，得/。)-3m W/(1 m)3(1 加)，即 g(m)4 ，所以 g(H)g(|l-机|)，因为g(x)在 0,+oo)单调递增，所以|叫引1 一M，两边平方得加2 4(1 一m)2,解得m=/()是定义在R上的奇函数，满足/(x+l)=x-2),所以/(力=/(*-3)=-/(一 力，整理得，/(x+3)=/(%),所以：/(-x+3)=-/(x)3 、故对于，函数/(x)的图象关于-,0对称，故正确，错误.1 2 J时于，函数/()=0,/=0,/(6)=0,由于/(6 =/(x+3)=/(一%),令所以|)=-呜
12、)整理得/(=(),4.5)=/+3)=(),故正确；对于，2 02 1)=6 7 3 x 3+2)=/(2),所 以 函 数 在 0,1 上单调递增，则它在 2 02 1,2 02 2 上单调递增，故正确；9.【答案】B C【解析】由题知/(x +l )，若/(X)的周期为|，则x)=-/(x),即/(x)=0,显然不一定；由/一：)为奇函数知 了 卜 一 智 的图象关于原点对称，故/(X)的图象关于(一j，o对称，从而一|一X)=-/(x)，又=-/(x)，/一=+,所以/(x)为偶函数；又由/+=知，f=所以/(X)的图象关于点(*0卜 寸 称.1 0.【答案】A B【解析】对于 A,7
13、(x)=sinx+及 xe-任取王6，有 sin%G 1,1,k L 2 2 Jy L，/(x j=sin不 +V2,且/(x j V _1,0+1；由/(%)/K)=L 得 z)=十六7r即sinx2+&=-T,.sin%2=-产 一 血,sin x+v2 sin x+/()=1 成立，所以自倒函数/(X)的值域不可以是R,命题不成立，所以C错误；对于D,当y=/(%),y=g(x)都是自倒函数，且定义域相同时，函数丁 =/(%)W(无)不一定是自倒函数，例如/(x)=g(x)=L 其中无e(-oo,0)50,+)，贝ijy=/(x g(x)=4不是自倒函数,1 1,2 1,1因为由r-r
14、=l,得=r，土一不唯一，故命题不成立，所以D错误.x2 X X 故选：AB.11.【答案】ABD【解析】解：.函数 的图象关于直线x =1对称，二函数y=/(x)的图象关于直线X=2对称，/(2 +x)=/(-2 -x)对 V x e R有/(x)+/(-x)=4,，函数 的图象关于(0,2)中心对称，./(-2 +x +2)=/-2-(x +2),BP/(X)=/H-X)=4-/(-X),又/(T -X)+/(X+4)=4,即/(T -X)=4 /(X+4),/(x+4)=/(-%),；/(%+4)+4 =/(x +4)=/(x),即/(x+8)=/(x),/(x+2)=一x +2),二/
15、(%)的周期T=8,选项4正确；/(x+2)为偶函数，选项。正确；当x e(0,2 时，/(x)=x+2,/(%)+/(-%)=4,，当 x c -2,0)时，-x e(0,2 ,x)+-x +2 =4,即/(x)=x+2,.,.当 x e -2,2 时，j f(x)=x+2,又函数 =/(x)的图象关于直线x =-2对称，二在一个周期-6,2 匕/(x)皿=/(2)=4,./(X)在R上的最大值为4,选项B正确；.”2 02 1)=2 5 2 x 8 +5)=5)=f(1 +4)=/(-1)=-1 +2 =1,选项C错误.12.【答案】ABD【解析】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等
16、，故A不正确；在曲线上半段中观察到y(。是先上升、下降，而x(f)是不断变小的，故B不正确：捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最卜端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故c正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x(r)e(25,30),y )0,50),此时二者总和x)+y(7)w(25,80),由图象可知存在点x(，)=i o，y )=i oo，x(f)+=110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大
17、值，故D错误，故选：A B D.13.【答案】2 解析】/4)=/(2)=|2 3|+=3,故。=2,故答案为：2.14.【答案】1【解析】因 为 x)=Y(e 2 一2-x),故 一 切=一 丁,.2一，一2，)，因为/(x)为偶函数,故/(-x)=/(*),时 X3(-2V-2-)=-X3(-2-A-2V),整理得到(“一 1 乂2*+2-*)=0,故。=1,15.【答案】0,4【解析】如下图所示:01由图可知，一/K A x +h V,可得/+京+人 之。对任意的XR恒成立,x则 4 =%2一助4 0,即2 0恒成立，若攵 0,当Xf”时，(心+法一)f+00,不合乎题意；若左=0,则法
18、一140对任意的x 0恒成立，则 1，可得b0,xk2又。2、对任意的x eR恒成立，则匕20,.人=0：4若 0,则八2=户+4攵 0,所以，M 16A:2 64/?.即-64=城3-64)=配 一4乂6+46+16)0,解得0 4.综上所述，实数匕的取值范围是0,4.故答案为：0,4.16.【答案】(一叫0【解析】由题易知/(0)=2+a W 3,即所以/(1)=3 a+a =3 a+a =3,X/(-l)=|3+|+a 3,所以 40.下证a40时，/(x)在 1,1上最大值为3.当xe(0,l时，/(x)=|x2-av+2|+=x2-ax+2+a,/(x)max=/(1)=3；当xe
19、1,0,若1,即a 2,2则/(x)3 =max/(-l),/(0),满足；若一 1 4 0,即-2aW 0,2此时2-+a=2-+a=-(a-2)2+33,2)4 4 4而/(吹”=max/(J(0),满足；因此，a40符合题意.817.【答案】(1)=一；(2)证明见解析.35U x+1,x 2 一13【解析】(1)由题可得/(x)=x+3,-l x；,5x 1,x 4 一1 8 8x 时，5x+1 2-,-l x 一时，一 x+3,所以“=/(*=/($=1：,心 ,一,0 24(24-a b+c 24 1 a+c(2)由(1)知。+。=2 4,可得-1 =-=-，同理得-1 =-,a
20、a a b b24 1 a+b-1 =-,由基本不等式可得,24 24 24(b+c)(c+a)(a+t),2-fbc-2/ca -2ab(-1)(-1)(-1)=-a b c ahc ahc=8 当且仅当a =b =c=8 时取=”,24 24 24所以(一 1)(1)(1)8.a b c18.【答案】(1)具有性质P,不具有性质P,理由见解析；(2)g(x)具有性质P,理由见解析；(3)证明见解析.【解析】解：(1)A x -D+A x+l)-2AX)=3X-+3V+I-2X3=3V(1 +3-2)0,故具有性质P；不具有性质P,如 A-1时，段-l)t/U+l)y -2)M 0)=-8,
21、而 轨-1)=-2,不满足不等式，(2)1。当x 为有理数时，具有性质P,理由如下:fix-1 )+fix+1)-纨x)=(x-l)2+(x+l)2-n(x-1+x+l -2x)=20,2。当x 为无理数时，具有性质P,理由如下：jx-1 )+fi,x+1)-2J(x)=(x-l)2+(x+l)2-2JT=20,综上可知g(x)具有性质P.(3)证明：假设危)为八1),“2)，加-1)中第一个大于0 的值,则於)-式，-1)乂),因为函数r)具有性质P,所以加1+D 月()-1),所以/+D-加闫()-加-1巨习W-於-1)0,所以/)=/()-加-1)+&-D -加-2)+.+/-(1)0,
22、与寅)=0 矛盾，所以假设错误，原命题正确,即对于任意的1W K -1,k G N,均有人k)W 0.19.【答案】(1)p )=,+200/+200,?,(fe N*；(2)6 分钟.1200,?Gg r 20【解析】(1)由题意知)=,1 2 0 0 0-r)2,?t e*,*e N*),a 为 常 数)，200,?20Z 因 p(2)=1200 4(10 2)2=1200 6 4 4=5 6 0,则左=10,所以p(t)=-l()r+200r +200,?r 12(X),T 任 K 20QGN*)；(2)由 Q =6M。336()_ 360得 Q=,208+2。)-336O _ 36o,
23、羽”-660,?)t840-60(r +),2r,-360,10r 20当2 4 r 10时，C =840-60(r +)840-60 x12=120,当且仅当f=6等号成立;当10/20时，Q =变 竺 360在 10,20上递减，当/=10时。取最大值24,由可知，当发车时间间隔为f=6分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.20.【答案】(-M)；(2)1,+c o).【解析】当a=2时，/(x)=|2x+lHx+2|，则/(x)0 l!；J|2x +11|x+2|0,|2x+1|x+2|,(2%+1)一 (x +2)-,x2 1 ,解得T x l,故当a=2时，/(x
24、)0的解集为(-L 1).(2)当x e|一；,a时，/(x)=|2x+l|-|x-c=2x+x-a=3x+-a,不等式f(x)2x+a恒成立，即3 x+1-a W 2 x+a恒成立，3 x+l a 即 1,因为xWa,所以a 0.,.由,l-x N O ,解得一 14 x 4 1.l-x2 0 函数的定义域是T J.对于任意 X G-1,1,有一x e -1,1./(一x)=(J l+(-x)+J 1-(-X)+)(7 1-(-x)2+b)=(+y/i+x+a)(V l-x2+份=/(x)，即 f(一幻=/(x)对xe-1,1都成立(又f(x)不恒为零)，函数/(X)是偶函数.(2)由。=3
25、力=1,有/(x)=(&T +5/T G-3)M-f +1).Z=V l+%+V l-x(-l x l),则*=2+2%_%2.o V l-x2 b 2 Z2 0),即 血4 1 K2.D =V 2,2.(i i)由 知：g )=；(r-3/)的定义域为。=夜,2.对于任意的 由 w。且4 0,/2 0,-?20，即g(G-g 2)，g Q l)g 2)二函数g(f)在 0 上是减函数.Wmin=(2)=1x(23-3x22)=-2-又 函 数/(X)的值域与函数g(f)=；(尸一3/)的值域相同，.函数f(x)的最小值为-2.22.【答案】答案见解析；(2)(9,+00)；(3)有对称中心，
26、对称中心为(3 驯+网).2 3 27 3【解析】(1)当a=0 时，/(X)=X3-2X,/(-X)=-X3+2X所以/(%)=-/(一尤)，y =F(x)为奇函数.当a 0 0 时，/(1)=-L/(一 l)=a+l,因为/(一 所以/(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)原问题可化为a x+2 在 区 间 1，1 有解，则,2 尤 1_2 (2 x)min?1 一因为函数y =-x+-在 区 间-1 单调递减，2 x 1_2 _所以 mi n=|，所以。|,所以的取值范围是(1,+8).(3)假设存在对称中心(根,)，则x3+ax2 2 x+(2 m%)3+a(2，-x)-2(2 m x)=2 恒成立，得(6 z +2a)x 之 一 (12 m2+Aamx+S m3+4 a m2-4 m=2 恒成立6/7 7 +2a=0所以 12/+4。m=0 ,8 m3 4-4 a m2-4 m =2n,曰 ci 2/2a得 m=，n=-+，3 27 3(a 2/+2a)所以函数y=/(%)有 对 称 中 心3,27 3