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1、【2019年中考攻略】专题5：方 程（组）应用探讨锦元数学工作室编辑初中数学中列方程（组）解应用题是一项重要内容，也是中考中与不等式（组）的应用二 选 一（或同题）的必考内容。初中阶段主要包括一元一次、二次方程，分式方程，二元一次方程组（有些地区还有无理方程和可化为二元一次方程的高次方程组）。它们应用的基本步骤是相同的，基本步骤为：审（审题）；找（找出题中的已知量、未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）；设（设定未知数，包括直接未知数或间接未知数）；表（用所设的未知数的代数式表示其他的相关量）；列（列 方 程（组）；解（解 方 程（组）；验（检验解的有效性和实际意义的符合性）；答（回答题问）
2、。它们的应用包括（1）行程问题；（2）工程问题；（3）溶度问题；（4）增长率问题；（5）销售利润和存贷问题；（6）比例和调配（分配）问题；（7）数字问题；（8）和差倍分问题；（9）几何问题；（1 0）分段问题；（1 1）规律探究问题；（1 2）不定方程问题；（1 3）在函数问题中的应用问题。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一、行程问题解题指导：（1）基本量是：路程、速度和时间。基本关系是：路程=速度x 时间；时 间=粤；速 度=鬻。速度 时间（2）基本类型：相遇问题；相背问题：追及问题；行 船（风速）问题；环形跑道问题等。（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关
3、系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在行船（风速）问题中很多时候还用速度作相等关系。行 船（风速）问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化:顺 水（风）速度=静 水（无风）速度+水流速度（风速）；逆 水（风）速度=静 水（无风）速度一水流速度（风速）。由此可得到行船（风速）问题中一个重要等量关系：顺 水（风）速度一水流速度（风速）=逆 水（风）速度+水流速度（风速）=静 水（无风）速度。典型例题：例 1.（20 19宁夏区
4、3 分）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她去学校共用了16分钟.假设小颖上坡路的平均速度是3 千米/时，下坡路的平均速度是5 千米/时.若设小颖上坡用了x 分钟，下坡用了y 分钟，根据题意可列方程组为【】（35,3 53x+5y=12（H）x+y=1.2 3x+5y=1.2 x+y=1200A.B.60 60 C.D.-=-D、-1-=-x+10 x+40 x-1 4 x-1 0 x+14 x-4 0【答案】B.,【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。【分析】设规定的时间为x天.则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（
5、x+40）天.甲队单独一天完成这项工程的一！一，乙队单独x+10一天完成这项工程的 一，x+40甲、乙两队合作一天完成这项工程的 一，则一+_=_ ,故选B。x-1 4 x+10 x+40 x-1 4例 2.（20 19吉林省2 分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划每天生产x台机器，则可列方程为【】A 600 450 600 450 600 450 x x+50 x x-5 0 x+50 xn 600 450 x-5 0 x【答案】Co【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。【分析】因为原计划每天生产x
6、台机器，现在平均每天比原计划多生产50台，所以，现在生产600台机器所需时间是3-天，原计划生产450台机器所需时间是母天，由“现在x+50 x生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同“得 方 程 侬-=空。故x+50 x选 C。.例 3.（20 19辽宁铁岭3 分）某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工20天可完成；若甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队在单独施工45天可完成.求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设乙工程队单独完成此工程需要x天，可列方程为 .5 45【答案】+=.20 x【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。【分析】,甲、乙两工程队合作施
7、工20天可完成；，合作的工作效率为：o20若设乙工程队单独完成此工程需要x天，则可列方程25+上45=1。20 x例 4.（20 19福建厦门9 分）工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用x小时，乙车床需用（x21）小时，丙车床需用（2 x-2）小时.（1）单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车床的f ,求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间；（2）加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由.2【答案】解：（1）由题意得,x=（2x2）,解得x=4。二 x?1 =161 =15（小时）。答：乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是15小时。（
8、2）不相同。若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得,I _ 1x21 2 x-2 _ _ 1 .一 2 0 x i 0经检验，x=l不是原方程的解，.原方程无解。答：乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不相同。【考点】一元一次方程和分式方程的应用。【分析】（1）若甲车床需要X小时，丙车床需用（2X-2）小时，根据甲车床所用的时间是丙车床的备即可列出方程求解。（2）假设乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同列出方程，证明它无解即可。例 5.（20 19辽宁沈阳10 分）甲、乙两人加工同一种机器零件，甲比乙每小时多加工10个零件，甲加工150个零件所用时间与乙加工120个零件所用时间相等
9、，求甲、乙两人每小时各加工多少个机器零件？【答案】解：设乙每小时加工机器零件x个，则甲每小时加工机器零件（x+10）个，根据题意得：当-=,解得x=40。x+10 x经检验，x=40是原方程的解，x+10=40+10=50答：甲每小时加工5 0个零件，乙每小时加工4 0个零件。【考点】分式方程的应用（工程问题）。【分析】根据“甲加工150个零件所用的时间与乙加工120个零件所用时间相等“可得出相等关系，从而只需表示出他们各自的时间即可。例 6.（20 19山东临沂6分）某工厂加工某种产品.机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的
10、时间是手工加工所用时间的3倍，求手工每小时加工产品的数量.7【答案】解：设手工每小时加工产品x件，则机器每小时加工产品（2 x+9）件,根据题意可得:1 8 0 0 3 1 8 0 0_ _ _ _ =_ _ _ _ _x 7 2 x+9解方程得x=2 7,经检嗡，x=2 7 是原方程的解.答：手工每小时加工产品2 7 件.【考点】分式方程的应用.【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解.本题等量关系为:机器加工所用的时间是手工加工所用时间的3倍71 8 0 0 _ 1 8 0 0 32 x 9 x 7注意分式方程的检脸.练习题：1.（2019内蒙古赤峰3分）某中学的学生自己动手
11、整修操场，如果让初二学生单独工作，需要6小时完成；如果让初三学生单独工作，需要4小时完成.现在由初二、初三学生一起工作x小时，完成了任务.根据题意，可列方程为 .2.（2019湖北黄冈6分）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 8 0 0 件投入市场，服装厂有A、B 两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2倍，A、B 两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B 车间单独完成，结果前后共用20天完成，求A、B 两车间每天分别能加工多少件.3.（2019贵州安顺10分）某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为3 0 0 米的污水排放管道，铺 设 1 2 0 米后，为了
12、尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加2 0%,结果共用了 2 7 天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？4.（2019山东泰安10分）一项工程，甲，乙两公司合做，1 2 天可以完成，共需付施工费1 0 2 0 0 0 元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 50 0 元.（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？5.（2019广西玉林、防城港10分）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两车合运，1
13、0天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任 务 多 用1 5天.（1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天?（2）已知两车合运共需租金6 50 0 0元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1 50 0元，试问:租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由.三、溶度问题解题指导：（1）基本量是：溶 质（纯净物）、溶 剂（杂质）、溶 液（混合物）、浓 度（含量）。基本关系是：溶液=溶质+溶 剂（混合物=纯净物+杂质）；浓 度=鬻 乂1 0 0%=X 1 0 0%溶液 溶质+溶剂（纯 度（含量）=装x l 0 0%=鬻 丁 x l O O%）；混合
14、物 纯净物+杂质溶质=浓度x溶液=浓度x （溶质+溶剂）（2）在溶液问题中关键量是“溶质”：溶质不变”，混合前溶质总量等于混合后的溶质量，是很多方程应用题中的主要等量关系。典型例题：例1.（2019湖南株洲6分）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知2 7 0克该添加剂恰好生产了 A、B两种饮料共1 0 0瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？【答案】解：设A饮料生产了 x瓶，B饮料生产了 y瓶，依题意得:解
15、得（；：答：A饮料生产了 3 0瓶，B饮料生产了 7 0瓶。【考点】二元一次方程组的应用（浓度问题）。【分析】方 程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为:A两种饮料+B两种饮料=1 0 0 瓶x +y=1 0 0A两种饮料添加剂+B两种饮料添加剂=2 7 0 克2x+3 y =2 7 0。例2.（2019浙江温州12分）2 0 1 9 年 5月 2 0 日是第2 2 个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况.他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）.根据信息，解答下列问题.（1）求这份快餐中所含脂肪质量；（2）若碳水化合物占快餐总
16、质量的4 0%,求这份快餐所含蛋白质的质量；（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于8 5%,求其中所含碳水化合物质量的最大值.广：信 息?h.快娶的成分：番白质、册肪、;；矿物质、碳水化合物；“2.快要思质量为4 0 0克；（：3.腐肪所占的百分比为3%;!4.所含芟白质质量是矿物质质：j量的4倍.（【答案】解：（1）4 0 0 x 5%=2 0 克.答：这份快餐中所含脂肪质量为2 0 克；（2）设所含矿物质的质量为X 克，由题意得:x+4 x+2 0+4 0 0 x 4 0%=4 0 0,x=4 4 o.4 x =1 7 6 o答：所含矿物质的质量为1 7 6 克：（3）设
17、所含矿物质的质量为y克，则所含碳水化合物的质量为（3 8 0 -5 y）克。；.4 y+（3 8 0-5 y）4 0 0 x 8 5%,.）?4 0,.3 8 0-5 y q+X 2)2-2 x jX 2 -4 m 2 出&=1 2,B P m 9+l -4 m2(-0.5)=1 2 即 n?+5 m-6=0,解得，m=-6 或 m=l.【考点】一元二次方程的应用，一元二次方程根与系数的关系.【分析】(1)方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解.本题等量关系为：2 0 1 1 年、2 0 1 1 年 和 2 0 1 3 某市用于保障房建设资金总量=1 0.5 亿元，把相关数值代入求得合
18、适的解即可.(2)由(1)得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得关于m的一元二次方程，解之即得m 的值.例5.(2019四川广元9分)某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7 0 0 0 元的价格出售。由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5 6 7 0元的价格销售。(1)求平均每次下调的百分比；(2)房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%,再下调1 5%,这样更有吸引力。请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】解：(D 设平均每次下调的百分比为X,则有7 0 0 0(1-X)2 =5 6 7 0,(1 -X)2 =0.8 1
19、,V l-x 0,；.l-x=0.9,x =0.1=1 0%。答：平均卷次下调1 0%。(2)先下调5%,再下调1 5%,这样最后单价为7 0 0 0 元x(l-5%)x(l 1 5%)=5 6 5 2.5 元,销售经理的方案对购房者更优惠一些。【考点】一元二次方程的应用(增长率问题)。【分析】(1)设出平均每次下调的百分率为X,利用原每平方米销售价格X (1-每次下调的百分率)2=经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可。(2)求出先下调5%,再 下 调 1 5%,是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解。例 6.(20 19甘肃白银10 分)某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价
20、3 6 元，能盈利8 0%,在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为2 5 元.(1)求这种玩具的进价；(2)求平均每次降价的百分率(精确到0.1%).【答案】解：；3 6+(1+8 0%)=2 0 元，.这种玩具的进价为每个2 0 元。(2)设平均每次降价的百分率为X,则3 6 (1 -x%)2=2 5,解得衿1 6.7%.平均每次降价的百分率1 6.7%。【考点】一元二次方程的应用(增长率问题)。【分析】(1)根据计划每个售价3 6 元，能盈利8 0%,可求出进价。(2)设平均每次降价的百分率为X,根据先后两次降价，售价降为2 5 元可列方程求解。练习题：1.(20 19湖南娄底3
21、分)为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为 2 8 9 元的药品进行连续两次降价后为2 5 6 元，设平均每次降价的百分率为X,则下面所列方程正确的是【】A.2 8 9 (1 -x)2=2 5 6 B.2 5 6 (1 -x)2=2 8 9 C.2 8 9 (1 -2 x)=2 5 6 D.2 5 6(1 -2 x)=2 8 92.(20 19四川成都3 分)一件商品的原价是1 0 0 元，经过两次提价后的价格为1 2 1 元，如果每次提价的百分率都是x,根据题意，下面列出的方程正确的是【】A.1 0 0 (1+x)=1 2 1 B.1 0 0 (1-x)=1 2 1 C.
22、1 0 0 (1+x)2=1 2 1 D.1 0 0(1-x)2=1 2 13.(20 19广东佛山3 分)某药品原价是1 0 0 元，经连续两次降价后，价格变为6 4 元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 4.(20 19福建龙岩3 分)为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度.2 0 1 9年该县政府在这项建设中已投资3 亿元，预计2 0 1 9 年投资5.8 8 亿元，则该项投资的年平均增长率为5.（20 19辽宁丹东3 分）美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2 0 1 0 年初投资2亿元，2 0 1 9 年初投资3亿元.设每年投资的
23、平均增长率为x,则列出关于x的方程为 .6.（20 19辽宁阜新3 分）我市某公司前年缴税4 0 万元，今年缴税4 8.4 万元.该公司缴税的年平均增长率为 .7.（20 19山东莱芜4分）为落实“两免一补”政策，某市2 0 1 9 年投入教育经费2 5 0 0 万元，预计2 0 1 9 年要投入教育经费3 6 0 0 万元.已知2 0 1 9 年至2 0 1 9 年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则 2 0 1 9 年该市要投入的教育经费为 万元.8.（20 19四川乐山10 分）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了
24、加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2 元的单价对外批发销售.（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金2 0 0 元.试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由.9.（20 19贵州黔南10 分）2 0 1 9 年 3月 2 5 日央视 每周质量播报报道“毒胶囊”的事件后，全国各大药店的销售都受到不同程度的影响，4月初某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价格的士，原来用6 0 元买到的药品下调后可多买2盒。4月中旬，各部门加大3了对胶囊生产监管力度，因
25、此，药品价格4月底开始回升，经过两个月后，药品上调为每盒1 4.4 元。（1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？（2）问 5、6月份药品价格的月平均增长率是多少？10.（20 19广西钦州8 分）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2 0 0 9年投入6 0 0 0 万元，2 0 1 9 年投入8 6 4 0 万元.（1）求 2 0 0 9 年至2 0 1 9 年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2 0 1 9 年投入教育经费不低于9 5 0 0 万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由.11.（20 19四川自贡4分）龙都电
26、子商场出售A,B,C 三种型号的笔记本电脑，四月份A型电脑的销售额占三种型号总销售额的5 6%,五月份B,C 两种型号的电脑销售额比四月份减少了 m%,A 型电脑销售额比四月份增加了 23%,已知商场五月份该三种型号电脑的总销售额比四月份增加了 1 2%,则 m=.五、销售利润和存贷问题解题指导：（1）销售利润基本量是：成 本（进价）、销 售 价（收入）、利润、利润率。存贷基本量是：本金、利息、利息税，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。基本关系：利润=销 售 价（收入）一成本（进价），成 本（进价）=销 售 价（收入）一利润；利润率=利吧小、，利润=成 本（进价）x利润率。成 本（进价）利
27、息=本金X利率X期数；利息税=利息X税率；本息和（本利）=本金+利息一利息税。（2）基本类型：已知进价、售价、求利润率；已知进价、标价及利润率，求标价或原价的折数。已知利润率、标价求进价。（3）在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价x折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。典型例题：例 1.（20 19青海省3 分）通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低a 元后，再次下调了 2 0%,现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是【】A.a+b 元 B.元 C.（a+5 b）元 D.（a -5 b）元【答案】A。【考点】元一次方程的应用。【分析】设原收费标准每分
28、钟是x元，则按原标准每分钟降低a元后价格为xa元，再次下调20%后的价格为（1 -20%）（x-a）元，根据收费标准是每分钟b元得方程：（1 -20%）（Xa）=b 解得 x=a+9b。故选 A。4例 2.（20 19黑龙江牡丹江3 分）菜种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利1 0%,则这种商品每件的进价为【】，A.240 元 B.250 元 C.280 元 D.300 元【答案】Ao【考点】一元一次方程的应用。【分析】设这种商品每件的进价为x元，根据题意，得33080%=（1 +10%）x,解得x=240（元）。故选A。例 3.（20 19辽宁锦州3 分）某品牌自行车进价
29、为每辆800元，标价为每辆1200元.店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%,则最多可打 折.【答案】七。【考点】一元一次方程的应用（利润问题）。【分析】设最多可打x折，根据题意和销价一进价=利润=进价x利润率，得1200 x-800=800.5%,解得 x=0.7。.要保证利润率不低于5%,最多可打七折。例 4.（20 19山西省10 分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（
30、1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】解：（1）设每千克核桃应降价x元。根据题意，得（6 0-X-4 0）（100+-X20）=2240,2化简，得 x2-10 x+24=0,解得 xi=4,X2=6O答：每千克核桃应降价4元或6元。（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元。.要尽可能让利于顾客，,每千克核桃应降价6元。5 4此时，售价为：6 0-6=5 4 （元），x l 0 0%=9 0%6 0答：该店应按原售价的九折出售。【考点】一元二次方程的应用。【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方
31、程求解。本题等量关系为：每千克核桃的利润x每天的销售量=每天获利2 2 4 0元V（6 0 -x -4 0）（I 0 0+-X2 0）=2 2 4 0 2求该店应按原售价的几折出售，只要求出新的售价，与原售价相比即可。例5.（2019江苏南京8分）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为2 7万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0 1万元/部。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在1 0部以内，含1 0部，每部返利0.5万元，销售量在1 0部以上，每部返 利1万元。若该公司当月卖出3部汽车，则
32、每部汽车的进价为 万元；如果汽车的销售价位2 8万元/部,该公司计划当月盈利1 2万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）【答案】解：（1）2 6.8.（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：2 8-2 7-0.1 （x-1）=（Q l x+0.9）（万元）,当 gx 1 0，根据题意,得 x,（0.1 x+0.9）+0.5 x=1 2 整理，得 x?+1 4 x 1 2 0=0,解这个方程，得 Xi=-2 0 （不合题意，舍去），Xj=6.当 x 1 0 时，根据题意，得.（O,l x+O.9）+x=1 2,整理，得/+1 9 x-1 2 0=0,解这个方程，
33、得 的=-2 4 （不合题意，舍去），Xj=5.Y 5 1 0 时，分别讨论得出即可.例6.（2019江苏无锡8分）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5 年，5 年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择:方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%.方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2 年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%,但要缴纳租金的10%作为管理费用.（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5 年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注:投资收益率=
34、投资收益实际投资额100%)（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5 年后两人获得的收益将相差5 万 元.问：甲、乙两人各投资了多少万元?【答案】解：（1）设商铺标价为x 万元，则按方案一购买,则可获投资收益（120%-1）x+x10%x5=0.7x,0 7x投资收益率为-x 100%=70%ox按方案二购买，则可获投资收益（120%-0.85）x+x10%x（1 -10%）x3=0.62x,。以u“才位0.62X投资收益率为-xl00%=72.9%,0.85x投资者选择方案二所获得的投资收益率更高。（2）由题意得 0.7x-0.6 2 x=5,解得 x=62.5
35、.甲投资了 62.5万元，乙投资了 62.5x80%=53.125万元。【考点】列代数式，一元一次方程的应用。【分析】（1）利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较。（2）利 用（1）的表示，根据二者的差是5万元，即可列方程求解。例 7.（20 19湖南娄底8 分）体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表,全部销售完后共获利润260元.篮球排球进 价（元/个）8050售 价（元/个）9560（1）购进篮球和排球各多少个？（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？【答案】解：（1）设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：x+y=2O x=12,、,.
36、,解得：o（95-80）x+（60-50）y=260 y=8答：购进篮球12个，购进排球8个。（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，由题意得：6x（60-50）=（95-80）a,解得：a=4。答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等。【考点】二元一次方程组的应用。【分析】（1）设购进篮球x个，购进排球y个，根据等量关系：篮球和排球共20个全部销售完后共获利润260元可的方程组，解方程组即可。（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，根据题意可得等量关系：每个排球的利润、6=每个篮球的利润x a,列出方程，解可得答案。练习题：1.（20 19黑龙江龙东地区3 分）
37、某商品按进价提高40%后标价，再打8折销售，售价为1120元，则这种电器的进价为 元。2.（2019山东枣庄3 分）“五一”节期间，某电器按成本价提高3 0%后标价，再打8 折（标价的8 0%）销售，售价为2 0 80 元.设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确 的 是【】A.x（l +30%）x80%=2080 B.x-30%-80%=2080C.2080 x30%x80%=x D.x-30%=2080 x80%3.（2019内蒙古包头10分）某商场用3 6 0 0 元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6 0 0 0元.其中甲种商品每件进价12 0 元，售 价 13 8元；乙种商
38、品每件进价10 0 元，售 价 12 0 元。（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品。购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售。若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于816 0 元，乙种商品最低售价为每件多少元？4.（2019福建三明10分）某商店销售A,B 两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10 元，销售一件B 种商品可获利润15元.（1）该商店销售A,B 两种商品共10 0 件，获利润13 50 元，则 A,B 两种商品各销售多少件？（5 分）（2）根据市场需求，该商店准备
39、购进A,B 两种商品共2 0 0 件，其中B 种商品的件数不多于A种商品件数的3倍.为了获得最大利润，应购进A,B 两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？（5 分）5.（2019广东深圳3 分）一件服装标价200元，若以六折销售，仍可获利20%,则这件服装进价是【】A.I 0 0 元 B.10 5%C.10 8 元 D.118 元6.（2019山西省2 分）“五一”节期间，某电器按成本价提高3 0%后标价，再打8 折（标价的80%）销售，售价为2 0 80 元.设该电器的成本价为X元，根据题意，下面所列方程正确的是）A.1+30%）x80%=2080 B.x-30%-80%=2080C.2
40、080 x30%x80%=x D.x-30%=2080 x80%7.（2019黑龙江大庆3 分）随着电子技术的发展，手机价格不断降低，某品牌手机按原价m元后，又降低 2 0%,此时售价为n元，则该手机原价为 元.8.（20 19黑龙江牡丹江3 分）某种商品每件的进价为180 元，按标价的九折销售时，利润率为2 0%,这种商品每件标价是 元.六、比例和调配（分配）问题解题指导：比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。调配与比例问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。调配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系
41、。在调配问题中主要考虑“总量不变”。典型例题：例 1.（20 19山东东营9 分）如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这家工厂从 A地购买一批每吨1 0 0 0 元的原料运回工厂，制成每吨8 0 0 0 元的产品运到B地.已知公路运价为L 5 元/（吨 千米），铁路运价为1.2 元/（吨千米），且这两次运输共支出公路运输费 1 5 0 0 0 元,铁路运输费9 7 2 0 0 元.求：（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？铁路120km公路10km长青化工厂公路20km 铁路110km【答案】解：（1）设工厂
42、从A地购买了 x 吨原料，制成运往B 地的产品y 吨,L5（2y+3=I5。，整理得:依题意得：41.2(1 l()y+120 x)=972002y+x=1000lly+12x=8100(2)X1 2 得：1 3 y=3 9 0 0,解得：y=3 0 0。将 y=3 0 0 代入得：x=4 0 0,，方程组的解为:x=400y=300答：工厂从A地购买了 4 0 0 吨原料，制成运往B地的产品3 0 0 吨。（2）依题意得：3 0 0 x8 0 0 0-4 0 0 x1 0 0 0-1 5 0 0 0-9 7 2 0 0=1 8 8 7 8 0 0 （元）,.这批产品的销售款比原料费与运输费的
43、和多1 8 8 7 8 0 0 元。【考点】二元一次方程组的应用。【分析】（1）设工厂从A 地购买了 x 吨原料，制成运往B 地的产品y 吨，利用两个等量关系：A 地到长青化工厂的公路里程xl.5x+B地到长青化工厂的公路里程xl.5y=这两次运输共支出公路运输费15（）00 元；A 地到长青化工厂的铁路里程x|.2x+B地到长青化工厂的铁路里程、1.2丫=这两次运输共支出铁路运输费97200元，列出关于x 与 y 的二元一次方程组，求出方程组的解集得到x 与 y 的值，即可得到该工厂从A 地购买原料的吨数以及制成运往B 地的产品的吨数。（2）由第一问求出的原料吨数x每 吨 1000元求出原料
44、费，再由这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元，两运费相加求出运输费之和，由制成运往B地的产品的吨数x每吨8000元求出销售款，最后由这批产品的销售款-原料费-运输费的和，即可求出所求的结果。例2.（2019内蒙古呼和浩特8分）如图，某化工厂与A,B 两地有公路和铁路相连，这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B 地.已知公路运价为1.5元/（吨千米），铁路运价为1.2元/（吨千米），这两次运输共支出公路运费 15 000元，铁路运费97200元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？（1）根据题意，甲、乙两
45、名同学分别列出尚不完整的方程组如下:甲：1.5(20 x+10y)=01.2(110 x+150y)=乙：中。金+1。嬴=1.2 110.一+150-卜 口(8000 1000根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x,y 表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组.甲：x 表示 ,y 表示 乙：x 表示 ，y 表示（2）甲同学根据他所列方程组解得x=300,请你帮他解出y 的值，并解决该实际问题.扶路120km【答案】解：（1）产品的重量，原料的重量。产品销售额：原料费。补全甲、乙两名同学所列方程组如下：1.5（2 0 x+1 0 y）=1 5 0 0 0甲 2（
46、100-x）解得（x40.不等式组的解集是40X*3。20+x63（x43是整数，取 41、42、43。.方案共有3种,分别为：方案一：A地运往C县的赈灾物资数量为41吨，则B地运往C县的物资是H 9吨,A地运往D县的物资是59吨，B地运往D县的物资是61吨；方案二：A地运往C县的赈灾物资数量为42吨，则B地运往C县的物资是118吨，A地运往D县的物资是58吨，B地运往D县的物资是62吨；方案三：A地运往C县的赈灾物资数量为43吨，则B地运往C县的物资是117吨，A地运往D县的物资是57吨，B地运往D县的物资是63吨。【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用（调配问题）。【分析】（1）设
47、运往C县的物资是a吨，D县的物资是b吨，然后根据运往两地的物资总量列出一个方程，再根据运往C、D两县的数量关系列出一个方程，然后联立组成方程组求解即可。（2）根据A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，表示出B地运往C县的物资是（160-x）吨，A地运往D县的物资是（100-x）吨，B地运往D县的物资是120（100-x）=（20+x）吨，然后根据“B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县赈灾物资数量的2倍”列出一个不等式，根据“B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨”列出一个不等式，组成不等式组并求解，再根据x为整数即可得解。例4.（2019四川眉山9分）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将
48、A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理.己知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍 少10立方米.（1）求运往两地的数量各是多少立方米？（2）若 A 地运往D 地 a 立 方 米（a 为整数），B 地运往D 地 30立方米，C 地运往D 地的数量小于A 地运往D 地的2 倍.其余全部运往E 地，且 C 地运往E 地不超过12立方米，则A、C 两地运往D、E 两地哪几种方案？（3）已知从A、B、C 三地把垃圾运往D、E 两地处理所需费用如下表：A 地 B 地 C 地运往D 地（元/立方米）222020运往E 地（元/立方米）202221在（2）的
49、条件下，请说明哪种方案的总费用最少？【答案】解：（1）设运往E 地 x 立方米，由题意得，x+2x-10=140,解得：x=50,.2x-10=90o答：共运往D 地 9 0 立方米，运往E 地 5 0 立方米。（2）由题意可得，r 1 ,解得：20a2250-9 0-（a+30）12 a 是整数，a=21或 22。有如卜两种方案：方案一：A 地运往D 地 21立方米，运往E 地 29立方米，C 地运往D 地 39立方米，运往E 地 11立方米；方案二：A 地运往D 地 22立方米，运往E 地 28立方米，C 地运往D 地 3 8 立方米，运 往 E 地 12立方米。（3）方案一共需费用:22
50、x21 +20 x29+39x20+11x21=2053（元），方案二共需费用：22x22+28x20+38x20+12x21=2056（元）。所以，第一种方案的总费用最少。【考点】一元一次不等式组和一元一次方程的应用。【分析】（1）设运往E 地 x 立方米，由题意可列出关于x 的方程，求出x 的值即可。（2）由题意列出关于a 的一元一次不等式组，求出a 的取值范围，再根据。是整数可得出a 的值，进而可求出答案。（3）根 据（1）中的两种方案求出其费用即可。练习题:1.（20 19广西北海8分）某班有学生5 5 人，其中男生与女生的人数之比为6：5。（1）求出该班男生与女生的人数；（2）学校要