《【三年高考+一年模拟】圆锥曲线综合题-备战2023年天津高考数学真题模拟题分类汇编（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【三年高考+一年模拟】圆锥曲线综合题-备战2023年天津高考数学真题模拟题分类汇编（解析版）.pdf（47页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题1 9圆锥曲线综合题1.（20 22天津）椭圆 人 0）的右焦点为尸、右顶点为A,上顶点为8,且 满 足 前（1）求椭圆的离心率e；（2）直线/与椭圆有唯一公共点M,与 y 轴相交于N（N异于M）.记。为坐标原点，若|。例|=|。及，且AQMN的面积为&，求椭圆的标准方程.【答案】（l）e =*；鸟+*=13 6 2离心率为e =、归 王=迈.a a2 3（2）解：由（1）可知椭圆的方程为f+3y?=/,易知直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=H+，”，联立X2+3/:不 得（1 +3/）V +6 切a+（3加2 4）=0,由 A=36 公苏-4 0 +3公乂3泞-）=on 3，2=a2
2、（l +3公），%=+m=3kmm1 +3小由|OM|=|ON|可 得 加=,9 4 2+1）（3 公+1）2由%WN =g 可得;m=5 乙 1十3K1r2 2联立可得公=：,布=4,/=6,故椭圆的标准方程 为 土+上=1.3 6 22.（20 21 天津）已知椭圆+/=1（。匕 0）的右焦点为尸，上顶点为8,离 心 率 为 竽，且忸耳=石.（1）求椭圆的方程;（2）直线/与椭圆有唯一的公共点M,与轴的正半轴交于点N,过 N与 B F 垂直的直线交x 轴于点p.若M P/B F,求直线/的方程.丫 2L【答案】（1）y +/=l；（2）x-y+#=0【详解】（1）易知点尸（。,0）、8（0
3、,b）,故 忸 尸|=百 M=石,因为椭圆的离心率为e =2 叵，故c =2,b=sj a2-cl=1-a 5因此，椭圆的方程为1+寸=1；（2）设点（分,几）为椭圆、+V =l 上一点，先证明直线MN的方程 为 等+为y=l,g+%y =i联立v 2，消去丫并整理得/一 2%工+苍=。，A=4XQ 4XQ=0 ,X 2 1+y=l15 因此，椭圆工+V=1在点（4,几）处的切线方程 为 笄+y y=L5 3I I I在直线MN的方程中，令x=0,可得），=一,由题意可知%0,即点N 0,一为I y j直线B F 的斜率为所=-9 =一:，所以，直线/W 的方程为 =2x+-!-,c 2%I
4、（I在直线P N的方程中，令，=0,可得户 一 丁，即点P-丁,0 ,2%I 2yo ）（_ 2 yo _ _因为 M P/B F,贝 即、.，I -2 4 为 +1-5,整理可得（X o+5%）2=O,X。十%一2yo所以，%=-5%,因为豆+尤=6/=1,.%（）,故%=如，=一 巫，5 6 6所以，直线/的方程为一池X +逅）,=1,E Px-y+V6=0.6 62 23.（20 20 天津）己知椭圆+与=1（。6 0）的一个顶点为A（0,-3）,右焦点为F ,且I OA|=|O 尸|,其中。a b为原点.（I）求椭圆的方程；（I I）已知点C 满足3面=南，点B在椭圆上（B 异于椭圆的
5、顶点），直线A 8 与以C 为圆心的圆相切于点P,且尸为线段A 8 的中点.求直线A 8 的方程.【答案】（I）V-2+V2 =1；（I I）y=1：x-3,或 y=x-31 8 9 2【详解】（I）.椭圆/+/=1（“匕 0）的一个顶点为A（0,-3）,，Z?=3,由|OA|=|OF|,得 c =6 =3,又由 2=从+。2,得/=32+32=1 8,所以，椭圆的方程为二J +匕v2=1;1 8 9（I I ）直线A B与以C 为圆心的圆相切于点尸，所以C P L A B,根据题意可知，直线A 8 和直线C P 的斜率均存在，设直线A B的斜率为3 则直线A B的方程为y+3=f c r,即
6、y=H-3,y=kx-3 +._,消去，可得（222+1）/-1 2 履=0,解得工=0 或,1 8 9 -、如 12k,，。如,12k,6k2-3将片药代入 近一3 得 片.百 一 3 二 罚,所 以,点 8 的坐标为 标 黔）因为P 为线段A B的中点，点A 的坐标为（0,-3）,所以点尸的坐标为（舟 岛）,由3反=声，得点C 的坐标为（1,0）,-4-0所以，直线C P 的斜率为心.=福 声 一O/C lk2+32A2-6 k+l32 r-6 Z +1又因为C P LA 8,所以h-1,整理得2公 3%+1=0,解得衣=g 或&=1.所以，直线A 3 的方程为y=*3或 y=x-3.4.
7、（20 22天津和平一模）己知椭圆C：）在椭圆C 上，且|尸 尸 2|=逑.2 27+F1 （a/?0）的左、右焦点分别为尸八乃，点 尸（-I,（1）求椭圆C的方程;（2）过点F 2 的直线/与椭圆C交于A,B两点，M 为线段48 的中点，若椭圆C上存在点N,满 足 丽=3O M（O为坐标原点），求直线/的方程.2【答案】（1）5 +2 =1 .（2）x+V 7 y-1=0 或 工-疗y T=0【详解】解：（1）因为点PI,白）在椭圆c 上，且|名|=.所以4+工=1,a 2b一c）:吟-o y昔,解得c=l,又因为，2=/由组成方程组，解得a=&,h=,所以椭圆C的方程为：+/-1.2（2）
8、由（1）可知一（1,0）,设直线/的方程为x =Q+l,AQq,%),B,y2),联立直线/与椭圆C的方程得倘+2）丁 +2 6-1=0,2k 4得%+%=一 百 豆，则3+刍=正 石，所以线段A B中点”（12 ，-&k），K 十乙 K 十乙_ _ _ _ _ 2 k所 以 的=3 丽=3（必p所以N点的坐标为（广 三，-冷），公+2 k+2将 N点坐标代入椭圆的方程5+2）-3k 22 W+2）解得及2 =7,4=,所以直线/的方程为：工+5/7丁-1=0 或1-/7丁-1=0.5.(2 02 2 天津河西一模)已知I 椭圆C+/=l(a 6 0)的左、右焦点分别为耳，尸?，点尸在椭-I圆
9、 C上，满足尸 孑鸟=.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A、B,S 为椭圆上位于x 轴上方一点，直线AS,8 5 分别交直线/:x =：于M,N两 点,若线段B S 的中点恰好在以MN为直径的圆上，求直线4 s 的方程.2【答案】土+V=1；(2)x-2 石 y +2 =04【详解】(1)设片=(-，,0)3=(c,0)且。0,贝 ij 西.%=(_ 0 _ 6,_；)卜一6,一；)=；,可得,2=3.因为2 a=阀|+|尸闾=4,则。=2,又/=从+,2,可得6=1,2所以椭圆。的标准方程为工+V=i.4x =tny-2(2)依题意5(2,0),设直线A S 为尤=
10、冲-2(根 0),联立椭圆C有r,+y=14消去X,得：(M+4)y 2 _ 4 m)，=0,而 S 为椭圆上位于x 轴上方，所以为=*7，7m+4代 入 行 冲一2,得 2 加2 _ 8、M+44mnr+4所以线段8 s 的中点P2m2 2m疗+4 疗+4即Sx=my-2联立 7x =37 13_3 3 m可得M因为P恰好在以MN为直径的圆上，则P M _ LV,即 kpM,kp N=kPM-kBS=1,4tn 2m 1 3所以kpM=咤1 x裙嫣T=_ 1,整理得病一2 0m =0,又m 0,解得机=2 宕,+4 加 2 +4 3因此直线A 5 的方程为x =2&y-2,即x-2&y +2
11、 =0.2 26.(2 02 2 天津经济技术开发区第一中学一模)已知点A,B分别是椭圆C:=+与=1 (。6 0)的左顶点a lr和上顶点，尸为其右焦点，BA.BF=,且该椭圆的离心率为3；(I)求桶圆C的标准方程；(2)设点P为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M 为直线A P 与y轴的交点，线段A P 的中垂线父 右2与X 轴交于点N,若直线。尸斜率为左”，直线MN的斜率为用制，且k-竺(。为坐标原点)，求a直线4 P 的方程.【答案】(1)C:+=1 (2)3 x 2 y +6=04 3【详解】解：(1)依题意知：A(-a,O),8(0,)，F(c,O),B A =(-a,-h),
12、B F=(c,-b),a=2b=yfi_ _ _,c 1贝 ij 丽.砺=+=,又 e =；,a 22 2 椭圆C的标准方程为C:工+乙=1.4 3(2)由题意4(-2,0),设直线”的斜率为Z,直线”方程为y =%(3+2)所以M(0,2 A),设 P(6 y j,中点为(,%)，N(/,0)y=k(x+2)由y2 消去 y 得(3 +4 汇)x 2 +1 6A2x +1 64 2 -1 2 =01 4 3.二(2),X p1 6k 2-1 23 +4 公J 6-8k2 12k(3 +4 8 3 +4 F.AP 中垂线方程为:6k i f -8k2)y-=x-3+4k2 k 3+4k2)-2
13、k2令。得“帝F:.N-2k2、3 +4 公,0力厂 6kxP 3 4 抬 2k2k23+4 公3 +4 公k“Op “MN色 当：=_ 叫=T 2（3-4%2j I k J ao解得公=!4：.k=-23 直线A P的方程为y=|（x+2）,即 3x2y+6=0.7.（2022天津南开一模）已知椭圆C:+/=l（”6 0）的 离 心 率 为 K，是椭圆上一点，且 耳 耳 的 周 长 是 6.过点M（4,0）的直线/与椭圆C 交于点A,又线段AB的中点横坐标为1.求椭圆C 的标准方程；心是椭圆的两个焦点，PB,点 8 在 A,M 之间，求 丽 的 值【答案】工+.=1;（2）9?一4 3 7C
14、 1【详解】（1）由离心率上=,可得a=2c,a 2乂因为尸百鸟的周长是6,所以2a+2c=6c=6,o 2所以a=2,c=l,故层=/一2=3,所以椭圆的标准方程 是 土+匕=1.4 3设点A（5,y），点B（乙,力）.若直线A B Lx轴，则直线/不与椭圆C 相交，不合题意.当A B所在直线/的斜率k存在时，设直线/的方程为y=%（犬-4）.由y=k（x-4）3x2+4y2=12消去y 得（3+4公卜2-32公*+64公-12=0.由的判另lj式 =32%4 4（4公+3）（64公一12）=144（1 -4 6）0,解得yX 1 +x232k2,x +x2 16k之一 9 由二=彳 4&2
15、+3 2 必 2+3。，可得后2=（.将 代 入 方 程 ，得7x?-8x-8=0,84-6 夜74+6近7贝 LA M 4-x,9+472|MB|-4-X2-T 8.(2022天津天津二模)己知椭圆C：+*l(a 6 0)的左、右焦点分别为、外,尸|)是 椭圆C上一点，且与x 轴垂直.求椭圆C 的标准方程;(2)设椭圆C 的右顶点为A,。为坐标原点，过 心作斜率大于0 直线/交椭圆C于 M、N 两点，直线/与坐标轴不重合，若QVW与AOMN的面积比为2:3,求直线/的方程.2 2【答案】二+匕=1:5x-2逐 y-5 =()4 3【详解】(1)由题意得6(1,0),E(T 0),c=l,则
16、2a=|PF；|+|帆|=J(l+l)2+g-0)2+|=4,即 a=2,b=j a2 c1=V3 2 2故 E 的方程为三+E =1:4 3设直线/的方程为x=)+l(m 0),(&,%)，不妨设M 在第一象限.与椭圆C 方程联立,消去x,得(3”?2+4)/+6 m)，-9 =0,y+%=-6n lW+4y%=一93m2+4：=；|A|-M,S&OM N=；|OF|(y-%),O AM 与 Q MN 的面积比为2:3,y.1 :1 =2,整理得丫 2=-2%，y-%._ 6/n 7 _ 9 ,一)2 _Z _ 1 7，-2 y?_Z _ i 7 3w+4 3/n+4即2 1、高解得 4,7
17、0,26m=-5直线/的方程为*=乎)，+1,即 5x-2 岛-5 =0.9.(2 0 2 2 天津南开二 模)已知椭圆C：+，=1(匕 0),其 离心率为孝，若月，右焦点，x 轴上方一点P 在椭圆C上，且满足|西+两|=2 6.(1)求C的方程；(2)过点尸的直线/交C于另一点。，点M 与点。关于x 轴对称，直线PM交x 轴于点N,是AQMN的面积的2倍，求直线/的方程.【答案】,+.=1;y =x+G，y=+-x +/36 3 2 6【详解】(1)解：因为所 以 两 两=0,且|P 制Q|P 图2=两周2又|党+租|=26,所以两=1 2，即 所 J%、1 2,即|可 +|%=忻 八=4
18、2 =1 2,所以c =6，又离心率e =,所以“=#，c2=a2 b1)所以b =石，a 2所以椭圆方程为5+?=l;6 3(2)解：由(1)可得P点的坐标为(0,6),依题意直线/的斜率存在，设直线/的方程为丫 =履+尸 2 分别为C的左、若V P Q N 的面积y=k x+y/i厂由y2_消去y整理得（2 标+1）+4 限 r =o,解得x =0 或x =T+T-所以。点坐标为-4 瓜石-2&2、2k2+2k2+从而M点坐标为6 k 2 限 2-61不！2 k 2+1所以直线PM的方程为y =(x+6.则N 点的坐标为卜26匕0),因为VPQN 的面积是2 MN的面积的2倍,所以 S P
19、QM =S：QMN 或 SvPQM=3SVQMN，当SVPQM=Sv Q M N时，即-4 y=/x 卜2 6/卜 解得=,所以直线/的方程为y =X X+6 ；当SVPQM=3SVQMV时，即=T x 卜2 /k），解得左=,所以直线/的方程为y =G ；所以满足条件的直线/的方程为y =如 x +6，y =土亚x+G.2 62 21 0.（2 0 2 2.天津市蓟州区第一中学一模）设椭圆E东+方=1（0）过点M（2,码，N（扁）两点，O为坐标原点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且方，丽？若存在，写出该圆的方程，并求
20、|A 目的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】+片=1;存在，圆的方程为 2 +2=:，|4 8 归 半,268 4 3 32 2【详解】依 题 意 椭 圆 E:5+方=1（0）过点皿 2,夜），N（#,l）两点,231屏+4-2a67以所=1,解得/=8,从=4,2 2所以椭圆上的方程 为 乙+二=1.8 42 2（2）椭圆E 的方程 为 二+=1,则 =2加力=2,8 4假设存在符合题意的圆，且圆的半径为，则0 r 2,圆的方程为x?+y 2=户当切点为（厂时，直线AB的方程为x =，由 于 况，而，而|）|=|而所以三角形O A B 是等腰直角三角形，不妨设A（O）,代入+片=1 得
21、厂+厂=1，可得产=:,=娅，恒 同=友 乂 2=也.8 4 8 4 3 3 1 1 3 3当切点为（-,0）,（0,厂）,（0,-r）时，同理可求得户=1,=区 5,河|=亚x 2=生生.-S 3 3 3Q故猜想所求圆的方程为川+9=（当AB的斜率存在时，设直线A 8:y =k x +机，贝|J _L=当 即 3 机,8 尸 8 =0.J 1 +二 3由 0 ,x,+x =-=-31 1 +2 后 2 1-1 +2二OA -O B =x1x2-y1 y2=(1 +公)玉/+布3(+x2)+t r r2疗-8 4公济=(1+2+m23/n2-8)t2-81+2/=0,1 +2/1+2公故。4
22、_ L O B.+3 2此时河=而/*+2/令 f =l +2/1,则 AM 4,1+2r46.和+凹（匹）22 9+一，89-11-/t为因3&448-当猜测过程可得当AB的斜率不存在时也满足。4 _ L O 3且|A 8|=半，综上所述，|4 5|的取值范围是半，2月.1 1.（20 22天津.一模）已知椭圆C的两个顶点分别为A（-2,0）,3（2,0）,焦点在x轴上，离心率为暗.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y =Z（x-l）仕/0）与x轴交于点尸，与椭圆C交于M,N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于。，求夕才 的取值范围.【答案】（1）9 +9=1；（4,4月a=2【详解】（1）
23、由 题 意 知=g ，可得。=1 1 =2,故椭圆C的方程为+y 2=i.a 2 4a2=b2+c2y =f c（x-l）（2）由二，可得（4产+1卜2-8左2犬+4公4 =0,设A/a，y）,N（X 2，%），则T+8 k24 f c2-*444 k 2+12 2因此，椭圆。的标准方程为：三+二=1.4 3(2)解：由题意可知，直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为=+，且相20,y=k x+m联立卜2 y2 ,消去y并整理，得(3 +4 公卜2+8 h n x +4 病-1 2=0,-1=14 3-%弘+%=(与+-2)=*，线段MN的中点为(诉4 6 2 _ k、？访上 线段MN的垂
24、宜平分线方程为(上0 必2+)y-占=-L(x _ ),令y =0,得x =T ，所以。-4 r +1 k 4 k 2+1 4 r +1弘2又如 ，则|PQI=Ek2+4k2+i，又2寸止4 正+1 +1)(_(_ _ _ _ _ _ _ _所 以 网 _ _ _ _ _4/+1 _ _ _ _ _=4、*+1 =4 k ,./c 0,.-.l 3-0),其 离 心 率 为 右 焦 点 为 尸，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为2 G.(1)求椭圆C的标准方程:(2)直线/与椭圆有唯一的公共点M (M 在第一象限，此直线/与 轴的正半轴交于点N,直线N F与直线3.0 M 交于点2且打。=亍
25、5的口，求直线/的斜率.2 2 1【答案】(吟+,1；-5【详解】(1)解：由题意可得c 1e=a 2-2 Z?-2 c =2 5/3 ,2a2=c2+b2a=2解得，匕=#,C =1A=M k2m2-4（4）t2+3）（4w2-12）=0,可得.=3+4公,由韦达定理可得不+8kmM+%=%（%+%）+2%=4 r+32m2-S k28 A，MM-m4m2-124r+34%3、因为点P在 第 一 象限，则4 k 八-0m-0m，贝I1k03心。直 线 的 方 程 为 尸 一获龙,m,则点m m在直线/的方程中，令x=0可得V=机，即点N（0,/n）,易知点F（l,0）,m-QkN F=-Z
26、T=U 1则直线N F 的方程为y=T（XT）,联立3y=-x*4ky=-m x-）可得4 kmx 4”,即点p3my 4km-34 km3z4 km 34lan-3因为s 沁即 沁即-焉弯，可得%将初=-代入nr=4二+3可得（4公一 1）（公+1）=0,则公=；,.火 b 0）的离心率e=3,a+h=3.（1）求椭圆C的方程;（2）如图，A,B,。是椭 圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线。P交x轴于点N,直线A。交B P于点”，设M N的 斜 率 为 也8尸的斜率为小 证明：2,-为定值.2【答案】土+丁=1；(2)见解析4【详解】(1)由椭圆的离心率e=、X=3,则。=，a
27、 N 2又a+b=3，解得：。=2,b=l,则椭圆的标准方程为：+/=1;4/(2)证明：因为5(2,0),P不为椭圆顶点，则可设直线社的方程为 =-2)”b 0),O为坐标原点,a bA为椭团的上顶点,B(VI,0)为其右焦点，。是线段A 3的中点，且O_LAB.（1）求椭圆C的方程;（2）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C于P,。两点，分别作P E L x轴，轴，垂足分别为E,F,连接。E,P尸并延长交椭圆C于点M,N两点.（i ）判断公 尸。闻 的形状；（i i）求四边形a W Q N面积的最大值.【答案】（1）+-=1；（2）（i ）A P Q M为直角三角形；（i i）日4 2 9
28、【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为c.由题意可得 8,A S，。为A 3的中点，b=c,c=5/2 b2=c2=2 9 *a2=b2+c2=4 y2 2.椭圆的方程为三+E=i.4 2（2）（1）设直线P Q的方程为丫=船仅 0）,且点尸在第一象限，联立:j V =消去y得（2公+1卜2 =4 ,显然A。,又,:PE_Lx 轴,直线EQ的方程为y =x-匚工Z V Z k+1k n e 2X-V 2 F+T联立ky=-x-2k2消去y得|5k2+i尸2k22k2 i x+-V 2 F 7 T 2/+1-4 =0,A=x2+2 y 2 =4,4x管+x注-4 0,（2 F +1 ）.3M=-6k
29、2-42.3二 一 百 而3k2+2XM =,2k3 r+2加=2径+112d 2k2 +1J 2k2+1，.k,X L%2k-6k=1,P M xM-xp 6k2-2 k2 I*,k皈kpQ=k-即A P Q M 为直角三角形.(i i )根据图形的对称性可知，四 边 形 面 积 是 A P Q M 面枳的2 倍,由(i )知A P 0 M 为直角三角形，且 P Q L P M,*S&P Q M =PQPM.=lk+PM|=又|PQ|=VP”XM+1 xp-xM I2k2k2+l-124（公+1*（2公+1）（公+1%、=8x+1 kU（2r+1）仰+2）=Q X k+k=8x-2/+5/+
30、2k+1k、22k+-I +1令 k +；=t,:k 0,：.t 2,k.S QM =8 U,而 y =2 在 2,+o o）上单调递增，tr所以=09 所 以sA W 6 0）的离心率为今（1）求椭圆C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线。：丁=2 0;（：5 0）的焦点下与点（-。,2）关于丫轴上某点对称，且抛物线8。与椭圆C 在第四象限交于点Q,过点。作抛物线。的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.【答案】+/=1;（2）切线方程一亭一 孝，面积为半【详解】两平行直线间的距离d=V L，=2,离心率 e =Y,故c =l,b=,a 2椭圆c的标准方程为+/=1
31、；2 -（2）由题意，抛物线。焦点为F（；o）,故其方程为y 2=；.0 2联立方程组）Xy =2/，解得了=1或x =2 （舍去），一+y2=12设抛物线V=在Q Q,-多点处的切线为y =心-1）-孝,2 Xy7=2联立方程组，y=k(x-)整理 得 涉-一等一=0,由 =(),解之得4=-,4二所求的切线方程为 尸-即是 x +2&y +l =0.令x =0,得丫=邛；令y =0,得 x =-l.故所求三角形的面积为 5=*正、1 =也.2 4 82 216.(2 0 2 2 天津和平,二模)己 知 点 M是椭圆C：号+=l(a b 0)上一点,K分别为椭圆C 的上、下焦点，恒 闾=4,
32、当/用 收=90。，耳M8 的面积为5.(1)求椭圆C 的方程:(2)设过点工的直线/和椭圆C 交于两点4,B,是否存在直线/,使得AOAF?与Q B耳(。是坐标原点)的面积比值为5：7.若存在，求出直线/的方程：若不存在，说明理由.【答案】(1)片+匕=1 ；(2)存在，y =巫x-29 5 15【详解】(1)由忻闾=4=2 c n c =2,由火,”，叫 阿 图=5=|吗|配|=10,/再g=9 0。,故|“娟2+四用2=16,?.(MFt+MF2)2=|叫 +园 段 2 +29 用.网 用=36,胸+|叫=6=2 z =a =3,*-h2=a2-c2=5 即椭圆的标准方程为上+工=1 .
33、9 5(2)假设满足条件的直线/存在，当直线/的斜率不存在时，不合题意,不妨设直线/：y=k x-2,A(X ，x),8(毛,%),显然不赴 6 0)长轴是短轴的五倍,a b点(2,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线/与圆。：/+2=2 相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P,Q两点.求证：以P Q为直径的圆经过原点O；若 O P Q的面积为华,求直线I的方程.【答案】(1)5 +5=1;(2)证明见解析，(y=-x+瓜或y=-立x+6 3 /4 2【详解】(1)由题意椭圆C长轴是短轴的 近 倍，点(2,1)在椭圆C上，可得a=y/2ha2=b2+c2,解得/=6,廿=3,所以
34、椭圆C的方程为+q=1.6 3b4 v1=1,(2)因为切点在第一象限，直线的斜率存在，不妨设直线P Q 的方程为丫=+，即丘 y +z =O,且左 0,因为直线与圆相切,联立k x-y+m =Ox2+2y2=6I m I /T-所以 才 充=J2,即m 2=2 公+2,得（1 +2k2）x2+4 t a r +2m2-6=0 ,设 P（,X）,Q（X2,%）,则有X,+f=_:北，x/2 =所以,2=g +m）（k x2+n i）=k2xtx2+k m（网+x2）+n r_ 2k 2m2-6k 2 _ 4 k?苏 i_ 而 _6k-+2k-l +2p+W +2k2百 二 I”KBZ i T
35、S 2m2 -6 n r -6k2 3（w -2）6 K 八所以 O P O Q =X|X,+X y 2 =-+-=-=0 ,1 2-1 72 1 +2 公 1 +2 /1 +2 公所以O PL O Q,即N P O Q =9 0。，即以P Q 为直径的圆过原点0.由可得X +=-1 4怨2，xx2 =-，加2=2 左 2+2,1+2 K 1+2 攵 2所以|P Q|=后 可 为4/_的=26而产,点。到直线尸。的距离为0,可得SA8 2=LX0X也叵叵H =述，解得斤2 =2,或 公=:，80 2 1 +2 F 5 81 o当2 =2 时，4=8,当时，=,8 4所以攵=一/，m =瓜，或=
36、-g m =B,4 2则直线方程为y =-3x+#或卜=-孝犬+|.2 21 8.（2 0 2 2 天津河北一模）已知椭圆C：+/-M a 人 0）的一个顶点恰好是抛物线。：x?=4 y 的焦点,离心率为正.2（1）求椭圆C的方程；（2）设 AL 4，。），4（。，0），巩。，M 是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线4B 与直线A 2 M 交于点P,直线 M与直线A.B交于点Q.证明V BP。是等腰三角形.【答案】三+丫2=1;见解析4【详解】（1）由题意得，抛物线f=4y的焦点坐标为（0,1）,：.b=l.=更，又=从+/,a 2解得a-2.椭圆C的方程为E+y 2=i4 证 明:(2)由
37、(1)可 得,4(-2,0),4(2,0),3(0,1),直线4 乃 的方程为y =；x+L直线48 的方程为y =-g x+l.设直线AM 的方程为丁=女(工+2)(心 ；,且左工0).y=k(x+2),由片 2_ 消去儿整理得(4 6+1 封+1 6公x+1 6公一4 =0,T+，-V A=(1 6A:2)2-4(4 A:2+1)X(1 6F-4)0,1 6F-4，,马=n,即知2-8公4*2+1，v =4k 卜=加一=1,.%一 4 r +1 XM-2 4k-直线A2M的方程为y =-1(x-2).4k由，1 卞 +1，7 得 尸；y=-(x-2)2-4k 2 12 Z +1 2 A +
38、J由，y =A(x+2),1 得。y =x+122-4k 4k )2 左 +1 2 2 +J:.PQ _ L x 轴.乂 P Q 的中点N 的坐标为京a二 8 N x 轴.7 B PQ 的中线 B N，PQ.故V 3 P Q 是等腰三角形.1 9.(2 0 2 2 天津和平三模)已知椭圆C:+=l(a 0)的离心率为日，且椭圆过点尸1,(1)求椭圆C的标准方程；(2)过右焦点F的直线/与椭圆C 交于M,N两点，线段MN的垂直平分线交直线/于点P,交直线x=-2 于点PQO,求 瑞 的 最 小 值.2【答案】（1）+丁=1；（2）2c _ V2a 2【详解】由 题 意 得：2 +3=1,解得：I
39、”a 2b b=1a2=h2+c2所以椭圆方程为1+产=1(2)由(1)知：/(1,0),当直线/的斜率不存在时,（五、尸（1,0）,Q（-2,0）,M 1,学，N3|尸。|3 3 0此 时 漏rr三当直线/的斜率存在时，故可设直线为y=A（x-1）,联立椭圆方程得：（2公+1卜2-妹，+2-2 =0,设”（冷乂）,可（七,）,则为 +中 2+1 LK +其中 =8尸+80所以M N=J +k 2 yl（%+/丫 -叙 用=+8，,、一 2其中 x+y 2=N x+w）-2k,C C I所 以,（m2k 2 r 赤-k r1j 因为直线PQ 为线段MN的垂直平分线，所以直线P 2 +环k +（
40、-7k1c2、J，5公+2令x 2 得：，=用百，、25 公+2 r 7 6k2+2 7一；-C=71+匕;-rk2k2+阳（2 二+1）r-jy 6k2+2故幽=+同 州+,）=6（+2 =3 公+1|阿 也+k2 48k2+8 闷，8公+8+i2k2+因为女2 +1 =（亚 乃+（川+已,2 忘，1 +2 ,而以 池=3&+1 2 反T F T T、画疯“M+l 一 石 记.4 2+1当且仅 当 历=庐1,即公=l,k=l 时等号成立,所以PQ肾2,因 为 手 2,所以牖 的 最 小值为2.2 0.（2 0 2 2 天津河北二模）已知点A（2,0）,椭圆C：二+与=1（。/，0）的离心率为
41、它，尸和B分别是椭a b 2圆c的左焦点和上顶点，且 诏 的 面积为!.2（I ）求椭圆C 的方程；U J T n u m 1（I I）设过点A的直线/与C 相交于P,。两点，当O P-O Q =时，求直线/的方程.【答案】（1 ）y+r=1;（I D x+2 y _ 2 =0 或x-2 y-2 =0【详解】（I ）设尸（-。,0）9 0）,由条件知8（0 向，1 3所以AAB厂的面积为5（2 +。）包=3,由 =包得2=2。2,从而从+天=2。2,化简得b=c,a 2联立解得6 =。=1,从而=忘，所以椭圆C 的方程为反+丫 2 =1；（I I）当/_ L x轴时，不合题意，故设/：y =Z
42、（x 2）,将丫=发口-2）代入三+9=1 得（1 +2 公）/一 8氏 4+8 公一 2 =0.由题 V=4（2-4）0 得 _亚2 k%0),a b由离心率为也，得 =,2 a 2又因为/=+。2,所以片=4/?2.由(2,1)在椭圆上可得.+J=1,解得从=2,2=8 .r2 2所以椭圆G的方程为土+乙=1.8 2(2)当直线A B 与 x 轴垂直时，设A(s,f)(s wl),则B(s,f).由题意得：二+=1,即s =0.所以直线A 8的方程为x =0.当直线A 8不与x 轴垂直时，可设直线48为1=+加，A(X1,y J,3(%,%),2 2将),二丘+小代入土+2 _=1 得(1
43、+4/)2 +8 f a nr+4?2 -8 =0,由 已 知 可 得 于1=1，X|_ Z X-)_ Z将 y =3+必和 必=如+加 代 入,并整理得(2%-1)X%2+0-2 4+1)(用+)-4 机=0,将为 +电=8k m4 1-81 +4 公 *-+4&2代入,并整理得机2+(2/+1)相+4%-2 =0,可得(2 k+?-l)(%+2)=0,因为直线AB：y =丘+，不经过点”(2,1),所以2 欠+机-1*0,故机=2.所以直线A B 的方程为丫 =依-2,经过定点(0,-2).综上所述，直线A B 经过定点(。,-2).2 2.(2 02 2 天津一模)已知椭圆,+卓=1(/
44、0)的右顶点为A,上顶点为B,离 心 率 为 孝，且|4 3|=屈.(1)求椭圆的方程；(2)过点A 的 直 线 与 椭 圆 相 交 于 点 与 y 轴相交于点S,过点S的另一条直线/与椭圆相交于M,3N 两点，且 A S M 的面积是 S N面积的1 倍，求直线/的方程.【答案】(1)二+匕=1 ;(2)y =x+14 2 14/=力 2 +c2【详解】(1)根据题目列方程=坐a 2a2+b2=6解得2=4,加=2,所以椭圆的方程为兰+1=1.4 2(2)由已知得心=-g,所以，直线A 4的方程为y =g(x-2),所以，S点的坐标为(0,1).当直线/的斜率不存在时，S4A sM =叵-1
45、,SAH$V=史 坦，或%矣 材=应+1，SAH S N=1匚 都 与已知不符；当直线的斜率存在时，设直线/的方程为y =+i,N(w，%),o 2工 2 _=1由4 2 ,得(l +2 2 2)d+4 丘-2 =0,y=k x+-4k-2X +X)=，X.X =T-，,-+2k2 1 +2/S4AsM =g网网sinZASM,SHSN=；网网sinNHSN,3由 A S M的面积是 H S N面积的7可得2 sA W=3 SAH W化简 2 1As l|MS|=3|S HNS|,即 2又 祭=等=3所 以 降=2,即1=2,也就是=-2 小所以，-%-4k +2k24k +2k28&y、.X
46、,=-7,AIA2 一-i +2k2-32k2-21 +2 A 2)2 =1+2 公,2 3.(2 02 2 天津南开中学模拟预测)椭圆C，+，=l(a 6 0)的 离 心 率 为 日,以 椭 圆 C 的上顶点T为圆心作圆T：x2+(y-l)2=r2(r 0),圆 T 与椭圆C 在第一象限交于点A,在第二象限交于点氏(1)求椭圆c的方程；求 容.河 的最小值，并求出此时圆T 的方程；(3)设点P是椭圆C 上异于A,B 的一点，且直线必，P B 分别与y 轴交于点M,N,。为坐标原点，求证:1 0 M H 为定值.【答案】(1)二 +y2=1;(2)*,x2+(y 1)-：(3)见解析4 5 2
47、 5【详解】(1)解：由题意知，b=,e =立，所一，=1,4-a 2 a2 4得Y=4，,2=3,从=1,故椭圆C 的方程为三+/=1.4(2)点 A 与点B 关于y 轴对称，设A(，X),由点A 在 圆 C 上，则x；=4-4 y：,因为T(0,l),得以=(外,3-1),TB=(-xi,yl-1)所以的.而=_片+(%_1)2=5 卜 _|-16由题意得o y 1当时,瓦 历取最小值-9，此时片=4 4，演=半故僧5又点A 在 圆 7 上，代入圆的方程，得 T故圆T 的方程是f+(y T)-0 =尝1 1?.(3)证明：设(%,%),则以的方程为丫-%=止 心 7。)入 0一 工 1令X
48、=。，得 力=%-也神=电为，同理明=里 3xv-xl Xo-X|/+西故 加 =五更二因为P，A 都在椭圆C 上乐一不所以尤=1_ 苧，弁=l-f，代入可得：反）“刈=1 1 4）=1,即得|。叫|ON|=1 加.斓=1.X。一 再24.（20 22.天津红桥二模）已知椭圆C：+g =l 0）的离心率6 =孝，点A（a,0）、B（0,6）之间的距离为后.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若经过点（0,夜）且斜率为女的直线/与椭圆C 有两个不同的交点尸和。，则是否存在常数3使得丽+丽 与 丽 共 线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.2【答案】（1）千+丁=1;（2）见解析【详解】（1
49、）因为点人（。,0）、8（0,6）之间的距离为G，所以行方=6,因为椭圆的离心率e=走，所以有 =也，而片=从+C2，2 a 2Ja2+b2=Q因此组成方程组为：./:夸 n；：；=1 +V=l；a2=b2+c2（2）设/的方程为y=履+0,与椭圆的标准联立为:X2，+y-=12=y=kx+6(1 +2&2)/+4 血依+2=0,丁是有(4 夜幻2-4(1+2F)-2 0=犬 -2此时设P(%,y2),Q(x2,y2),-4五k1 +2公于是有xt+x2=假设存在常数A,使 得 丽+而 与 热 共线，因为0 户 +0。=(*+x,yl+y2),AB=(-,/?)=(-2,1),所以右 V 2(
50、y)+%)=(西 +刍)=+/2.+kx2+A/2)=(x,+x,),=拒女（玉+）+4=-（再+&）,因为再+（=,所以 t.业 当+4=-生4=人=立，不满足2；,因此不存在常数3使 得 丽+而 与 而 共线.25.（2022天津一中模拟预测）己知点尸（2,0）为椭圆5 +=1（60）的焦点，且点 2,字）在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线/与椭圆交于M、N两点，且坐标原点。到 直 线/的 距 离 为 叵，NMON的大小是否为定6值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）+/=1;（2）见解析5【详解】由椭圆定义可得2a=（2-2）2+（且 I +J（2+2）2+f