《2023届北京科技大学高考考前模拟数学试题含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届北京科技大学高考考前模拟数学试题含解析.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2 .第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设i是虚数单位，若复数Z=l +i,则 互+Z 2=（）ZA.1 +z B.1-Z C.-1-z D.-1+z2.设 复 数2满足忖=三 三+1,Z在复平面内对应的点的坐标为（y
2、）则（）A.x2=2 y +1 B.y?=2 x +lC.x2-2 y-D.y2-2 x-3 .已知：c o sx =si n 1+），）,4：x=y 则户是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4 .已知公差不为0 的等差数列 4的前项的和为S“，4=2,且%，为 成等比数列，则$8=（）A.56 B.7 2 C.88 D.405.已知角夕的终边经过点（3,T）,则si na+一=c o s a1 3 7A.B.5 153 7 13C.D.2 0 156.函 数/（力=/1 21）任 一4）的图象可能是（）7 .函 数/（力=5出2%+3 0
3、工 三）的值域为（）A.4 B.0,g C.0,1 D.,08.已知函数/（x）=si n（2 6 y x-?在区间（肛2万）内没有最值，给出下列四个结论：f（x）在（肛2乃）上单调递增；与5 11 we ,L12 2 4 Jf（x）在 0,切上没有零点；f M在 0,兀 上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.9 .已知抛物线C：y 的 焦 点 为/，准线为/,P是/上一点，直线PE与抛物线交于A ,3两点，若 诩=2衣，4则|人即为（）10 .过抛物线C的焦点且与C的对称轴垂直的直线/与C交于A ,3两点，I A B 1=4,P为c的准线上的一点，则A A 5 P的面积
4、为（）A.1 B.2 C.4 D.811.已知集合4 =卜,2一3 M一10 0,集合8=x|lx 6 ,则等于（）A.卜|-1 c x 5 B.止l x 5 C.R-2 c x 6 D.x|-2 x 015 .平 面 区 域 y +4 x 70的外接圆的方程是.y-x-20，。0）的长轴长为4,离心率e =#（1）求椭圆C的方程；（2）设 A,8 分别为椭圆与x 轴正半轴和），轴正半轴的交点，尸是椭圆C上在第一象限的一点，直线Q4与 轴交于点 M，直 线 与、轴交于点N,问APMN与 A R 4 3 面积之差是否为定值？说明理由.19 .（12 分）某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱
5、乐为一体的大型综合园区，如图，已知两个购物广场的占地都呈正方形，它们的面积分别为13 公顷和8 公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积为 M公顷和邑公顷；由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为S 3 公顷和S,公顷.8H(i)设N B A c=e,用关于。的函数s(e)表示H +S 2+S 3+S 4,并求s(e)在区间(0,万)上的最大值的近似值(精确到0.0 0 1公顷)；(2)如果E+S 2 +S 3+S 4=5 2,并且，0)过M(2,、历),N(逐,1)两点，O为坐标原点，(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆
6、，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 砺J.砺？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由.2 2.(10 分)已知函数/(x)=l nx.(1)求函数g(x)=/(x)-x +l的零点；(2)设函数/(X)的图象与函数y =x +：-l的 图 象 交 于y j,8(七，y j a 0,且不等式(x 2-l)/(x)k(x-l)2对一切正实数x恒成立，求及的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】,复数 z =l +i,*|z|=y
7、/2.,z=(1+z)-2.it 则 z-F 2 i =-F 2 z =1 /+2 z =1 +z,，z 1 +z (l +/)(l-z)故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题2.B【解析】根据共辑复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(x,y),则 2 =%+加，z=x-yi,小|=注+1,1 1 2代 人 可 得 户 万=+1，解得 y 2=2 x +l.故选：B.【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轨复数的概念，属于基础题.3.B【解析】根据诱导公式化简s i n f|+y U c o s y再分析
8、即可.【详解】jr yr 57r 7i 57r不+)，=cos y,所以g成立可以推出p成立，但p成立得不到q成立，例如CO S=COS-,M,乙，J J J J所以P是g的必要而不充分条件.故选：B【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.4.B【解析】4=的9 =(4+2)2=4(4+8 4),将4=2代入，求得公差d,再利用等差数列的前项和公式计算即可.【详解】由已知，裙=4%，q=2,故(4+21)2=q(q+8d),解得 或 =。(舍)，故4 =2+(-l)x2=2，S8 =8(4；”8)=4(2 +2X8)=7 2.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前项
9、和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.5.D【解析】因为角a的终边经过点(3,-4),所以=32+(-4)2=5，则sin=-1,cos=|,1 13即 sina+-=故选 D.cos a 156.A【解析】先判断函数y=/(x)的奇偶性，以及该函数在区间(0,1)上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】函数y=/(x)的定义域为R,(-x)=(-x)2.(-X)2-1-(-X)2-4 =X2(X2-1)(X2-4)=/(X),该函数为偶函数，排 除B、D选项；当0 x 0,排除C选项.故选：A.【点 睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性
10、、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.A【解 析】由x e 计 算 出2 x +?的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数y =/(x)的值域.【详 解】八5万 八%7万1 1 .(乃)L 1 2 J 3 1.3 6 2 I 3)因此，函 数/(x)=s i n(2 x +qU oKxv|的值域为 一 g,l故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.8.A【解 析】(1 k 5 5 k 1 1先 根 据 函 数/(x)=s i n 28-丁 在 区 间(肛
11、2%)内 没 有 最 值 求 出 三 侬y二+一或八二黜)+一.再根据I 3 J 1 2 2 2 4 1 2 2 2 4已知求出！,判断函数的单调性和零点情况得解.3 2【详 解】因 为 函 数/(x)=s i n 2 -|j在 区 间(凡2m内没有最值.所 以2%乃-必必o乃-4(。兀-2&九+,或2 2+一 领2 G万-一，所 以，一.2(0 3 3 2令 人0.可得由.且的在(肛2外 上 单 调 递 减当x w 0,万 时,2 C O X-&-,1 7 T C O-3 3 3,且2%一 枭71 7 45 五所以f(x)在ro,n上只有一个零点.所以正确结论的编号故选：A.【点睛】本题主要
12、考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.D【解析】如图所示，过 分 别 作 人。_1/于。，BD LI于D,利用A4PC和AEPM联立方程组计算得到答案.【详解】如图所示：过 分 别 作AC，/于C,BD LI于D.2 4P A =2 A F 则|AC|=jF M|=,A p A T根据得到：=,B P B D4叱 =3AP+BD BD3即AF F M根据AFPM ABPD得到：-B P B DA P +-?即 一T=AP+BD BD3解得AP=|,BD =4,故|AB|=|AM+忸目=|AC|+忸 必=4.【点睛】本题考查了抛物线中弦长问题，意
13、在考查学生的计算能力和转化能力.10.c【解析】设抛物线的解析式 2=2*(0),得 焦 点 为/修。,对称轴为X轴，准线为x =-g 这样可设A点坐标为(,2),代入抛物线方程可求得，而。到直线A B的距离为“，从而可求得三角形面积.【详解】设抛物线的解析式V=2 px(p 0),则焦点为尸(g o),对称轴为x轴，准线为x =-T，T 直线/经过抛物线的焦点，A,B是/与。的交点，又轴，.可设A点坐标为,2 1，代入丁=2 ,解得=2,又 .点尸在准线上，设过点P的A B的垂线与A B交于点O,I O P 甘+-六 p =2,p=1 l l-l|=1 x 2 x 4 =4.故应选C.【点睛
14、】本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A点坐标，从而求得参数的值.本题难度一般.1 1.B【解析】求出A中不等式的解集确定出集合A，之后求得A p|B.【详解】由 A =x|x?-3 x-l O o j =|(x+2)(x-5)o|=无卜2 x 5 ,所以 A c 8 =x|-1 K x 0作 出 不 等 式 组y +4 x-7 40所表示的平面区域如下图所示:y-x-2 +3 E+F +1 0 =01 1 9 I?由题意可得2 O E+F+5=0 ,解得 =,=F =一，3 5 5-D+E+F+2 QI I g 12因此，所求圆的方程为一+丁2一11一y一 行=0.
15、故答案为：V+y-彳x 彳,=0.【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了一元二次不等式组所表示的平面区域的求作，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题.1 6.2 7 2【解析】取P。的中点为M,由A P 2 +A Q?=40可得A M?。知2=1 6,可得M在x +y +2 =0上，当最小时，弦P Q的长才最大.【详解】设 M 为 PQ的中点，2(A P2+A Q2)=(2 A M)2+P Qr,即 A P?+A Q?=24/+2 M。？，即4O =2 A M 2+2(0 Q 2 _ O”)，20 AM2+4-O M2 AM2-OM2=1 6.设M(x,y),则(x 2
16、y+(y 2)2(f+y 2)=6,得x+y +2 =0.所以。M*=*=应，P Qn m=2/2.故答案为：2垃【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(兀、L 71 57 r 1 1%1 7.(1)/=3 +v3 (2)/(x)的递减区间为可，和 7 7 ，万【解析】7T(1)化简函数/(X),代入x =一,计算即可；1 2(2)先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合x e 不即可求出.【详解】(1),.1 f(x)=6 cos2 x -/3 s
17、in 2 x =3(1+cos 2 x)-/3 sin 2 x=-V 3 sin 2 x +3 cos 2 x +3=-2 /3 s i n +3 ,从 而/(=3 +劣,1 1 2/冗 jl jr(2)令 一3+2左乃 2 x 刍4+2左肛左eZ.2 3 2式 57 r解 得-k j r x 0,%0)，则4/2 +城=4,直 线 厚：丁 =七口一1),令x =0得，%=三，则X。一 X。一 y -2 2%B M =2-yM,直线尸B:y =T x +2,令 =0,得/=一,则 1 4V l=|1-八|，再根据X2%-ZSWMN-S.A B =(SMAN S A N )(SM/W SAPA/
18、V )=AN 求解【详 解】a=2（i）依 题 意 得 =四a 2a2-b2c2解得a=2b=l2则椭圆C的 方 程 工+炉=1.4（2）设尸（要,%）&0,%0）,贝!J 4X（）2 +婷=4,直线玉）一1令x =0得，加=-xo-则忸 M|=|2%|=2+七X。一1直线-=?x +2,2%)令y =0,得/=为一21+瓷贝(j|4V|=|l一 赤|=.SM N -SAE4B=-APAN)-PAN)=*AAWV-=AN-BM=2 +-x T【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.1 9.(1)St+S2+S3+S4=42 +2
19、5/2 6 sin,最大值52.1 9 8公顷；(2)1 7、2 5、5、5.【解析】（1）由余弦定理求出三角形A B C的边长B C,进而可以求出S-S2,由面积公式求出S 3,s4,即可求出s（e）,并求出最值；（2）由（1）知，4+52=42,S 3 =54,即可求出S 3、S4,再算出sindcosg,代 入（1）中表达式求出S ,S2 o【详解】(l)由余弦定理得，B C2=1 3 +8-2 x V l3 x V 8 cos6 =2 1-4/2 6 cos 所以，S,=2 1-4A/2 6C O S,同理可得S?=2 1 -4A瓦C O S(万9)=2 1+4j酝C O S。又$3=
20、$4=g x屈x&si n 9 =J s i n。，所以 S(6)=S1+S2+S3+S4=42 +2 V 2 6 sin 6,故S(6)在区间(0,%)上的最大值为42 +2底，近似值为52.1 9 8。(2)由(1)知，S,+S2=42,S,=S4,所 以 邑=$4=5,进而sin6 =-=,V 2 6由 5 0,，C O S6 =F,S1=2 1-4=1 7,S2=2 1 +4=2 5726故、邑、S 3、s 的值分别是1 7、2 5、5、5,【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函数平方关系的应用，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力。2 0.(1)见 解 析(2)姮5
21、【解析】(1)利用面面垂直的性质定理证得C O _ L平面8 PC,由此证得。CL3P,根据圆的几何性质证得B P,PC,由此证得平面DCP.(2)判断出三棱锥O-3PC的体积最大时P点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面3 P D和平面EPD的法向量,计算出二面角3。一 的余弦值.【详解】(1)证明：因为平面A B C。_ L平面3 P C,A B C。是正方形，所以。C _ L平面3 P C.因为BPu平面8 PC,所以。C _ L 3 P.因为点。在以8。为直径的半圆弧上，所以B P _ L P C.又DCcPC=C,所以BP上平面DCP.(2)解：显然，当点P位 于 的 中 点 时，A
22、 B C P的面积最大，三棱锥。-B P C的体积也最大.不妨设BC=2,记 AD 中点为G,以E为原点，分 别 以 丽，而，的 的 方 向 为 X 轴、轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则 E(0,0,0),8(1,(),0),0(-1,0,2),P(0,1,0),BD =(-2,0,2),E D =(-1,0,2),PD =(-1,-1,2)设平面BD P的法向量为比=(4,y,zj,国 B D -m =-2 xt+2 Z =0,P D -tn=_ 玉-M+2 Z =0,令 3 =1,得比=(1,1,1).设平面D E P的法向量为为=(士,%,Z2),E D -
23、n=-x,+2 z,=0,贝时一 2 2P S n=-x2 一%+2Z2=，令 =2,得万=(2,0,1),所以c o s /万 三扁=紊尢=一由图可知，二面角3-PD E为锐角，故 二 面 角-石 的 余 弦 值 为 巫.5【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.2 2 o2 1.(1)+-=1 (2)f+/=8 4 3【解析】2 2试题分析：(1)因为椭圆E:0+9=l (a,b0)过 M(2,叵),N(n,1)两点,2”1F+4一2a6一2。以所,1 1 1 -=2解得 1:所 以 I-1 1 _ 1 旷1=8 尤 2 2椭 圆
24、 E的 方 程 为 上+乙=1=4 8 4(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且 函，砺，设该圆的切线方程y=kx+m为 y =H+?解方程组/y2 得 V+2（代+2）2=8,即（1 +2/2+4加比+2加 一8=0,+J=18 4则A =16k2m2-4（1 +2左2）（2加2-8）=8（8 3一根？+4）0,即 8*2-m2+4 04 km;+”一 目2 m2-8 中2=1次必y2-(A x,+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+fn2=2出一 4k1十、+T 乙K 1十乙K 1十乙Kyxy2=(A x j+tn)(kx2+
25、m)=k2x1x2+km(x、+x2)+/n2=:m .8)_、+m2=1 +2 k 1 +2 k 1 +2 k要 使 砺，砺，需使天士+Ji H =o,即 空 W +4=0,所以3 m2-8公一8=0,所 以 公=即 三 及2 0又1 +2 k 1 +2 k 88)t2-/n2+4 0,r /2 g、i，、8 刖 2 76-2 76所以,，所 以 加-3P m -或z 4-,3n?2 8 3 3 3因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，2 2 cU 2=?=8 久所以圆的半径为=十三 一1 +公 一 3/n2-8-3,r =，y/l+k2 1+z 3o所求的圆为9+:/=号此时圆的
26、切线丫=履+机都满足让豆5或根一豆53 3 3而当切线的斜率不存在时切线为=土 半 与 椭 圆?+=1的 两 个 交 点 为(*;逑)或(一 半，土当)满足O A 1 O B,Q综上，存在圆心在原点的圆/+丁=1，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且 砺，砺.考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系.点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理.存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备.(2)小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性.2 2.(l)x=l (2)证明见解析(
27、3)0鼠 2【解析】(1)令 g(x)=/n r-x+1,根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；(2)转化思想，要 证 马 一 不，即证为(I-3 二 姐)斗一西，即证/卢)1-土，构造函数进而求证;X2-X Xy X2(3)不等式，-l)/n x (x-)2 对一切正实数 x 恒成立，-1)加v 如 二 D,设X+1(幻二秋一生12,分类讨论进而求解.X+1【详解】1 1-V解：(1)令 g(x)=/n x-x+l,所以 g (x)=-1 =-,X X当(0,1)时，g(x)0,g(x)在(0,1)上单调递增;当x e(l,+8)时，g (x)0,g(x)在(1,+c。)单调递
28、减;所以g(x),w“=g(l)=。，所以g(x)的零点为x =l.(2)由题意：,.a I riXy=玉 +-1x I f ix.-lnxx,.。=内元(1-=-),7a 1 马一内I nX)=/-1九2要证。%K?一%X2,即 I 正玉 壬 2 (1 )1-五,x2-X X|x2Xr.,1 1 1令/=二 1,则碗1,，由(1)知 版,x-l,当且仅当=1时等号成立，所以痉、1,x t t t即 加 1-1，所以原不等式成立.(3)不等式(Y-l)阮v./(x-)2 对一切正实数X 恒成立,/(x2-V)lnx-k(x-1)2=(x2-X)lnx-,x+14 2 tk(x )卬/、1 2
29、k x2+2(l k)x+设(x)=/n r-,h(x)=-r=-x+x(x+1)x(x +l)记 9(x)=d+2(1-2)+1,=4(1-)2-4=4 k(k-2),当,()时，即0 v 2,2 时,(x).。恒成立，故(%)单调递增.于是当 O v x v l 时，A(x)A(l)=O,又是一1 0,故(炉 一 1)加无(工一1)2,当 x l 时，力(工)(1)=0,又(x2-1)lnx k(x-1)2,又当 X=1 时，-1)/=Z(X-1)2,因此，当0 0,即 攵 2时，设Y+2(l-Qx+l =0的两个不等实根分别为七，匕(匕)，又90)=4-2/0,于是三1后-1 5，故当xe(LZ-l)时，从而力(x)在。#-1)单调递减;当 X(1,Z-1)时，/z(X)0，于是-1M(X)0,BP(x2-1)lnx kx-1)2 舍去，综上，Z的取值范围是0&,2.【点睛】(1)考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；(2)考查转化思想，构造函数求极值；(3)考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题.