推荐-CFA考试:投资分析的数量方法(投资工具).docx
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1、第五章:正态概率分布Chapter Common Probability Distributions本章简介IntroductionP226本章的内容,是四种概率分布及它们的应用,即: the uniform; the binomial; the normal; the lognormal。本章的其他数量工具: Hypothesis testing; regression analysis;time-series analysis。不连续的随机变量Discrete Random VariablesP227 定义和解释概率分布Probability Distributions概率分布Probab
2、ility Distributions,即将随机变量可能结果的概率予以特定。每个随机变量都有描述它的概率分布,概率分布的方式有两种: 概率函数probability functions。 累积分布函数cumulative distribution functionsdistribution functionscdf 区别:连续的随机变量和不连续discrete的随机变量随机变量,是一个未来结果不确定的数。随即变量有两种类型:不连续的随机变量discrete random variable、连续的随机变量continuous random variable。变量的结果能予以历数个数有限的随机变量
3、,为不连续的随机变量。 描述某特定变量可能结果的集合 定义一个概率函数Probability function并说明它的关键特征概率函数的表示方法是:PX x,它表示随机变量的值为x的概率。不连续随机变量的概率函数,可以缩写为px;连续随机变量的概率函数用fx表示,称之为概率密度函数Probability density functionsdensitypdf。概率函数有两个关键特征: 0px1; 随机变量X所有值的概率的总和等于1。 定义概率密度函数Probability density function 定义累积分布函数cumulative distribution function并根据
4、累积分布函数计算随机变量的概率累积分布函数cumulative distribution functionsdistribution functionscdf,表示随机变量的结果位于某一范围的概率。cdf函数的功能相当于累积相对频率。连续的或不连续的随机变量的结果的累积概率分布,可以记作FX PXx,或FX Px1Xx 2,或FXPXx。累积概率函数cdf函数的特征: 0Fx1; 随着x的增加,cdf函数或增加或保持不变。不连续的单项分布The Discrete Uniform DistributionP228 给定不连续的单项分布a discrete uniform distribution
5、,定义不连续的单一随机变量并计算概率单项分布Uniform Distribution,即随机变量所有可能结果的概率都相等。单项分布的应用: 它是为其它概率分布产生随机数以作为随机观察对象random observation的根底; 它可以用来描述结果概率相等的随机变量。贝诺里分布The binomial DistributionP230 给定贝诺里概率分布binomial Probability Distributions,定义贝氏随机变量Bernoulli Random variable并计算概率 贝诺里Binomial分布的功能贝诺里Binomial分布的功能:描述有两项可能结果的随机变量
6、的每一项结果的概率分布。其模型是:两项选择的价格模型the binomial Option Pricing Model,BOPM,即价格的上升或价格的下降。 贝氏随机变量Bernoulli Random variable贝诺里分布的建构元素是贝氏随机变量Bernoulli Random variable。假定某个能重复进行的试验有两个可能的结果,每次试验产生的结果必为其一,这样的试验称为贝诺里试验Bernoulli trial。在结果为成功时,那么Y1;在结果为失败时,那么Y0,那么贝氏随机变量Y的概率函数为:p1 pY1 pp0 pY0 1 p 贝诺里随机变量binomial Random
7、variable对n个贝诺里试验,有0n个“成功。如果单个贝诺里试验的结果是随机的,那么n个贝诺里试验的结果为“成功的总数也是随机的。定义贝诺里随机变量X为n个贝诺里试验中结果为成功的总数。用“Yi表示第i个贝诺里试验的结果为“1或“0i 1,2,n,那么:X Y 1Y 2 Y n 。贝诺里随机变量由参数p和n定义。p即每次试验结果为“成功的概率;n贝诺里试验的次数。对贝诺里分布,可作有如下假设: 对所有贝诺里试验,结果为“成功的概率是一个常数; 贝诺里试验相互独立。因此,贝诺里随机变量X可以完全用两个参数描述,即X Bn,p。贝氏随机变量Y是n 1的贝诺里随机变量的值,即:Y B1,p。 贝
8、诺里随机变量X Bn,p的概率函数PX = x的表示公式:px PXxnC xp x1 pn x nC x n!x!nx! X是贝诺里随机变量,表示n个贝诺里试验中的“成功的总数;Xx,是这n个贝诺里试验中成功的总数等于x。 px和PX x,表示n个贝诺里试验中,成功的总数等于x的概率。 nC x是在n个贝诺里试验中有x个成功的排列方式的数目。 p,是单个贝诺里试验的结果为成功的概率;1p,是单个贝诺里试验的结果为不成功的概率。 p x1 pn x,是每一个排列都具有的概率。 贝诺里随机变量概率函数的形状当单个贝诺里试验的结果为成功的概率p50%时,贝诺里分布式对称的。假设p50%,那么贝诺里
9、随机变量概率函数的图像就具有偏向性。 当p 50% 时,概率函数的会向右偏right-skewed,即图像的右部有较长的尾巴; 当p 50% 时,概率函数的会向左偏left-skewed。对同一贝诺里随机变量有p1、p2,如果p1p2 1,那么它们的图像呈镜像对称。 贝诺里随机变量bernoulli Random variable的预期值和方差贝诺里随机变量bernoulli Random variable的预期值和方差Meanweighted averageVarianceBinomial,B1,ppp1pBinomial,Bn,pnpnp1pBinomial,B5,0.52.5即5p1.2
10、5即5p1pBinomial,B5,0.10.5即5p0.45即5p1p连续的随机变量分布Continuous Random VariablesP240 给定连续的单项分布a continuous uniform distribution,定义连续的单项随机变量并计算概率连续的单一分布Continuous Uniform Distribution 连续的单项随机变量的概率密度函数pdf: 1ba axbfx 0 其他值 连续的单项随机变量的累积概率函数cdf: 0 xaFx= xaba a x b 1 xb 计算概率密度函数fx在定义域axb上的面积即累积概率值的数学方法是,对函数fx从a到b
11、积分integral,即:Paxbab fxdx可以用上述等式对,范围内的任意两个实数求积分。因为连续随机变量的值是无限的,所以,连续随机变量的值等于任一定点的概率为0。这对计算连续随机变量的累积概率函数cdf有重要意义:对任何连续的随机变量X,有Paxb Pa xb Pax b Pa xb。当axb 时,fx1/ba表示的是连续随机变量在区间axb的平均概率。正态分布The Normal DistributionP243 解释正态分布的关键特征 描述正态分布的两个参数:平均值Mean和方差 2或标准差。正态分布可以表示为:X N , 2。 正态分布的下述参数值:偏向性skewness0;峰度
12、kurtosis3,剩余峰度excess kurtosis 0。正态随机变量的平均值mean、中值median、众数mode都相等。 两个正态随机变量的线性叠加linear combination,还是正态分布。 区别:单变量univariance分布和多变量分布multivariance单变量分布univariate distribution,描述单个的随机变量;多变量分布multivariate distribution,描述的是一组随机变量的概率。当我们有一组资产时,我们可以将每一项资产的收益分布分别模型化,也可以将这些资产作为一组as a group来将它们的收益分布模型化。作为一组,
13、即考虑收益系列之间的统计关系,其中经常使用的模型就是多变量的正态分布multivariate normal distribution。n种证券的收益的多变量正态分布,可以用三个参数予以定义: 单个证券收益的平均值mean的清单; 证券收益方差的清单; 收益的所有互不相同的相关系数correlations的清单,共nn-1/2个。与单变量正态分布相比拟,相关系数correlations是多变量的正态分布的区别特征之一。 解释相关系数在多变量正态分布中的作用 定义标准正态分布standards normal distribution并解释如何使随机变量标准化 正态分布的概率密度函数pdf的表达式
14、x :fx exp x 22 2 2 当 0,1 时,该正态分布称之为标准standard正态分布或单位unit正态分布。对于正态分布,标准差越大,其相对于平均值的分布就越分散。利用标准差,我们能够对任何正态分布的结果的分散性作出概率报告: 大约有50%的观察对象,在区间 23的范围内; 大约有68%的观察对象,在区间 的范围内; 大约有95%的观察对象,在区间 2的范围内; 大约有99%的观察对象,在区间 3的范围内。 随机变量的标准化标准正态随机变量用Z N0 ,1表示。将随机变量 X N , 2标准化的公式:Z X 随机变量Xx 0 对应的标准正态随机变量Z z0 x 0 / 。其意义是
15、:对X N , 2,随机变量的值小于或等于x 0的概率,正好等于标准正态分布Z N0 ,1中随机变量的值小于或等于z0的概率z0x 0 。即:对X N , 2有PXx 0;对Z N0 ,1有NZz0。当z0x 0 时,那么PXx 0NZz0。 呈正态分布的随机变量的信置区间confidence intervals 正态随机变量X确实切信置区间confidence intervals: P x1.645s X x1.645s 90%;x也记作为样本平均值;s也记作为样本的标准差。 x和s是店测算point estimates。 P x1.96s X x1.96s 95%; P x2.58 s X
16、 x2.58s 99%; 使用标准正态分布standards normal distribution计算概率 标准正态随机变量累积分布函数表Nx的使用。比方查找PZ0.24的值即变量Z的值小于或等于0.24的概率,其步骤:在表的第一纵栏找到0.20,在表的第一横栏找到0.04,两者对应的值即为要找的概率。【例】 PZ 1.282 90% ,它表示有10%的值在图像的右边尾部,并且,P x1.282s X x1. 282s 80%。 PZ1.645 95%,它表示有5 %的值在图像的右尾部,或有10 %的值在90%的信心区间之外即左右两边尾部各有5 %的值在90%的信心区间之外。 了解以下关系,
17、有助于我们使用累积分布函数Nx表: 当x0时,x右边的分布概率PZx1.0 Nx; 对负数x,有:Nx= 1.0 Nx。因为:x右边的分布概率和面积,等于x左边的分布概率和面积,即:PZx Nx或PZx。正态分布的应用Application of the Normal Distribution 平均值方差分析法 平均值方差分析法mean-variance analysis平均值方差分析法,将整体的收益分布概括为平均值和方均差,进而对投资决策进行评价。 将新资产参加到投资组合中,为了实现获利须满足: ER newR f new CorrR new,R p ER pR f p即:新资产的“夏普比,
18、要大于投资组合p的“夏普比与新资产和投资组合P的相关系数的乘积。 马克维茨决策规那么Markowitz decision rule。对于资产A和B,投资者选择A而不选择B,其决策依据是: A的平均收益等于或大于B的平均收益,而A的收益的标准差更小; A的平均收益大于B的平均收益,而A与B收益的标准差相等。 定义亏空风险shortfall risk亏空风险shortfall risk,即在某段时间投资组合的价值会下降到能够接受的最低水平以下。如:某个已经界定收益方案的资产的价值下降到方案的债务之下,即为亏空风险shortfall risk。 计算平安首位比率safety-first ratio并
19、利用罗伊的平安首位标准选择最正确投资组合平安首位规那么Safety-first Rules,作为评估价值下滑风险downside risk的方法,关注的是亏空风险shortfall risk。假定R L 是投资者能接受的最低收益水平。按照Roy的平安首位标准:最优化的投资组合,就是能够使该组合的收益R p下降到临界水平R L以下的概率最小化的投资组合,即:PR p R L为最小值。当投资组合收益是正态分布的,我们使用标准方差能计算出PR p R L。投资组合的期望收益为ER p,那么单位标准差的ER pR L最大时,投资组合的PR p R L最小。ER pR L是平均收益mean return
20、到亏空标准的距离。用SFRatio表示平安首位比率safety-first ratio,那么:SFRatio = ER p-R L/ p应用Roy标准,对投资组合进行选择的步骤: 计算投资组合的SFRatio。 根据计算所得的SFRatio值评估标准正态累积分布函数cdf。收益值小于R L的概率就是NSFRatio,即:PR p R LNSFRatio=1NSFRatio。 选择上一步中概率最小的投资组合。SFRatio与“夏普比率的差异在于R L和R f无风险收益。平安首位规那么为“夏普比率提供了一个新的角度:在使用夏普比例评价投资组合时,假定投资组合收益是正态分布的,那么夏普比率高的投资组
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