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1、一、线性微分方程的解法一、线性微分方程的解法(一一)线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构问题问题:1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构:例如例如线性无关线性无关线性相关线性相关 1).函数的线性相关性函数的线性相关性例如例如 2)2)二阶齐次线性方程的通解二阶齐次线性方程的通解2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构 1)通解的构成通解的构成 2)特解的叠加原理特解的叠加原理(二二)降阶法与常数变易法降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法代入代入(1)式式,得得则有则有解得解得刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解
2、为齐次方程通解为降阶法降阶法的一阶方程的一阶方程 设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为设设(4)2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法(5)(4),(5)联立方程组联立方程组积分可得积分可得非齐次方程通解为非齐次方程通解为解解对应齐方一特解为对应齐方一特解为由刘维尔公式由刘维尔公式对应齐方通解为对应齐方通解为例例设原方程的通解为设原方程的通解为解得解得原方程的通解为原方程的通解为 小结小结主要内容主要内容线性方程解的结构；线性方程解的结构；线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；降阶法与常数变易法
3、；补充内容补充内容可观察出可观察出一个特解一个特解(三）三）齐次线性方程齐次线性方程1.定义定义2.解法解法1 1、由对结果的猜想得：、由对结果的猜想得：2 2、对判别式的讨论、对判别式的讨论齐次线性方程齐次线性方程 有两个不相等的实根有两个不相等的实根由定理由定理2得通解：得通解：特征根为特征根为 有两个相等的实根有两个相等的实根特征根为特征根为问：如何求通解？问：如何求通解？通解显然不是通解显然不是于是须寻找新函数于是须寻找新函数由此得通解：由此得通解：注注:也可由降阶法也可由降阶法(刘维尔公式刘维尔公式)得得y3 有一对共轭复根有一对共轭复根特征根为特征根为如何得实数解？如何得实数解？由
4、欧拉公式由欧拉公式y1,y2 是齐次线性方程的解，则是齐次线性方程的解，则:由此得由此得:也是原方程的解也是原方程的解.由定理由定理1:也是原方程的解也是原方程的解.综上得特征方程法：综上得特征方程法：二阶常系数齐次线性方程解法小结二阶常系数齐次线性方程解法小结例例解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2练练 习习 题题练习题答案练习题答案（四）非齐次线性方程（四）非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构难点难点：如何求特解？如何求特解？方法
5、方法：待定系数法（待定系数法（同型化！同型化！）.猜测：猜测：代入原方程代入原方程1 1、指数式乘多项式型指数式乘多项式型:综上讨论知可设特解：综上讨论知可设特解：注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为例例1 12、指数式乘三角式型：、指数式乘三角式型：上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.注注:实际计算中实际计算中,常有常有:或或解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代
6、入上式代入上式所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取虚部）（取虚部）例例2 2解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程例例3 3所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为注意注意解解对应齐方通解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为原方程通解为例例4 4三、小结三、小结(待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解,取特解的实部或虚部取特解的实部或虚部,得得原非齐方程特解原非齐方程特解.思考题思考题写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）（重根）练练 习习 题题练习题答案练习题答案