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1、第第13章章 Black-Scholes-Merton 模型模型内容提纲内容提纲股票价格和收益的分布性质波动率布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程风险中性定价布莱克-斯科尔斯定价公式隐含波动率股息对期权定价的影响313.1 股价的对数正态分布性质股价的对数正态分布性质 lognormal property of stock prices令股价为S定义：m 为股票每年的收益率期望；s为股票价格每年的波动率在 Dt时间段股票收益的均值值为m Dt,股票收益服从正态分布:代表期望为m,标准差为v的正态分布 412.6节证明了：lnST 服从正态分布,则ST 服从对数正态分布对数正态分布图对数正态分布图 6
2、13.2收益率的分布收益率的分布 The distribution of the rate of return 若 x代表从0T之间以连续复利的收益率,则78913.3 预期收益率预期收益率 The expected return（13.4）表明股价的期望值为S0emT股价的预期收益率为m s2/2；而不是 m原因：10m m 和和 m ms s2 2/2/2m=E(DS/S)，是日均收益率ms2/2 则是所有数据所覆盖的的区间上的期望收益1113.4 波动率波动率 volatility股票波动率可以被定义为按连续复利时股票在年内所提供收益率的标准差在Dt时间内股票价格变化百分比的标准差为:如
3、果股价为$50，波动率为 30%，对应于每周价格百分比变化的标准差近似地等于：1213.4.1 历史数据法历史数据法1.在时间长度为t年内，观察到股价为 S0,S1,.,Sn。2.计算第i个区间结束时的股票收益率3.计算ui的标准差 s4.由（13-2）得：ui的标准差 也为 ，因此有：131413.4.2 交易日天数与日历天数交易日天数与日历天数交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要高因此，由历史数据计算波动率或期权期限时，采用的是交易日天数而不是日历天数 背景：1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black&Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式
4、股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，Robert C.Merton独立地提出了一个更为一般化一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。1513.5布莱克布莱克-斯科尔斯斯科尔斯-默顿微分方程的概念默顿微分方程的概念 Concepts underlying the Black-Scholes-Merton differential equation基本思路基本思路我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标
5、的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。16构建无风险交易组合构建无风险交易组合构建：可由期权与标的股票所组成的无风险组合，组合收益率等于无风险利率r原因：股票价格和期权价格均受到同一种不定性因素（股价）的影响；在任意短时期内，衍生品价格与股价强相关性在短时间内，股票盈亏可抵消期权带来的盈亏例：假设c=0.4S，可构造无风险交易组合0.4只
6、股票的长头寸一个看涨期权的短头寸1718假设：1、股票价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数；2、允许卖空标的证券；3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；5、存在无风险套利机会；6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的；7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。19 ：13.6 布莱克布莱克-斯科尔斯斯科尔斯-默顿微分方程的推导默顿微分方程的推导 derivation of the Black-Scholes-Merton differential equation由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：其在一个小的时间间隔t中，S的变化值S
7、:设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔中，f的变化值f为:20 为了消除风险源 ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，则：在 时间后，该投资组合的价值变化 为：代入f 和S可得21中不含任何风险源，因 此组合必须获得无风险收益，即代入上式可得化简为*这就是著名的布莱克舒尔斯微分分程舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。22 边界条件边界条件 key boundary conditions在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为
8、：其中 ：表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：2324观察布莱克舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。在风险中性的条件下，所有证券
9、的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。2513.7 风险中性定价风险中性定价 risk-free neutral valuation应用于股票远期合约应用于股票远期合约远期合约到期时刻的价值：远期合约到期时刻的价值：远期合约在时间远期合约在时间0的价值：的价值：26对右边求值是一种积分过程，结果为：其中，N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x的概率)，根据标准正态分布函数特性，我们有 。这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。2713.8 布莱克布莱克-斯科尔斯定价公式斯科尔斯定价公式 Black-
10、Scholes pricing formulas28 在B-S公式中，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望值的现值。因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。29定价公式的理解：定价公式的理解：根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：30无收益资产的欧式看跌期权的定价公式无收益资产的欧式看跌期权的定价公式 B-S公式的性质公式的性质当前股票价格很大，期权价格：当前股票价格很大，期权价格：股
11、票波动率接近于零，期权价格：股票波动率接近于零，期权价格：3132估计无风险利率：一般来说，在美国人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值，在中国过去通常使用银行存款利率，现在则可以从银行间债券市场的价格中确定国债即期利率作为无风险利率，并且要转化为连续复利的形式，才可以在B-S-M公式中应用。其次，要注意选择利率期限。如果利率期限结构曲线倾斜严重，须选择距离期权到期日最近的利率作为无风险利率。估计标的资产价格的波动率：比估计无风险利率困难得多，也更为重要。估计标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率和隐含波动率。3313.11 隐含波动率隐含波动率 implied volatilit
12、y我们已经知道，B-S-M期权定价公式中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。34波动率波动率 volatility 历史波动率：从标的资产价格的历史数据中计算出价格对数收益率的标准差，具体方法一般有两种，第一种直接用一般统计方法计算样本对数收益率标准差，第二种则包括广义自回归条件异方差模型GARCH、随机波动率模型等。隐含波动率：资本市场具有强大的信息功能。资本市场上股票价格、债券价格、期权
13、价格等都包含了重要的信息。在现实中，我们常常已经知道了期权价格，这时我们就可以利用期权价格来倒推出其中隐含的波动率信息。所谓的隐含波动率，即根据B-S-M期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波动率数据，然后用于其它条件类似的期权定价、风险管理等。显然，这里计算得到的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。35 对于有收益标的资产的欧式期权，在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。表示风险部
14、分遵循随机过程的波动率，就可直接套用公式:分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。36有收益资产的欧式期权的定价公式（有收益资产的欧式期权的定价公式（1）13.12 股息股息 Dividend 因此，当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（SI）代替S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将 代替S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。一般来说，期货期权、股指期权和外汇期权都可以看作标的资产支付连续复利收益率的期权。其中，欧式期货期权可以看作一个支付连续红利率为r的资产的欧式期权；
15、股指期权则是以市场平均股利支付率为收益率，外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇在所在国的无风险利率。37有收益资产的欧式期权的定价公式（有收益资产的欧式期权的定价公式（2）38 13.12.2 美式期权美式期权无收益资产的美式看涨期权的定价公式无收益资产的美式看涨期权的定价公式在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不合理的，因此因此C=cC=c，无收益资产美式看涨期权的定价公式同样同样是：39 当标的资产有收益时有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近似处理方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理，若不合理，则按欧式期权
16、处理；若在 提前执行可能是合理的，则要分分别别计算在T时刻和 时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。40有收益资产的美式期权的定价公式有收益资产的美式期权的定价公式 13.12.2 美式期权美式期权最后一个最后一个除息日除息日持有者持有者行权行权的收入：的收入：持有者持有者不行权不行权的条件：的条件：41倒数第二个除息日倒数第二个除息日持有者行权的收入：持有者行权的收入：持有者不行权的持有者不行权的条件条件：42任意一个除息日任意一个除息日持有者不行权的条件：持有者不行权的条件：43 美式看跌期权无论标的资产有无收益都
17、有提前执行的可能，而且与其对应的看涨期权也不存也不存在精确的平价关系在精确的平价关系，因此我们一般通过数值方法数值方法来求美式看跌期权的价值。44美式看跌期权的定价美式看跌期权的定价4546造成用布莱克舒尔斯期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异差异的原因主要有以下几个：计算错误；期权市场价格偏离均衡使用错误的参数布莱克舒尔斯期权定价公式建立在众多假定的基础上，在众多假定的基础上，假设条件不满足，例如对数正态过程假设条件不满足，例如对数正态过程期权定价公式的精确度评价期权定价公式的精确度评价B-S-M期权定价模型拓展 一、无交易成本假设的放松 二、常数波动率假设的放松三、参数假设的放松四、资产价格连续变动假设的放松47