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1、1.1 导数的概念1.2 导数的运算1.3 微分结束结束第第2章章 导数与微分导数与微分前页前页结束结束后页后页对于匀速直线运动来说，其速度公式为对于匀速直线运动来说，其速度公式为:一物体作变速直线运动，物体的位置一物体作变速直线运动，物体的位置 与时间与时间的函数关系为的函数关系为 ,称为位置函数称为位置函数2.1.1 2.1.1 引例引例到时刻到时刻设物体在时刻设物体在时刻内经过的路程为内经过的路程为例例1 变速直线运动的速度变速直线运动的速度2.1 导数的概念导数的概念前页前页结束结束后页后页瞬时速度瞬时速度无限变小时，平均速度无限变小时，平均速度就无限接近于就无限接近于时刻的时刻的越小
2、越小,平均速度平均速度 就越接近于物体在就越接近于物体在时，平均速度时，平均速度的极限值就是物体在的极限值就是物体在时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度 ，即，即到时刻到时刻于是，物体在时刻于是，物体在时刻的平均速度为的平均速度为前页前页结束结束后页后页例例2 2 平面曲线的切线斜率平面曲线的切线斜率 曲线曲线 的图像如图所示的图像如图所示,在曲线上任取两点在曲线上任取两点 和和 ，作割线作割线 ，割线的斜率为，割线的斜率为前页前页结束结束后页后页这里这里 为割线为割线MN的倾角，设的倾角，设 是切线是切线MT的倾角，的倾角，当当 时，时，点点N沿曲线趋于点沿曲线趋于点M。若上式的若上式的极限存在，记
3、为极限存在，记为k，则此极限值，则此极限值k就是所求切线就是所求切线MT的斜率，即的斜率，即前页前页结束结束后页后页定义定义 设设y=f(x)在点在点x0的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，属于该邻域，记属于该邻域，记 若若存在，则称其极限值为存在，则称其极限值为y=f(x)在点在点x0 处的导数，记为处的导数，记为或或2.1.2 导数的概念与几何意义导数的概念与几何意义1.导数的概念导数的概念前页前页结束结束后页后页导数定义与下面的形式等价：导数定义与下面的形式等价：若若y=f(x)在在x=x0 的导数存在，则称的导数存在，则称y=f(x)在点在点x0 处可导，反之称处可导，反之称y=f(x
4、)在在x=x0 不可导，此时意不可导，此时意味着不存在味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化了函数在一点处变化(增大或减小增大或减小)的快慢的快慢.前页前页结束结束后页后页2.左导数与右导数左导数与右导数 左导数左导数:右导数右导数:显然可以用下面的形式来定义左、右导数显然可以用下面的形式来定义左、右导数定理定理3.1 y=f(x)在在x=x0可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是y=f(x)在在x=x0 的左、右导数存在且相等的左、右导数存在且相等.前
5、页前页结束结束后页后页3.3.导数的几何意义导数的几何意义 当自变量当自变量 从变化到从变化到 时，曲线时，曲线y=f(x)上的点由上的点由 变到变到此时此时 为割线两端点为割线两端点M0，M的横坐标之差，而的横坐标之差，而 则为则为M0，M 的纵坐标之差，的纵坐标之差，所以所以 即为过即为过M0，M两点两点的割线的斜率的割线的斜率.M0M前页前页结束结束后页后页 曲线曲线y=f(x)在点在点M0处的切线即为割线处的切线即为割线M0M当当M沿沿曲曲线线y=f(x)无限接近无限接近 时的极限位置时的极限位置M0P，因而当因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率时，割线斜率的极限值就是切线的斜率
6、.即：即：所以，导数所以，导数 的几何意义的几何意义是曲线是曲线y=f(x)在点在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率处的切线斜率.M0M前页前页结束结束后页后页 设函数设函数y=f(x)在点处可导，则曲线在点处可导，则曲线y=f(x)在点在点处的切线方程为：处的切线方程为：而当而当 时时,曲线曲线 在在 的切线方程的切线方程为为(即法线平行y轴).当当 时时,曲线曲线 在在 的法线的法线方程为方程为而当而当 时时,曲线曲线 在在 的法线方程为的法线方程为前页前页结束结束后页后页例例3 3 求函数求函数 的导数的导数解解:(1):(1)求增量求增量:(2)(2)算比值算比值:(3)(3)取极限
7、取极限:同理可得同理可得:特别地特别地,.,.前页前页结束结束后页后页例例4 4 求曲线求曲线 在点在点 处的切线与法线方程处的切线与法线方程.解解:因为因为 ,由导数几何意义由导数几何意义,曲线曲线 在点在点 的切线与法线的斜率分别为的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为:即即法线方程为法线方程为:即前页前页结束结束后页后页2.1.3 2.1.3 可导性与连续性的关系可导性与连续性的关系定理定理2 若函数若函数y=f(x)在点在点x0处可导，处可导，则则f(x)在点在点x0 处连续处连续.证证 因为因为f(x)在点在点x0处可导，故有处可导，故有根据函数极限与无穷
8、小的关系根据函数极限与无穷小的关系,可得可得:两端乘以两端乘以 得得:由此可见由此可见:即函数即函数y=f(x)在点在点x0 处连续处连续.证毕证毕.前页前页结束结束后页后页例例5 证明函数证明函数 在在x=0处连续但不可导处连续但不可导.证证 因为因为所以所以 在在x=0=0连连续续而而即函数即函数 在在x=0处左右导数不相等处左右导数不相等,从而在从而在 x=0不可导不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要导的必要条件，但不是充分条件条件，但不是充分条件即可导定连续即可导定连续,连续不一定可导连续不一定可导.前页前页结束结束后页后页 设函
9、数设函数u(u(x)与与v(v(x)在点在点x处均可导，则处均可导，则:定理一定理一2.2.1 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则2.2 2.2 求导法则求导法则特别地特别地,如果如果可得公式可得公式前页前页结束结束后页后页注：法则（注：法则（1）（）（2）均可推广到有限）均可推广到有限多个可导函数的情形多个可导函数的情形例：例：设设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点在点x处均处均可导，则可导，则前页前页结束结束后页后页解：解：例例2 设设解：解：例例1前页前页结束结束后页后页解：解：即即 类似可得类似可得例例3 求求y=tanx 的导数的导数前
10、页前页结束结束后页后页解：解：即即类似可得类似可得例例4 求求 y=secx 的导数的导数前页前页结束结束后页后页 定理二定理二如果函数如果函数在在x处可导，而函数处可导，而函数y=f(u)在对应的在对应的u处可导，处可导，那么复合函数那么复合函数在在x处可导，且有处可导，且有或或对于多次复合的函数，其求导公式类似，对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法此法则也称链导法注：注：2.2.2 复合函数的导数复合函数的导数前页前页结束结束后页后页例例7解：解：解：解：例例6前页前页结束结束后页后页定理三定理三如果单调连续函数如果单调连续函数在某区间内可导，在某区间内可导，则它的反函数则
11、它的反函数y=f(x)在对应的区间在对应的区间内可导，且有内可导，且有或或证证 因为因为 的反函数的反函数 上式两边对上式两边对x求导得求导得或或或或2.2.3 反函数的求导法则反函数的求导法则前页前页结束结束后页后页解：解：y=arcsinx 是是x=siny 的反函数的反函数因此在对应的区间（因此在对应的区间（-1，1）内有）内有即即同理同理求函数求函数y=arcsinx 的导数的导数例例8 前页前页结束结束后页后页基本导数公式表基本导数公式表2.2.4 基本初等函数的导数基本初等函数的导数前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页解：解：例例5前页前页结束结束后页后页1.隐函数的导
12、数隐函数的导数例例9 求方程求方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数解：解：方程两端对方程两端对x求导得求导得2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把所确定的函数，其求导方法就是把y看成看成x的函数，方程两端同时对的函数，方程两端同时对x求导，然后解出求导，然后解出 。即即前页前页结束结束后页后页例例10解：解：两边对两边对x求导得求导得前页前页结束结束后页后页解一解一例例11前页前页结束结束后页后页两边对两边对x求导，由链导法有求导，由链导法有 解二称为解二称为对数求导法对数求导法，可用来求幂
13、指函数和多个因，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：注：解二解二前页前页结束结束后页后页解：解：将函数取自然对数得将函数取自然对数得两边对两边对x求导得求导得例例12前页前页结束结束后页后页且且设设均可导均可导,具有单值连续具有单值连续反函数反函数，则参数方程确定的函数可看成则参数方程确定的函数可看成与与复合而成的函数，复合而成的函数，根据求导法则有：根据求导法则有：求得求得y对对x的导数的导数对参数方程所确定的函数对参数方程所确定的函数y=f(x),可利用参数方程直接可利用参数方程直接此即参数方程所确
14、定函数的此即参数方程所确定函数的求导公式求导公式2.参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数变量变量y与与x之间的函数关系有时是由参数方程之间的函数关系有时是由参数方程确定的，其中确定的，其中t 称为参数称为参数前页前页结束结束后页后页 解：解：曲线上对应曲线上对应t=1的点（的点（x,y)为（为（0,0）,曲线曲线t=1在处的切线斜率为在处的切线斜率为于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为 y=x求曲线求曲线在在t=1处的切线方程处的切线方程例例13前页前页结束结束后页后页即即或或记作记作或或二阶导数：二阶导数：如果函数如果函数f(x)的导函数的导函数仍是仍是x的可导的可导函数
15、，就称函数，就称的导数为的导数为f(x)的二阶导数，的二阶导数，n阶导数：阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数的计算：高阶导数的计算：运用导数运算法则与基本公式将函运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导数逐次求导2.2.6 高阶导数高阶导数前页前页结束结束后页后页解：解：特别地特别地例例15解：解：即即同理同理例例14前页前页结束结束后页后页解解如图，正方形金属片的面如图，正方形金属片的面积积 A 与边长与边长 x 的函数关的函数关系系为为A=x2,受热后当边长由受热后当边长由x0伸长到伸长到x0+时时,面积面积A相应的增量为相应的增量为2.3
16、.1 微分的概念微分的概念例例1 设有一个边长为设有一个边长为x0的正方形金属片，受热后它的的正方形金属片，受热后它的边长伸长了边长伸长了 ，问其面积增加了多少？，问其面积增加了多少？2.3 2.3 微分微分前页前页结束结束后页后页的线性函数的线性函数从上式可以看出，从上式可以看出，这表明这表明这部分就是面积这部分就是面积的增量的主要部分（线性主部）的增量的主要部分（线性主部）所以上式可写成所以上式可写成前页前页结束结束后页后页 可以表示为可以表示为定义定义 设函数设函数在点在点的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，处的增量处的增量在点在点如果函数如果函数于是于是,（2.3.1)式可写成式可写成
17、处的微分，处的微分，可微，可微，称为称为在点在点处处在点在点高阶的无穷小，则称函数高阶的无穷小，则称函数时时其中其中A是与是与无关的常数，无关的常数，是当是当比比记为记为前页前页结束结束后页后页由微分定义，函数由微分定义，函数f(x)在点在点x0处可微与可导等价，处可微与可导等价，且且,因而因而在点在点 x0处的微分可写成处的微分可写成上式两端同除以自变量的微分，得上式两端同除以自变量的微分，得因此导数也称为微商因此导数也称为微商可微函数：如果函数在区间可微函数：如果函数在区间(a,b)内每一点都可微，内每一点都可微，则称该函数在则称该函数在(a,b)内可微。内可微。于是函数于是函数通常把通常
18、把记为记为，称自变量的微分，称自变量的微分，f(x)在点在点x0 处的微分又可写成处的微分又可写成d xf(x)在在(a,b)内任一点内任一点x处的微分记为处的微分记为前页前页结束结束后页后页解：解：例例2 求函数求函数 y=x2 在在 x=1,时的改变量和微分。时的改变量和微分。于是于是 面积的微分为面积的微分为 解：面积的增量解：面积的增量面积的增量与微分面积的增量与微分当半径增大当半径增大例例3 半径为半径为r 的圆的面积的圆的面积时，求时，求在点在点处，处，前页前页结束结束后页后页2.3.2 微分的几何意义微分的几何意义当自变量当自变量x有增量有增量时，时，切线切线MT 的纵坐标相应地
19、有增量的纵坐标相应地有增量因此，微分因此，微分几何上表示当几何上表示当x有增量有增量时，曲线时，曲线 在对应点在对应点处的切线的纵坐标的增量处的切线的纵坐标的增量 用用近似代替近似代替就是用就是用QP近似代替近似代替QN，并且，并且设函数设函数y=f(x)的图形如下图所示的图形如下图所示.过曲线过曲线y=f(x)上一点上一点M(x,y)处作切线处作切线MT,设设MT的倾角为的倾角为T前页前页结束结束后页后页2.3.3 微分的运算法则微分的运算法则1.微分的基本公式：微分的基本公式：前页前页结束结束后页后页续前表续前表前页前页结束结束后页后页2.2.微分的四则运算法则微分的四则运算法则设设u=u
20、(x)，v=v(x)均可微均可微，则，则 （C 为常数）；为常数）；前页前页结束结束后页后页3复合函数的微分法则复合函数的微分法则都是可导函数，则都是可导函数，则设函数设函数的微分为的微分为复合函数复合函数 利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐函数的微分函数的微分.这就是一阶微分形式不变性这就是一阶微分形式不变性.可见，若可见，若y=f(u)可微，不论可微，不论u是自变量还是中间变量，是自变量还是中间变量，总有总有而而前页前页结束结束后页后页解：解：解：对方程两边求导，得解：对方程两边求导，得的导数的导数与微分与微分例例5 5 求由方程求由方程所确定
21、的隐函数所确定的隐函数即导数为即导数为 微分为微分为 例例4 4 前页前页结束结束后页后页 由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法把函数的导数与微分的运算统称为微分法 在高等数学中，把研究导数和微分的有关内在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学容称为微分学前页前页结束结束后页后页2.3.4 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用或写成或写
22、成（1）上式中令上式中令（2），则，则特别地特别地,当当x x0 0=0=0，很小时很小时,有有（3）公式公式(1)(2)(3)可用来求函数可用来求函数f(x)的近似值。的近似值。，且，且很小时，我们有近似公式很小时，我们有近似公式在在 x0 点的导数点的导数由微分的定义可知，当函数由微分的定义可知，当函数前页前页结束结束后页后页注：注：在求在求的近似值时，要选择适当的的近似值时，要选择适当的，使，使，容易求得，且容易求得，且较小较小应用（应用（3 3）式可以推得一些常用的近似公式）式可以推得一些常用的近似公式,当当很小时很小时,有有(1)(1)（用弧度作单位）用弧度作单位）(3)(3)(4)(4)(5)(5)(2)(2)(用弧度作单位）用弧度作单位）前页前页结束结束后页后页例例6则则解解:设设取取，于是由（于是由（2）式得）式得即即