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1、第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算7、符号方程求解符号方程求解a.线性方程组的符号解法线性方程组的符号解法b.函数命令函数命令linsolve用来求解线性方程组符号解。用来求解线性方程组符号解。c.对方程对方程A*X=B，linsolve的调用格式为：的调用格式为：d.X=linsolve(A,B)等同于等同于X=sym(A)sym(B)e.A=sym(10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10)f.A=g.10,-1,0h.-1,10,-2i.0,-2,10j.B=(9;7;6)k.B=l.9;7;6 linsolve(A,B)ans=473/475 91/95 376
2、/475 vpa(ans,6)ans=.995789.957895.791579矩矩阵阵A必必须须至至少少是是行行满满秩秩的的。当当A的的列列数数大大于于行数时，将给出解不惟一的警告提示。行数时，将给出解不惟一的警告提示。b.非线性方程的符号解法非线性方程的符号解法用用函数零点法函数零点法求求非线性方程非线性方程的解有两个函数命令，即的解有两个函数命令，即fzero和和fsolve。fzero命令用于求一元函数零点命令用于求一元函数零点fsolve命令用于求命令用于求解非线性方程组解非线性方程组首首先先需需将将方方程程f(x)=g(x)转转化化为为F(x)=f(x)-g(x)=0，方方程程组组
3、也也是是如如此此；然然后后再再将将函函数数F(x)写写成成MATLAB的的m函函数数，以以便在便在fzero和和fsolve命令中调用。命令中调用。求解的过程为：求解的过程为：先猜测一个先猜测一个初始零点，初始零点，或者该零点大概所在的区间；或者该零点大概所在的区间；然然后后通通过过计计算算，使使猜猜测测值值不不断断精精确确化化，或或使使猜猜测测区区间间不不断断收缩收缩，直到达到预先指定的精度为止。，直到达到预先指定的精度为止。第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算求一元函数零点命令求一元函数零点命令fzero的调用格式为：的调用格
4、式为：x=fzero(fun,x0)：求一元函数零点命令的最简形式；求一元函数零点命令的最简形式；x,fval,exitflag=fzero(fun,x0,options,P1,P2,.)：求求一一元函数零点命令的完整格式。元函数零点命令的完整格式。x0是初始猜测的零点；是初始猜测的零点；options是是优优化化迭迭代代所所采采用用的的参参数数选选项项，options的的缺缺省省设设置置可可以以用用命命令令options=optimset(fzero)获得；获得；P1，P2是是向向函函数数fun传传递递的的附附加加参参数数。它它的的具具体体取取名名和和函函数数fun中中一一致；致；x是输出参
5、数，为所求的零点自变量值；是输出参数，为所求的零点自变量值；fval是输出参数，为函数是输出参数，为函数fun在在x处的值；处的值；exitflag是是描描述述函函数数fun的的退退出出情情况况。若若exitflag0，则则表表示示找找到到函函数数零零点点后后退退出出；若若exitflag0，则则表表示示没没有有找找到到零零点点或或在在搜搜索索过过程程中中遇遇到到了无穷大的函数值。了无穷大的函数值。第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算用用fzero命令求解函数命令求解函数 的零点的零点（1）建立函数建立函数f(x)的的M文件。文件。function y=fun1(x)y=x.4-
6、4*x-5;（2）建立水平横轴的建立水平横轴的M文件。文件。function y=fun2(x)y=0;（3）用作图法估计函数零点位置。用作图法估计函数零点位置。fplot(fun1,-5,5,r)hold on fplot(fun2,-5,5,r)（4）用）用zoom和和ginput命令获得零点的初始近似值命令获得零点的初始近似值在在程程序序中中输输入入下下列列命命令令，可可得得到到函函数数的的局局部部放放大大图图及及鼠鼠标标操作线操作线。zoom on%局部放大命令 tt=ginput(1)yy=ginput(1)%用鼠标获取 2 个零点猜测值 zoom off%恢复原来图形大小 显示所得
7、零点初始猜测值，结果为：显示所得零点初始猜测值，结果为：tt=-0.9838 0.0001 yy=1.8762 0.0091（5）用函数用函数fzero命令求函数的精确零点命令求函数的精确零点 x,fval,exitflag=fzero(fun1,tt(1),)%靠近 tt(1)点处的精确零点 x,fval,exitflag=fzero(fun1,yy(1),)%靠近 yy(1)点处的精确零点 结果为：结果为：Zero found near tt.x=-1 fval=0 exitflag=1 第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算Zero found near yy.x=1.881
8、2 fval=-6.2172e-015 exitflag=1解非线性方程组的解非线性方程组的函数命令函数命令fsolve其调用格式为：其调用格式为：x=fsolve(fun,x0)：解解非非线线性性方方程程组组最最简简单单的的调调用用格格式式。该式中除两个输入参数外，其余输入输出参数都可以缺省；该式中除两个输入参数外，其余输入输出参数都可以缺省；x,fval,exitflag,output,jacob=fsolve(fun,x0,options,P1,P2.)：解非线性方程组最完整的调用格式。解非线性方程组最完整的调用格式。x0是表示零点数是猜测值的向量；是表示零点数是猜测值的向量；optio
9、ns是是优优化化迭迭代代所所采采用用参参数数的的结结构构数数组组。P1和和P2是向函数是向函数fun传递的参数；传递的参数；x和和fval是输出参数，所求零点的自变量值和函数值；是输出参数，所求零点的自变量值和函数值；output是输出此命令所用的计算方法、迭代次数等信息。是输出此命令所用的计算方法、迭代次数等信息。jacob是函数在是函数在x处的处的jacobian。第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算求方程组求方程组的根。的根。首先编制函数文件首先编制函数文件fc.mfunction y=fc(x)y(1)=x(1)-0.7*
10、sin(x(1)-0.2*sin(x(2);y(2)=x(2)-0.7*cos(x(1)+0.2*sin(x(2);y=y(1),y(2);然后用然后用fsolve求解求解x,fval,exitflag,output,jacob=fsolve(fc,1.,1.,)%1.,1.为初值为初值x=0.3367 0.5553fval=1.0e-008*0.2029 0.5242exitflag=1output=firstorderopt:5.7877e-009 iterations:5 funcCount:16 cgiterations:4 algorithm:1x43 charjacob=(1,1)
11、0.3393 (2,1)0.2313 (1,2)-0.1700 (2,2)1.1700求方程组求方程组的解。的解。初始零点猜测值为：初始零点猜测值为：x0,y0=0.0,-0.0058 用用fsolve函数命令求精确解函数命令求精确解 fun=sin(x(1)+x(2),x(1)+6*x(2);%用字符串表达式形式命令用字符串表达式形式命令。注意自变量必须写成注意自变量必须写成x(1)和和x(2)fun函数也可用函数也可用M函数文件的形式函数文件的形式 function yy=fun(x)yy(1)=sin(x(1)+x(2);yy(2)=x(1)+6*x(2);XX,YY=fsolve(fu
12、n,x0(1),y0(1)%解此非线性方程组解此非线性方程组 XX=1.0e-016*-0.5464 0.1214 YY=1.0e-016*-0.4250 0.1821第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算c.一般代数方程一般代数方程(组组)的符号解的符号解slove命命令令可可以以解解一一般般代代数数方方程程，包包括括线线性性方方程程、非非线线性性方方程程和和超超越越方方程程。当当方方程程不不存存在在符符号号解解，且且又又无无其其他他自自由由参参数数时时，函函数数solve将将给给出出数数值值解。解。命令调用格式为：命令调用格式为
13、：solve(eqn1,eqn2,.,eqnN)：对对N个方程的默认变量求解；个方程的默认变量求解；solve(eqn1,eqn2,.,eqnN,var1,var2,.,varN)：对对 N 个个方方程程的的var1,var2,.,varN变变量量求求解解。要要注注意意变变量量的的英英文文字字母母顺顺序序，且且在在变变量量前前不可有空格不可有空格；S=solve(eqn1,eqn2,.,eqnN,var1,var2,.,varN)：对对N个个方方程程的的var2,.,varN变量求解；变量求解；S是一个结构数组是一个结构数组;x1,x2,xn=solve(eqn1,eqn2,.,eqnN,va
14、r1,var2,.,varN)：对对变变量量var1,var2,.,varN求求解解，求求解解的的结结果果分分别别赋赋给给x1,x2,xn(按按 照照 变变 量量 var1,var2,.varN 在在 英英 文文 字字 母母 中中 的的 顺顺 序序 给给 x1,x2,xn赋值赋值)。第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算求非线性方程组求非线性方程组 的解的解。解：解：x,y,z=solve(x2+sqrt(2)*x+2=0,x+3*z=4,y*z=-1,x,y,z)x=(-1/2+1/2*i*3(1/2)*2(1/2)(-1/2-1/2*i*3(1/2)*2(1/2)y=-51/7
15、3+3/73*i*3(1/2)-27/146*(-1/2+1/2*i*3(1/2)*2(1/2)-3/146*2(1/2)-51/73-3/73*i*3(1/2)-27/146*(-1/2-1/2*i*3(1/2)*2(1/2)-3/146*2(1/2)z=-1/3*(-1/2+1/2*i*3(1/2)*2(1/2)+4/3 -1/3*(-1/2-1/2*i*3(1/2)*2(1/2)+4/3d.常微分方程的符号解常微分方程的符号解函数函数dsolve用来求常微分方程的符号解。用来求常微分方程的符号解。在在符符号号方方程程中中，用用符符号号表表达达式式中中包包含含的的字字母母“D”来来代代替替
16、微微分分运运算算，符符号号D2、D3、DN分分别别对对应应于于第第二二、第第三三、第第N阶阶导导数数。因因变变量量是是位于位于D后面的变量，后面的变量，缺省的自变量为缺省的自变量为t。dsolve的调用格式为：的调用格式为：S=dsolve(eqn1,eqn2,.)输输入入参参数数包包含含三三部部分分内内容容：微微分分方方程程、初初始始条条件件和和指指定定独独立立变变量量。输输出出S是结构数组。是结构数组。初初始始条条件件或或边边界界条条件件写写成成y(a)=b或或Dy(a)=b等等。a、b可可以以是是变量使用符以外的其他字符。变量使用符以外的其他字符。当当初初始始条条件件少少于于微微分分方方
17、程程数数时时，在在所所得得解解中中将将出出现现任任意意常常数数符符C1，C2，.，解中任意常数符的数目等于所缺少的初始条件数。解中任意常数符的数目等于所缺少的初始条件数。当当无无输输出出参参数数时时，MATLAB工工作作内内存存中中在在y1，y2，定定义义的的输输出出参参数中保存计算结果。数中保存计算结果。第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算 dsolve(Dx=-a*x)ans=C1*exp(-a*t)dsolve(Dx=-a*x,x(0)=2)ans=2*exp(-a*t)dsolve(Df-f-sin(t)=0,f(pi/2)=0)ans=-1/2*cos(t)-1/2*s
18、in(t)+1/2*exp(t)/(cosh(1/2*pi)+sinh(1/2*pi)y=dsolve(Dy)2+y2=1,y(0)=0)y=sin(t)-sin(t)第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算求求，f(0)=1,g(0)=2 的解。的解。S=dsolve(Df=f+g,Dg=-f+g,f(0)=1,g(0)=2)S=f:1x1 sym g:1x1 sym S.f ans=exp(t)*(cos(t)+2*sin(t)S.g ans=exp(t)*(-sin(t)+2*cos(t)函函数数dsolve命命令令求求解解微微分分方方程程时时，如如果果得得不不到到其其解解，则
19、则给出给出警告信息警告信息。第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算8、符号函数的二维图符号函数的二维图二维符号函数的专用命令二维符号函数的专用命令ezplot格式为：格式为：ezplot(sym-fun，limits)参数含义如下：参数含义如下：sym-fun：符号函数或代表它的符号变量；符号函数或代表它的符号变量；limits：为自变量为自变量x的取值范围，即的取值范围，即limits=x1,x2，其默认其默认值为值为-2pi,2pi。用用ezplot绘函数图绘函数图syms x f=(x2)(cos(x)2);ezplot(f)第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算
20、第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算9、图示化函数计算器图示化函数计算器a.单变量函数分析界面单变量函数分析界面用用于于考考察察两两个个一一元元函函数数各各自自性性质质及及其其相相互互关关系系。该该函函数数计计算算器由器由funtool.m文件生成。文件生成。在在MATLAB命令窗口中键入下面命令即可：命令窗口中键入下面命令即可：funtool第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算单函数运算、函数和常数单函数运算、函数和常数a的运算、两个函数之间的运算的运算、两个函数之间的运算和辅助操作和辅助操作辅助操作辅助操作b.b.泰勒级数逼近分析界面泰勒级数逼近分析界面观察函数
21、观察函数f(x)在给定区间位置上的在给定区间位置上的N阶泰勒多项式阶泰勒多项式逼近的逼近的情况。情况。在在MATLAB工作窗口中输入命令：工作窗口中输入命令：taylortool或或taylortool(fx)fx为字符串为字符串第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算第第3章章矩阵、数组和符号运算矩阵、数组和符号运算10、符号计算的符号计算的Maple接口接口MAPLE具有强大的符号计算功能和丰富的应用数学函数。具有强大的符号计算功能和丰富的应用数学函数。为了能够为了能够在在MATLAB的工作环境中利用的工作环境中利用MAPLE的符号计算的符号计算能力，能力，MATLAB提供有专门
22、的指令用于提供有专门的指令用于MATLAB和和MAPLE的连接。的连接。mfun：对对MAPLE中的若干重要的特殊函数实施数值计算。中的若干重要的特殊函数实施数值计算。使用格式为：使用格式为：mfun(function,par1,par2,par3,par4)该该函函数数以以数数值值方方式式计计算算MAPLE中中特特殊殊函函数数function的的值值，函函数数的的参数由参数由par1、par2、par3、par4指定，最多可以指定四个参数。指定，最多可以指定四个参数。mfunlist：采用采用MATLAB注释语句注释语句列出列出能被能被mfun计算的一些重要计算的一些重要MAPLE函数列表函
23、数列表；mhelp：查阅查阅MAPLE库函数的联机帮助库函数的联机帮助文件，以获取文件，以获取MAPLE库函数库函数及其调用方法；及其调用方法；maple：进入进入MAPLE的工作空间，的工作空间，直接对访问直接对访问MAPLE的任意函数的任意函数进进行计算，并将结果返回至行计算，并将结果返回至MATLAB工作空间。工作空间。x=0:0.1:5.0;y=mfun(FresnelC,x);（11）求解下列微分方程求解下列微分方程a.y=(x+y)(x-y)b.xy=ytg(y/x)，y(10)=1 c.y=-xsinx/cosy，y(2)=1（12）求微分方程组求微分方程组的解。的解。（13）求微分方程组）求微分方程组 ，当初始条件为当初始条件为f(0)=2，g(2)=5时的解。时的解。（14）练习使用单变量函数分析界面。）练习使用单变量函数分析界面。上机习题（上机习题（3）