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1、第十章 曲线积分 与曲面积分 1 对弧长的曲线积分一、曲线形构件的质量曲线形构件线密度(x,y)匀质时质量 m=l分割 A=M0,M1,Mn1,Mn=B,si=弧MiMi-1的长度求和取极限近似值精确值近似 任取二、对弧长的曲线积分的概念与性质1.定义设L是xOy面内的一条有限长光滑曲线，函数f(x,y)定义在L上。用分点M0,M1,Mn1,Mn把L任意分成n个小弧段，第i 个小弧段的长度记为si，并在其上任取一点(i,i)。被积函数积分弧段积分和曲线形构件的质量如果当各小弧段长度的最大值 0 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f(x,y)在曲线L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，3.
2、可积条件：2.推广必要条件：函数f(x,y,z)在空间曲线上对弧长的曲线积分为充分条件：L是光滑或分段光滑曲线，f(x,y)在L上连续，则 存在。4.性质(积分的七条性质可照搬过来)(4)=L的长度。(5)若在L上 f(x,y)g(x,y)，则推论(6)若在L上m f(x,y)M，则(l 表示L的长度)(7)设 f(x,y)在L上连续，则存在(,)L，使得说明：1)对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关。2)虽然被积函数是二元函数，但点(x,y)限制在 L上，只有一个变量是独立的，因而积分是一维的。3)对弧长的曲线积分中弧长元素 ds 0.例1 解 4)L为闭曲线时常记作5)以上所有内容对于空间
3、对弧长的曲线积分都成立。三、对弧长的曲线积分的计算法定理 设 f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L 的参数方程为 x=(t),y=(t),(t b),其中(t)、(t)在,b 上有一阶连续导数且(t)2+(t)2 0，则积分存在，且成立计算公式说明：1)计算时，只需把 x=(t),y=(t)及代入即可。3)特殊情形2)计算时，定积分的上限 b 必须大于下限。(c d)(a b)4)推广：Oxy解 例2(P130例1)计算，其中L：y=x2，0 x 1。解例4 求解例3 求 I=，其中 L：y2=4 x，从(1,2)到(1,2)的一段。=0.例5(P130例2)计算半径为R，中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量及重心(线密度=1)。解 建立如图所示的坐标系，则L的参数方程为：x=Rcost,y=Rsint,t,.yOx.由对称性例6 求解 由 得：令由对称性知，又 z=，故有四、物理意义(x,y)表示L的线密度)(1)L的质量(2)曲线弧L对于 x 轴及 y 轴的转动惯量(3)曲线弧L重心坐标五、小结1、对弧长的曲线积分的概念(定义和性质)2、对弧长的曲线积分的计算3、对弧长的曲线积分的应用习题(P131)：3(1)(4)(5)(8)，5思考题对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度.