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1、高等数学Advanced Mathematics第六章 定积分一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质 定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分.思想方法.第一节 定积分的概念与性质1.曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实际问题抽象出来的。求由连续曲线一、定积分问题举例用矩形面积梯形面积（五个小矩形）（十个小矩形）思想:以直代曲显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边近似取代曲边梯形面积 采取下列四个步骤来求面积A.(1)分割(2)取近似长度为为高的小矩形,面积近
2、似代替(3)求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值.(4)求极限为了得到A的精确值,取极限,形的面积:分割无限加细,极限值就是曲边梯二、定积分的定义设函数f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入 定义若干个分点把区间a,b分成n个小区间,各小区间长度依次为在各小区间上任取一点作乘积并作和记如果不论对(1)(2)(3)(4)被积函数被积表达式记为积分和怎样的分法,也不论在小区间 上点怎样的取法,只要当和S总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的定积分.积分下限积分上限积分变量a,b积分区间(2)的结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理.定
3、积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数有关;注无关.而与积分变量的记号无关.曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值1.几何意义三、定积分的几何意义几何意义：各部分面积的代数和.取负号.它是介于x轴、函数 f(x)的图形及两条直线 x=a,x=b之间的在 x 轴上方的面积取正号;在 x 轴下方的面积例解oxy定理1定理2或 记为 黎曼 德国数学家(18261866)可积.且只有有限个间可积.当函数 的定积分存在时,可积.黎曼可积,断点,充分条件四、定积分的存在定理解例 用定义计算由抛物线和x轴所围成的曲边梯形面积.直线小区间 的长度取对于任一确定的自然数 积分和当n取不同值时,近似值精度不同.n取
4、得越大,近似程度越好.对定积分的补充规定：说明在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小第二节 定积分的性质证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1性质2性质1和性质2称为线性性质.补充:例(定积分对于积分区间具有可加性)则性质3假设的相对位置如何,上式总成立.不论证性质4性质5如果在区间则解 令于是比较积分值和的大小.例性质5的推论1证如果在区间则于是性质5 如果在区间则证说明性质5的推论2性质5 如果在区间则可积性是显然的.由推论1证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6分别是函数最大值及最小值.则解估计积分 例解估计积分 例证由闭区间上连续函数的介值定理:性
5、质7(定积分中值定理）如果函数在闭区间连续,则在积分区间 至少存在一点 使下式成立:积分中值公式至少存在一点 使即定理用途 注性质7(定积分中值定理）如果函数在闭区间连续,则在积分区间 至少存在一点 使下式成立:无论从几何上,还是从物理上,都容易理解平均值公式求连续变量的平均值要用到.如何去掉积分号来表示积分值.积分中值公式的几何解释至少存在一点 在区间使得以区间 为底边,以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积.例证由积分中值定理有(a为常数)证明证 夹逼定理 即得3.定积分的性质(注意估值性质、积分中值定理的应用)4.典型问题(1)估计积分值;(2)不计算定积分比较积
6、分大小.小结1.定积分的实质:特殊和式的极限.2.定积分的思想和方法:以直代曲、以匀代变.四步曲:分割、取近似、求和、取极限.思想方法解例定积分几何意义求电动势 在一个周期上的平均值讨论定积分的近似计算问题:存在.用分点长度取 有每个小区间对任一确定的自然数将 分成n个长度相等的小区间,将 n等分,取如取矩形法公式矩形法的几何意义第三节 微积分基本公式 一、问题的提出二、积分上限函数及其导数三、牛顿 莱布尼茨公式(v(t)和s(t)的关系)通过定积分的物理意义,例变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为(v(t)和s(t)的关系)设某物体作直线运动,已知速度的一个连续函数,求物体在这段时间
7、内所经过的路程.是时间间隔一、问题的提出其中积分的有效、简便的方法.找到一个计算定 如果能从v(t)求出s(t),这正是第四章已经解决了的微分运算的定积分的计算是否有捷径可寻进行一般性 的讨论.运算.定积分运算就可化为减法启发：不定积分问题.逆运算 定积分积分上限函数 注一定要分清函数的如果上限 x 在区间a,b上任意变动,每一个取定的x值,则对于定积分有一个对应值,所以它在a,b上定义了一个函数,设f(x)在a,b中可积,则对任一点与自变量x积分变量t.二、积分上限函数及其导数xb 这个函数的几何意义 下面讨论这个函数的可导性.是如图红色部分的面积函数.证定理1(原函数存在定理)因为从而 积
8、分中值定理定积分性质3故 定理1指出:积分联结为一个有机的整体(2)连续函数 f(x)一定有原函数,就是f(x)的一个原函数.(1)积分运算和微分运算的关系,它把微分和所以它是微积分学基本定理.函数 微积分,推论例 解例 解推论例例 解例解这是 型不定式,分析 应用洛必达法则证 令为单调增加函数.证明:只有一个解.例所以原方程只有一个解.或证例 证明函数为单调增加函数.为单调增加函数.故 分析 求 必须先化掉积分号,只要对所给积分方程两边求导即可.解 对所给积分方程两边关于x求导,得需先求出即变上限函数微积分学基本定理例解这是 型不定式,分析 应用洛必达法则证 令为严格单调增加函数.证明:只有
9、一个解.例所以原方程只有一个解.或定理2(牛顿-莱布尼茨公式)证牛顿(英)16431727 莱布尼茨(德)16461716如果是连续函数的一个原函数,则都是f(x)在a,b因为上的原函数,故有C是待定常数,即有三、牛顿莱布尼茨公式牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式微积分基本公式特别,微积分基本公式表明注求定积分问题转化为求原函数的问题.一个连续函数在区间a,b上的定积分等于它的任意一个原函数在区间a,b上的增量.仍成立.例 原式解 面积例 解平面图形的面积.所围成的例 解例 解 由图形可知注如被积函数是分段函数,应分段分成几个再用牛莱公式.积分,解例 例解如被积函数有绝对值,注
10、再用去掉后,N-L公式.应分区间将绝对值例已知函数求积分上限的函数解分段函数错!已知函数求积分上限的函数正确做法例解则例 解此极限实为一积分和的极限.定积分是代数和的推广,无穷小的无限项的代数和.即它表示每项为用定积分求极限时,需将(1)式中的两个任意量用特殊的值处理.例解计算定积分令 微积分基本公式积分上限函数(变上限积分)积分上限函数的导数 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系小结例 利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一点证最值定理 有最大值M 和最小值m,介值定理即证.技巧 例 求 解原式=证例 证明函数为单调增加函数.为单调增加函数.故解 原式=例 已知两曲线在点处的切线相
11、同,写出此切线方程,并求极限解故所求切线方程为例例 解求极限 分析 求 必须先化掉积分号,只要对所给积分方程两边求导即可.解 对所给积分方程两边关于x求导,得需先求出即对吗?错!分析其中的x对积分过程是常数,而积分结果是x的函数.若被积函数是积分上限(或下限)的函数中的注意变量 x 及积分变量 t 的函数时,应注意 x与t 的区别.对 x求导时,绝不能用积分上限(或下限)的变量x替换积分变量.对吗?故正确解答因为常义积分积分区间有限被积函数有界积分区间无限被积函数无界常义积分的极限广义积分推广无界域的面积,电容器放电问题等等.(反常积分)一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分第五节 广义积
12、分 定义1 即当极限存在时,称广义积分当极限不存在时,称广义积分如果极限存在,则称这个极限值为广义积分,(1)收敛;发散.一、无穷限的广义积分 即当极限存在时,称广义积分当极限不存在时,称广义积分存在,如果极限 则称这个极限值广义积分,(2)收敛;发散.如果广义积分和都收敛,则称上述两广义积分之和为函数称广义积分上的广义积分,即收敛;记作发散.否则称广义积分(3)注为了方便起见,规定:对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式,这时广义积分的收敛与发散取决于 和 是否存在.例 计算广义积分解广义积分的积分值的几何意义例 计算广义积分解证因此收敛,其值为发散.例 证明广义积分定义2即当极限不存在时
13、,称广义积分则称此极限为仍然记为如极限存在,也称广义积分函数二、无界函数的广义积分(瑕积分)广义积分,收敛;发散.瑕点(1)否则,则定义如极限存在,(2)称广义积分 发散.点 为 瑕点,若等号右边两个广义积分如果则定义否则,就称广义积分 发散.都收敛,(3)广义积分注如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分.通常用瑕点将区间分开,点 为 瑕点,连续例 计算广义积分解 为瑕点,这个广义积分值的直线x=0与x=a位于曲线x 轴之上,之间的图形面积.几何意义之下,注为了方便起见,由NL公式,则广义积分规定:例 计算广义积分解故原广义积分发散.为瑕点,证广义积分收敛,其值为广义积分发散.例 证明广义积分
14、例 求正解发散.也发散.解错!积分 的瑕点是哪几点？解积分不是瑕点,的瑕点是可能的瑕点是又例 无界函数的广义积分(瑕积分)无穷限的广义积分注意 小结 1.不要与常义积分混淆;2.不能忽略内部的瑕点.1.计算解2.位于曲线下方,x轴上方的无界图形的面积是解例 解 考虑 由于被积函数为奇函数,积分区间又为对称区间,由定义可知因而只有上述两个极限都存在时,才能使反常但是上述两个极限都不存在.故知积分收敛.为对称区间.其错误的原因在于认定不成立的.注对于反常积分来说,对称区间上的性质各不相关.证例 证明广义积分收敛,发散.并求其值.令例 证明解解答恒等于常数.例 Thanks for your attention！