《大学物理第五章刚体力学1.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理第五章刚体力学1.ppt（39页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.1 刚体的运动刚体的运动 5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律刚体的角动量和角动量守恒定律ooo一、一般运动一、一般运动1 1、刚体、刚体：受力时不改变形状和体积的物体：受力时不改变形状和体积的物体固体固体物件的理想模型。物件的理想模型。2 2、平动、平动：在运动中，如果连接刚体内任意两点的：在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运动直线在各个
2、时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。称为刚体的平动。刚体是特殊的质点系刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置其上各质点间的相对位置保持不变。保持不变。刚体做平动时，可用质心刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来或其上任何一点的运动来代表整体的运动。代表整体的运动。5.1 刚体的运动刚体的运动定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。（本章本章着重讨论定轴转动）着重讨论定轴转动）定定点点转转动动：运运动动中中刚刚体体上上只只有有一一点点固固定定不不动动，整整个个刚
3、刚体体绕绕过过该该定定点点的的某某一一瞬瞬时时轴轴线线转转动动。（如如陀螺的运动）陀螺的运动）3、转动：、转动：4.一般运动一般运动既平动又转动既平动又转动质心的平动和绕定轴的转动结合质心的平动和绕定轴的转动结合 o o平动和转动平动和转动可以描可以描述所有质元（质点）的述所有质元（质点）的运动。运动。定定轴轴转转动动：各各质质元元在在自自己己的的转转动动平平面面内内作作圆圆周周运运动动，其其圆圆心心都都在在一一条条固固定定不不动动的的直直线线（转转轴轴）上上。各各质质元元的的线线量量一一般般不不同同（因因为为半半径径不不同同）,但但角角量量（角角位位移移、角角速速度度、角加速度角加速度）都相
4、同。）都相同。二、二、刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述(运动学问题运动学问题)刚体刚体转动平面转动平面定轴定轴z OrP刚体运动学中所用的角量关系及角量和线量刚体运动学中所用的角量关系及角量和线量的关系同圆周运动，如下：的关系同圆周运动，如下：、本来是矢量，本来是矢量，由于在定轴转动中由于在定轴转动中轴的方位不变，故轴的方位不变，故只有沿轴的两个方只有沿轴的两个方向，规定一个转动向，规定一个转动正方向后，可以用正方向后，可以用标量代替。标量代替。在刚体作在刚体作匀加速转动匀加速转动时，时，相应公式如下：相应公式如下：P182习题5.15.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 1.化简过
5、程化简过程定轴转动定轴转动所以，可直所以，可直接写分量式接写分量式(质点系角动量定理微分形式的简化质点系角动量定理微分形式的简化)质点系角动量定理微分形式：质点系角动量定理微分形式：定轴定轴z刚体刚体 Ori合外力对刚体转轴的力矩合外力对刚体转轴的力矩只有在转动平面内的分量只有在转动平面内的分量对刚体转动有贡献，称为对刚体转动有贡献，称为对转轴的力矩对转轴的力矩=?因为各质元角动量因为各质元角动量方向相同方向相同，所以合矢，所以合矢量的大小就是分矢量量的大小就是分矢量大小的直接相加大小的直接相加任一质量元的任一质量元的角动量大小为角动量大小为因为因为所以所以定义定义刚体对定刚体对定轴的轴的转动
6、惯量转动惯量进一步进一步化简化简则刚体对定则刚体对定轴的轴的角动量角动量刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律定轴转动定律在转动问题中的地位定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律相当于平动时的牛顿第二定律应用转动应用转动定律解题定律解题步骤与牛步骤与牛顿第二定顿第二定律时完全律时完全相同。相同。5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 由由刚刚体体内内各各质质元元相相对对固固定定轴轴的的分分布布所所决决定定，与与刚刚体体的的运运动动及及所所受受外外力力无无关。关。反映刚体转动惯性的大小反映刚体转动惯性的大小 若质量连若质量连续分布续分布:分立质点分立质点在（在（SI）中，中
7、，J 的单位：的单位：kgm2 特点：特点：1.转动惯量具有叠加性转动惯量具有叠加性2.与刚体质量分布有关与刚体质量分布有关（总质量相同的刚体，质（总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量分布离轴越远，转动惯量越大）量越大）3.转轴不同，转轴不同，J 不同不同例：如图质点系例：如图质点系例：课本例：课本P182习题习题5.5质量连续分布质量连续分布:dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：为质量元，简称质元。其计算方法如下：质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中、分分别为质量的线密别为质量的线密度、面密度和体度、面密度和体密度。密度。线分布线分布面
8、分布面分布体分布体分布例例1、求质量为、求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RO解解：J J 是可加的，所以若为薄圆是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。筒（不计厚度）结果相同。dm例例2、求质量为、求质量为m、半径为半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r、宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,lORrdr可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量
9、也是轴的转动惯量也是mR2/2。例例3、求长为、求长为L、质量为质量为m的均匀细棒对图中不的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。同轴的转动惯量。ABLXAB-L/2L/2CX解解：取如图坐标，：取如图坐标，dm=dx =m/L J 和转轴有关和转轴有关 同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的 2、平行轴定理平行轴定理前例中前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量表示相对通过棒端的轴的转动惯量推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为平行，相距为d，刚体
10、对其转动惯量为刚体对其转动惯量为J，则有：则有：JJCmd2。这个结论称为这个结论称为平行轴定理平行轴定理。两轴平行，相距两轴平行，相距L/2。可见：可见：转动惯量的计算转动惯量的计算 1)对称的对称的 简单的简单的 查表查表(课本课本P166表表5.1)2)平行轴定理平行轴定理 parallel axis theorem在一系列的平行轴中，在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小对质心的转动惯量最小哪种握法转动惯量大？哪种握法转动惯量大？右图所示刚体对经过棒右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？动惯量如何计算？(棒长棒长为为L、圆盘半径为圆盘半径为R）R
11、LORP183习题5.10解：设完整时的转动惯量为解：设完整时的转动惯量为J J0 0，挖去圆的转动惯量，挖去圆的转动惯量为为J J1 1，已挖洞的原板的转动惯量为，已挖洞的原板的转动惯量为J J5.10 5.10 从从一一个个半半径径为为R R的的均均匀匀薄薄板板上上挖挖去去一一个个直直径径为为R R的的圆圆洞洞，其其中中心心在在距距原原薄薄板板中中心心R/2R/2处处，所所剩剩薄薄板板的的质质量量为为m m。求求此此时时薄薄板板对对通通过过其其原原中中心心并并与与薄薄板板垂垂直直的的轴轴的转到惯量。的转到惯量。1）定轴转动中力矩可用代数量来表示，其）定轴转动中力矩可用代数量来表示，其正负取
12、决于转动正方向的选取正负取决于转动正方向的选取;2）合外力矩等于各力矩的代数和）合外力矩等于各力矩的代数和.5.4 5.4 转动定律应用举例转动定律应用举例 如如:r2r1T1T2o规定顺时针为正方向，规定顺时针为正方向，则则M=r1T1-r2T2例例1.如如图图所所示示，一一个个质质量量为为 m 的的物物体体与与绕绕在在定定滑滑轮轮上上的的绳绳子子相相联联，绳绳子子的的质质量量可可以以忽忽略略，它它与与定定滑滑轮轮之之间间无无滑滑动动假假设设定定滑滑轮轮质质量量为为 M、半半径径为为 R,其其转转动动惯惯量量为为 MR2/2，试试求求该该物物体体由由静静止止开开始始下下落落的的过过程程中中，
13、下下落落速度与时间的关系速度与时间的关系解：根据牛顿定律和转动定律列方程解：根据牛顿定律和转动定律列方程运动学关系：运动学关系：对滑轮：对滑轮：对物体：对物体：联立得：联立得：例例2：阿阿特特伍伍德德机机（如如图图），求求绳绳中中张张力力及及每每个个物物体体加加速速度度。(设设滑滑轮轮质质量量为为M，半半径径为为R，对对中中心心轴轴转转动动惯惯量量为为J，绳绳不不可伸长且忽略一切摩擦可伸长且忽略一切摩擦)T1T2m1gm2gm1m2MRT1T2 解：解：对对m1（质点）：（质点）：对对m2（质点）：（质点）：T1-m1g=m1a1m2g T2=m2a2对对M（刚体）：（刚体）：RT2-RT1=
14、J 辅助关系：辅助关系：a1=a2=a=Ra联立求得：联立求得：例例3 3 一根长为一根长为l l、质量为质量为m m的均匀细直棒，其一端有一固定的光的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。解：解：棒上取质元棒上取质元dmdm,当棒处在当棒处在下摆下摆 角时角时，重力矩为：重力矩为：XOdmgdmx重力对整个棒的合力矩相当于全部重力集中重力对整个棒的合力矩相当于全部重力集中作用于质心所产生的力矩一样作用于质心所产生
15、的力矩一样刚体运动为变加速转动刚体运动为变加速转动例例4.转动着的飞轮的转动惯量为转动着的飞轮的转动惯量为J，在，在t=0时角时角速度为速度为 0 0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度的大小与角速度 的平方成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为k（k为大于为大于0的常数），的常数），当当=(1/3)=(1/3)0 0时时，飞轮的，飞轮的角加速度角加速度=，从开始制动到从开始制动到=(1/3)=(1/3)0 0所经过的时间所经过的时间t=.由由得得由由分离变量分离变量并积分并积分例例5、一一个个飞飞轮轮的的质质量量为为69kg，半半径径为为0.25m
16、,正正在在以以每每分分1000转转的的转转速速转转动动。现现在在要要制制动动飞飞轮轮，要要求求在在5.0秒秒内内使使它它均均匀匀减减速速而而最最后后停停下下来来。摩摩擦擦系系数数为为0.46，求求闸闸瓦瓦对对轮轮子的压力子的压力N为多大？为多大？F0解解：飞轮制动时有角加速度：飞轮制动时有角加速度外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。0Nfr 0Nfr例例6.一轻绳绕过一定滑轮一轻绳绕过一定滑轮,滑滑轮轴光滑轮轴光滑,滑轮的质量为滑轮的质量为 M/4,均匀分布在其边缘上均匀分布在其边缘上,绳绳子子 A 端有一质量为端有一质量为 M的人抓的人抓住了绳端住了绳端,
17、而在绳的另一端而在绳的另一端 B 系了一质量为系了一质量为 M/4 的重物的重物,如图。已知滑轮对如图。已知滑轮对 o 轴的转轴的转动惯量动惯量 J=MR2/4,设人从静设人从静止开始以相对绳匀速向上爬止开始以相对绳匀速向上爬时时,绳与滑轮间无相对滑动绳与滑轮间无相对滑动,求求 B 端重物上升的加速度？端重物上升的加速度？解：解：受力分析如图受力分析如图 由题意由题意 a人=aB=a联立联立 求解求解习题册习题册 P37 P37 典型例题典型例题1 1典典例例一一根根细细绳绳跨跨过过一一光光滑滑的的定定滑滑轮轮，一一端端挂挂一一质质量量为为M M的的物物体体，另另一一端端被被人人用用双双手手拉
18、拉着着，人人的的质质量量m=M/2m=M/2若若人人相相对对于于绳绳以以加加速速度度a a0 0向向上上爬爬，则则人人相相对对于于地地面面的的加加速度（以竖直向上为正）是速度（以竖直向上为正）是?习题册习题册 P P1212 典型例题典型例题4 4典典例例4一一个个质质量量为为M M半半径径为为R R的的匀匀质质球球壳壳可可绕绕一一光光滑滑竖竖直直中中心心轴轴转转动动。轻轻绳绳绕绕在在球球壳壳的的水水平平最最大大圆圆周周上上，又又跨跨过过一一质质量量为为m m半半径径为为r r的的匀匀质质圆圆盘盘，此此圆圆盘盘具具有有光光滑滑水水平平轴轴，然然后后在在下下端端系系一一质质量量也也为为m m的的
19、物物体体，如如图图。求当物体由静止下落求当物体由静止下落h h时的速度时的速度v v。习题册习题册 P P3838因绳子不打滑，所以因绳子不打滑，所以 以上方程联立可求得以上方程联立可求得 再利用再利用 得得 设绳对球壳和物体的拉力分别为设绳对球壳和物体的拉力分别为T1和和T2，球壳，球壳和圆盘的角加速度分别为和圆盘的角加速度分别为1和和2，根据牛顿定，根据牛顿定律与刚体定轴转动定律分别列出运动方程律与刚体定轴转动定律分别列出运动方程练习练习1.一轻绳跨过两个质量为一轻绳跨过两个质量为 m、半径为、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为绳的两端分别挂着质量为 2m 和和 m 的重物的重物,如图所示如图所示,绳与滑轮间绳与滑轮间无相对滑动无相对滑动,滑轮轴光滑滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为两个定滑轮的转动惯量均为 mr2/2,将将由两个定滑轮以及质量为由两个定滑轮以及质量为 2m 和和 m 的重物组成的系统从静止释放的重物组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。P P18 18 5 5章作业章作业 4 4