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1、对称性的几个结论 若f（x+a）f（bx），则 函 数f（x）的 图 象 关 于 直 线x 对 称，特 别 地，若f（a+x）f（ax），函 数f（x）的图象关于直线x a对称；若有f（a+x）f（bx），则函数f（x）的 图 象 关 于 点（，0）中 心 对 称，特 别 地，若f（a+x）f（ax），则 函 数f（x）的 图 象 关 于 点（a，0）中心对称.周期性的几个结论 若f（x+a）f（x+b）（ab），则f（x）是周期函数，ba是它的一个周期；若f（x+a）f（x）（a0），则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期；若f（x+a）（a0，且f（x）0），则f（x）是周期函数，2a是
2、它的一个周期.对称轴 对称中心 周期xoy：若函数 的图象关于直线 对称，则 为周期函数，且命题1：若函数 的图象关于点 对称，则 为周期函数，且命题2：若函数 的图象关于直线 及点 对称，则 为周期函数，且命题3（这里的周期不一定是最小正周期）已知函数 是定义在R 上的偶函数，且满足，当 时，则。练习已知 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线 对称，当 时，则 时=。(A)(B)(C)(D)D【例1】已 知 函 数f（x）的 定 义 域 为R，则下 列 命 题 中:若f（x 2）是 偶 函 数，则函数f（x）的图象关于直线x 2对称；若 f（x+2）f（x 2），则 函 数f（x）的图象关
3、于原点对称；函 数y f（2+x）与 函 数y f（2x）的图象关于直线x 2对称；函 数y f（x 2）与 函 数y f（2x）的图象关于直线x 2对称.其中正确的命题序号是.【解 析】是 错 误 的，由 于f（x 2）是 偶函 数 得 f（x 2）f（x 2），所 以f（x）的 图 象 关 于 直 线x 2对 称；是 错误 的，由 f（x+2）f（x 2）得f（x+4）f（x），进 而 得f（x+8）f（x），所 以f（x）是 周 期 为8的 周 期 函 数是 错 误 的，在 第 一 个 函 数 中，用 x 代x，y 不 变，即 可 得 第 二 个 函 数，所 以 这 两 个函 数 图 象
4、 关 于y 轴 对 称；是 正 确 的，令x2t，则2x t，函 数y f（t)与y f（t）的 图 象 关 于 直 线t 0对 称，即 函 数y f（x 2）与y f（2x）的 图 象 关 于 直线x 2对称.【例2】(2005 年 福 建)f（x）是定 义 在R 上 的 以3为 周 期 的 奇 函 数，且f（2）0，则 方 程f（x）0在区 间（0，6）内 解 的 个 数 的 最 小 值是()A 2 B 3 C 4 D 5【解 析】f（x）为 奇 函 数，f（0）0，又 函 数 f（x）以 3为 周 期，且f（2）0，f（2）0，f（1）0，f（4）0，f（3）0，f（5）0，在 区 间（
5、0，6）内 的 解 有1，2，3，4，5.故选D.【例3】已 知 函 数f（x）的 定 义 域 为x x R 且 x1，f（x+1）为 奇 函 数，当x 1时，f（x）2x2x+1，则 当x 1时，f（x）的递减区间是（）A，+）B（1，C，+）D（1，【解 析】由f（x+1）为 奇 函 数 得f（x+1）f（x+1），f（x）的图 象 关 于 点（1，0）中 心 对 称，又 由已 知 可 画 出f（x）在（，1）上 的图 象，再 根 据 中 心 对 称 画 出f（x）在（1，+）上 的 图 象，由 图 象 易 知，f（x）在，+）上 单 调 递 减，故应选C.【例4】(2005年 广 东)对
6、 函 数f（x），当x（，）时，f（2x）f（2+x），f（7 x）f（7+x），在 闭区 间 0,7 上，只 有f（1）f（3）0.（1）试判断函数y f（x）的奇偶性；（2）试求方程f（x）0在闭区间 2005，2005 上 的 根 的 个 数，并 证明你的结论.【解】（1）由 已 知 得f（0）0，f（x）不 是 奇函 数，又 由 f（2 x）f（2+x），得 函 数 y f（x）的 对 称 轴 为x 2，f（1）f（5）0，f（1）f（1），f（x）不 是 偶 函 数.故 函数y f（x）是非奇非偶函数；(2)由f（4x）f（14x）f（x）f（x+10），从 而 知y f（x）的 周 期 是10.又f（3）f（1）0，f（11）f（13）f（7）f（9）0，故f（x）在 0，10 和 10，0 上 均 有 两 个 解，从 而 可 知 函 数y f（x）在 0，2005 上 有402个解，在 上 2005，0 有400个 解，所 以 函 数y f（x）在2005，2005上有802个解.练习：已知定义域为R 的偶函数f(x)满足f(-x+3)=f(x)，且f(1)=-1，则 f(5)+f(14)=_.例5：