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1、计算机算法分析计算机算法分析习题课习题课第六章1,2,3,4,5,6,7,8,12,13,15,171 1动态规划动态规划1.多阶段过程2.满足最优性原理3.建立递推关系式2 2P151-1n n递推关系式递推关系式(6.8)对右图成立吗？为对右图成立吗？为什么？什么？n n递推关系式递推关系式(6.8)为什么对于含有负为什么对于含有负长度环的图不能成立？长度环的图不能成立？12345674536-429313 3n nAk(i,j)=minAk-1(i,j),Ak-1(i,k)+Ak-1(k,j),k 1成立，不包含负长度环成立，不包含负长度环.P130可以使结点间的长度任意小。可以使结点间
2、的长度任意小。P151-14 4P151-2 n n修改过程修改过程ALL_PATHS，使其输出每对，使其输出每对结点（结点（i,j）间的最短路径，这个新算法）间的最短路径，这个新算法的时间和空间复杂度是多少？的时间和空间复杂度是多少？n n回忆算法：回忆算法：P131 算法算法6.3P127 算法算法6.1 5 5P131 算法算法6.3n n对矩阵进行初始化，每个元素赋值为边的成本对矩阵进行初始化，每个元素赋值为边的成本(15行行)n n迭代计算最短路径长度迭代计算最短路径长度(612行行)n nAk(i,j)=minAk-1(i,j),Ak-1(i,k)+Ak-1(k,j),k 16 6
3、P127 算法算法6.1n nD(i,j)/D(j):D(i,j)/D(j):从节点从节点从节点从节点j j到汇点到汇点到汇点到汇点t t的最优路径中下一个的最优路径中下一个的最优路径中下一个的最优路径中下一个节点，即最优路径中节点，即最优路径中节点，即最优路径中节点，即最优路径中j j的后继节点。的后继节点。的后继节点。的后继节点。n n算法算法算法算法6.16.1在计算在计算在计算在计算COST(j)COST(j)的同时也记录了的同时也记录了的同时也记录了的同时也记录了D(j)D(j)3 37 7行行行行n n计算出计算出计算出计算出D(j)D(j)之后，即可计算最短路径。之后，即可计算最
4、短路径。之后，即可计算最短路径。之后，即可计算最短路径。9 91111行行行行n n仿照仿照仿照仿照6.1,6.1,用用用用Path(i,j)Path(i,j)表示从表示从表示从表示从i i到到到到j j的最短路径时的最短路径时的最短路径时的最短路径时i i的的的的后继结点。后继结点。后继结点。后继结点。7 7Procedure ShortestPath(COST,n,A,Max)Procedure ShortestPath(COST,n,A,Max)integer i,j,k integer i,j,k real COST(n,n),A(n,n),Path(n,n),Maxreal COST
5、(n,n),A(n,n),Path(n,n),Maxfor i1 to n do/for i1 to n do/初始化最初始化最初始化最初始化最优优优优路径矩路径矩路径矩路径矩阵阵阵阵for j1 to n do for j1 to n do A(i,j)COST(i,j)A(i,j)COST(i,j)if ij and A(i,j)Max thenif ij and A(i,j)Max thenPath(i,j)jPath(i,j)jelseelsePath(i,j)0Path(i,j)0endifendif repeatrepeatrepeatrepeat8 8for k1 to n do
6、/迭代迭代计计算算for i1 to n do for j1 to n do if A(i,j)A(i,k)+A(k,j)thenA(i,j)A(i,k)+A(k,j)Path(i,j)Path(i,k)endifrepeatrepeatrepeat9 9for i1 to n do/for i1 to n do/输输输输出最出最出最出最优优优优路径路径路径路径for j1 to n dofor j1 to n doprint(“the path of i to j is”i)print(“the path of i to j is”i)kpath(i,j)kpath(i,j)while k0
7、 dowhile k0 doprint(k)print(k)kpath(k,j)kpath(k,j)repeatrepeatrepeatrepeatrepeatrepeatend ShortestPath1010复杂度分析复杂度分析n n时间复杂度时间复杂度第一个循环：第一个循环：O(n2)第二个循环：第二个循环：O(n3)第三个循环：第三个循环：O(n3)n n空间复杂度空间复杂度Cost(n,n)A(n,n)Path(n,n)O(n2)1111P151-3n n对对于于标识标识符集符集(a1,a2,a3,a4)=(end,goto,print,stop)，已知成功，已知成功检检索概率索概率
8、为为P(1)=1/20,P(2)=1/5,P(3)=1/10,P(4)=1/20，不成功，不成功检检索索概率概率为为Q(0)=1/5,Q(1)=1/10,Q(2)=1/5,Q(3)=1/20,Q(4)=1/20，用算法，用算法OBST对对其其计计算算W(i,j)，R(i,j)和和C(i,j)(0i,j4)。1212递推关系式：递推关系式：n nW(i,j)=Q(i)i=jW(i,j-1)+P(j)+Q(j)ij n nC(i,j)=0 i=j W(i,j)+minC(i,k-1)+C(k,j)ij k在在R(i,j-1)和和R(i+1,j)中，使中，使C(i,k-1)+C(k,j)取最小值。取
9、最小值。n nR(i,j)=k1313P136 算法算法6.5n nP(i)P(1)=1/20,P(2)=1/5,P(3)=1/10,P(4)=1/20n nQ(i)Q(0)=1/5,Q(1)=1/10,Q(2)=1/5,Q(3)=1/20,Q(4)=1/20化化简为简为整数形式整数形式n nP(i)P(1)=1,P(2)=4,P(3)=2,P(4)=1n nQ(i)Q(0)=4,Q(1)=2,Q(2)=4,Q(3)=1,Q(4)=11414WWR RC C4 44+2+14+2+1=7=77+4+47+4+4=151515+2+15+2+1=1=181818+1+18+1+1=1=20200
10、 01 12 22 22 20 07 72222 3232 39392 22+4+42+4+4=10=1010+2+10+2+1=1=131313+1+13+1+1=1=15150 02 22 22 20 01010 2020 27274 44+1+24+1+2=7=77+1+17+1+1=9 90 03 33 30 07 712121 11+1+11+1+1=3=30 04 40 03 31 10 00 0ijj-i=0;j-i=1;j-i=2;j-i=3;j-i=4n nP(1)=1,P(2)=4,P(3)=2,P(4)=1P(1)=1,P(2)=4,P(3)=2,P(4)=1n nQ(0
11、)=4,Q(1)=2,Q(2)=4,Q(3)=1,Q(4)=1Q(0)=4,Q(1)=2,Q(2)=4,Q(3)=1,Q(4)=11515P151-4n n证明算法证明算法OBST的计算时间是的计算时间是O(n2)。n n在已知根在已知根R(i,j)，0 i 1，求使，求使|w(m,k-1)-w(k,n)|值值最小的最小的k值，不妨设是值，不妨设是r，其中，其中k=m+1,n，rmn=r。令令令令m=mm=m，n=r-1 n=r-1，重复上述过程。，重复上述过程。，重复上述过程。，重复上述过程。令令令令m=rm=r，n=nn=n，重复上述过程。，重复上述过程。，重复上述过程。，重复上述过程。2
12、525Procedure CreateTree(m,n,root,w)Procedure CreateTree(m,n,root,w)integer r,k,root(n,n),w(n,n)integer r,k,root(n,n),w(n,n)real ww,min+real ww,min+if m=n then if m=n then root(m,n)0root(m,n)0else if m=n-1 then else if m=n-1 then root(m,n)nroot(m,n)n else else for km+1 to n do for km+1 to n do ww|w(m
13、,k-1)-w(k,n)|ww|w(m,k-1)-w(k,n)|if ww min then minww,rk endif if ww0，重复下列操作：，重复下列操作：在在在在F(i)F(i)和和和和F(i+1)F(i+1)之间使用二分检索法查找之间使用二分检索法查找之间使用二分检索法查找之间使用二分检索法查找(P,W)(P,W)。若存在，若存在，若存在，若存在，X Xi+1i+1=0;=0;否则，否则，否则，否则，(P,W)=(P-P(P,W)=(P-Pi+1i+1,W-W,W-Wi+1i+1)，X Xi+1i+1=1=1。i ii-1i-13030Procedure PARTS(n,F,M
14、,P,W,p,w)Procedure PARTS(n,F,M,P,W,p,w)/*p(n)/*p(n)和和和和w(n)w(n)是存放原数据的，是存放原数据的，是存放原数据的，是存放原数据的，P(m)P(m)和和和和W(m)W(m)是存放是存放是存放是存放S S的，的，的，的，F(n)F(n)是存放指针的，是存放指针的，是存放指针的，是存放指针的，x(n)x(n)是存放元素取舍结果的是存放元素取舍结果的是存放元素取舍结果的是存放元素取舍结果的*/*/integer n,k,i,j,F(0:n),x(n)integer n,k,i,j,F(0:n),x(n)real P(m),W(m),pp,ww
15、,p(n),w(n)real P(m),W(m),pp,ww,p(n),w(n)3131/*/*确定：确定：确定：确定：x(n)x(n)、最优解所对应的序偶、最优解所对应的序偶、最优解所对应的序偶、最优解所对应的序偶(pp,ww)(pp,ww)，其所在位置其所在位置其所在位置其所在位置j j，j j在在在在F(n-1)F(n-1)和和和和F(n)F(n)之间之间之间之间*/*/kF(n)-1 kF(n)-1 ww W(k)ww W(k)pp P(k)pp P(k)jk jk /k/k为为为为S Sn-1n-1的最末位置的最末位置的最末位置的最末位置 while W(j)+w(n)M and j
16、=F(n-1)do while W(j)+w(n)M and j=F(n-1)do jj-1jj-1 repeat repeat /找找找找S Sn n的最末位置的最末位置的最末位置的最末位置j jif(pp=F(n-1)if(pp=F(n-1)then x(n)1,pp P(j),ww W(j)then x(n)1,pp P(j),ww W(j)else x(n)0 else x(n)0 endif endif 3232 /*/*使用二分检索法在使用二分检索法在使用二分检索法在使用二分检索法在WW上上上上F(i)F(i)和和和和F(i+1)F(i+1)范围范围范围范围 之间查找之间查找之间查
17、找之间查找wwww，确定确定确定确定x(i+1)*/x(i+1)*/for i n-2 to 0 by-1 do n-2 to 0 by-1 do BINSRCH(W,ww,F(i),F(i+1)-1,j)BINSRCH(W,ww,F(i),F(i+1)-1,j)if(j=0)if(j=0)then x(i+1)1,pppp-p(i+1),wwww-w(i+1)then x(i+1)1,pppp-p(i+1),wwww-w(i+1)else x(i+1)0 else x(i+1)0 endif endif repeat repeatendPARTSendPARTS3333P151-8n n给出
18、一个使得给出一个使得DKNAP(算法算法6.7 P141)出现出现最坏情况的例子，它使得最坏情况的例子，它使得|Si|=2i,0i0:(X),i0:f fi i(X)=max f(X)=max fi i 1 1(X),f(X),fi i 1 1(X(X w wi i)+p)+pi i （6.146.14）3737P151-12(1)(1)对这个问题，推导出相应于式对这个问题，推导出相应于式对这个问题，推导出相应于式对这个问题，推导出相应于式(6.14)(6.14)的动态的动态的动态的动态规划递推关系式。规划递推关系式。规划递推关系式。规划递推关系式。n n设设设设f fi i(X)(X)是是是
19、是ZKNAP(1,i,X)ZKNAP(1,i,X)最优解的值最优解的值最优解的值最优解的值,则则则则对于任意的对于任意的对于任意的对于任意的f fi i(X),i0:(X),i0:3838P152-13n n假定两个仓库假定两个仓库假定两个仓库假定两个仓库WW1 1和和和和WW2 2都存有同一种货物，其库存量分别都存有同一种货物，其库存量分别都存有同一种货物，其库存量分别都存有同一种货物，其库存量分别为为为为r r1 1和和和和r r2 2.现要将其全部发往现要将其全部发往现要将其全部发往现要将其全部发往n n个目的地个目的地个目的地个目的地D D1 1，D D2 2，D Dn n.设设设设发
20、往发往发往发往D Dj j的货物为的货物为的货物为的货物为d dj j，因此，因此，因此，因此r r1 1+r+r2 2=d=dj j.如果由仓库如果由仓库如果由仓库如果由仓库WWi i发送量发送量发送量发送量为为为为x xij ij的货物到目的地的货物到目的地的货物到目的地的货物到目的地D Dj j的花费为的花费为的花费为的花费为C Cij ij(x(xij ij)，那么仓库问题就，那么仓库问题就，那么仓库问题就，那么仓库问题就是求各个仓库应给每个目的地发多少货才使总的花费最小。是求各个仓库应给每个目的地发多少货才使总的花费最小。是求各个仓库应给每个目的地发多少货才使总的花费最小。是求各个仓
21、库应给每个目的地发多少货才使总的花费最小。即要求这些非负整数即要求这些非负整数即要求这些非负整数即要求这些非负整数x xij ij，1i2 1i2，1jn1jn，它使得，它使得，它使得，它使得x x1j1j+x+x2j2j=d dj j,1jn,1jn,并且使并且使并且使并且使 i,ji,jc cij ij(x(xij ij)取最小值。假设当取最小值。假设当取最小值。假设当取最小值。假设当WW1 1有有有有x x的库存的库存的库存的库存且按最优方式全部发往目的地且按最优方式全部发往目的地且按最优方式全部发往目的地且按最优方式全部发往目的地D D1 1，D D2 2，,D,Di i 时所需的花时
22、所需的花时所需的花时所需的花费为费为费为费为g gi i(x)(W(x)(W2 2的库存为的库存为的库存为的库存为 1ji1jid dj j-x)-x)。于是，此库存问题的最。于是，此库存问题的最。于是，此库存问题的最。于是，此库存问题的最优总花费是优总花费是优总花费是优总花费是g gn n(r(r1 1)。3939求求gi(x)的递推关系式的递推关系式4040 写一个算法求解这个递推关系式并要能得到写一个算法求解这个递推关系式并要能得到xij的决策值得最优序列，的决策值得最优序列，1i2,1jn.n nprocedure Allocate(c,x,d,g,i,y,X)procedure Al
23、locate(c,x,d,g,i,y,X)/*c /*c是代价数组，是代价数组，是代价数组，是代价数组，x x是货物量，是货物量，是货物量，是货物量，d d是限量，是限量，是限量，是限量，g g是花费是花费是花费是花费(若若若若g g为零，则无解为零，则无解为零，则无解为零，则无解)，i i是处理到第几个目的地，是处理到第几个目的地，是处理到第几个目的地，是处理到第几个目的地，X X是库存量，是库存量，是库存量，是库存量，C C是函数是函数是函数是函数*/*/integer c(n),x(n),d(n),g(n),i,X,j integer c(n),x(n),d(n),g(n),i,X,j
24、if i=1 and Xd(1)if i=1 and Xd(1)then x(1)X,c(1)C(1,x(1),g(1)c(1),then x(1)X,c(1)C(1,x(1),g(1)c(1),return return endif endif if i=1 and Xd(1)if i=1 and Xd(1)then g(1)0,return then g(1)0,return endif endif4141 G G /G/G存储总花费的最小值，存储总花费的最小值，存储总花费的最小值，存储总花费的最小值，y y保存最优解；保存最优解；保存最优解；保存最优解；for j0 to d(i)do
25、for j0 to d(i)do x(i)j,c(i)C(1,x(i)x(i)j,c(i)C(1,x(i)Allocate(c,x,d,g,i-1,y,X-j)Allocate(c,x,d,g,i-1,y,X-j)/递归求所有可能解递归求所有可能解递归求所有可能解递归求所有可能解 if g(i-1)=0 if g(i-1)=0 /不可行不可行不可行不可行 then g(i)0,return then g(i)0,return endif endif if Gg(i-1)+c(i)if Gg(i-1)+c(i)/更新更新更新更新GG和和和和y y then Gg(i-1)+c(i),y(i)x(
26、i)then Gg(i-1)+c(i),y(i)x(i)endif endif repeat repeatend Allocateend Allocate4242Procedure BothAllocate(X,d,x,c)Procedure BothAllocate(X,d,x,c)integer c(2)(n),x(2)(n),d(n),g(n),i,X,j integer c(2)(n),x(2)(n),d(n),g(n),i,X,j GG GG call Allocate(c(1),x(1),d,g,n,y,X)call Allocate(c(1),x(1),d,g,n,y,X)if
27、g(n)0 if g(n)0 then Gg(n)then Gg(n)for i1 to n do for i1 to n do x(1,i)y(i)x(1,i)y(i)x(2,i)d(i)y(i)x(2,i)d(i)y(i)c(2,i)C(2,x(2,i)c(2,i)C(2,x(2,i)GG+c(2,i)GG+c(2,i)Repeat Repeat endif endifend BothAllocateend BothAllocate4343P152-15 设设I是在两台设备上作流水线调度的任是在两台设备上作流水线调度的任一实例。一实例。n n证明对于同一个证明对于同一个I，每种，每种POF
28、T调度的调度的长度和每种长度和每种OFT调度的长度相同。因此调度的长度相同。因此6.8节的算法也生成一种节的算法也生成一种POFT调度。调度。4444（一）若任意（一）若任意（一）若任意（一）若任意p=1,n-1p=1,n-1，都有，都有，都有，都有b bp paap+1p+1，则此种情况，则此种情况，则此种情况，则此种情况不不不不存在抢先问题存在抢先问题存在抢先问题存在抢先问题；（二）若存在（二）若存在（二）若存在（二）若存在b bp paap+1p+1，设，设，设，设p p是第一个使得是第一个使得是第一个使得是第一个使得b bp paap+1p+1的下标，的下标，的下标，的下标，此时允许抢
29、先，分以下情形：此时允许抢先，分以下情形：此时允许抢先，分以下情形：此时允许抢先，分以下情形：设设设设mm是第一个满足是第一个满足是第一个满足是第一个满足b bp p+b+bp+1p+1+b+bmmaap+1p+1+a+am+1m+1的的的的下标，则无论是抢先与否，下标，则无论是抢先与否，下标，则无论是抢先与否，下标，则无论是抢先与否，b bmm执行完毕的时间均为执行完毕的时间均为执行完毕的时间均为执行完毕的时间均为 ,而而而而b bm+1m+1则从则从则从则从a am+1m+1结束处时间开始执行，此时再一次结束处时间开始执行，此时再一次结束处时间开始执行，此时再一次结束处时间开始执行，此时再
30、一次针对针对针对针对m+1pn-1m+1pn-1考虑考虑考虑考虑(一一一一)()(二二二二)两种情况。两种情况。两种情况。两种情况。若不存在若不存在若不存在若不存在所描述的所描述的所描述的所描述的mm，则有对任意，则有对任意，则有对任意，则有对任意p+1mn-1p+1mn-1，均有，均有，均有，均有 ，即任意，即任意，即任意，即任意p+1jm+1p+1jm+1，a aj j执行完时，执行完时，执行完时，执行完时，都可以抢先执行都可以抢先执行都可以抢先执行都可以抢先执行b bj j，无论抢先与否，总执行时间均，无论抢先与否，总执行时间均，无论抢先与否，总执行时间均，无论抢先与否，总执行时间均为为
31、为为4545P152-15n n 证明对于证明对于I存在着一种作业在两台设存在着一种作业在两台设备上按相同次序处理的备上按相同次序处理的OFT调度。调度。n n往证：在两台设备上处理的任务分别采往证：在两台设备上处理的任务分别采用不同的处理次序，在调度完成时间上用不同的处理次序，在调度完成时间上不比采用相同的处理次序强。不比采用相同的处理次序强。4646P152-15设有两种处理方式：设有两种处理方式：设有两种处理方式：设有两种处理方式：I I1 1采用相同的处理次序，采用相同的处理次序，采用相同的处理次序，采用相同的处理次序，I I2 2采用不同的处采用不同的处采用不同的处采用不同的处理次序
32、理次序理次序理次序 I I1 1:ai:ai1 1 ai ai2 2 ai aik k I I2 2:ai:ai1 1 ai ai2 2 ai aik k bi bi1 1 bi bi2 2 bi bik k bj bj1 1 bj bj2 2 bj bjk kn n设设设设I I1 1II2 2，令，令，令，令a a是第一个使得是第一个使得是第一个使得是第一个使得j ja aiia a的下标，即：对的下标，即：对的下标，即：对的下标，即：对p=1,2,a-1p=1,2,a-1，都有，都有，都有，都有i ip p=j=jp p.情况（一）情况（一）情况（一）情况（一）bibia-1a-1执行完
33、时，执行完时，执行完时，执行完时，aiaia a尚未执行完，尚未执行完，尚未执行完，尚未执行完，ajaja a未开始执行。未开始执行。未开始执行。未开始执行。在在在在I I1 1上上上上bibia a必须开始的时间必须开始的时间必须开始的时间必须开始的时间t1t1肯定小于等于肯定小于等于肯定小于等于肯定小于等于I I2 2上上上上bjbja a必须开始的必须开始的必须开始的必须开始的时间时间时间时间t2t2，故，故，故，故I I2 2的执行时间大于等于的执行时间大于等于的执行时间大于等于的执行时间大于等于I I1 1的执行时间；的执行时间；的执行时间；的执行时间；情况（二）若情况（二）若情况（
34、二）若情况（二）若bibia-1a-1执行完时，执行完时，执行完时，执行完时，aiaia a已经执行完，但已经执行完，但已经执行完，但已经执行完，但ajaja a未执行完，未执行完，未执行完，未执行完，同样同样同样同样t(It(I2 2)t(I)t(I1 1)；情况（三）若情况（三）若情况（三）若情况（三）若bibia-1a-1执行完时，执行完时，执行完时，执行完时，ai aia a 、ajaja a均已执行完，则均已执行完，则均已执行完，则均已执行完，则I I1 1中的中的中的中的bibia a与与与与I I2 2中的中的中的中的bjbja a开始执行时间相同，再考虑下一个开始执行时间相同，
35、再考虑下一个开始执行时间相同，再考虑下一个开始执行时间相同，再考虑下一个j ja aiia a的下标。的下标。的下标。的下标。4747P152-15 证明对于证明对于I存在着由作业的某种排列存在着由作业的某种排列(见见)所定义的所定义的OFT调度，而这种排列调度，而这种排列中所有中所有ai=0的作业均在这排列的前部。的作业均在这排列的前部。进而证明此排列前部那些进而证明此排列前部那些ai=0的作业出的作业出现的次序是无关紧要的。现的次序是无关紧要的。4848P152-15n n设一个设一个设一个设一个OFTOFT调度其在设备调度其在设备调度其在设备调度其在设备a a和和和和b b上分别为：上分
36、别为：上分别为：上分别为：ai1,aikai1,aik，和，和，和，和bi1,bik bi1,bik。并假设。并假设。并假设。并假设a a是第一个是第一个是第一个是第一个aiaia a=0=0，但，但，但，但aiaia-1a-100，即对于所有，即对于所有，即对于所有，即对于所有1pa-11pa-1，aiaip p00，将，将，将，将aiaia a和和和和bibia a移至最前部，得到移至最前部，得到移至最前部，得到移至最前部，得到I I。n n显然显然显然显然I I的调度长度是小于等于的调度长度是小于等于的调度长度是小于等于的调度长度是小于等于I I的调度长度的。如的调度长度的。如的调度长度
37、的。如的调度长度的。如此反复，可以将所有这样的此反复，可以将所有这样的此反复，可以将所有这样的此反复，可以将所有这样的aiaia a=0=0的作业移至最前的作业移至最前的作业移至最前的作业移至最前端，而不增加该调度的长度，因此结论成立。端，而不增加该调度的长度，因此结论成立。端，而不增加该调度的长度，因此结论成立。端，而不增加该调度的长度，因此结论成立。n n进一步，无论这些进一步，无论这些进一步，无论这些进一步，无论这些a ai i=0=0的作业如何排列，其对应在的作业如何排列，其对应在的作业如何排列，其对应在的作业如何排列，其对应在b b上的执行时间均为上的执行时间均为上的执行时间均为上的
38、执行时间均为4949P152-17n n最优性原理并不总是对可以将其解看成最优性原理并不总是对可以将其解看成是一系列决策结果的所有问题成立。找是一系列决策结果的所有问题成立。找两个最优性原理不成立的例子，并说明两个最优性原理不成立的例子，并说明对这两个问题最优性原理为什么不成立。对这两个问题最优性原理为什么不成立。5050P152-17n n无论过程的初始状态和初始决策是什么，无论过程的初始状态和初始决策是什么，其余的决策都必须相对于初始决策所产其余的决策都必须相对于初始决策所产生的状态构成一个最优决策序列。生的状态构成一个最优决策序列。n n多段图问题，以乘法为路径长度，当含多段图问题，以乘法为路径长度，当含有负权时。有负权时。5151